长沙市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

数

学

2022.4

时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．已知集合Ax2x4，Bxx2，则AðRB（A．（−2，2）2．复数z

B．（−2，4）C．（2，4））D．2,2）D．第四象限）D．0x

i

（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（1i

B．第二象限C．第三象限A．第一象限3．不等式log23x11成立的一个充分不必要条件是（A．

11x33

B．x0C．1x

1

313

4．如图所示，正方形O'A'B'C'的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（）A．16cmB．82cmC．8cmD．443cm5

5．已知在△ABC中，AB=3，AC=4，cosA，则ABBC（）8

3333A．B．C．D．4224

6．设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，ACBB两点间的距离，距离为（）5，BAC，请你帮小明同学计算出A，123

A．406米B．4013米C．403米D．40

26米7．若函数fx是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有fx1fx1，且当x0,1时，fx2x1，若函数gxfxlogax2（a1）在区间（−1，3）恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（A．1,38．设函数B．3,5C．3,5）D．1,5）xlnx,x0

有5个不同的零点，则正实数的取值范围为（

fx

sinx4,x0



1A．

1317

,44

B．

1317

,44

C．

1317

,44

D．

1317

,44

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错的得0分）9．已知a，b表示直线，，，表示平面，则下列推理不正确的是（A．a，ba∥b

）B．a，a∥bb∥且b∥C．a∥，b∥，a，b∥D．∥，a，ba∥b10．已知下列四个命题为真命题的是（）

A．已知非零向量a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c



B．若四边形ABCD中有ABDC，则四边形ABCD为平行四边形

C．已知e12,3，e24,6，e1，e2可以作为平面向量的一组基底612

D．已知向量a2,4，b1,2，则向量a在向量b上的投影向量为,

55

11．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（A．若AB，则sinAsinB

B．若a=4，b=5，c=6，则△ABC为钝角三角形C．若a=5，b=10，A

），则符合条件的三角形不存在4

D．若acosAbcosB，则△ABC一定是等腰三角形12．如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO=OC=2，则下列结论正确的是（）A．圆锥SO的侧面积为82B．三棱锥S−ABC体积的最大值为C．∠SAB的取值范围是,



43

83

D．若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）31



13．设向量asin,1，bcos,2，若a∥b，则tan________．14．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是2________．（答案用a表示）15．已知直三棱柱ABC−A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和23，此三棱柱的高为3，则该三棱柱的外接球的体积为________．x9y

16．如图ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且ADAExAByAC，则xy

的最小值为________．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）

已知a3,2，b2,1，O为坐标原点．

（1）若mab与a2b的夹角为钝角，求实数m的取值范围；（2）当t1,1时，求atb的取值范围．

18．（本小题满分12分）如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是正方形，E，F分别是BB1，B1C1上的点，且C1F=2B1F，BE=2B1E．（1）证明：点F在平面AD1E内；（2）若AA1=2AB=4，求三棱锥D−AD1E的体积．319．（本小题满分12分）（1）在复数范围内，求方程2x3x40的解；（2）若复数z1，z2满足z1z22iz12iz210，若z1，z2满足z2z12i，求出z1，2

z2．20．（本小题满分12分）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且CQBP2

．QD1PD3

（1）求证：PQ//平面A1D1DA；（2）若R是AB上的点，AR

的值为多少时，能使平面PQR//平面A1D1DA？请给出证明．AB

421．（本小题满分12分）在①2ab2ccosB；②S

322C③3sinAB12sin．三ab2c2；42

个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，已知________．（1）求角C的值；（2）若b=4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为的值．23，求边长a3

22．（本小题满分12分）已知函数fx2xmx2（mR）．（1）对任意的实数，恒有fsin10成立，求实数m的取值范围；（2）在（1）的条件下，当实数m取最小值时，讨论函数Fxf2cosxa15在x0,2时的零点个数．5长沙市一中2022年高一第二学期期中考试数学参一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号答案1A2B3D4A5B6B7C8A4．【解析】直观图正方形OABC的边长2cm，OB22，原图形为平行四边形OABC，其中OA2，高OB42．ABCO3246．原图形的周长L262216(cm)．故选：A．6．【解析】ABC中，AC80米，ACB，512，BAC3，所以ABC51234利用正弦定理得AB805sinsin12480，解得AB62440(13)，22所以计算出故选：A，B两点间的距离为40(13)米．B．x[1，0]，则x[0，1]，7．【解析】由题意，令1f(x)2x1()x1f(x)．21x()1,1x0．f(x)2x21,0x1对任意xR，都有f(x1)f(x1)，令tx1，则xt1，f(t)f(t2)，f(x)是以2为周期的周期函数．故函数f(x)在区间(1,3)上的大致图象如下：函数g(x)f(x)loga(x2)(a1)在区间(1,3)恰有3个不同的零点，yf(x)的图象与yloga(x2)(a1)在区间(1,3)恰有3个不同的交点．根据图，当yloga(x2)经过点(1,1)时，有两个交点，6此时loga(12)f（1）1，解得a3．当yloga(x2)经过点(3,1)时，有4个交点，2)f（3）1，解得a此时loga(35．当3a5时，恰有3个不同的交点，即函数g(x)f(x)loga(x2)(a1)在区间(1,3)恰有3个不同的零点．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9ABC10AB11AC12BD9．【解析】a，ba//b或a与b相交，故A错误；，或ba，a//bb//且b//a//，b且b//，或b//且b，故B错误；//，a，b////，或与相交，故C错误；由平面与平面平行的性质可知，故选：a，ba//b，故D正确．ABC．OC2，SC22，，故12．【解析】在RtSOC中，SO则圆锥SO的侧面积为S12222422面积取最大值，为A错误；当B位于AC中点时，ABC1222，2此时三棱锥S18ABC体积的最大值为42，故B正确；33当B与C趋于重合时，SAB趋于，当B与A趋于重合时，ASB趋于0，SAB趋于42，)，故C错误；2若ABBC，以AB为轴把平面SAB旋转至与平面ABC重合，连接SC，交AB于E，SAB的取值范围是(，则SBC4150，在SBC中，SBBC22，(22)2(22)222222cos1503)2(31)，即SECE的最小值为2(31)，故D正确．3由余弦定理可得，SC8822222(7故选：BD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）123215．3

13．14．3a2

16．8四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【解析】（1）由a(3,2)，b(2,1)，

所以mab(3m2,2m1)，

a2b(1,4)；令(ma





b)(a2b)0，0，解得m65，即3m28m4当m11时，mabab，a2b与mab方向相反，夹角为平角，不合题意；221，2116所以若mab与a2b的夹角为钝角，则m的取值范围是(,)(,)．225所以m（2）

75,26518．【解析】（1）证明：如图，连接BC1EF，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，C1D1//AB，且C1D1AB，四边形ABC1D1是平行四边形，AD1//BC1．C1F2B1FBE2B1E，即△B1EF△B1BC1，EFB1FB1E1，B1C1B1B3//BC1，AD1//EF，AD1EF四点共面，点F在平面AD1E内．8（2）433323i4

（2）略19．（1）DA的延长线交于M因为四边形ABCD为正方形，所以BC//AD，20．【解析】（1）证明：连结CP并延长与点，CPBP2，PMPD3CQBP2CQCP2又因为，所以，所以PQ//MD1．QD1PD3QD1PM3故PBC∽PDM，所以又MD1平面A1D1DA，PQ平面A1D1DA，故PQ//平面A1D1DA．（6分）AR3的值为时，能使平面PQR//平面A1D1DA．AB5AR3BR2BRBP，即有，故AB5RA3RAPD，所以（2）当证明：因为PR//DA．又DA平面A1D1DA，PR平面A1D1DA，PR//平面A1D1DA，又PQPRP，PQ//平面A1D1DA．PQR//平面A1D1DA．（12分）b2ccosB，，整理可得a2所以所以平面21．【解析】（1）选①2aa2c2b2则由余弦定理可得：2ab2c

2aca2b2c21

，可得cosC

2ab2

因为C(0,)，所以Cb2c2ab，3．选②S32(ab2c2)，43(a2b2c2)，即sinC3cosC2ab，13(a2b2c2)可得absinC24所以tanC3，因为C(0,)，9可得C3．选③3sin(AB)12sin2C2，可得：3sinC2cosC，可得2sin(C)2，6可得：sin(C)1，6因为C(0,)，C(66，7)，6所以C62，可得C3．（2）在ABC中，SABCSACDSBCD，可得111BCCDsinBCDCACDsinACDCACBsinACB，2221aCDCD3a，①4123aCD43，②可得又SCDBa224，解得a2，或a（舍去），由①②可得：3a43所以边长a的值为2．22．【解析】（Ⅰ）任意的实数，可设t由题意可得f(t)0恒成立，结合函数sin1，可得t[2，0]，f(x)的图象为开口向上的抛物线，可得f(2)0(4m)00即，解得m0，即m的取值范围是[0，)；f(0)0(m)20（Ⅱ）由（Ⅰ）可得m0，即f(x)2x(x2)，F(x)f(2cosx)a154cosx(2cosx2)a15F(x)0，可得，令15acosx(cosx1)，x[0，2)，8可令u11cosx，f(u)u2u(u)2，1u1，24x23时，u当0cosx递减，yf(u)在12u1递增，即有ycosx(cosx1)在0x23时递减，此时1y2；4时，当2x3ucosx递减，yf(u)在1u时12递减，即有ycosx(cosx1)在43时，u2x3时递增，此1y0；4当xcosx递增，yf(u)在1u14递减，即有ycosx(cosx1)在x2310时递减，此时1y0；4时，u当4x23cosx递增，yf(u)在14u1递增，即有ycosx(cosx1)在x2231y2；4作出ycosx(cosx1)，x[0，2)的大致图象如右：时递增，此时由图象可得当15a2，即a1时，函数F(x)的零点个数为1；8或0当15a18415a2，即a17或1a15时，函数F(x)的零点个数为2；8当15a0，即a15时，函数F(x)的零点个数为3；8115a0，即15a17时，函数F(x)的零点个数为4；48当a1或a17时，函数F(x)的零点个数为0．当11