所以函数y＝的定义域为，其值域为[0，＋∞)．
(1)求与正切函数有关的函数定义域要列出使各部分都有意义的不等式(组)，然后求出x的范围.
(2)求值域要用换元的思想，把tanx看作可取任意实数的自变量.
[变式训练1] (1)求函数y＝＋lg(1－tanx)的定义域．
(2)求函数y＝sinx＋tanx，x∈的值域．
解：(1)由题意得即－1≤tanx<1.
∵在内，满足上述不等式的x的取值范围是.又y＝tanx的周期为π，∴所求x的取值范围是，k∈Z，即为此函数的定义域．
(2)y1＝sinx，y2＝tanx均满足在区间上单调递增，∴函数y＝sinx＋tanx也满足在区间上单调递增，
∴此函数在上的值域为.
类型二 正切函数的周期性
[例2] 求函数y＝tan与函数f(x)＝tanx＋|tanx|的最小正周期．
[解] 函数y＝tan的最小正周期为T＝；
f(x)＝tanx＋|tanx|＝ k∈Z，
作出f(x)＝tanx＋|tanx|的简图，如图所示，易得函数f(x)＝tanx＋|tanx|的最小正周期
T＝π.
一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋B(A≠0，ω>0)的最小正周期为T＝，常常使用此公式来求周期，也可以借助函数图象求周期.
[变式训练2] 若函数y＝tan(a≠0)的最小正周期为，则a＝±.
解析：T＝＝，所以a＝±.
类型三 正切函数的单调性及应用
[例3] (1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan与tan的大小．
[解] (1)由kπ－(2)由于tan＝tan＝tan＝－tan，tan＝－tan＝－tan，又0<<<，而y＝tanx在上单调递增，
所以tan－tan，即tan>tan.
(1)求函数y＝Atan(ωx＋φ)的单调性时可将ωx＋φ看成一个整体，利用y＝tanx的单调性求解，但需注意A、ω的正负性对函数单调性的影响.
(2)比较正切值的大小时可利用诱导公式将角转化到区间内，再利用正切函数的单调性比较.
[变式训练3] (1)函数y＝3tan的单调递减区间是，k∈Z.
(2)比较大小：tan>tan. 解析：(1)y＝3tan＝－3tan，
由kπ－<－得4kπ－所以y＝3tan的单调递减区间为，k∈Z.
(2)∵tan＝－tan＝tan，
tan＝－tan＝tan，
又0<<<，y＝tanx在内单调递增，
∴tantan.类型四 正切函数图象与性质的综合应用
[例4] 设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
[解] (1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝，即＝.
因为ω>0，所以ω＝2.从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝.故f(x)＝tan.
(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，
得－＋kπ<2x即－＋所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．(3)由(1)，知f(x)＝tan.
由－1≤tan≤，
得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z.
即－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为
{x|－＋≤x≤＋，k∈Z}．
(1)正切函数y＝tanx与x轴相邻交点间的距离为一个周期；(2)y＝tanx的对称中心为，不但包含y＝tanx的零点，而且包括直线x＝＋kπ(k∈Z)与x轴的交点.
[变式训练4] 已知函数y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心为点，若－<θ<，求θ的值．
解：因为函数y＝tanx图象的对称中心为点，其中k∈Z，所以2x＋θ＝，令x＝，得θ＝－，k∈Z.又－<θ<，当k＝1时，θ＝－，当k＝2时，θ＝.所以θ＝－或.
1．若tanx≥0，则( D )
A．2kπ－B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)C．2kπ－D．kπ≤x2．函数y＝2tan的一个对称中心是( C )A. B.
C.
D.
解析：由3x－＝，得x＝＋
令k＝－2得x＝－.故选C.
3．函数y＝是( A )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．非奇非偶函数
4．使函数y＝2tanx与y＝cosx同时为单调增的区间是(k∈Z)和(k∈Z)．
解析：由y＝2tanx与y＝cosx的图象知，同时为单调增的区间为(k∈Z)和(k∈Z)．
5．求函数y＝tan(π－x)，x∈的值域．
解：y＝tan(π－x)＝－tanx，在上为减函数，所以值域为(－，1)．
——本课须掌握的两大问题
1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质
(1)正切函数y＝tanx的定义域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}，值域是R.
(2)正切函数y＝tanx的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期为T＝.
(3)正切函数在(k∈Z)上单调递增，不能写成闭区间．正切函数无单调递减区间．
