简析如何掌握极限的ε语言定义
极限的ε语言定义是非常精准但又极其抽象的定义， 本文从解不等式的角度出发，讨论了如何理解并掌握这种定义，为数学专业的初学者提供了一种思考的新角度，有助于学习者能巧妙而快速地应用ε语言定义求极限。
标签：极限；ε-δ定义；不等式
极限理论是微积分的理论基础，而极限的ε语言定义是从量化的角度给出了用数学解析式计算数列an（函数f（x））与某个常数A的依赖于自变量n（x）的距离的一种定义形式。极限的ε语言定义中核心的是两个不等式及其之间的逻辑关系。就不等式本身而言，其求解就是数学中比较难的一个环节，在极限的ε语言定义中涉及两个不等式，而计算的核心是由一个不等式出发求证另一个不等式的存在性，由于极限的语言定义的极度抽象，使得初学者对它的学习感到很难掌握。本文从不等式出发，解析两个不等式之间的这种逻辑结构，给出它们之间更为清晰的关系以便初学者能快速地应用极限的ε语言定题。
一、数列极限的ε-N定义
定义1 设{an}为数列，a为已知的常数，若对任意的ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时有
|an-a|N和|an-a|0，
希望不等式|an-a|N时，在|an-a|中，将其中的n用不等式n>N右侧的N替换，就会推出不等式|an-a|N；
（2）若能找到，如何找？
对这两个问题的回答是理解和掌握数列极限的ε-N定义的关键。事实上，一般情况下，这两个问题是在同一过程中解答的，为了找到使不等式|an-a|N，有两方面要去思考。
一方面，虽然n>N是使|an-a|N作为|an-a|N，同时也即是问题所要的充分条件。保证等价推导是很容易做到的， 所以，在解题时，思考的方向往往是从|an-a|N。这是学习数列极限的ε-N定义首先要弄清的地方。
另一方面，为了能从不等式|an-a|N，需要搭建合理而巧妙的桥梁。其中一个是将|an-a|先做适当的变形。为了保证|an-a|N的逻辑关系不变，对|an-a|只能做恒等或放大变形。变形的目标是去掉绝对值并得到关于n的一个真分式，其分子为常数。此时，再令此真分式小于ε，推出n>N。同时，可以清晰地看到，N是关于ε的函数，这里要指出的是，将|an-a|恒等或放大变形为n的一个真分式，并不是很容易做到。
例1 证明lim—=0，这里α为正数。
思考过程：由于|—-0|=—，而—已经满足了无绝对值又是真分式的情形，所以可直接令——。其中—正是要求n的取值的下界N。事实上，N可以取大些也不影响整个推证的过程。比如，取N=[—]+1。在书写时，为了符合定义的逻辑顺序，证为如下：
证： 由于|—-0|=—，故对任给的ε>0，只要取N=[—]+1，则当时n>N，便有—0，为使|—-0|=—=—·—……—·—≤—N时，便有|—-0|
0，总存在正数M，使得当|x|>M时
有：
|f（x）-A|0，总存在正数δ（M和|f（x）-A|
M相当于数列极限中的不等式n>N，即，需要对|f（x）-A|做恒等或放大变形至去掉绝对值并得到关于|x|的一个真分式，其分子为常数。此时，再令此真分式小于ε，推出|x|>M。
（2）在定义2中涉及的两个不等式是：0N。即，需要对|f（x）-A|
做恒等或放大变形至去掉绝对值并得到关于|x-x0|的多项式（最好次数比较低，比如一次或二次）。 此时，再令此多项式小于ε，推出|x-x0|1，
对任给的ε—，有|x|>√1+—，取M=√1+—，
则当|x|>M时就有：|f（x）-1|=
|—-1|0，为使|f（x）-2|=（x2-6x+10）-2=|x-2|
|x-4|<3|x-2|<ε，推出|x-2|<—，取δ=min{1，—}，则当0<|x-2|<δ时，就有|（x2-6x+10）-2|<ε，所以，lim（x2-6x+10）=2。
总之，从不等式的角度出发讨论极限的定义，从知识的衔接上看，使得新知识建立在学生原有的解不等式知识的基础之上，抽象的理论也有了可操作性的计算步骤，便于初学者掌握。
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2007：29—30.
[2]张文红.极限定义的教学[J].中国科技纵横，2010（04）：134.
[3]华 倩.探究极限概念教学的要点[J].科技资讯，2010（36）：134—136.
[4]许雁琴，秦体恒，等.关于数列极限ε-N定义的教学方法研究[J].河南机电高等专科学校学报，2006（05）：108—110.
