2022年考研数学一真题解析

一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．（1）已知f(x)满足lim

x1

f(x)

1，则（lnx

x1

）（A）f(1)0.（C）f(1)1.【答案】（B）.【解析】（B）limf(x)0.（D）limf(x)1.x1f(x)

limf(x)limlnx0x1x1

lnx，（B）正确，但f(x)连续性未知，故f(1)未知，其他三项均错.yx（2）已知zxyf()，且f(u)可导，x

zz

yy2(lnylnx)，则（xy）1

,f(1)0.21

（B）f(1)0,f(1).21

（C）f(1),f(1)1.2（D）f(1)0,f(1)1.（A）f(1)【答案】（B）.zzy

yxyfxyfxyx【解析】x

yyy

yxfxxyf2xxy1

xx

yy1yyy

2xyfy2lnflnf(u)ulnu,

x2xx2xx1

f(1)0,f(1)lnu

212

u1

1

2，选（B）.（3）设有数列xn，其中xn满足

n

ππ

󰀭xn󰀭，则（）22（A）若limcos(sinxn)存在，则limxn存在.n

（B）若limsin(cosxn)存在，则limxn存在.n

n（C）若limcos(sinxn)存在，则limsinxn存在，但limxn不一定存在.nnn1（D）若limsin(cosxn)存在，则limcosxn存在，但limxn不一定存在.nnn【答案】（D）.π

，则（A）、（B）、（C）均错，且（D）的“limxn不一定存在”是正确的；n2ππ

（D）的“limcosxn存在”的原因：当󰀭xn󰀭时，0󰀭cosxn󰀭1，而sinx在[0,1]上单调，故n22【解析】取xn(1)

n

limcosxn存在.n1ln(1x)1x2xdx，I2（4）已知I1dx，I3dx，则（）02(1cosx)01cosx01sinx1（A）I1I2I3.（B）I2I1I3.（C）I1I3I2.（D）I3I2I1.【答案】（A）.11x1xf(x)f(x)ln(1x)

21x2(1x)，2【解析】令，当0x1时，f(x)0，所以f(x)xln(1x)xln(1x)

II2；[0,1]f(x)f(0)00x12在上单调递减，当时，所以，2(1cosx)1cosx，1ln(1x)xxx2x

󰀭󰀭

1cosx1cosx111sinx1sinxII3，选（A）.22又0󰀭x󰀭1时，，故2（5）下列4个条件中，3阶矩阵A可以相似对角化的一个充分但不必要条件为(（A）A有3个不相等的特征值.（B）A有3个线性无关的特征向量.（C）A有3个两两线性无关的特征向量.（D）A的属于不同特征值的特征向量相互正交.【答案】（A）.【解析】)选项（A）：A有3个互不相同特征值,则A可对角化,但是A可相似对角化,A的特征值可能有重根，正确;选项（B）：A有3个线性无关的特征向量是A可对角化的充要条件;选项（C）：3个特征向量两两线性无关,不能保证整体线性无关,故不能推出A可对角化;选项（D）：实对称矩阵不同特征值的特征向量正交,可对角化的矩阵不一定是实对称矩阵.2(6)设A,B均为n阶矩阵，若方程组Ax0与Bx0同解，则(（A）方程组

)AO

y0只有零解.EB

A

y0只有零解.AB

A

y0同解.A

E

（B）方程组

O

（C）方程组

ABB

y0与

OBO

AB

（D）方程组

O

【答案】(C).【解析】BBAAy0与y0同解.AOB

由A,B为n阶实矩阵,Ax0与Bx=0同解,则r(A)r(B)r

A

,即A,B行向量组等价.B

ABAOB由行,

OBOBO

则

ABO

行,AOA

ABAOB

y0y0与同解,

OBOBOABO

y0与y0同解,AOA

y1

令y,y1,y2均为n维向量,y2

则

Ay10BOBy10AO

y0y0,.

OBBy20OAAy20

由Ay10,By10同解,Ay20,By20通解,故

ABB

y0与

OBOA

y0同解.故选(C).A

111



(7)设向量组11,2,31,4,若向量组1,2,3与1,2,4等价,则112可取()（A）{0,1}.（B）{|R,（C）{|R,2}.1,2}.3（D）{|R,【答案】(C).【解析】1}.记A(1,2,3),B(1,2,4),由|A|(2)(1),|B|(1),222当故等价;2,1时,|A|0,|B|0,即r(A)r(B)3,则1,2,3与1,2,4均为R3的基,r(A)3,r(B)3,故1,2,3与1,2,4不等价;r(A)3,r(B)3,故1,2,3与1,2,4不等价;当1时,当2时,当1时,r(A)r(B)r(A,B)1,故1,2,3,1,2,4等价;故选(C).(8)设随机变量XU(0,3)，随机变量Y服从参数为2的泊松分布，且X与Y协方差为1，则D(2XY1)（）（A）1.（B）5.（C）9.（D）12.【答案】（C）.【解析】D(2XY1)4D(X)D(Y)4Cov(X,Y)

(30)23

；由XU(0,3)，D(X)

124YP(2)，D(Y)2

所以D(2XY1)4D(X)D(Y)4Cov(X,Y)9，选（C）.（9）设随机变量X1,X2,X3,X4同分布,且X1的4阶矩存在.设kE(X1),k1,2,3,4,则由切k1n2

比雪夫不等式,对于任意的0,有PXi2󰀮󰀭(ni1

)422（A）.n2212（C）.2n【答案】（A）.422

（B）.2n212

（D）.2n1n2D(Y)1n2

【解析】记XiY，显然可得E(Y)2；则PXi2󰀮󰀭2；ni1ni1又41n21112D(Y)2DXiD(X12)[E(X14)E2(X12)](42)

ni1nnn21n242所以PXi2󰀮󰀭，选（A）.2nni1(10)设随机变量XN(0,1)，在Xx条件下随机变量YN(x,1)，则X与Y的相关系数为（（A））1

.43.3122（B）1.22.2（C）（D）【答案】（D）.【解析】由题意f(x)

e

x

22

,x

且fYX(yx)

12e

(yx)2

,y,

12



x(yx)

2

22所以f(x,y)fX(x)fYX(yx)





e,x,y12x

2又E(XY)





xyf(x,y)dxdyx





e2

dxy





12e

(yx)2

2dy

x





2

12e

x

22

dx1

又因为fY(y)



f(x,y)dx12e

y

2

12

(x



ey2



y2x2xy

2

22dx12

12

y

2e



y

22





e

(xxy)

2dx

4





e

)

2dxe4

,y

故Y所以N(0,2),D(Y)2；XYCov(X,Y)D(X)D(Y)E(XY)E(X)E(Y)D(X)D(Y)10222，选（D）.5二、填空题：11～16小题,每小题5分,共30分．(11)函数f(x,y)x2y在点(0,1)的最大方向导数为_______.【答案】4.【解析】22f(x,y)在某一点处的最大方向导数是其梯度的模，fx(0,1)

2x

e2(0,1)

0,fy(0,1)4y

(0,1)4，所以最大的方向导数02424.(12)

1lnxdx_______.xe2【答案】4.【解析】1lnxdxxxte1

e1lnt22tdtt4lntdt4(tlntt)4(13)当x󰀮0,y󰀮0时,xy󰀭ke【答案】4e,.22(xy)k󰀮(xy)e,x󰀮0,y󰀮0,【解析】原不等式即22(xy)f(x,y)(xy)e,x󰀮0,y󰀮0,令2e122xy恒成立,则k的取值范围是_______.当x0,y0时,直接求驻点,fx(2xx2y2)e(xy)0，fy(2yx2y2)e(xy)02f(1,1)2exy1解得,且.2yf(0,y)yeg(y),x0当时,,g(y)2yeyy2ey0,y0或2,2g(0)0,g(2)4e且.62f(0,0)0,f(2,0)4ey0当时,同理解得.2f(0,2)f(2,0)4ef(x,y)比较可得,的最大值为.于是k󰀮4e.2(14)已知级数【答案】1.n!nx

e的收敛域为(a,),则a_______.nn1n



n!nxn!n

entnx

n1n【解析】令te，n1n,(n1)!

nn(n1)n1limlimlimnn(n1)nnn!nn

111n

n

1e,n!n

tn于是n1n的收敛区间为ete,x

eee,解得x1,于是a1.那么(15)已知矩阵A和EA可逆,其中E为单位矩阵,若矩阵B满足(E(EA))BA,则1BA_____.【答案】E.【解析】由(E(EA))BA(EA)(EAE)BA

11ABAA2BEABAE.(16)设A,B,C随机事件，且A与B互不相容，A与C互不相容，B与C相互.若1

P(A)P(B)P(C),则PBCABC

35

【答案】.8【解析】因为B与C相互，有P(BC)P(B)P(C)=又因A与B互不相容，A与C互不相容,有P(AB)P(AC)P(ABC)0.11331.97P(BC|ABC)

P[(BC)(ABC)]P(BC)



P(ABC)P(ABC)

P(B)P(C)P(BC)

P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)111

5339.111100083339三、解答题：17～22小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17)(本题满分10分)设函数y(x)是微分方程y【答案】斜渐近线y2x.【解析】ye12xy2x的满足y13的解，求曲线yyx的渐近线.21xdx12xdxdxC2xCex.2xe将y13代入可得Ce，即y2xe

1xx0.由函数解析式可知，曲线没有垂直渐近线；又由于limyxlim2xe1x

x

x，2，x曲线没有水平渐近线；又klim

yxxx

2xe1limxxx1blimyxkxlim2xexx

2x0，故曲线有斜渐近线y2x.(18)(本题满分12分)(xy)2dxdy.已知平面区域D(x,y)y2󰀭x󰀭4y,0󰀭y󰀭2，计算I22xyD2【答案】2(π1).【解析】将积分区域D分为两部分DD1D2，其中：D1{(x,y)y󰀭x2,2󰀭x󰀭0,0󰀭y󰀭2}，D2{(x,y)x2y2󰀭4,x󰀮0,y󰀮0}，记(xy)2(xy)2

故I2dxdy2dxdy=I1+I2.22xyxyD1D2

其中：8I1=πd2π20

π2sincos0rcossindrπcossin22

π20

2

2π22sincosπ20

2dπ，π2---I2=drcossindr2

0

2

cossind21sin2d

故：Iπ2π2π1.(19)(本题满分12分)L是曲面：4x2y2z21，x󰀮0,y󰀮0,z󰀮0的边界，曲面方向朝上，已知曲线L的方向和曲面的方向符合右手法则，求I

yz

L

2

coszdx2xz2dy2xyzxsinzdz

【答案】0.【解析】由斯托克斯公式可得：dydz

I



dzdxy2xz2

dxdy



2xzdydzz2dxdy

z

2xyzxsinz

xyz2cosz

22令1：4xy󰀭1,x󰀮0,y󰀮0，指向z轴负向，2：4x2z2󰀭1,x󰀮0,z󰀮0，指向y轴负向，3：y2z2󰀭1,y󰀮0,z󰀮0，指向x轴负向，则I

123

2xzdydzzdxdy2xzdydzzdxdy2

2

1

2xzdydzz2dxdy2xzdydzz2dxdy23(2z2z)dxdydz0000.

(20)(本题满分12分)有二阶连续导数，证明：f(x)󰀮0的充要条件为对不同实数设f(x)在，

a,bf(

ab1b)󰀭fxdx.a2baababab1ab2ab

【证明】f(x)f(之间，)f()(x)f(x)，介于x与222222

b

a

abab1ab2ab

f(x)dxf()f()(x)f(x)dx

a22222

b

b1abab2)(ba)f(x)dx

a222

f(

9b

fxdxab必要性：若f(x)󰀮0，则f󰀮0，有󰀮f().a

(ba)2充分性：若存在x0使得f(x0)0，因为f(x)有二阶连续导数，故存在0使得f(x)在x0,x0内恒小于零，记ax0,bx0,此时

b

a

f(x)dxf(

b1abab2

)(ba)f(x)dx

a222

f(ab)(ba)，矛盾！故f(x)󰀮0.2综上，充分性必要性均得证.(21)(本题满分12分)已知二次型f(x1,x2,x3)

ijxx

i1j1

i

33

j

.（1）写出f(x1,x2,x3)对应的矩阵；（2）求正交变换x=Qy,将f(x1,x2,x3)化为标准形；（3）求f(x1,x2,x3)0的解.123

【答案】（1）246;369

251（2）令正交矩阵Q=

50

37067057011422f14y，利用正交变换,化为标准形；x=Qy31431423（c,c为任意常数）（3）xc11c26，12

05

【解析】（1）f(x1,x2,x3)

ijxx

i1j1

i

33

j

22x122x1x23x1x32x2x14x26x2x33x3x16x3x29x322x124x29x34x1x26x1x312x2x310123x1

(x1,x2,x3)246x2.369x3

123

62(14)0（2）EA24

369

得120,314;12323r

0EA000,解得11,20;000011531r14EA032,解得32;0003

23

(,)1

将1,2进行施密特正交化可得11,222116;(,)5105

251,将(1,2,3)单位化,可得1250251令正交矩阵Q=

50

3706705701142，14314231701462,3,7014537014利用正交变换x=Qy,将f(x1,x2,x3)化为标准形f14y3；y1k1

2（3）令f(x1,x2,x3)14y30，则y2k2，y03

11251x=Qy=

50

370670570114k

12k214

031425

1

k1k2

5

0



(22)(本题满分12分)3702

6c11c2700

570

3

（c1,c2为任意常数）6，5

设X1,X2,,Xn来自均值为的指数分布总体的简单随机样本，设Y1,Y2,,Ym来自均值为2的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互，其中0为未知数，利用样本X1,X2,,Xn,Y1,Y2,,Ym，求的最大似然估计量，并求D().【答案】n

m





ˆ（1）2XiYj

i1

j1

2(mn)

2nXmY；2(mn)2（2）.mn【解析】11EE

（1）由题意知X1,X2,,Xn的总体X服从，Y1,Y2,,Ym的总体Y服从2x

112ye,x0,e,y0,

fX(x)fY(y)20,0,其他.，Y的概率密度为其他.概率密度为



，从而的X

xi11Lnei1em构造最大似然函数为(2)1lnLnlnximln(2)

i12n

1n12yjj1m，1

y

j1

m

j

12dlnLn1nm1m2xi2yj0di12j12XiYj

i1

j1

n

m

ˆ

2(mn)

2nXmY2(mn)ˆ)D（2）D(

2nXmY1

D(2nXmY)；22(mn)4(mn)2222244nmnmmn11224nD(X)mD(Y)4(mn)24(mn)213