第３２卷２０１２年第４期 ７月 高师理科学刊 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ａｎｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖｏｌ＿３２ ＮＯ．４ Ｊｕ１． ２Ｏｌ２ 文章编号：１００７—９８３１（２０１２）０４—００５０—０４ 因子化方法求解三参量势函数的ＳｃｈｒＯｄｉｎｇｅｒ方程 李克轩 （中国人民武装学院基础部，河北廊坊０６５０００） 摘要：用因子化方法求解一种三参量势函数的Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ方程，得到了束缚态的能级及波函数的 精确公式．说明因子化方法简单易行，对求解束缚态精确解有较大的实用价值． 关键词：因子化方法；能谱精确公式；定态波函数 中图分类号：０４１３．１ 文献标识码：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９６．ｉｓｓｎ．１００７—９８３１．２０１２．０４．０１６ Ｔｈｅ Ｓｃｈｒｉｆｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｒｅｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｂｙ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ＬＩ Ｋｅ－ｘｕａｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＢａｓｉｃ Ｃｕｒｒｉｃ￣ｕｍ，Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｐｅｏｐｌｅ’ｓ Ａｒｍｅｄ Ｐｏｌｉｃｅ Ｆｏｒｃｅｓ Ａｃａｄｅｍｙ，Ｌａｎｇｆａｎｇ ０６５０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ，Ｓｅｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｈｒｅｅ ｔｐａｒａｍｅｔｅｒ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｆｏｒ ｄｉａｔｏｍｉｅ ｍｏｌｅｃｕｌｅｓ ｉｓ ｓｏｌｖｅｄ，ａｎｄ ｅｘａｃｔ ｅｎｅｒｇｙ ｌｅｖｅｌｓ ａｎｄ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｗａｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｉｔ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ ｆｏｒ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｈａｓ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｖａｌｕｅ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｅｘａｃｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｂｏｕｎｄｅｄ ｓｔａｔｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ；ｅｘａｃｔ ｆｏｒｍｕｌａｓ ｆｏｒ ｅｎｅｒｇｙ ｓｐｅｃｔｒａ；ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｗａｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ 量子力学中的许多问题都归结为求解相应势函数的Ｓｅｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ方程．一般而言，求解过程往往要经过 繁复而冗长的数算，比较复杂．因此寻求给定势函数的Ｓｅｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ方程的解法，特别是简便解法一直 是量子力学的重要任务和命题㈣．文献［７］提出的一种以三参量双原子分子势函数为对象，并用自变量变换、 解超几何方程、再由边界条件定出本征值与本征函数．文献【５】利用Ｒｉｃｃａｔｉ变换法对方程求解，比较容易得 到了基态能和本征函数，但激发态的求解极其不易，还是要解一个二阶变系数齐次微分方程，通常要设级 数解，得到各次幂的系数，也是比较繁琐的．本文用因子化方法非常简洁容易地就得到了这种三参量双原 子分子势函数束缚态的精确解． １三参量势函数的Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ方程 文献【７］提出一种用于分析双原子分子能谱的三参量势函数 【 一 ｊ 其中： ＝ｒ／ｒｅ，，．是径向坐标，ｒｅ是平衡距离；Ｄｅ是势阱深度．此势函数的吸引部分（式（１）中右边第 ２项）相当于Ｈｕｌｔｈ６ｎ势，这个势函数增加了斥力部分，更具有一般ｌ生．为便于与文献［７］比较，本文基本沿 用文献［７］中有关参量的定义与记号． 对用于双原子分子的场合，用 表示折合质量， 。表示平衡位置附近振动的角频率，则Ｖ （ｒｅ）＝ 《．由 收稿日期：２０１２－０４－０７ 作者简介：李克轩（１９７３一），男，河北唐县人，副教授，硕士，从事物理教学和研究．Ｅ—ｍａｉｌ：ｋｅｘｕａｎｌｉ＠１２６．ｃ０ｍ 第４期 李克轩：因子化方法求解三参量势函数的Ｓｃｈｒ￣ｄｉｎｇｅｒ方程 ５１ 此可定出参数 ．再由势函数满足的条件ｙ（Ｏ） Ｏ０， （ｏ。） ０， （ｒｅ）＝一Ｄｅ， 【ｒｅ）＝Ｏ，口ｊ以足出糸效Ａ， Ｂ．于是，３个参数可由最常用的３个实验分子常数Ｄｅ， ， 得到． 描述中心力场中１＝０态的径向Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ方程为 一 ｄｒ Ｉ＋Ｉ 一ｈ２（ｅ￣ 一１＇）２ 壳 （ｅ 一１）／ 壳 Ｅ一 ＝ ＝ （２） （３） 式中：Ｅ＜０为束缚态能量； 为径向本征函数．引入无量纲参量 Ａ ＝ Ｂ 则方程（２）可改写成等效方程 （Ｉ 一 ｄｘ＋淼一一一１．）２ ｅ １ 一Ｊ 。 ２因子化方法求解三参量势函数的Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ径向方程 因子化方法 主要任务是找到满足下列关系式的算符ａ ，ａ ，ａ。，…． 以 口。＋ ＝疗１ 口 ２＋ ＝ｑｎ ＋ｏｃｌ＝疗２ 口 口３＋ ＝ａ２ｎ ＋ ＝疗３ ： ㈩ （５ａ） （５ｂ） （５ｃ） （５ｄ） ａ ＋１Ⅱ七＋１＋ 七＋ｌ＝ａｋ口 十 ＝Ａ七＋１ ； 其中： ＝１，２，３，…）为实常数．利用找到的算符ａ ，ａ ，ａ。，…，可以得到下列结论： ＋１ …，相应的归一化本征矢为 若ｎ ｌ ）＝０，（ ｌ ）＝１，则实常数 为詹 的第足个本征值，除这些值外， 不会有其他的本征值， 并且 ｌ≤ ２ … ）＝ （ 一 ）（ 一 ）豪 （ 一 ）…（ 一 一。） ‘ … ） ０２一 （６） ＋啬一 ２署＋ － ｃ￣ｏｔ（７） （８） 令 ｄ＝ ＋ ＋南，以 ＝一 ＋ ＋ Ｃｋ ＋ ＋ 其中：ｂｋ和 是实常数．于是 ｄ２一 （９ａ （９ｂ） ｄ２＝一 ＋ ＋ ＋ 将方程（９ａ）代入（５ａ），并与式（７）比较可得 一蔷＋ ＋离婚一 ｄ２＋啬一 ＝０，Ｅ１＝一砰，即 ， ＝一 ２一 ＝一砰 （１ｏ） ＝一 因此有ｃ ＋ａ，ｃｌ—ａ２５ ：０，２ｂ１Ｃ１＋ｃ１ ＋ ± ２２ ５２ 高师理科学刊 第３２卷 情况应取其中的最大值．因此取ｃｌ＝一詈一罢 ，由此得到 一 詈（ 寺 ． 再由方程（９ａ）、（９ｂ）和（５ｄ）可得 利用式（１１），最后有 ｑ－ ￣．ｍ］ ｃｔ＋１＝ｃ七一 ， ２ ＋ｌＣ七＋１＋ｃ七＋１ ＝２ｂｋｃ 一ＣｋＣｌ， 七＋１＝ ＋ 七一匆己】 Ｃ ：ｃｌ一（ 一１） ＝一ｃｒ（ｍ＋ｋ一１） （１２ａ） ｂ：ｋ ｏ：———ｔ（ｋ－１）２＋（２ｋ－１—）ｍ－ｙｚ ２ ｍ＋ｋ一１ （１２ｂ） ：一譬（ ］ （１２ｃ） 其中：ｋ＝１，２，３，…． ３束缚态能级和波函数 由式（１２ｃ）得知第ｎ个能级为 ＝蔫一篇［ 。（１３） 式中：，ｚ＝１，２，３，…．这一结果与文献［７】的结果一致．此外，还可以看出，只有有限个束缚态． ｎ值的最大 值不能大于由式（１４）给出的 一． （ｎ一一１） ＋（２ 一－１）ｍ－ｙ ＝０ ｎ＜ｎ一＝，（１４） 由此得 １７２＋ （， 一１）一ｍ＋ｌ （１５） 这也与文献［７］的结果一致． 波函数可如下求出，设 ）＝０，则 ｌ ＋ ＋ 解这个一阶微分方程，容易得到 ）：。 （１６） （ ）＝（ Ｉ ）＝ｃｅｘｐ｛＿＿ ＋ （ｅ 一１）－ ｊ 利用积分公式ｆ（ｅ 一１）－ ｄｘ＝ ～ｌｎ（１一ｅ一 ），并将式（１５）代人即得 （ ）＝ｃ（１一ｅ一 ｍ＋ｎ－Ｉｅｘｐｌ一 二 其中：Ｃ为归一化常数．当ｒｔ＝１时，得到基态波函数 ｌ ．（ ７） （１８） ）＿ｃ（１－ｅ一） ｅＸｐ 等 注意到式（１６）就是文献［５］中为了化为Ｒｉｃｃａｔｉ方程而作的假设旦 ＋ＩｔＩ（ ） ＝０，这只是对基态，但 对激发态却为力，只能再次假设Ｕｎ（ ）的形式，而求解“ （ ）还要解一个二阶的微分方程，而因子化方 法只要对 （ ）多次求导就可得到定态波函数．利用式（６）、（８）、（１１）、（１２ａ）、（１２ｂ）即可写出第 个能 级的定态波函数 第４期 李克轩：因子化方法求解三参量势函数的Ｓｃｈｒｆｄｉｎｇｅｒ方程 ５３ （ ）＝ Ｃ ・ 。 （ ） （１９） ４结论 定态Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ方程一般是二阶变系数齐次微分方程，其求解过程往往比较困难．因子化方法是将求 解过程代数化，只需代数运算就可得到本征值，而只解一阶微分方程和求导运算，即可得到本征函数，非 常简单．其优于传统解法之处在于计算过程不用超几何方程和超几何函数，同时也避免了使用不尽人意的 级数形式，大大降低了求解难度，这种方法可推广至所有可解势的计算． 参考文献： 【１］王帅，徐世民，李洪奇．求解三模耦合谐振子精确能谱的一种方法［Ｊ］．大学物理，２０１０，２９（１）：３７—３８ 【２】孙云，唐绪．ＩＥＯ方法在求解哈密顿量能谱中的应用【ＪＪ．大学物理，２０１０，２９（７）：２５—２７ 【３】赵清锋．待定系数法求解一维线性谐振子在微扰体系下的解析解［Ｊ】．大学物理，２０１ １，３０（５）：５５—５６ 【４】李重石，李向东，汤建钢，等．碱金属原子和类氢离子束缚态能级的解析解［Ｊ］．大学物理，２０１２，３１（２）：２１—２４ ［５】佘守宪，唐莹．一种简捷求解定态薛定谔方程的方法：科尔一霍普夫变换法［Ｊ】．大学物理，２００４，２３（１２）：３－１１ ［６］胡先权，罗光，马燕．幂函数叠加势的径向薛定谔方程的解析解［Ｊ］．物理学报，２００９，５８（４）：２１６８—２１７２ 【７】孙久勋，章立源．两个严格可解的双原子分子势函数［Ｊ】．物理学报，１９９６，４５（１２）：１９５３—１９５９ 【８】程檀生．现代量子力学教程［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００６：２５９—２６９ （上接第４２页） ３结论 针对非线性或非平稳信号的信息检测，探讨了几种常见的时频分析方法．在ＭＡＴＬＡＢ环境下，对ＨＨＴ 时频分析特眭进行了仿真研究，并应用ＨＨＴ分析了２例第一心音信号．实验结果表明，ＨＨＴ在时频分析 中能够自适应地检测到信号的频谱分量在时间上的变化，从而能够在时间和频谱上同时反映出信号的能量 或强度，有效地提取到正常、异常第一心音非平稳信号的全部信息． 参考文献： 【１】张威斌，曹继华，石和平，等．两种时频分析算法的分析比较［Ｊ】．科技创新导报，２０１１（３５）：７９—８２ 【２］李卿，张国平，刘洋．Ｈｉｌｂｅｒｔ－Ｈｕａｎｇ变换及其滤波特性研究［Ｊ】．华中师范大学学报：自然科学版，２００９，４３（２）：２３５—２３８ 【３］Ｎｏｒｄｅｎ Ｅ，Ｈｕａｎｇ Ｚｈｅｎｇ－ｓｈｅｎ，Ｓｔｅｖｅｎ Ｒ Ｌ，ｅｔ １ａ．Ｔｈｅ Ｅｍｐｉｉｒｃａｌ Ｍｏｄｅ Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ Ｈｉｌｂｅｒｔ Ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｆｏｒ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ａｎｄ Ｎｏｎ－ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ Ｔｉｍｅ Ｓｅｒｉｅｓ Ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆｔｈｅ Ｒｏｙａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ，１９９８（４５４）：９０３－９９５ ［４］刘慧婷，倪志伟，李建洋．经验模态分解方法及其实现【Ｊｊ．计算机工程与应用，２００６（３２）：４４—４７ 【５］张勇，张春梅．用ＨＨＴ变换处理离心压缩机喘振试验数据 流体机械，２０１２（１）：１０—１２ 【６］全海燕，王威廉．Ｈｉｌｂｅｒｔ—Ｈｕａｎｇ变换及其在心音信号分析中的应用［ＪＪ．信号处理，２００３，１９（增刊１）：３１２—３１５
