函数与方程思想在高中数学解题中的应用

求tan a的值。分析：本题可以通过三角函数的变量关

系建立相应的一元二次方程根的代数式，将 复杂的三角函数问题转变成熟悉的一元二次

间的关系，从而更好地 解决抽 象数学问题。

下面具体来分析它们的应用。―、在数列问题中的应用从函数的角度看，数列会给人们一种直 观的呈现，其属于特殊的函数表达式。函数

与数列之间的关系并不仅仅是含义相近，更

方程求根形式。由 sin a + cosI•，得出sin a cos a =—庆，可以将sin a , cos a看成是方程 / —多的是数列本身蕴含着很强的函数意义，在

解决数列问题时，灵活地应用函数与方程思

1 12yx-—= 0的两个根，通过解一元二次方程，可以得出Xi = — , X2 =----O由于hW0

0想，能让问题更加快速地得到解决。4 3例如：假设数列的仗”｝的前九项和S.满

足 S”=2na”+i—3n2 — 4n , n C N*，并且 S3 =

. / . 4(0,7T), sin acos a V 0 ,可以得出 sin a =—,

□15o试求：(1) ai、5、^3 的值。(2) 数列｛—｝的通项公式。分析：在这个题目中就可以先通过函数

与方程思想，将问题中的各种数量关系结合 在一起，形成一个不可分割的整体，然后构建

cos a =---，所以 tan a =-----。三、在现实问题中的应用随着教学改革的推进，以社会生产、现实

生活为背景的数学题目也越来越多。对于现

实问题，同学们应灵活应用函数与方程思想

相应的函数关系式，通过等式运算得出结论。根据题目信息，先列出关于S”的方程式进行解题，以此强化实际的解题能力。例如：班级中20名同学在小区植树，每

个人植1棵，相邻的两棵树距离为10 m,开

S1 a 1 2a 2 3 4 ,Y S2 =6+^2 =4(23 — 12 —8 ,从而得出 ai=3,始的时候，树苗集中放在某一棵树的旁边，对

$3=== a 1 + a 2 + £13 = 15 ,42 = 5,3=7。由于 S” = 271-+1—3n2—4n , 当 72二2 时，S”_i = 2 (n — 1 )

树坑进行编号，为1〜20,为了让学生从领取

树苗到自己所对应的树坑所走的距离和最 短，则树苗放置在哪两个树坑编号旁最合适？分析：解题时，可以将树苗放置的树坑编

— 3 (n — 1 )2 —4(n- 1 ),合并整理可以得出S+】=C2n — l)an+6zj + l(71 二 2)。最后通过数学2n号设为工，列出学生领树苗到对应树坑所走

的总距离 S = |1 一工 | X 10 + |2-x | X

归纳法可以得出wEN* ,j=2n + l。二、在三角函数中的应用在高中数学中，三角函数是一个十分重

10-------F | 20 —工| X 10,取S的最小值，，=(1—工)2 +(2 — 工)2 (20 —工)2=20工2一

420h + (P+22 ------- 202),结合二次函数的知识，可以得出函数y = 20工2—420工+ (卩+

要的知识点，通过函数与方程思想，可以将三

角函数的性质、求值、证明等复杂问题变成简

单的代数问题。22 —— 202)的对称轴是，=10.5。根据题 意可知工取整数，可得鼻=10或工= 11。所

例如：已知 sin a + cos a = £,aW (0 , tc),

以树苗应放在10号、11号树坑旁边。作者单位：安徽省临泉县田家炳实验中学10