2020年河南省焦作市中考数学一模试卷

中考数学一模试卷

题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. -的绝对值是（ ）

A.

B.

C. D.

2. “十三五”期间，河南将安排40.27亿元资金支持郑州大学、河南大学“双一流”

建设．数据“40.27亿”用科学记数法表示为（ ） A. 4.027×1010 B. 0.4027×1010 C. 4.027×109 D. 0.4027×109 3. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（ ）

A. B.

C.

D.

4. 如表是我国近六年“”会期（单位：天）的统计结果： 时间 会期（天） 2014 11 2015 13 2016 14 2017 13 2018 18 2019 13 则我国近六年“”会期（天）的众数和中位数分别是（ ）

A. 13，11 B. 13，13 C. 13，14 D. 14，13.5 5. 程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指

算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题： 一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚得几丁．

意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（ ） A. 大和尚25人，小和尚75人 B. 大和尚75人，小和尚25人 C. 大和尚50人，小和尚50人 D. 大、小和尚各100人

6. 将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，

这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率（ ）

A. B. C. D.

7. 下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（ ）

A.

B.

C.

D.

8. 已知函数y=kx-b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k-b=0

根的情况是（ ）

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A. 没有实数根

C. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 D. 不确定

9. 如图，已知矩形AOBC的三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(4，0)，按

以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OC，OB于点D，

E；②分别以点D，E为圆心，大于

的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；

③作射线OF，交边BC于点G，则点G的坐标为( )

A.

B.

C.

D.

，点E是BC边的中10. 如图1，在菱形ABCD中，∠A=120°

点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE

与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（ ）

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 计算：=______．

，则∠4的度数是______． 12. 已知：如图，∠1=∠2=∠3=55°

13. 已知反比例函数y=，当x＜-1时，y的取值范围为______．

，AB=2，把菱形ABCD绕BC的中点E顺时针旋14. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°

转60°得到菱形A'B'C'D'，其中点D的运动路径为______．

，则图中阴影部分的面积为

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，∠A=30°，BC=1，CD15. 如图，△ABC中，∠ACB=90°

E是AC上一动点，是△ABC的中线，将△AED沿ED

折叠，点A落在点F处，EF线段CD交于点G，若△CEG是直角三角形，则CE=______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16. 先化简，再求值：

，其中m=-2．

17. 贺岁片《流浪地球》被称为开启了中国科幻片的大门，2019也被称为中国科幻片

的元年．某电影院为了全面了解观众对《流浪地球》的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次接受调查的观众共有______人；

（2）扇形统计图中，扇形C的圆心角度数是______． （3）请补全条形统计图；

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（4）春节期间，该电影院来观看《流浪地球》的观众约3000人，请估计观众中对该电影满意（A、B、C类视为满意）的人数．

18. 如图，AB为⊙O的直径，DB⊥AB于B，点C是弧AB

上的任一点，过点C作⊙O的切线交BD于点E．连接OE交⊙O于F．

（1）求证：CE=ED； （2）填空：

①当∠D=______时，四边形OCEB是正方形； ②当∠D=______时，四边形OACF是菱形．

19. 如图，反比例函数

的图象过格点（网格线的

交点）A．

（1）求反比例函数的解析式； （2）若点P是该双曲线第一象限上的一点，且∠AOP=45°，填空：

①直线OP的解析式为______； ②点P的坐标为______．

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20. 某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆

改造的截面示意图．已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米，原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°，原坡脚B与场馆的运动区边界的安全距离BD为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变，使A、E两点间距离为2米，使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°．若学校要求新坡脚F需与场馆的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈）

21. 某公司推出一款产品，成本价10元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量y（千

克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价之间的几组对应值如表： 销售单价x（元/千克） 日销售量y（千克） 14 240 18 180 22 120 26 m （注：日销售利润 =日销售量×（销售单价-成本单价）） （1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围） （2）根据以上信息，填空： ①m=______kg；

②当销售价格x=______元时，日销售利润w最大，最大值是______元；

（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1025元，试确定该产品销售单价的范围．

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22. 如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，

连接DC、BE，点P为DC的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段AP与BE的数量关系是______，位置关系是______； （2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想；

（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出线段AP的取值范围______．

23. 如图，抛物线y=ax2-bx+3交x轴于B（1，0），C（3，0）两点，交y轴于A点，

连接AB，点P为抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式；

（2）当点P到直线AB的距离为

时，求点P的横坐标；

（3）当△ACP和△ABC的面积相等时，请直接写出点P的坐标．

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：-的绝对值是|-|=；

故选：C．

根据负数的绝对值等于它的相反数进行计算；

本题考查了绝对值的定义．注意一个正数的绝对值是它本身，0的算术平方根是0；负数的绝对值等于它的相反数． 2.【答案】C

109， 【解析】解：40.27亿用科学记数法表示为4.027×

故选：C．

10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要科学记数法的表示形式为a×

看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

10n的形式，其中1≤|a|此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×

＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3.【答案】C

【解析】解：A、左视图是两个正方形，俯视图是三个正方形，不符合题意； B、左视图与俯视图不同，不符合题意； C、左视图与俯视图相同，符合题意； D左视图与俯视图不同，不符合题意， 故选：C．

根据图形、找出几何体的左视图与俯视图，判断即可． 此题主要考查了由几何体判断三视图，考查了空间想象能力，解答此题的关键是要明确：由几何体想象三视图的形状，应分别根据几何体的前面、上面和左侧面的形状想象主视图、俯视图和左视图． 4.【答案】B

【解析】解：由表知这组数据的众数13，中位数为

=13，

故选：B．

13出现的次数最根据中位数和众数的定答．第3和第4个数的平均数就是中位数，

多．

本题考查了众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个 5.【答案】A

【解析】解：设大和尚有x人，则小和尚有（100-x）人， 根据题意得：3x+

=100，

解得x=25

则100-x=100-25=75（人）

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所以，大和尚25人，小和尚75人． 故选：A．

根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即可．

本题考查了一元一次方程的应用，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程． 6.【答案】B

【解析】解：列表得： 学 习 强 国 学 --- 习学 强学 国学 习 学习 --- 强习 国习 强 学强 习强 --- 国强 国 学国 习国 强国 --- ∵12种可能的结果中，能组成“强国”有2种可能，共2种， ∴两次摸出的球上的汉字能组成“强国”的概率为，

故选：B．

列表得出所有等可能的情况数，找出能组成“强国”的情况数，即可求出所求的概率． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 7.【答案】D

【解析】解：由A得由B得由C得由D得

，∴不等式组无解；

，∴不等式组的解集为x＜-2； ，∴不等式组无解；

，∴不等式组的解集为-1＜x≤2．

故选：D．

分别解出各个不等式组，进行检验就可以． 命题立意：考查不等式组的解法．

求不等式组解集的规律：同大取大，同小取小，大小、小大取中间，大大、小小是无解． 8.【答案】C

【解析】解：由图象可得， 即：k-b＜0

∵△=12-4（k-b）=1-4(k-b)， 而k-b＜0，∴-4（k-b）＞0 ∴△＞0，

∴方程有两个不相等的实数根， 故选C．

利用一次函数的性质得k＜0，b＞0，再计算判别式的值得到△=1-4(k-b)，然后判断△与零的关系，从而得到方程根的情况．

本题考查了一元二次方程根的判别式及一次函数的图像．熟练掌握根的判别式是解题的

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关键。

9.【答案】A

【解析】解：∵四边形AOBC是矩形，A（0，3），B（4，0）， ∴OB=4，OA=BC=3，∠OBC=90°， ∴OC=

=5，

作GH⊥OC于H．

由作图可知：OG平分∠BOC， ∵GB⊥OB，GH⊥OC，

∴GB=GH，时GB=GH=x， 3×4=×5×x+×4×x， ∵S△OBC=×∴x=， ∴G（4，）．

故选：A．

首作GH⊥OC于H．先证明GB=GH，利用面积法求出GB即可解决问题．

本题考查基本作图，矩形的性质，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10.【答案】C

【解析】解：∵在菱形ABCD中，∠A=120°，点E是BC边的中点， ∴易证AE⊥BC，

∵A、C关于BD对称， ∴PA=PC，

∴PC+PE=PA+PE，

∴当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，即AE的长． 观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC=6， ∴BE=CE=2，AB=BC=4， ∴在Rt△AEB中，BE=2， ∴PC+PE的最小值为2， ∴点H的纵坐标a=2， ∵BC∥AD， ∴∵BD=4

=2， ，

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∴PD==，

， ；

∴点H的横坐标b=∴a+b=2

+

=

故选：C．

由A、C关于BD对称，推出PA=PC，推出PC+PE=PA+PE，推出当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC=6，推出BE=CE=2，AB=BC=4，分别求出PE+PC的最小值，PD的长即可解决问题．

本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 11.【答案】-4

【解析】解：原式=-2-2 =-4．

故答案为：-4．

直接利用负指数幂的性质以及算术平方根的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

12.【答案】125°

【解析】解：如图，

∵∠1=∠2=∠5 ∴a∥b

∴∠3+∠6=180°，且∠3=55°

∴∠6=125°

∴∠4=∠6=125° 故答案为：125°

根据对顶角相等以及平行线的判定与性质求出∠3+∠6=180°，即可得出∠4的度数．

本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关的定理是解题关键． 13.【答案】-2＜y＜0

【解析】解：∵反比例函数y=中，k=2＞0，

∴此函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵当x=-1时，y=-2，

∴当x＜-1时，-2＜y＜0． 故答案为：-2＜y＜0．

先根据反比例函数的性质判断出函数的增减性，再求出x=-1时y的值即可得出结论． 本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．

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14.【答案】

【解析】解：如图连接AE、DE、A'E、DE， ∵菱形ABCD中，∠B=60°，E为BC中点， ∴BE=AB=1，∠BAE=30°，∠EAD=90°， ∴∠EA'D=90°，A'E=AE=DE=

，

=

，DE'=

∵旋转角为60°， ∴∠DED'=60°，BEB'=60°，BB'=BE=B'E=1， ∴CE=CA'=A'D=1 ∴S△EA'D=S△ECD=

CE•AE=

，

=

，

S△EA'D'=EA'•A'D'=××2=S扇形EDD'=

=，

∴S阴影部分=S扇形EDD'-S△EA'D-S△EA'D=-故答案为

，

-=，

先通过已知条件求出△EA'D与△EA'D'以及扇形EDD'的面积，然后根据S阴影部分=S扇形EDD'-S△EA'D-S△EA'D求出阴影部分面积．

本题考查了扇形的面积，熟练运用割补法是解题的关键．

15.【答案】或

【解析】解：如图1中，当∠CEG=90°时．

易知∠AED=∠DEF=45°，作DH⊥AC于H．则DH=EH， 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，

=， ∴AB=2BC=2，AC=AB•cos30°

∵AD=DB， ∴AD=1，

=，AH=AD•cos30°=， 在Rt△ADH中，DH=AD•sin30°∴EC=AC-AH-EH=

--=

．

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AE=如图2中，当∠EGC=90°时，易证点B与点F重合，此时ED⊥AB，EC=，-=，

综上所述，EC的长为故答案为

或．

或．

分两种情形：如图1中，当∠CEG=90°时．如图2中，当∠EGC=90°时，分别求解即可．

本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

16.【答案】解：原式=

===-当m=原式===

， -2时，

．

【解析】先化简分式，然后将m的值代入计算即可．

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 17.【答案】（1）100

（2）54°

（3）C类人数为：100-60-20-5=15（人）， 补全条形统计图如图所示：

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（4）观众中对该电影满意的人数为：3000×=2850（人）.

【解析】解：（1）由条形统计图可知，A类人数是60人，由扇形统计图可知，A类人数所占的百分比为60%，

60%=100（人）， 则本次接受调查的观众人数为：60÷

故答案为：100；

×（2）扇形C的圆心角度数为：360°

×100%=54°，

故答案为：54°；

（3）见答案； （4）见答案． 【分析】

（1）根据条形统计图得到A类人数，根据扇形统计图得到A类人数所占的百分比，计算求出接受调查的观众人数；

（2）根据C类人数的百分比，求出圆心角；

（3）求出观众中对该电影满意的人数的百分比，计算即可．

本题考查的是条形统计图、扇形统计图、样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

18.【答案】解：（1）证明：连接OC，

∵CE为⊙O的切线， OC⊥CE， ∴∠OCE=90°，

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∴∠ACO+∠DCE=90°， ∵BD⊥AB， ∴∠ABD=90°， ∴∠A+∠D=90°， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA， ∴∠D=∠DCE， ∴CE=ED；

. （2）45°；30°

【解析】解：（1）见答案

（2）若四边形OCEB是正方形， 则∠CEB=90°， ∴∠CED=90°， ∵CE=ED，

∴∠D=∠DCE=45°， 故答案为45°；

（3）若四边形OACF是菱形， 则OA=AC， ∵OA=OC，

∴△OAC为等边三角形， ∴∠A=60°， ∵DB⊥AB， ∴∠A+∠D=90°，

-60°=30°∴∠D=90°，

故答案为30°．

【分析】（1）证明：连接OC，由CE为⊙O的切线，可得OC⊥CE，∠OCE=90°，所以∠ACO+∠DCE=90°，因为BD⊥AB，所以∠A+∠D=90°，又OA=OC，∠A=∠OCA，所以∠D=∠DCE，因此CE=ED；

（2）若四边形OCEB是正方形，则∠CEB=90°，∠CED=90°，因为CE=ED，所以∠D=∠DCE=45°； （3）若四边形OACF是菱形，则OA=AC，又OA=OC，于是△OAC为等边三角形，∠A=60°，因为DB⊥AB，所以∠A+∠D=90°，因此∠D=30°．

本题是圆综合题，熟练掌握圆的相关性质以及菱形正方形的性质是解题的关键． 19.【答案】解：（1）由图知，点A（1，3）， ∵点A（1，3）在反比例函数y=图象上， ∴k═1×3=3，

∴反比例函数的解析式为y=； （2）①y=x； ②（

，）

【解析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，方程组的解法，构造出全等三角形是解本题的关键．

（1）由网格得出点A坐标，代入反比例函数解析式中，即可得出结论；

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（2）①先构造出全等三角形，AC=BC，求出点B（3，-1），C的横坐标为3，用AC=BC建立方程求解即可得出结论；

②联立直线OP和双曲线解析式，解得即可得出结论． 【解答】

解：（1）见答案； （2）①如图，

过点O作OA的垂线OE，取x轴上点（3，0）， 记D，则D（3，0）， ∴OD=3，

过点D作BD⊥x轴，交OE于B，OP于C， 易知，B（3，-1），OA=OB， ∵∠AOP=45°，

=∠AOC， ∴∠BOC=∠AOB-∠AOP=45°

∵OC=OC，

∴△AOC≌△BOC（SAS）， ∴AC=BC，

设C（3，m），

∵A（1，3），B（3，-1）， ∴AC=∴∴m=， ∴C（3，），

设直线OP的解析式为y=kx， ∴3k=， ∴k=，

∴直线OP的解析式为y=x， 故答案为：y=x；

②由①知，直线OP的解析式为y=x（Ⅰ）， 由（1）知，反比例函数解析式为y=（Ⅱ），

，BC=m+1， =m+1，

联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，或（由于点P在第一象限内，所以，舍去），

∴P（，），

，）．

故答案为：（

20.【答案】解：施工方提供的设计方案不满足安全要求，理由如下：

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在Rt△ABC中，AC=15m，∠ABC=45°， ∴BC=

=15m．

在Rt△EFG中，EG=15m，∠EFG=37°， ∴GF=

≈=20m．

∵EG=AC=15m，AC⊥BC，EG⊥BC， ∴EG∥AC，

∴四边形EGCA是矩形， ∴GC=EA=2m，

∴BF=GF-GC-BC≈20-15-2=3m． ∵BD=5m，

∴FD=BD-BF≈5-3=2＜2.5，

∴施工方提供的设计方案不满足安全要求．

【解析】在Rt△ABC中通过解直角三角形可求出BC的长度，在Rt△EFG中通过解直角三角形可求出GF的长度，由EG=AC=15m、AC⊥BC、EG⊥BC可得出四边形EGCA是矩形，进而可得出GC的长度，再根据BF=GF-GC-BC、FD=BD-BF即可求出FD的长度，由FD的长度小于2.5米可得出施工方提供的设计方案不满足安全要求．

GF的本题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，通过解直角三角形求出BC、

长度是解题的关键．

21.【答案】解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b， 将点（14，240），（18，180）代入，

，

∴

，

∴y=-15x+450；

（2）①60 ；② 20 ， 1500 ；

（3）W=-15x2+600x-4500-100≥1025， ∴x2-40x+375≤0， ∴15≤x≤25.

【解析】解：（1）见答案；

（2）①当x=26时，代入解析式m=60， 故答案为60；

②W=y（x-10）=（-15x+450）（x-10）=-15x2+600x-4500=-15（x-20）2+1500， 当x=20时，W有最大值1500； 故答案为20，1500； （3）见答案.

本题考查一次函数的应用，二次函数的性质，一元二次不等式的解法；能够理解题意列出合理的方程和不等式是解题的关键．

（1）从表格中取点代入一次函数解析式即可求解；

（2）W=y（x-10）=-15（x-20）2+1500，结合二次函数的性质求W的最大值； （3）列出不等式W=-15x2+600x-4500-100≥1025，求解即可；

22.【答案】解：（1）AP=BE；AP⊥BE；

（2）结论成立．

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理由：如图2中，延长AP到J，使得PJ=PA，连接JC，延长PA交BE于O．

∵PA=PJ，PD=PC，∠APD=∠JPC， ∴△APD≌△JPC（SAS）， ∴AD=JC，∠ADP=∠JCP， ∴AD∥JC，

∴∠DAC+∠ACJ=180°， ∵∠BAC=∠EAD=90°， ∴∠EAB+∠DAC=180°， ∴∠EAB=∠JCA，

∵AB=CA，AE=DA=CJ， ∴△EAB≌△JCA（SAS）， ∴BE=AJ，∠CAJ=∠EBA， ∴AP=AJ=BE. ∵∠CAJ+∠BAO=90°， ∴∠EBA+∠BAO=90°， ∴∠AOB=90°， ∴PA⊥BE． （3）3≤PA≤7.

【解析】解：（1）如图1中，设PA交BE于点O．

∵AD=AE，AC=AB，∠DAC=∠EAB， ∴△DAC≌△EAB（SAS）， ∴BE=CD，∠ACD=∠ABE， ∵∠DAC=90°，DP=PC， ∴PA=CD=PC=PD， ∴PA=BE，∠ACD=∠PAE， ∵∠CAP+∠BAO=90°， ∴∠ABO+∠BAO=90°， ∴∠AOB=90°， ∴PA⊥BE，

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故答案为：AP=BE，PA⊥BE． （2）见答案．

（3）∵AC=10，CJ=4， ∴10-4≤AJ≤10+4， ∴6≤AJ≤14， ∵AJ=2AP， ∴3≤PA≤7．

故答案为：3≤PA≤7．

【分析】

（1）如图1中，设PA交BE于点O．证明△DAC≌△EAB（SAS），结合直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）结论成立．如图2中，延长AP到J，使得PJ=PA，连接JC．延长PA交BE于O．证明△EAB≌△JCA（SAS），即可解决问题． （3）利用三角形的三边关系即可解决问题． 本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 23.【答案】解：（1）用交点式抛物线表达式得：y=a（x-1）（x-3）=a（x2-4x+3）， 即3a=3，解得：a=1，

故抛物线的表达式为：y=x2-4x+3…①， 则点A（0，3）；

（2）过点P作PH⊥AB于点H，

过点H作HG∥x轴交过点P平行于y轴的直线于点G，

则∠ABO=∠HPG=α，

在△AOB中，tanABO==3=tanα， 设PG=n，则HG=3n，PH=即：n2+9n2=（

，

）2，解得：n=，

则直线直线AB的表达式为：y=-3x+3， 设点H（m，3-3m），则点P（m+，-3m）， 将点P坐标代入①式并整理得：3m2+11m-14=0， 解得：m=1或-，

故点P的横坐标为：或-； （3）①当点P在x轴上方时，

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参考（2）作△P′G′H′，过点O作OM⊥AC于点M，

∵△ACP和△ABC的面积相等， ∴P′H′=OM， ∵OA=OB， ∴∠ACO=45°， ∴OM=，

即：P′H′=OM=，

按照（2）的方法，同理可得： 点P′的坐标为（

，

）或（

，

）；

②当点P不在x轴上方时，

同理可得：点P（2，-1）或（1，0）（与B点重合）； 故：点P（P′）的坐标为（

，

）或（

，

）或（2，-1）或（1，0）．

【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、一次函数、勾股定理

运用等知识点，难度不大．

（1）用交点式抛物线表达式得：y=a（x-1）（x-3）=a（x2-4x+3），即可求解； （2）在△AOB中，tanABO==3=tanα，设PG=n，则HG=3n，PH=点H（m，3-3m），则点P（m+，-3m），即可求解； （3）△ACP和△ABC的面积相等，则P′H′=OM=

，即可求解．

，求出n=，设

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