学习研究版２０１６年第１２期鼹黼圜鼹霸鞠霸鼹麓 函数与方程思想在高中数学解题中的应用 ■刘建庭 一、解数列Ｉ＇－－ｌｌ 例３ 如图２， Ｅ 例１ 若（ ～－ｚ）。～４（ｚ— ）（ 一 ）一 在△ＡＢｃ中， Ｂ Ｏ，求证 、 ｌ 。 ／ ． ｃ 解析成等差数列。 一 ，ＡＢ—ＢＣ— 别式６。一４。ｃ—ｏ形式相似，联想到构造一元 ：观察题目条件，容易发现题设与判 ２，Ｐ为ＡＢ边上的 ／／ ． ．ＰＪ：：：： ／ 二次方程来证明。分两种情况进行讨论，当 ｚ一３，时，（ｚ—ｚ）ｚ—Ｏ，得到ｚ一１ｚ，此时ｚ一３， 一 一个动点，ＰＤ平 。‘ 行于ＢＣ交ＡＣ于 ， 、 、２成等差数列；当 ≠ 时，引人参 点Ｄ，现将△ＰＤＡ沿ＰＤ翻折至△ＰＤＡ ， 使平面．／￣ＰＤＡ 垂直于平面ＰＢＣＤ，当棱锥 Ａ 一ＰＢＣＤ的体积最大时，求ＰＡ的长ａ 数 ，构造一元二次方程（ｚ一３，）￡ｚ一（ｚ一．ｚ） ＋（ 一２）一Ｏ，该一元二次方程△一Ｏ，有两个 相等的实数根，易得￡一１是该方程的根，所 以￡ 一 一１。根据一元二次方程两个根之 —一 ，解析：要求棱锥体积最大时ＰＡ的长 度，可以将棱锥体积表示为ＰＡ的函数，然 后求函数取最值时ＰＡ的长度。令ＰＡ一 间的关系可得 １＋ ｚ一 一１，解得２ｘ— ｚ（ｏ＜ｚ＜２），则Ａ，Ｐ—ＰＤ—ｚ，ＢＰ一２一 ＋ｚ，所以．ｚ、 、 成等差数列。综上可得， 、 、．２７。由平面垂直的推论，因为Ａ Ｐ上ＰＤ， 平面Ａ ＰＤ＿【平面ＰＢＣＤ，平面Ａ ＰＤ ｎ平 面ＰＢＣＤ—ＰＤ，所以Ａ Ｐ上平面ＰＢＣＤ。 ｚ成等差数列。 二、解不等式问题 例２ 若存在正数－ｚ使２ ‘ｚ—ｎ’＜ 成 立，则实数。的取值范围是。 ——由此可以求得ｖ 。一 。 ｓ…。×Ａ，Ｐ一 解析：这是不等式的“存在’’类问题，观察 （４ 一 ｓ）。对此函数求导易求出函数的 ， 不等式，不等式左边是两个基本函数的乘积， ０ 、 右边是常数１，直接处理左边不方便。可以 单调增区间为（０，÷ ），单调减区间为 不等式符号不变，这样不等式变为 一。＜ （亍 ，２），因此ｚ一亏，／ｇ时，棱锥 ｆ １ ，两边都成了基本函数。设ｆ（ ）一 Ａ ＰＢｃＤ的体积最大。此时ＰＡ的长 … ｎ … 一（ 作蝴图 所示的两函数图像，当ｚ＞Ｏ时， Ｏ＜ｇ（ｚ）＜１，要存 在正数ｚ使２ （ｚ一 为 一与方程思想几乎已经渗透 ，到高中数学的各大知识板块中／ ／／ ０ 高考中， 函数与方程的题目综合性较强巧也很多仕珠 甲，，使用的技 同学们平时一定要注意积累， 小断促向目已即轹甘月Ｅ刀 ¨ （ｚ）图像在ｇ（ｚ） 图像下方，所以 图１ 素质。 作者单位：江苏省南通市海安县南莫中学 ２５
