湖南沙郡中学19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)

湖南沙郡中学19-20学年高二上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共15小题，共45.0分） 1. 命题：“若𝑥2=1，则𝑥=1”的逆否命题为( )

A. 若𝑥≠1，则𝑥≠1或𝑥≠−1 C. 若𝑥≠1，则𝑥≠1且𝑥≠−1

B. 若𝑥=1，则𝑥=1或𝑥=−1 D. 若𝑥=1，则𝑥=1且𝑥=−1

2. 某单位350名职工，其中50岁以上有70人，40岁以下175人，该单位为了解职工每天的业余

生活情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查，则应从40−50岁的职工中抽取的人数为( )

A. 8

3. 设P是椭圆

𝑥216

B. 12

+

𝑦210

C. 20 D. 30

=1上的点．若𝐹1、𝐹2是椭圆的两个焦点，则|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|等于( )

A. 4 B. √10

C. 8 D. 2√10

4. 抛物线的标准方程是𝑦2=−12𝑥，则其焦点坐标是( )

A. (3,0) B. (−3,0) C. (0,3) D. (0,−3)

5. 已知某种商品的广告费支出𝑥(单位：万元)与销售额𝑦(单位：万元)之间有如表对应数据根据表

中数据可得回归方程为( ) x y 1 10 2 15 3 30 4 45 5 50 ，其中

，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约

A. 60万元

1

B. 63万元 C. 65万元 D. 69万元

6. 二项式(𝑥√𝑥−𝑥)5展开式中的常数项为( )

A. 10 B. −10 C. 5 D. −5

7. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式

共有( )

A. 12种 B. 18种

1

C. 24种 D. 36种

8. 已知条件p：𝑥<1，条件，q：𝑥<1，则p是q的( )

A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是( )

𝐱𝐲A. 𝟐𝟓+=𝟏

𝟗𝐲𝐱C. 𝟐𝟓+𝟗=𝟏

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝐲𝐱𝐱𝐲

B. 𝟐𝟓+=𝟏或+=𝟏

𝟗𝟐𝟓𝟗𝐲𝐱𝐱𝐲

D. 𝟐𝟓+𝟏𝟔=𝟏或𝟏𝟔+𝟗=𝟏

𝑥2𝑎

2−

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐𝟐𝟐𝟐

𝐹2是离心率为5的双曲线10. 设𝐹1，

则△𝑃𝐹1𝐹2的面积等于( )

𝑦224

P是双曲线上的一点，且3|𝑃𝐹1|=4|𝑃𝐹2|，=1的两个焦点，

A. 4√2 B. 8√3 C. 24 D. 48

11. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27𝜋，且用料最省，则圆柱的底面半径为( )

A. 3 B. 4 C. 6 D. 5

1

1

12. 已知𝑓(𝑥)的定义域为R，𝑓(−2)=0，且∀𝑥∈𝑅，都有𝑓′(𝑥)>2，则𝑓(𝑥)<2𝑥+1的解集为( )

A. (−2,2) B. (−2,+∞)

1

C. (−∞,−2) D. (−∞,2)

13. 下面四个图象中，有一个是函数𝑓(𝑥)=3𝑥3+𝑎𝑥2+(𝑎2−1)𝑥+1(𝑎∈𝑅)的导函数𝑦=𝑓′(𝑥)的

图象，则𝑓(−1)=( )

A. 3或−3

51

B. 3或3

51

C. −3或−3

15

D. 3或−3

15

14. 在区间[−1,5]上随机地取一个实数a，则方程𝑥2−2ax+4𝑎−3=0有两个正根的概率为( )

A. 8

3

B. 2

1

C. 3

2

D. 3

1

15. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+(3−𝑎)𝑥在[−1,1]上的最大值为3，则实数a的取值范围是( )

A. [−2,3]

3

B. [−2,12]

3

C. [−3,3] D. [−3,12]

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为3−4𝑖，若点B关于原点的对称点为A，点A16. 在复平面内，O为坐标原点，向量𝑂𝐵

关于虚轴的对称点为C，则向量⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶对应的复数为________．

⃗ ⃗ =(2,4，𝑥)，2)，⃗ |=6，17. 已知向量𝑎若|𝑎则𝑥= ______ ；若𝑎则𝑥+𝑦= ______ ． 𝑏=(2,y，⃗ //⃗ 𝑏，

18. 设椭圆

𝑥2

𝑚2

+

𝑦2𝑛2

=1的焦点在y轴上，𝑚∈{1,2，3，4，5}，𝑛∈{1,2，3，4，5，6，7}，则这样

的椭圆个数 ．

19. 设P是抛物线𝑦2=4𝑥上的一个动点，若𝐵(3,2)，则𝑃𝐵+𝑃𝐹的最小值为________． 20. 若指数函数𝑦=𝑓(𝑥)的图像经过点(−2,4)则𝑓(−3)=________ 三、解答题（本大题共5小题，共25.0分）

21. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内

的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(分第一～五组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45])．

(1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；

(2)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率．

22. 如图，在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，平面ABC，𝑃𝐶=3，，𝐷,𝐸分别为线段𝐴𝐵,𝐵𝐶上

的点，且𝐶𝐷=𝐷𝐸=√2，𝐶𝐸=2𝐸𝐵=2．

(Ⅰ)证明：

平面PCD；

(Ⅱ)求二面角𝐴−𝑃𝐷−𝐶的平面角余弦值．

23. 已知函数𝑓(𝑥)=3 𝑥3−2𝑥2+3𝑥(𝑥∈𝑅)的图象为曲线C．

(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围;

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

1

𝑦√5𝐵(0,2)的一个顶点是，离心率， 24. 已知椭圆𝑥+=1(𝑎>𝑏>0)𝑒=𝑎2𝑏25

2

2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)已知直线l与椭圆交于M，N两点，且△𝐵𝑀𝑁的重心恰好是椭圆的右焦点F，求△𝐵𝑀𝑁的面积．

25. 设函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−𝑥2+𝑎𝑥，𝑎∈𝑅．

(1)当𝑎=1时，讨论𝑓(𝑥)的单调性； (2)已知𝑎≤1，证明𝑓(𝑥)≤0．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：

本题考查了命题与它的逆否命题的应用问题，是基础题．

根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若￢𝑞，则￢𝑝”，写出即可． 解：命题：“若𝑥2=1，则𝑥=1”的逆否命题为“若𝑥≠1，则𝑥2≠1”， 即“若𝑥≠1，则𝑥≠1且𝑥≠−1”． 故选C．

2.答案：B

解析：解：某单位350名职工，其中50岁以上有70人，40岁以下175人， 则40−50岁的职工有350−70−175=105人， 年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查， 则应从40−50岁的职工中抽取的人数为350×40=12人， 故选：B．

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．

本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．

105

3.答案：C

解析：解：椭圆∵𝑃是椭圆

𝑥216

𝑥216

+

𝑦210

=1中，𝑎=4，

+

𝑦210

=1上的点，𝐹1，𝐹2是椭圆的两个焦点，

∴由椭圆定义知|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎=8． 故选：C．

由椭圆定义知|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎．

本题考查椭圆的定义的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质．

4.答案：B

解析：解：抛物线的标准方程是𝑦2=−12𝑥，可知焦点坐标在x轴上，𝑃=6， 焦点坐标(−3,0)． 故选：B．

利用抛物线的标准方程求解即可．

本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．

5.答案：B

解析：

本题考查了线性回归方程及回归分析的初步应用，是基础题．

̂的值即可． 由表中数据计算𝑥、𝑦，求出回归方程，利用方程计算𝑥=6时，𝑦解：由表中数据，计算𝑥=5×(1+2+3+4+5)=3， 𝑦=5×(10+15+30+45+50)=30， 𝑦=11𝑥+̂𝑎，̂𝑎=30−11×3=−3， 回归方程为̂̂=11𝑥−3， ∴𝑦

̂=11×6−3=63， 𝑥=6，𝑦

据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为63万元． 故选B．

−

1

−

1

−

−

6.答案：B

解析：

本题考查的是二项式定理的应用，属于基础题．

在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．

𝑟𝑟

⋅(𝑥√𝑥)5−𝑟⋅(−1)𝑟⋅(𝑥)𝑟=(−1)𝑟⋅𝐶5⋅解：二项式 (𝑥√𝑥−𝑥)5 展开式的通项公式为 𝑇𝑟+1=𝐶5

1

1

𝑥

15−5𝑟

2

，

3=0，求得𝑟=3，可得展开式中的常数项为−𝐶5=−10 ，

令

15−5𝑟2

故选B．

7.答案：D

解析：

本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力． 把工作分成3组，然后安排工作方式即可．

2

解：4项工作分成3组，可得：𝐶4=6，

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：6×𝐴33=36种． 故选：D．

8.答案：D

解析：解： ∵𝑞：𝑥<1， ∴𝑞：𝑥<0或𝑥>1 而p：𝑥<1

根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则可知𝑝⇒𝑞为假命题且𝑞⇒𝑝为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件； 故选D

先化简条件q，然后根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则得到p与q的关系，最后依据判断充要条件的方法进行判定即可．

本题主要考查了充要条件，以及判定充要条件的方法和不等式的求解，属于基础题．

1

9.答案：B

解析：

𝑎=本题主要考查了椭圆的标准方程及椭圆的性质，掌握椭圆的性质是解题的关键.由题意求得𝑐=4，5，𝑏2=𝑎2−𝑐2=9，分类讨论即可求得椭圆的标准方程．

解：由题意可知：焦距为2𝑐=8，则𝑐=4，2𝑎=10，𝑎=5，𝑏2=𝑎2−𝑐2=9， ∴当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：

𝑥2

+

25

𝑦29

=1，

𝑦2

+25

𝑥29

=1，

故椭圆的标准方程为：故选B．

𝑥225

+

𝑦29

=1或

𝑦225

+

𝑥29

=1．

10.答案：C

解析：解：∵设𝐹1，𝐹2是离心率为5的双曲线∴𝑒=𝑎=√1+𝑎2=5， 解得𝑎2=1， ∴𝑐=5，

∴|𝐹1𝐹2|=2𝑐=10，

∵3|𝑃𝐹1|=4|𝑃𝐹2|，∴设|𝑃𝐹2|=𝑥，则|𝑃𝐹1|=3|𝑃𝐹2|=3𝑥， 由双曲线的性质知3𝑥−𝑥=2，解得𝑥=6． ∴|𝑃𝐹1|=8，|𝑃𝐹2|=6， ∴∠𝐹1𝑃𝐹2=90°，

∴△𝑃𝐹1𝐹2的面积=2×6×8=24． 故选：C．

|𝑃𝐹2|=6，先由双曲线的离心率求出a，与c，可得|𝐹1𝐹2|=10，再由3|𝑃𝐹1|=4|𝑃𝐹2|，求出|𝑃𝐹1|=8，由此能求出△𝑃𝐹1𝐹2的面积．

本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．

14

4

4

𝑐

24

𝑥2𝑎2

−

𝑦224

=1的两个焦点，

11.答案：A

解析：

本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决．

设圆柱的高为h，半径为r，则由圆柱的体积公式可得，𝜋𝑟2ℎ=27𝜋，即ℎ=𝑟2，要使用料最省即求全面积的最小值，而𝑆全面积=𝜋𝑟2+2𝜋𝑟ℎ=𝜋𝑟2+

27𝜋𝑟

27

+

27𝜋𝑟

，利用基本不等式可求用料最小时的r．

解：设圆柱的高为h，半径为r，则由圆柱的体积公式可得，𝜋𝑟2ℎ=27𝜋， ∴ℎ=𝑟2，

27

∴𝑆全面积=𝜋𝑟2+2𝜋𝑟ℎ=𝜋𝑟2+2𝜋𝑟⋅𝑟2=𝜋𝑟2+当且仅当𝜋𝑟2=

27𝜋𝑟

2754𝜋𝑟

=𝜋𝑟2+

27𝜋𝑟

+

27𝜋𝑟

≥3√𝜋𝑟2⋅

3

27𝜋𝑟

⋅

27𝜋𝑟

=27𝜋，

即𝑟=3时取等号，

当半径为3时，S最小即用料最省， 故选：A．

12.答案：C

解析：

本题主要考查了导数的运用，运用导数研究函数的单调性，导数中的不等式问题，考查了分析和转化能力，属于中档题．

先设𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−2𝑥−1，进而求出其导数𝑔′(𝑥)=𝑓′(𝑥)−2，然后根据∀𝑥∈𝑅，都有𝑓′(𝑥)>2，得到𝑔′(𝑥)=𝑓′(𝑥)−2>0在𝑥∈𝑅上恒成立，即函数𝑔(𝑥)为R上的增函数，再结合𝑓(−2)=0即可求出𝑓(𝑥)<2𝑥+1的解集． 解：∵𝑓(𝑥)的定义域为R，

设𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−2𝑥−1，则𝑔′(𝑥)=𝑓′(𝑥)−2，

又∵∀𝑥∈𝑅，都有𝑓′(𝑥)>2，得到𝑔′(𝑥)=𝑓′(𝑥)−2>0在𝑥∈𝑅上恒成立， ∴函数𝑔(𝑥)为R上的增函数， 又𝑓(−2)=0，

∴𝑔(−2)=𝑓(−2)−×(−2)−1=0，

21

1

1

1

1

1

11

1

1

∴当𝑥<−2时，𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−2𝑥−1<0，即𝑓(𝑥)<2𝑥+1， ∴𝑓(𝑥)<2𝑥+1的解集为(−∞,−2)． 故选C．

1

11

13.答案：A

解析：

此题考查了导数的运算与二次函数的图象与性质，涉及分类讨论思想，属中档题．

求得𝑓′(𝑥)，分析得到导函数图象可能与题中哪些图象相同，根据图象的某个特征分别求出a的值，

并检验是否符合图象的其它特征，确定a的值，得出𝑓(𝑥)解析式，即可求出𝑓(−1)的值． 解析：

解：由𝑓(𝑥)=3𝑥3+𝑎𝑥2+(𝑎2−1)𝑥+1，得到𝑓′(𝑥)=𝑥2+2𝑎𝑥+𝑎2−1， 𝑦=𝑓′(𝑥)的图象是开口向上的抛物线，其图象只可能是①或③． 若𝑦=𝑓′(𝑥)的图象为①，即对称轴为y轴，∴−𝑎=0，即：𝑎=0， 此时𝑓′(𝑥)=𝑥2−1，图象与①相符，符合题意． 此时𝑓(𝑥)=3𝑥3−𝑥+1， ∴𝑓(−1)=−3+1+1=3；

若𝑦=𝑓′(𝑥)的图象为③，则𝑓′(0)=0， ∴𝑎2−1=0，即𝑎=1或−1，

当𝑎=1时，𝑓′(𝑥)=𝑥2+2𝑥，其图象的对称轴为𝑥=−1，与图象③不符； 当𝑎=−1时，𝑓′(𝑥)=𝑥2−2𝑥，其图象的对称轴为𝑥=1，与图象③相符合． 故𝑎=−1，于是𝑓(𝑥)=3𝑥3−𝑥2+1 ∴𝑓(−1)=−3−1+1=−3． 综上，𝑓(−1)=3或−3， 故选：A．

5

1

1

11

1

5

11

14.答案：A

解析：

本题主要考查几何概型的概率的计算，根据根与系数之间的关系求出a的取值范围是解决本题的关键．

解：若方程𝑥2−2𝑎𝑥+4𝑎−3=0有两个正根， 𝛥=4𝑎2−4(4𝑎−3)≥0

, 则满足{4𝑎−3>0

2𝑎>0

𝑎≥3或𝑎≤1

33<𝑎≤1或𝑎≥3， 即{，得𝑎>4

𝑎>0

∵−1≤𝑎≤5

4

则对应的概率𝑃=故选A．

1−

345−(−1

+)5−35−(−1)=

124

13

+=． 3

8

15.答案：B

解析：

本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查函数的最值的求法及排除法的应用，属于中档题．

分析四个选项，可发现C，D选项中a可以取−3，故代入𝑎=−3，可排除选项；再注意A、B选项，故将𝑎=12代入验证即可；从而得到答案． 解：当𝑎=−3时，𝑓(𝑥)=−3𝑥3+6𝑥，𝑥∈[−1,1]， 𝑓′(𝑥)=−9𝑥2+6=0， 得𝑥=±√，

36当𝑓′(𝑥)>0时，𝑥∈(−√,√)，

33故𝑓(𝑥)在(−√,√)上单调递增；

3

36666当𝑓′(𝑥)<0时，𝑥∈[−1,−√)∪(√,1]，

33故𝑓(𝑥)在[−1,−√)和(√,1]上单调递减；

33即𝑓(𝑥)极大值为：𝑓(√)=

3故排除C，D．

当𝑎=12时，𝑓(𝑥)=12𝑥3−9𝑥，𝑥∈[−1,1]， 𝑓′(𝑥)=36𝑥2−9=0，可得𝑥=±2， 当𝑓′(𝑥)>0时，𝑥∈[−1,−2)∪(2,1] 故𝑓(𝑥)在[−1,−2)，(2,1]上单调递增； 当𝑓′(𝑥)<0时，𝑥∈(−2,2)， 故𝑓(𝑥)在(−2,2)上单调递减；

11

11

1

1

1

11

√63

6666>3，𝑎=−3，不满足条件，

当𝑥=−2时，极大值为：−当𝑥=1时，𝑓(1)=3，

1128

+2=3，

9

即𝑓(𝑥)最大值为3满足题意，排除A． 故选：B．

16.答案：3+4𝑖

解析：

该题考查复数的代数表示及其几何意义，属基础题．

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为3−4𝑖，可得𝐵(3,−4)，再求出关于原点的对称点为𝐴(−3,4)，点A关于虚根据向量𝑂𝐵

轴的对称点为𝐶(3,4)，则可求出向量⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶． 解：因为点B的坐标为(3,−4)， 所以点A的坐标为(−3,4)， 所以点C的坐标为(3,4)， 所以向量 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶对应的复数为3+4𝑖．

17.答案：±4；6

解析：

本题考查空间向量的模及平行的条件，属于基础题．

2𝑦2

⃗ |=6，则√22+42+𝑥2=6，由此能求出x；由已知结合𝑎由已知结合|𝑎⃗ //⃗ 𝑏，得2=4=𝑥，由此能

求出𝑥+𝑦．

⃗ =(2,4，𝑥)，⃗ 解：∵向量𝑎𝑏=(2,y，2)， ∵|𝑎⃗ |=6，故√22+42+𝑥2=6， 解得𝑥=±4； ⃗ ，∴==， ∵𝑎⃗ //𝑏24𝑥解得𝑦=4，𝑥=2， ∴𝑥+𝑦=6． 故答案为：±4，6．

2

𝑦

2

18.答案：20

解析：

本题主要考查了椭圆的标准方程，排列组合知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力． 解：要使椭圆的焦点在y轴上，需𝑛>𝑚， 故𝑛=2时，m可取1个数， 𝑛=3时，m可取2个数， 𝑛=4时，m可取3个数， 𝑛=5时，m可取4个数， 𝑛=6时，m可取5个数， 𝑛=7时，m可取5个数，

故椭圆的个数1+2+3+4+5+5=20 故答案为20．

19.答案：4

解析：

本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点𝑃1，当𝑃1，B，Q三点共线时，距离之和最小，故可解得答案． 解：如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点𝑃1，

则|𝑃1𝑄|=|𝑃1𝐹|．

则有|𝑃𝐵|+|𝑃𝐹|≥|𝑃1𝐵|+|𝑃1𝑄|=|𝐵𝑄|=4， 即|𝑃𝐵|+|𝑃𝐹|的最小值为4． 故答案为4

20.答案：8

解析：

本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题. 设函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥(𝑎=0且𝑎≠1)，把点(−2,4)代入，求得a的值，可得函数的解析式，代值计算即可．

解：设函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥(𝑎=0且𝑎≠1)， ∵函数的图象经过点(−2,4)， ∴4=𝑎−2，解得𝑎=2，

1𝑥

1

∴𝑓(𝑥)=(2)， ∴𝑓(−3)=(2)故答案为8．

1−3

=8．

21.答案：解：(1)由题意可知，年龄在[40,45]内的频率为𝑃=0.02×5=0.1，

∴年龄在[40,45]内的市民人数为200×0.1=20；

(2)易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3:2， ∴用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， ∴应从第3，4组中分别抽取3人，2人，

记第3组的3名分别为𝐴1，𝐴2，𝐴3，第4组的2名分别为𝐵1，𝐵2， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为：

(𝐴1,𝐴2)，(𝐴1,𝐴3)，(𝐴1,𝐵1)，(𝐴1,𝐵2)，(𝐴2,𝐴3)，(𝐴2,𝐵1)，(𝐴2,𝐵2)，(𝐴3,𝐵1)，(𝐴3,𝐵2)，(𝐵1,𝐵2)，共有10种，

其中第4组的2名𝐵1，𝐵2至少有一名被选中的有：

(𝐴1,𝐵1)，(𝐴1,𝐵2)，(𝐴2,𝐵1)，(𝐴2,𝐵2)，(𝐴3,𝐵1)，(𝐴3,𝐵2)，(𝐵1,𝐵2)，共有7种， 至少有一人的年龄在[35,40)内的概率为10．

7

解析：本题考查古典概率模型与频率分布直方图，两者的综合题是此类题考查的重要形式． (1)求出选取的市民年龄在[40,45)内的频率，即可求出人数；

(2)利用分层抽样的方法从第3组选3，记为𝐴1，𝐴2，𝐴3，从第4组选2人，记为𝐵1，𝐵2；再利用古典概型的概率计算公式即可得出．

22.答案：(1)证明：∵𝑃𝐶⊥平面ABC，𝐷𝐸⊂平面ABC，

∴𝑃𝐶⊥𝐷𝐸，

∵𝐶𝐸=2，𝐶𝐷=𝐷𝐸=√2，𝐶𝐸2=𝐶𝐷2+𝐷𝐸2 ∴△𝐶𝐷𝐸为等腰直角三角形，∴𝐶𝐷⊥𝐷𝐸，

∵𝑃𝐶∩𝐶𝐷=𝐶，𝑃𝐶⊂平面PCD，𝐶𝐷⊂平面PCD， ∴𝐷𝐸⊥平面PCD；

(2)解：由(1)知△𝐶𝐷𝐸为等腰直角三角形，∠𝐷𝐶𝐸=4， 过点D作DF垂直CE于F，易知𝐷𝐹=𝐹𝐶=𝐹𝐸=1，

𝜋

又由已知𝐸𝐵=1，故FB=2， 由∠𝐴𝐶𝐵=2得𝐷𝐹//𝐴𝐶，𝐴𝐶=𝐵𝐶=3， 故𝐴𝐶=2𝐷𝐹=2，

⃗⃗⃗⃗ ，⃗⃗⃗⃗⃗ ，⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 以C为原点，分别以⃗𝐶𝐴𝐶𝐵𝐶𝑃则𝐶(0,0，0)，𝑃(0,0，3)，𝐴(2,0，0)，𝐸(0,2，0)，𝐷(1,1，0)， ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， ∴⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝐷=(1,−1,0)，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝑃=(−1,−1,3)，𝐷𝐴2𝑛⃗⃗⃗ 设平面PAD的法向量⃗1=(𝑥,𝑦,𝑧)， ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑛1·𝐷𝑃=−𝑥−𝑦+3𝑧=0

, 由{1

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛⃗⃗⃗⃗ ·𝐷𝐴=𝑥−𝑦=012𝑛⃗⃗⃗ 故可取⃗1=(2,1，1)，

⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 𝑛⃗⃗⃗ 由(1)知𝐷𝐸⊥平面PCD，故平面PCD的法向量⃗2可取𝐸𝐷易知二面角𝐴−𝑃𝐷−𝐶的平面角为锐角，

12

∴两法向量夹角的余弦值cos<⃗𝑛⃗⃗⃗ 𝑛⃗⃗⃗ =1，⃗2>=|𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ |

1

2

𝜋𝐷𝐹𝐹𝐵2

33

3

|⃗𝑛⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ |

√3， 6

∴二面角𝐴−𝑃𝐷−𝐶的平面角的余弦值为√．

6

3

解析：本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属中档题．

(1)由已知条件易得𝑃𝐶⊥𝐷𝐸，𝐶𝐷⊥𝐷𝐸，由线面垂直的判定定理可得；

⃗⃗⃗⃗ ，⃗⃗⃗⃗⃗ ，⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，易得⃗⃗⃗⃗⃗ (2)以C为原点，分别以⃗𝐶𝐴𝐶𝐵𝐶𝑃𝐸𝐷，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝑃，⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐴的坐标，

可求平面PAD的法向量⃗𝑛⃗⃗⃗ 𝑛⃗⃗⃗ 𝐸𝐷，由向量的夹角公式可得． 1，平面PCD的法向量⃗2可取⃗⃗⃗⃗⃗

23.答案：解：(1)函数𝑓(𝑥)=13𝑥3−2𝑥2+3𝑥的导数为𝑓′(𝑥)=𝑥2−4𝑥+3=(𝑥−2)2−1≥−1，

即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[−1,+∞)； (2)设其中一条切线的斜率为k，另一条为−𝑘， 𝑘≥−1

由(1)可知，{−1≥−1，

𝑘

1

解得−1≤𝑘<0或𝑘≥1，

由−1≤𝑥2−4𝑥+3<0或𝑥2−4𝑥+3≥1， 即有1<𝑥<3或𝑥≥2+√2或𝑥≤2−√2， 得：𝑥∈(−∞,2−√2]∪(1，3)∪[2+√2,+∞)．

解析：本题考查切点处的导数值为曲线切线斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为−1，以及化简整理的运算能力，属于中档题．

(1)据切点处的导数值为曲线切线斜率，由二次函数的秋雨求法，求导函数的范围也就是切线斜率范围；

(2)互相垂直的切线斜率互为负倒数，由(1)求斜率范围，据切点处的导数值为曲线切线斜率，解不等式，求切点横坐标范围．

𝑏=2

24.答案：解：(Ⅰ)由题意可得{𝑎=

∴椭圆的标准方程

𝑥25

𝑐

𝑎2=𝑏2+𝑐2

√55

，解得𝑎=√5，𝑏=2，𝑐=1，

+

𝑦24

=1．

(Ⅱ)椭圆右焦点F的坐标为(1,0)， 设线段MN的中点为𝑄(𝑥0,𝑦0)，

由三角形重心的性质知⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐹=2⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑄，又𝐵(0,2)， ∴(1,−2)=2(𝑥0−1,𝑦0)， 故得𝑥0=2，𝑦0=−1， 求得Q的坐标为(2,−1)；

设𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)，则𝑥1+𝑥2=3，𝑦1+𝑦2=−2， ∵

2𝑥1

3

3

5

22

+4𝑦1=1，52+4𝑦2=1

1

1

1

𝑥2

1

以上两式相减得5(𝑥1+𝑥2)(𝑥1−𝑥2)+4(𝑦1+𝑦2)(𝑦1−𝑦2)=0， ∴5(𝑥1−𝑥2)−2(𝑦1−𝑦2)=0， ∴𝑘𝑀𝑁=𝑥1−𝑥2=5，

1

2

31

𝑦−𝑦6

∴直线MN的方程为𝑦+1=5(𝑥−2)，即6𝑥−5𝑦−14=0． 6𝑥−5𝑦−14=0由{𝑥2𝑦2，消y可得7𝑥2−21𝑥+12=0，

+=1

5

4

63

∴𝑥1𝑥2=

127

，

36

487

∴|𝑀𝑁|=√1+25⋅√32−=√35，

√72+21212

183

点B到直线MN的距离𝑑=

12

|−5×2−14|=724√10，

247√10∴△𝐵𝑀𝑁的面积𝑆=|𝑀𝑁|⋅𝑑=×√

18335

×=

6√2562． 245

𝑏=2

解析：(Ⅰ)由题意可得{𝑎=

𝑐

√55

，解得𝑎=√5，𝑏=2，𝑐=1，

𝑎2=𝑏2+𝑐2

(Ⅱ)设线段MN的中点为𝑄(𝑥0,𝑦0)，结合(1)中结论，及△𝐵𝑀𝑁的重心恰好为椭圆的右焦点F，由重心坐标公式，可得Q点坐标，由中点公式及M，N也在椭圆上，求出MN的斜率，可得直线l方程，再求出弦长MN，根据点到直线的距离公式，和三角形的面积公式即可求出．

本题考查的知识点是直线的一般方程，直线与圆锥曲线，熟练掌握椭圆的简单性质是重心坐标，中点公式等基本公式，弦长公式，三角形的面积公式，属于中档题．

25.答案：解：(1)𝑓(𝑥)的定义域为(0,+∞)．

当𝑎=1时，𝑓′(𝑥)=𝑥−2𝑥+1=

1

(1−𝑥)(2𝑥+1)

𝑥

(𝑥>0)．

由𝑓′(𝑥)>0，得0<𝑥<1；𝑓′(𝑥)<0得𝑥>1， ∴函数𝑓(𝑥)在(1,+∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增； (2)𝑓′(𝑥)=𝑥−2𝑥+𝑎=−

1

2𝑥2−𝑎𝑥−1

𝑥

(𝑥>0)．

2+8∵△=𝑎2+8>0(𝑥>0)，2𝑥2−𝑎𝑥−1=0的根为𝑥=𝑎±√𝑎4

．

∴当0<𝑥<𝑎+√𝑎4∴𝑓(𝑥)在(0,𝑎+√𝑎4

2+8时，𝑓′(𝑥)>0；当𝑥>𝑎+√𝑎4

2+82+8时，𝑓′(𝑥)<0，；．

2+8𝑎+√𝑎)上单调递增，在(

4

,+∞)上单调递减．

∴𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥

=ln

𝑎+√𝑎2+84

𝑎+√𝑎2+8𝑎+√𝑎2+8𝑎+√𝑎2+8√𝑎2+8−3𝑎=𝑓()=ln−()

4444

16

−

(𝑎+√𝑎2+8)(√𝑎2+8−3𝑎)，

∵𝑎≤1，∴0<𝑎+√𝑎4

2+8≤1；√𝑎2+8≥3𝑎

(𝑎+√𝑎2+8)(√𝑎2+8−3𝑎)16

∴𝑓(𝑥)𝑚𝑎𝑥=ln∴𝑓(𝑥)≤0．

𝑎+√𝑎2+84

−≤0．

解析：(1)先由𝑎=1，求出函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−𝑥2+𝑎𝑥的导函数，通过解导函数对应的不等式，即可得出结果；

(2)先对函数求导，用导数的方法判断出函数的单调性，求出最大值，即可得出结论成立． 本题考查了导数的应用，通常需要先对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属中档题．