11级高等数学2试卷A答案

装广西师范大学全日制普通本科课程考核试题

参或实验操作要求及评分标准

（2011—2012学年第二学期）

课程名称：高等数学2 课程序号： KB07301201-16 开课学院：数学科学学院 年级、专业：2011级软本、信管、信息安全、物教、科教、通信、电应、机械、电信职师、计本职师、机械（数控职师）、机械（机电职师）、汽车维修（职） 考核方式：闭卷  开卷 □ 实验操作 □ 试卷代号：A卷

命题教师：郭勇华 考试时间：120 分钟 命题时间：2012年06月10日

一、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

请判断下列叙述是否正确,并在正确的题号前的括号内填上 √，在错误的题号前的括号内填上 ×. 错填、不填均不得分.

1．(×)； 2．(×) ；3．(×) ；4．(×) ；5．(√) ；6．（√）.

二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均不得分. 1．y4e2e；2．dyyf(x,y)dx；3．2；4．d3订x3x1e2sec0e40f()d；5．0；6．[-2,2).

三、计算题（本大题6小题，共分） 1.解 令F(x,y,z)1xzxz1ln，则有Fx，Fy，Fz2，………… 4分

zzzyyFyFxzzzz2所以有，. ………………………… 8分 xFzxzyFzy(xz)2.解 原方程是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次线性微分方程

1yy0的解. ………………………………… 1分

x分离变量后两边积分， dydx 得到 yc1x（其中c1是任意常数）…… 5分 yx将yc1(x)x代入原方程，求得c1(x)3xc，其中c是任意常数， ………… 8分 所以原方程的通解为y3x2cx，其中c是任意常数. …………………… 9分

线

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33.解f(x)2xx111 (2分) 将u代入un (-1＜u＜1) (4分) x131un01()31x1n1x1()n(x1)n (6分)又由11，有 -4＜x＜2 得

x1n033n0313因此 f(x)1n (-4＜x＜2) 是所求展开式. (8分) (x1)nn034.解 令P(x,y)2xy3y2cosx, Q(x,y)12ysinx3x2y2, A=(/2,1),B=(/2,0), O=(0,0),则

PQ6xy22ycosx. ………………………………… 2分 yx由格林公式知 LOBBAPdxQdy(DQP)dxdy0，…………………… 5分 xy所以有 (2xy3y2cosx)dx(12ysinx3x2y2)dy

L PdxQdyPdxQdyPdxQdy …………………… 7分

LOBBA3222 0(12yy)dy. ………………………… 9分

04415. 解 曲面 ：z4x2y2，z1，在xoy面上的投影区域为 Dxy{(x,y)|x2y23}{(,)|02,03} 且

zxzy，. ………………… 3分 2222xy4xy4xy22(xy4xy)1((xyz)dSDxyz2z)()2dxdy xy [(xy)Dxy2324xy222]dxdy ………………………… 6分

242 d[(cossin)00232]d

0d2d6. ………………… 9分

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6. 解 1) 令F(x,y,z)3x22y2z26

则Fx(1,1,1)6，Fy(1,1,1)4，Fz(1,1,1)2 …………………… 3分 在点(1,1,1)的法向量是(6,4,2),所以在(1,1,1)的切平面方程是

6(x1)4(y1)2(z1)0，即3x + 2y + z = 6. ……………………… 6分 2) 由1)知在(1,1,1)的切平面方程为3x + 2y + z = 6，其被三坐标面所割出的有限部分在xoy面投影区域Dxy{(x,y)|0x,0y,3x2y6}. ……………… 8分 又因为对z = 6-3x-2y 有

zz3，2 ………………… 10分 xy 所以所求面积S=1(Dxyz2z2)()dxdy14dxdy314. …………… 13分 xyDxy3)设所求第一卦限内的点为(x0，y0，z0)，其切平面方程为 3x0x2y0yz0z6

12366该切平面与三坐标面所围成的四面体体积 V. …… 15分

6x0y0z0x0y0z0作拉格朗日函数L(x,y,z,)6(3x22y2z26)， ………………… 17分 xyz66x0x2yz624y0求L的偏导数得到, 即有xyz62z02xyz22223x3x2yz60解之得所求点坐标为(6,1,366x2xyz64y2 …… 19分 xyz62z2xyz2y2z2602),此时四面体有最小体积V33. ………… 21分

四、证明题（本大题6分）

证明 令f(x,y)dxdyA，则有 f(x,y)xyA. ………………………… 3分

D所以 Af(x,y)dxdydx00D1x2x51A2(Ax)dx = = (xyA)dy021231解出A

11，即有 f(x,y)dxdy. ………………………… 6分 88D第 3 页 共 3 页