贯通百科理解数学

贯通百科理解数学

作者：所之

来源：《新高考·高一数学》2012年第03期

常有同学抱怨：我的很多功课学得不错，但数学总是让我头疼.其实，各学科之间的壁垒，本是人为设置.无论知识的产生、原理的理解，还是方法的运用等，数学与天文、物理、化学，乃至语文、历史、哲学、音乐、美术等，都有许多相通之处.他山之石，可以攻玉.我们不妨放眼百科，放飞心灵，广泛借鉴从其他学科中学来的知识、原理和思维，帮助我们从多种角度理解数学、高效复习，达到融会贯通、化难为易的效果. 源头相通

数学源于生活实践，百科的需要是数学发展的强大动力.用数学定量方法并结合实验研究科学，始于意大利科学家伽利略.一个经典的例子是，伽利略发现物体做自由落体运动时，在相等的时间间隔里，落下的距离均匀增长，成等差数列.在伽利略看来，大自然这本书是用符号、图形等数学语言写成的.自然的万千变化，遵循一定的规律、秩序，这些规律和秩序可以用数学语言来描述.

天体的运行也不例外.17世纪，牛顿创立的万有引力理论表明，不论是地球上万物，还是遥远的天体，都服从万有引力定律：F=Gm1m2r2.1个世纪以后，德国人提丢斯发 现，太阳系中的行星水星、金星、地球、火星、木星到太阳的距离依次为0.4， 0.7， 1， 1.6， 5.2（天文单位），可以改写为0.4， 0.4＋0.3， 0.4＋0.6， 0.4＋1.2， 0.4＋4.8.遗憾的是， 0.3， 0.6， 1.2， 4.8类似等比数列，但不是等比数列.提丢斯坚信，天体的运行绝非杂乱无序.如果把水星、金星、地球、火星、木星分别记为第1颗、 第2颗、第3颗、第4颗、第6颗，他推测应存在第5颗行星，它与第1颗行星的距离之差为2.4天文单位，使0.3， 0.6， 1.2， 2.4， 4.8组成和谐有序的等比数列，写成公式，即第n颗行星到太阳的距离是d=0.4+0.3×2-2n (n=2， 3， 4， … )天文单位.由此推算，第5颗行星到太阳的距离是d=0.4+0.3×2-25=2.8.这一发现公布于众后，人们最终在预想的位置找到一颗小行星，即“谷神星”.

理科如此，文科如语文、哲学等，同样有规律可循.如古典诗词的对仗、平仄都极有讲究，遵从严格的格律；哲学中的理性主义，更是认为世界是有规律的，可认识的，而欧几里得编撰《几何原本》，也从亚里士多德的逻辑学得到启发；音乐的创作，灵感固然重要，但还需通晓音律.古希腊毕达哥拉斯学派，正是从音乐和谐与琴弦长度的关系，悟出“万物皆数”的思想. 由此可见，无论是自然，还是社会，“不以规矩，不成方圆”.康德曾经说：“有两种东西，我对它们的思考越是深沉和持久，它们在我心灵中唤起的惊奇和敬畏就会日新月异，不断增长，这就是我头上的星空和心中的道德定律.”

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在数学解题中，我们常从混沌中寻求秩序、探索规律.例如，等比数列求和公式的推导，教材上采用的是“错位相减”的方法，以求等比数列1， q, q2, q3, …的前n项和Sn为例:

但以上“错位相减法”如何想到？

其实，我们也可以从简单情形做起，从中探寻规律: 由⑤⑥可以猜想一般的规律，即求和公式④.

还应证明④的正确性，这就是轻车熟路了.只需证③成立，展开后易得证，也可由此理解“错位相减法”的思路从何而来. 原理相通

数学问题千变万化，但依据的则是不变的基本原理.数学基本原理为数不多，但意味深刻，需要深长思之.如将数学与百科贯通，则可相辅相成，更好地理解数学的基本原理，因为百科如大树，虽枝叶分岔，但主干、根本处血脉相连.今以数学中的分解与合成为例，与同学们一起体悟各科基本原理的共通交汇.

向量的合成与分解，其实是一种合与分.平面向量的分解，是将任意向量归结到两个基本、的分量处理（向量基本定理）；反之，我们可以按照平行四边形法则或三角形法则，进行向量的合成.

其实，万事万物，分分合合，已经是常识，也是至理.《三国演义》在开篇词之后，第一句则为“话说天下大势，分久必合，合久必分”；全球各地公司的重组兼并，也屡见报端.倘若我们把数学与百科相沟通，就很容易理解向量基本定理和向量的合成方法.比如力学中，力的合成与分解满足平行四边形法则或三角形法则，这一方法可以帮助你理解向量的类似法则. “裂项相消”是数列求和的一种方法，例如

此法似乎神奇巧妙，难以想到.如果联想到化学里的酸碱中和反应原理，就不难理解了.以盐酸与氢氧化钠溶液发生的中和反应为例，在溶液里，HCl与NaOH分解为离子：H 这里的分与合，与上述裂项相消何其相似！

分，将复杂的事物分解为基本的部分；合，则反之.因此，处理问题可以如庖丁解牛，在基本的骨骼框架中游刃有余.

复杂的物质，从天体到遗传物质，均可由100余种元素构成；中国的人工合成胰岛素，人工培育杂交水稻，世界闻名.

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数学上，也不断上演着分解合并的剧目.分解因式、合并同类项，最常见不过了；图形的分割拼合，也屡见不鲜；解决复杂的问题，化整为零、化繁为简，往往是有效的策略. 大名鼎鼎的勾股定理，向量方法的证明，可以视为一种分解：c=c1e1+c2e 2. 将复杂事物归结为少数基本部分的思想，在数学中处处可见.例如，任意十进制数都由不同数位上的10个数字0， 1， 2， …, 9组成；等差数列、等比数列问题的解决，基本量法是一种基本的通法；复杂的函数，常可分解成基本初等函数，即指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数的组合. 思维相通

数学的严谨推理，给人以冰冷和枯燥的印象.其实，在数学中你也可体味到诗人的想象、画家的意境、作家的深情，欣赏到艺术的美：简洁、和谐与优雅.著名数学家H.外尔曾经说过：“数学不是外行们所见的那样严厉与刻板；然而，我们在它处于约束与自由的交汇点中找到自己，这正是人的本性.”

“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”哲学家庄子用形象的语言，生动地刻画了无限趋向于0的过程，这一过程还可从以下诗句中细细品味：“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流.” 例如，设数列{an}的通项an=10n－72n,试求{an}的最大项.

经过试验，发现a1a3>a4>a5>…我们猜想，{an}的最大项就是第2项a2，

可以证明不等式：an>an+1 (n>1, ∈N)n，即，从第2项开始，数列{an}单调递减，从而猜想成立.但是，证明不等于理解.我们看看数列{an}的通项an如何构成.其分子是关于n的一次函数，分子随n呈“直线增长”；而分母则是关于n的指数函数，且分母2>1,故分母随着n呈指数增长，这是一种滚雪球式的增长！因此可以理解，从第2项开始，各项就呈迅速下降趋势.

许多抽象的数学概念和公式，一旦赋予形象的解释，则显得直观易懂.比如等差数列的求和，可以想象成求梯形圆木堆垛中圆木的总数，这就可以与求梯形的面积类比，将其补充为平行四边形堆垛（尽管现实中不存在这样的堆垛），而平行四边形是中心对称图形，匀称优美，各行圆木数目相等，便于我们计数.

数学的抽象和严谨，让不少人觉得数学乃是无情物.其实，无情未必真数学. 我们来欣赏大罕的一首数学诗《我的向量》： 给你一个方向，

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你就成为我的向量. 给你一个坐标系， 你就在我心空飞翔. 给你一个基底， 带着我，征途启航. 繁复的几何关系， 变成纯代数的情殇. 优美的动态结构， 没有人情冷暖世态炎凉. 不管起点在哪里， 你始终在水一方， 哪怕山高路远， 哪怕风雨苍茫. 啊，我的向量， 你是一股力量， 溶进了我的身体， 在我的血管里， 静静地流淌！

诗歌与数学的交融之美，给人以无尽的回味.

综上，数学与百科在人类文化中一脉相承，相得益彰.如果我们在复习各门课程时，能经常体悟这一点，相信对理解数学颇有裨益.