(完整word版)如何求解参数的矩估与极大似然估计

一、矩估计

若统计量Ｔ作为总体参数（或g( )）的估计时，Ｔ就称为（或g( )）的估计量。 定义6.1矩估计量 设X1,X2,,Xn是总体Ｘ的样本，Ｘ的分布函数F(x:1,,k) 依赖于参数1,,k，假定X的r阶矩为EXrr(1,,k),

r1,,k,（或r阶中心矩）相应的样本矩记为Ar(X1,,Xn), 如下的k个议程

Ar(X1,,Xn)ar(1,,k),r1,,k （6.1） 的解，称为未知参数:1,,k的矩估计。

二、最（极）大似然估计

设总体Ｘ的密度函数f(x,),是参数或参数向量，X1,X2,,Xn是该总体的样本，对给定的一组观测值x1,x2,,xn，其联合密度是的函数，又称似然函数，记为：

L()L(,x1,,xn)k1f(xk,),

nˆˆ(x,,x), 使L(ˆ)L(),就称 其中为参数集，若存在1nˆ(X,,X)是的最大似然估计量。 ˆ(x1,,xn)是的最大似然估计值，而1n注：１）对给定的观测值，L()是的函数，最大似然估计的原理是选择使观测值

x1,x2,,xn出现的“概率”达到最大的ˆ作为的估计。

ˆ是的最大似然估计，则g()的最大似然估计２）最大似然估计具有不变性，即若ˆ)。但是，矩估计不具有不变性，例如假定X是的矩估计，一般情形下，2的矩估为g(计不是X。

1x1e1. 设总体ξ服从指数分布，其概率密度函数为f(x)020x，（θ>0）

x0试求参数θ的矩估计和极大似然估计.

x1e,x0解：的概率密度为fx;,0

0,x0n 似然函数为： L1exii1 1nn 1xi1xii1nene

i1而

lnLnln1nxi

i1 令

dlnLdn112nxi0

i1 得到：ˆ1nnxi=X

i1 因此得到参数的极大似然估计量为：ˆ1nnXii1矩估计求法如下： 因为1E

令A1n1nxi

i1则ˆ1nnxi

i1从而的矩估计量为ˆ1nnXi=X

i12. 设母体ξ具有指数分布，密度函数为f(x,)ex0试求参数λ的矩估计和极大似然估计. 解：参数的矩估计求法为：因为

0xx0，（λ>0）

1E令：

1

1nA1xi ni11ˆ则的矩估计量为：1A1nXi1n

i 极大似然估计求法如下：

ex,x0 的概率密度为fx,

0,x0 似然函数为： Lnei1inxi,x0

而lnLnlnxi1

dlnLnnxi0 令

di1ˆ 解得的极大似然估计量为：nxi1n

i3. 设总体X～N(μ,1), (X1,,Xn)为来自X的一个样本，试求参数μ的矩估计和最大似然估计.

解：矩估计求法为：

1EX

1n 令A1xi

ni11nˆxi 则ni1 极大似然估计求法为：

X的概率密度为： fx; 似然函数为：

L1e22x2

i1n1e2n2xi22

2e 而

1xi22i1n

n1n2 lnLln2xi

22i1 令

dlnL1n2xi0

d2i1 即

x0

ii1n1nˆxi 解得的极大似然估计量为：ni1