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第２５卷第２期 ２００８年２月 计算机应用与软件 Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｖ０１．２５ Ｎｏ．２ Ｆｅｂ＿２００８ 一种基于多亲遗传机制的多目标优化算法 吴佳英 李平 郑金华 （长沙理工大学计算机与通信工程学院湖南长沙４１００７６） 。（湘潭大学信息工程学院湖南湘潭４１１１０５） 摘要 给出了进化个体之间的关系和非支配集中不同个体之间的相关性质，参考快速排序的思想，提出了一种有效的构造非支 配集的算法。在此基础上，将多亲遗传算法与改进的快速排序构造非支配集的算法相结合，提出了一种基于多亲遗传机制的多目标 优化算法。最后对提出算法进行了分析，采用了测试函数进行了仿真实验，获得了理想的实验结果。 关键词 多亲遗传算法 多目标优化 非支配集 Ａ ＭＵＬＴＩ－ｏＢＪＥＣＴＩＶＥ ＧＥＮＥＴＩＣ ＡＬＧｏＲＩＴＩ玎 ＢＡＳＥＤ ｏＮ ＭＵＬＴＩ－ＰＡＲＥＮＴ ＣＲ０ｌｓＳｏＶＥＲ Ｗｕ Ｊｉａｙｉｎｇ Ｌｉ Ｐｉｎｇ Ｚｈｅｎｇ Ｊｉｎｈｕａ （Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒ ａｎｄ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｃｈａｎｇｓｈａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００７６，Ｈｕｎａｎ，Ｃｈｉｎａ） （Ｃｏｌ￣ｇｅｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｍｎ￣ａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉａｎｇｔａｎ４１１１０５，Ｈｕｎａ￣，Ｃｈｉｎａ） Ａｌ￣ｔｒａｅｔ Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌｓ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｆｅａｔｕｒｅｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｂｙ ｒｅｆｅｒｒｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ｑｕｉｃｋ ｓｏｒｔ，ａ ｖａｌｉｄ ｌａｇｏｒｉｔｈｍ ｏｆ ｎｏｎ－ｄｏｍｉｎａｔｅｄ ｓｅｔ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉ—ｐａｒｅｎｔ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｎｏｎ —ｄｏｍｉｎａｔｅｄ ｓｅｔ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｌａｇｏｉｒｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｑｕｉｃｋ ｓｏｔｒ，ａ Ｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ Ｇｅｎｅｔｉｃ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍｕｌｔｉ—ｐａｒｅｎｔ Ｃｒｏｓｓｏｖｅｒ（ＭＯＧＡＭＣ） ｉｓ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｓ ｍａｄｅ，ａｎｄ ｓｉｍｕｌａｔｉｖｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｆｉｇｕｒｅｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｈａｓ ｎｉｃｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ Ｍｕｌｔｉ－ｐａｒｅｎｔ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ Ｍｕｌｔｉ—・ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ｎｏｎ・・ｄｏｍｉｎａｔｅｄ ｓｅｔ 厂（ ）＝［ （ ） （ ），… （ ）］ （３） ０引 言 寻求 ＝［ 。’， ，…， ］ ，使厂（ ）在满足约束条件 （１）和（２）下达到最优。 一般来说，科学研究与工程实践中许多优化问题大多是多 目标优化问题。多目标优化问题中各个目标之间通过决策变量 ２基于多亲遗传机制的多目标优化算法 相互制约，因此很难客观地评价多目标问题解的优劣性。１９８９ 年Ｇｏｌｄｂｅｒｇ在其著作中，提出了用遗传算法实现多目标的优化 ２．１个体之间的关系 技术，使多目标遗传算法的研究出现了重大转折。近年来，多目 定义１设 和ｙ是Ｐｏｐ中的任意两个个体，称 支配ｙ， 标遗传算法引起了许多学者的关注，并涌现出了不少有价值的 则必须满足下列两个条件： 研究成果。 （１）对所有的子目标， 不比ｙ差，即 （ｙ） （ ），ｋ＝１， 多亲遗传算法是对传统遗传算法的交叉算子进行了改进， ２，…，ｒ，其中ｒ为子目标的数量。 使得新产生的个体能继承多个母体的有效基因，新个体很可能 （２）至少存在一个子目标，使 比ｙ好，即３ｔ∈（１，２，…， 会有更高的适应度函数值，这样能加快算法的收敛速度。本文 ｒ），使得 （Ｙ） （ ）。 参考快速排序的思想，给出了一种有效的构造非支配集的算法， 此时称 为非支配的，ｙ为被支配的，表示为 ｌ，，其中（ｂ 最后将多亲遗传算法与多目标优化算法结合起来，给出了一种 是支配关系。 基于多亲遗传机制的多目标优化算法。 定义２ Ｖ ，Ｙ∈Ｐｏｐ， 和ｙ相关， ｙＯＲＸＴｒＹＯＲＸ＝ ｙ，否则称 和ｙ不相关。 １多目标问题的描述 据定义２有：非支配集中的不同个体之间是彼此不相关的。 ２．２非支配集的构造 给定决策向量 ：［ 。， ：，…， ］ ，它满足下列约束： 构造非支配集是多目标遗传算法（Ｍｕｌｔｉ—Ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ Ｇｅｎｅｔｉｃ ｇ （ ）＞１０ １，２，…，Ｐ （１） ．Ｉｌ。（ ）＝０ ｉ＝ｌ，２，…，ｑ （２） 收稿日】胡：２００６—０１—０４。湖南省自科基金项目（０５心１２５），湖南 设有ｍ个优化目标，且这ｍ个优化目标很可能是相互冲突 省教育厅基金项目（０６Ｂ００５）。吴佳英，讲师，主研领域：遗传算法，并行 的，总的优化目标可表示为： 计算，多智能体。 维普资讯 http://www.cqvip.com
第２期 吴佳英等：一种基于多亲遗传机制的多目标优化算法 ｛ｔ＝０； ５３ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＭＯＧＡ）一个重要的组成部分，它是ＭＯＧＡ保留优秀 个体的一种机制，是确保算法收敛于Ｐａｒｅｔｏ最优面的一种策略， 直接影响ＭＯＧＡ的效率，近年来有不少构造非支配集的算法。 初始化Ｐ（） ｗｈｉｌｅ（不满足结束条件） ｛ｆｏｒｉ＝１ ｔｏ ｐｏｐｓｉｚｅ ｄｏ 这里通过参考快速排序的思想，提出了一种有效的构造非支配 集的算法。 算法１基于快速排序构造非支配集ＫＱＳ＿２Ｉ ： ｗｈｉｌｅ（ｉ（ｊ）ｄｏ ｛随机选择ｍ个母体； 选用一种多亲算子产生新个体；｝ 将改进的快速排序法应用到由父代和子代组成的群体，构造相 ／／ｉ，ｊ为种群ｐｏｐ［］的第ｉ，ｊ个个体 ｛ｗｈｉｌｅ（ｘ支配ｐｏｐ［ｊ］）ｄｏ ｊ＝ｊ一１； ｐｏｐ［ｉ］＝ｐｏｐ［ｊ］； ｗｈｉｌｅ（ｘ不支配ｐｏｐ［ｉ］）ｄｏ ｉ＝ｉ一１： ｐｏｐ［ｊ］＝ｐｏｐ［ｉ］； ｝ 设集合Ｐ的大小为ｎ，子目标的数目为ｒ。 算法２改进的快速排序构造非支配集： 该算法首先采用快速排序法构造非支配集，当（ｆ＋１）代种 群Ｐ 的大小比种群个数Ⅳ要小，则随机从（Ｒ。一Ｐ ）中选择 （Ｎ—ＩＰ Ｉ）个个体填满Ｐ ，当非支配集Ｐ 个数大于Ⅳ时， 就对非支配集进行密度集排序，选择前面Ⅳ个个体构成新的 Ｐ ，具体算法如下： ｎｏｎ－ｄｏｎｉｎａｔｅｄ—ｓｅｔ（ｐｏｐ） ｛Ｑｔ＝ｍａｋｅ・ｎｅｗ・ｐｏｐ（Ｐｔ） ＮＤＳｅｔ＝击 Ｒ。：Ｐ ＹＱ ／／将父代群体和新产生的群体合并 Ｐ ＝ＫＱＳ—ＮＤＳｅｔ（Ｒ ） ／／用ＫＱＳ构造非支配集 ｉｆ（ＩＰ…Ｉ≤Ｎ） ｔｈｅｎ｛Ｐｔ＋】 Ｐｔ＋１ Ｕ ｓｅｌｅｃｔ・ｂｙ・ｒａｎｄｏｍ（Ｒｔ—Ｐｔ＋】，Ｎ—ＩＰｔ＋１ Ｉ）｝ ／／随机选择Ｎ—ＩＰ…１个个体Ｊｊｎ．ｚ．Ｐ… ｅｌｓｅ｛ｃｒｏｗｄｉｎｇ・ｄｉｓｔａｎｃｅ・ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ（Ｐ…）｝ ／／计算密集度 Ｓｏ，ｔ（Ｐ…，Ｐ ） ／／密集度排序［ ］ Ｐ…＝Ｐ…［１：Ｎ］｝ ／／选择最好的Ｎ个个体组成Ｐ… ｛ 其中，密集度定义为： 设群体ｐｏｐ＝｛ｘ。，ｘ ，…，ｘ ｝中的个体ｘ ＝［ｘ ”，ｘ ，・一， ｘ ”］，ｘｊ＝［ ”， ，…， ｕ］，则个体ｘｉ和个体ｘｊ之间的相似 程度为： ＿ ￡ Ａ ＝亡 Ｃ一 １ Ｉ 一 Ｉ ｉ，ｊ ｅ｛１，２，…，ｎｔ 其中Ｃ 为对应于基因座ｋ的常数因子。 定义个体Ｐ的密集度为与个体Ｐ相似的个体在群体中所占 比重即： Ｃｒｏｗｄｓ（Ｐ）＝与个体Ｐ相似度大于．ｙ的个体总数／ｎ 一般取值为．ｙ∈［０．９，１］，设集合Ｐ的大小为ｎ，子目标的 数目为ｒ。 ２．３基于多亲遗传机制的多目标优化算法 多亲遗传算法对传统遗传算法中的交叉算子作了改进，在 大部分单目标问题中表现出了良好的性能，在一定程度上能保 持群体的多样性、克服“早熟收敛”问题以及加快收敛速 度 “］。本文将多亲遗传算法与上面所提出的非支配集构造方 法相结合。提出了基于多亲遗传机制的多目标优化算法ＭＯＧＡ— ＭＣ。算法描述如下： ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ＭＯＧＡＭＣ（） 应的非支配集ＮＤＳ； ｉｆ ＩＮＤＳＩ＞ｐｏｐｓｉｚｅ ｔｈｅｎ ｛计算非支配集中每个个体的聚集密度； 根据聚集密度进行降序排序； 选择前ｐｏｐｓｉｚｅ个作为下一代群体；｝ ｅｌｓｅ｛ｆｏｒｊ＝ｌ ｔｏ（ｐｏｐｓｉｚｅ）一ＩＮＤＳＩ ｄ。 ｛随机从ＮＤＳ中选ｍ个个体； 利用多亲交叉算子产生新个体；｝ 由ＮＤＳ与这里产生的ｐｏｐｓｉｚｅ—ＩＮＤＳＩ作为新一代群体；｛ ｔ＝ｔ＋ｌ；／／遗传代数加ｌ；｝ ｝ ３算法的性能分析 由快速排序的算法复杂度可知，该算法的时间复杂度接近 Ｏ（ｒ ｎ ｌｏｇｎ） ’ ，故本文所提出的算法中构造非支配集的方 法比文献［１］的Ｏ（ｒ ｎ ）要好。 本文还采用了两个常用的多目标测试函数来测试算法的性 能，将实验结果与由Ｄｅｂ提出的算法ＮＳＧＡ２（Ｎｏｎ－ｄｏｍｉｎａｔｅｄ Ｓｏａｉｎｇ ＧＡ２）作比较 Ｊ，ＮＳＧＡ２采用排序的方法来构造非支 配集。 函数 落 １ｇ １）ｓｉｎ （６７ｒｘ】） ０≤ ｆ≤１，ｉ＝１，…，１０ ｗ ｅｇ（ …（ １０（ 函数２： （ ）＝一（２５（ｘｌ－２） ＋（ ２—２） ＋（ 一１） ＋（ 一４） ＋（ ５一１） ） ，２（ ）＝ ＋ ；＋ ＋ ＋ ＋ ： ｓｕｂｊｅｃｔｔｏ ｃｌ（ ） ｌ＋ ２－２＞１０ ｃ２（ ）＝６一 ｌ一 ２≥０ ０Ｓｙ ｃ３（ ）：２一 ２＋ ｌ≥０ ｃ４（ ）：２－Ｘｌ＋３ｘ２≥０ ｃ５（ ）：４一（ 一３） 一 ４≥０ ｃ６（ ）：（ ５—３） ＋ ６—４１＞０ ０≤ 】，Ｘ２，Ｘ６≤ｌ０，１≤ ， ５≤５，０≤ ４≤６ 以上列出的两个测试函数都是求极小值的多目标函数，实 验中，ＮＳＧＡ２和ＭＯＧＡＭＣ都是采用二进制编码，翻转变异。 Ｐｏｐｓｉｚｅ为１００，Ｍａｘｇｅｎ为５００，交叉概率为０．８，变异概率为１／ ｌｅｎ（１ｅｎ为基因的长度）。在ＮＳＧＡ２中，采用单点交叉，而在 ＭＯＧＡＭＣ中，采用多亲交叉中的扫描交叉（实验中为四亲）。测 试结果为１０次运行的最优值。实验结果如图１，图２所示，计算 时间如表１所示。 （下转第７９页） 维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期 方逵等：保形参数四次插值算法 ７９ Ｔｉ：ｔｉａｉｌ＋（１一ｔｉ）ａｉ； （上接第５３页） Ｓｔｅｐ３ ｆｏｒ（ｉ＝０；ｉ＜＝ｎ；ｉ＋＋） Ｉｆ＜Ｐ＿．１Ｐ Ｐ…Ｐ＿＋２＞是非凸多边形； 计算Ｃ 、Ｄｉ，ｂｙ（４）； ｅｌｓｅ ｛计算Ｑ ，ｂｙ（３）； ｆｌ两戢值 ｆｌ两戢值 计算Ｃ 、Ｄｉ，ｂｙ（５）； 计算 ， ｉ，ｂｙ（１４）ｏｒ（１５）； 图１测试函数】的对比实验结果图２测试函数２的对比结果 表１算法的计算时间比较单位（秒Ｊ ｂ ＝Ｐｉ，ｂｉＩ＝ ｉＣｉ＋（１一 。）Ｐｉ； Ｅ０６ ＯＳＹ ｂ ：（Ｃｉ＋Ｄｉ）／２； ＭＯＧＡＭＣ ２．５６３ ２．２９ｌ ｂＢ＝ ｉＤｉ＋（１一 ｉ）Ｐｉ＋Ｉ；ｂ＊＝Ｐｉ＋Ｉ； ＮＳＧＡ２ ６．６６６ ４．６２８ 画曲线段ｒ．（ｔ），ｂｙ（６）；｝ Ｓｔｅｐ４修改参数ｔ ，转Ｓｔｅｐｌ。 上述两个图给出了ＮＳＧＡ２和ＭＯＧＡＭＣ两个算法在运行了 ５００代以后所能找到的Ｐａｒｅｔｏ解集，从图１、２可以看出，在两个 ３数值实例 算法运行相同代数的情况下，在两个测试函数中，ＭＯＧＡＭＣ找 到的解集比ＮＳＧＡ２找到的解集要更接近最优面，ＭＯＧＡＭＣ比 本文主要讨论了ＧＨＩ的保形问题，新构造的分段四次样条 ＮＳＧＡ２有更强的求解能力。从表１可以看出，ＭＯＧＡＭＣ与ＮＳ— ＧＡ２相比，由于在每一代中，只求其ＮＤＳ集，而舍弃Ｄｓ集，采用 曲线是ＧＣ 连续的，该曲线既解决了ＧＨＩ的构造问题，又是一 了快速排序的思想，所以ＭＯＧＡＭＣ在运行相同代数的情况下， 种保形插值的有效方法。该算法由型值点直接计算所有Ｂ６ｚｉｅｒ 不但找到的解集比ＮＳＧＡ２要好，而且从效率上也要快得多。 点，而无需求解线性或非线性方程组，且曲线的构造有很好的局 部性，例如修改曲率ＫＩ，仅仅影响相应的两段曲线ｒ （ｔ）和ｒＩ ４结束语 （ｔ），同样改变 的值， 影响到曲线Ｆｉ，．（ｔ）和 （ｔ）。因此本 文的算法不但将保形概念引入到ＧＨＩ问题，而且几何性质良 本文参考快速排序的思想，提出了一种有效的构造非支配 好，局部修改十分方便，是一种有效的方法。 集的算法，将多亲遗传算法与改进的快速排序构造非支配集的 例１ 给定五个有序的数据点（它们构成一个非凸多边形） 算法相结合，提出了一种基于多亲遗传机制的多目标优化算法。 及相应的一组曲率，用本文算法可求得ＧＣ２连续的保形参数四 最后。采用了测试函数对本文提出的算法进行了测试，并获得了 次插值样条曲线，如图４。 理想的实验结果，这说明本文所讨论的方法与其它已有的方法 相比具有一定的有效性和先进性。 参考文献 ［１］Ｋａｌｙａｎｍｏｙ Ｄｅｂ，Ａｍｒｉｔ Ｐｒａｔａｐ，Ｓａｍｅｅｒ Ａｇｒａｗａｌ，ｅｔ １ａ．Ａ Ｆａｓｔ ａｎｄ Ｅｌｉｔｉｓｔ Ｍｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ Ｇｅｎｅｔｉｃ Ａｌｇｏｒｉｈｔｍ：ＮＳＧＡ－ＩＩ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００２，６（２）：１８２—１９７． 图４保形插值曲线 ［２］Ｚｈｅｎｇ Ｊｉｎｈｕａ，Ｃｈａｒｌｅｓ Ｘ Ｌｉｎｇ，Ｓｈｉ Ｚｈｏｎｇｚｈｉ，Ｘｉｅ Ｙｏｎｇ．Ｓｏｍｅ Ｄｉｓｃｕｓ－ ｓｉｏｎｓ ａｂｏｕｔ ＭＯＧＡｓ：Ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ Ｒｅｌａｔｉｏｎｓ，Ｎｏｎ—ｄｏｍｉｎａｔｅｄ Ｓｅｔ，ａｎｄ Ａｐ・ 参考文献 ｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｎｅｇｏｔｉａｔｉｏｎ［Ａ］．Ｃｏｎｇｒｅｓｓ ｏｎ Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ Ｃｏｒｎ－ ［１］Ｆａｒｉｎ Ｇ．ＣｕＲｅｓ ａｎｄ Ｓｕｒｆａｃｅｓ ｆｏｒ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｇｅｏｍｅｔｉｒｃ Ｄｅｓｉｇｎ：Ａ ｐｕｔａｔｉｏｎ［Ｃ］，２００４． Ｐｒａｃｔｉｃａｌ Ｇｕｉｄｅ，Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ，１９８８． ［３］Ｃｏｍｅ Ｄ Ｗ，Ｊｅｒｒａｎ Ｎ Ｒ，Ｋｎｏｗｌｅｓ，Ｏａｔｅｓ Ｍ Ｊ．ＰＥＳＡ一：Ｒｅｇｉｏｎ—ｂａｓｅｄ ｓｅ— ［２］ＤｅＢｏｏｒｒ Ｃ．Ｈｉｓｈ Ａｃｃｕｒａｃｙ Ｇｅｏｍｅ￣ｃ Ｈｅｒｍｉｔｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｌｃｅｔｉｏｎ ｉｎ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ ｍｕｌｔｉｂｏｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚｉｔｉｏｎ［Ａ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｈｔｅ Ｇｅｎｅｔｉｃ ａｎｄ Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ（ＧＥＣＣＯ一 Ａｉｄｅｄ Ｇｅｏｍｅｔｉｒｃ Ｄ￣ｉｇｎ，１９８７，４（４）：２６９—２７８． ２００１）［Ｃ］．Ｍｏｒｇａｎ Ｋａｕｆｍａｎｎ Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，２００１：２８３—２９０． ［３］方逵．计算机辅助几何设计中的保形插值理论及算法［Ｍ］．长沙： ［４］Ｓｃｈｉｐｐｅｒｓ Ｃ Ａ．Ｍｕｌｔｉ—Ｐａｒｅｎｔ Ｓｃａｎｎｉｎｇ Ｃｒｏｓｓｏｖｅｒ ｎａｄ Ｇｅｎｅｔｉｃ Ｄｒｉｆｔ．Ａ． 湖南人民出版社，２００３． Ｅ．Ｅｉｂｅｎ．Ｍｕｌｔｉｐａｒｅｎｔ Ｒｅｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｉｎ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ［Ｊ］．ＩＩｌ ［４］Ｈｏｌｌｉｎｇ Ｋ，Ｋｏｃｈ Ｊ．Ｇｅｏｍｅｔｉｒｃ Ｈｅｒｍｉｔｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｍａｘｉｍａｌ Ｏｒｄｅｒ Ｇｈｏｓｈ Ａ，Ｔｓｕｔｓｕｉ Ｓ，ｅｄｉｔｏｒｓ．Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，Ｎａｔ－ ａｎｄ Ｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓ．ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｇｅｏｍｅｔｉｒｃ Ｄｅｓｉｇｎ，１９９６，１３（６）：６８１ ｕｒｌａ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｓｅｒｉｅｓ，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２００２：１７５—１９２． —６９５． ［５］Ｔｓｕｔｓｕｉ Ｓ，Ｙａｍａｍｕｒａ Ｍ，Ｈｉｇｕｅｈｉ Ｔ．Ｍｕｌｔｉ－ｐａｒｅｎｔ ｒｅｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ［５］Ｉｍｒｅ Ｊ．Ｃｕｂｉｃ Ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｃｕｒｒｅ ｏｆ Ｇｉｖｅｎ Ｔａｎｇｅｎｔ ａｎｄ Ｃｕｒｖａｔｕｒｅ．Ｃｏｍ－ ｓｉｍｐｌｅｘ ｃｒｏｓｓｏｖｅｒ ｉｎ ｒｅａｌ－ｃｏｄｅｄ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ［Ｃ］．Ｐｒｏｃ．ｏｆ ｔｈｅ ｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｄｅｓｉｎｇ，３０（１）：１—９． ＧＥＣＣＯ一９９。１９９９：６５７—６６４． ［６］Ｕｌｒｉｃｈ Ｒ．Ｏｎ ｔｈｅ ｌｃｏａｌ Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｑｕａｄｒａｔｉｃ Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ｈｅｒｍｉｔｅ ｒ ６］Ｓｃｈｉｐｐｅｒｓ Ｃ Ａ．Ｍｕｈｉ—Ｐａｒｅｎｔ Ｓｃａｎｎｉｎｇ Ｃｒｏｓｓｏｖｅｒ ａｎｄ Ｇｅｎｅｔｉｃ Ｄｒｉｆｔ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｎｔ，Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｇｅｏｍｅｔｉｒｃ Ｄｅｓｉｎｇ，１９９９，１６（３）：２１７ ［Ｍ］．Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ Ａｓｐｅｃ￣ｏｆ Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ， ２００１：３０７—３３０． —２２１． ［７］唐欢容，郑金华，蒋浩．用基于快速排序的ＭＯＧＡ求解ＭＯＫＰ［Ｊ］． ［７］ＺＵ ｘｉｎｘｉｏｎｇ．Ｆｒｅｅ ｃｕｒｖｅａｎｄ ｓｕｒｆａｃｅ Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ Ｔｅｃｈｏｌｏｇｙ，Ｓｃｉｅｎｃｅ 湘潭大学：自然科学学报，２００４，２６（１）：３９—４２． Ｐｒｅｓｓ．２Ｏ００． ［８］Ｔｓｕｔｓｕｉ Ｓ，Ｙａｍａｍｕｒａ Ｍ，Ｈｉｇｕｃｈｉ Ｔ．Ｍｕｌｔｉ—ｐａｒｅｎｔ ｒｅｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｗｉｈｔ ［８］吴晓勤．带有给定切线多边形的Ｇ２连续的二次代数曲线．计算机 ｓｉｍｐｌｅｘ ｃｒｏｓｓｏｖｅｒ ｉｎ ｒｅａｌ ｃｏｄｅｄ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｈｔｍｓ［Ｃ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ 应用与软件，２００５，２２（６）． ｈｔ Ｇｅｎｅｔｉｃ ａｎｄ Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ，１９９９：６５７—６６４．
