高一数学 基本不等式教案(融入数学文化思想)

教学目标：1.理解和掌握基本不等式1和基本不等式2的内容及其证明； 2.利用基本不等式求有关问题的最值； 3.认识我国古代数学成就,提升名族自豪感。 教学重难点：基本不等式及其应用 教学过程：

一、引入

让学生观察图1，告诉我们什么信息？ 此图形如风车，是2002年8月20日在北京召开的国际数学家大会的会标。它依据我国著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车。

依据图1，你能找到一些相等或不等关系吗？

二、两个基本不等式及证明

1. 基本不等式1：若a、bR，a2b22ab，当且仅当ab时等号成立. 证明方法一：作差法；

证明方法二：利用引入中提到的弦图： 如图2所示 当ab时

S正方形a2b2  S三角形之和2ab

图1 当ab时

S正方形ab = S三角形之和2ab22图2

综上,若a、bR，a2b22ab，当且仅当ab时等号成立.

a2b2注意：基本不等式1的变式：ab，当且仅当ab时等号成立

22. 基本不等式2：若a、bR，ab2ab，当且仅当ab时等号成立. 证明方法一：作差法；

证明方法二：利用几何意义：

(1) 如图3中直角三角形，斜边上的中线长为ab； 2当ab时(即此三角形不是等腰直角三角形) ab  ab 2图3 当ab时(即此三角形是等腰直角三角形) ab = ab 2综上, 若a、bR，ab2ab，当且仅当ab时等号成立. (2)用a、b分别代替基本不等式1中的a、b可得到基本不等式2； 注意：(1)基本不等式2的变式：若a、bR，等号成立；

(ab)2 (2)由(1)的变式可得：若a、bR，ab，当且仅当ab时等

4abab，当且仅当ab时2号成立；

三、基本不等式的应用

欧拉是一位家喻户晓的数学家，有惊人的数学才能和数学发现，以他名字命名的有欧拉定理、欧拉公式、欧拉线等，当然也有许多美丽的传说，小时候帮父亲解决了一个棘手的问题：

例1.因羊繁殖增多，他父亲计划建一个长40米，宽15米共600平方米的长方形羊圈．可动工时才发现原有的材料只够围100米的篱笆，该如何办？正在为难时，小欧

拉给了一个建议，把羊圈建成一个边长为25米的正方形．父亲照着小欧拉设计扎了一个正方形的羊圈，100米长的篱笆真的够了，面积还比原来的稍大一些．这是为什么？如何解释欧拉的设计？

欧拉的做法:不妨设羊圈的长为x米，宽为y米，则x+y=50，xy=S．由.x+y≥2√𝑥𝑦，可得50≥2√𝑆．所以S≤625，当x=y=25时等号成立.

事实上，欧拉总结出一条规律：在等周长的矩形中，正方形的面积最大．

思考：若矩形的面积为定值时，周长的最值情况又如何？

例2 (1)已知x0，求yx解：∵ x0，∴

1的最小值； x10， x∴yx1112x=2，当且仅当x,x0即x1时等号成立. xxx1的最小值是2. x1(2)已知x1，求yx的最小值； (3)

x11(3)已知x1，求y2x的最小值。 (222)

x1注意：利用基本不等式2求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等；

四、作业布置： 1. 作业（18）；

2. 阅读《基本不等式及其应用》相关材料，制作成一份数学小报。

∴x0时，yx

附录：

《基本不等式及其应用》阅读材料

1.欧拉设计，美妙无比

基本不等式有广泛的应用，在应用的过程中体现出人类高超的数学智慧，如欧拉美妙绝伦的设计，不仅解决了人类的许多问题，而且展示了人类美妙无比的解答．

欧拉是喻户晓的数学家，有惊人的数学才能和数学发现，课堂上我们已经介绍了幼年欧拉帮父亲解决棘手问题的故事，下面我们来探究一个变式问题：

2

例 若欧拉家用篱笆围一个面积为100 m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．篱笆最少用多少米?

解 设矩形菜园的长为x米，宽为y米，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)米．

xy由xy，可得

2x+y≥2√100，2(x+y)≥40．

等号当且仅当x=y时成立，此时x= y=10.

因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米．

从欧拉的聪明设计与问题变式的解答，不难发现如下重要的结论：当两数和为定值时，这两数积有最大值；两数积为定值时，这两数和有最小值（和定积最大，积定和最小）.

2.等周问题——基本不等式的推广

许多重要的数学成果，往往是数学命题推广的结果。基本不等式的推广，可以得到等周定理，也可得到均值不等式——这些都是数学中非常重要的结论．

1)试研究：“在等周长的四边形中，正方形的面积最大．”根据此定理，我们可以得出什么结论？

不难发现，如果将四边形改为多边形，基本不等式将拓展到：在定周长的多边形中，正多边形的面积最大.而且我们知道，在定周长的所有平面图形中，圆有最大面积；在等面积的立体图形中,球的体积最大——这些结果就是等周定理。

早在公元前180年左右，古希腊数学家芝诺就研究过这一类求极值的问题，称为“等周定理”，或“等周问题”．他的等周图形的论著已经失传，着实可惜．但值得庆幸的是，有关等周图形的命题被公元4世纪亚历山大里亚的学者帕波斯记载，才得以保存．所以，等周定理历史悠久，源远流长．

2)笛卡尔与等周问题．17世纪的笛卡尔对面积为1的一些图形的周长和周长为1的一些图形的面积进行研究，通过具体实验验证了等周问题，如下表所示.

表格中的数据说明了什么问题？你能解释如下问题吗？ 很多花茎、树干和许多别的物体的杆为什么都长成圆柱形的？飘浮在空气中的小水滴和肥皂泡为什么近似于球形？这些问题看似与数学无关，其实，它们间接地包含了数学中“最小面（体）积”的问题．

18世纪，斯坦纳对等周问题进行证明．之后，伯努利兄弟、欧拉、拉格朗日等相继对等周问题进行了研究，推动了最值问题研究的深入．至今，数学中对等周问题的斫究仍在继续，且不断地深入，在研究它的过程中，产生了各种数学思想、研究方法，间接地推动了数学的发展．

动手做

请你收集有关基本不等式在生活或其他领域中应用的资料，制作成一份数学小报，作为一次阶段性作业。

上交截止日期：2014年12月1日。