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第２２卷第４期 信号处理 ＳＩＧＮＡＬ ＰＲ０ＣＥＳＳＩＮＧ Ｖｏｌ＿２２． Ｎｏ．４ ２００６年８月 Ａｕｇ．２００６ 构造短码长不规则ＬＤＰＣ码 敬龙江 林竟力 成先涛 朱维乐 （电子科技大学电子工程学院１６０３教研室，四川成都６１００５４） 摘要：在给定长度和度数分布对情况下，不规则短码长ＬＤＰＣ码的性能差别很大。本文给出了一种低复杂度的基于 树的贪婪搜索算法（ＧＴＳ），此算法通过调整校验矩阵中环的分布情况，尽量减少短长度环，获得最大的平均最小环，从而 构造性能很好的短码长不规则ＬＤＰＣ码。 关键词：不规则ＬＤＰＣ码；短码长；最小环；搜索法 Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｈｏｒｔ Ｂｌｏｃｋ Ｌｅｎｇｔｈ Ｉ ｒｒｅｇｕｌａｒ Ｌｏｗ－－Ｄｅｎｓｉｔｙ Ｐａｒｉｔｙ－－Ｃｈｅｃｋ Ｃｏｄｅｓ Ｊｉｎｇ Ｌｏｎｇｊｉａｎｇ Ｌｉｎ Ｊｉｎｇｌｉ Ｃｈｅｎｇ ＸｉａｎＴａｏ Ｚｈｕ Ｗｅｉｌｅ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｏｆ ＵＥＳＴＣ，Ｃｈｅｎｇｄｕ ６１００５４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｒ ａ ｉｇｖｅｎ ｂｌｏｃｋ ｌｅｎｇｔｈ ａｎｄ ｇｉｖｅｎ ｄｅｇｒｅｅ ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ，ｔｈｅ ｅｎｓｅｍｂｌｅ ｏｆ ｓｈｏｒｔ ｉｒｒｅｇｕｌａｒ ｌｏｗ—ｄｅｎｓｉｔｙ ｐａｒｉｔｙ—ｃｈｅｃｋ ｃｏｄｅｓ ｃａｎ ｈａｖｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｂｌｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｉｎ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ．Ａ ｌｏｗ—ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ ｇｒｅｅｄｙ ｓｅａｒｃｈ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｒｅｅ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ Ｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｇｅｔ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ａｖｅｒａｇｅ ｇｉｒｔｈ ｂｙ ａｄｊｕｓｔｉｎｇ ｔｈｅ ｃｙｃｌｅ ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｃｈｅｃｋ ｍａｔｉｒｘ ａｎｄ ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓｈｏｒｔ ｌｅｎｇｔｈ ｃｙｃｌｅｓ，ｔｈｕｓ ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ｉｎ ｇｏｏｄ ｓｈｏｒｔ ｂｌｏｃｋ ｌｅｎｇｔｈ ｉｒｅｇｕｌａｒ ＬＤＰＣ ｃｏｄｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｉｒｅｇｕｌａｒ ＬＤＰＣ ｃｏｄｅｓ；ｓｈｏｒｔ ｂｌｏｃｋ ｌｅｎｇｔｈ；ｇｉｔｒｈ；ｓｅａｒｃｈ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ １ 引言 由于低密度校验（ＬＤＰＣ）码拥有逼近香农限的性能和线 性复杂度的解码算法，近年来引起了人们的极大兴趣。在 ＢＰ解码情况下，不规则ＬＤＰＣ码能获得离香农限０．００４５ ｄＢ 降［４］［５］。另一方面，二分图的最小环与码的最小距离有 关，最小环越大，码的最小距离也随之增大［６］。而码的最小 距离是它在高信噪比区域性能情况的决定因素之一。当码 长较短时，码集中各个码的环分布将远不如长码长码均匀， 这造成了码长和度数分布对相同的同一个码集中的各个码 性能上的巨大差异。由此，近年来人们致力于构造具有更好 环分布结构和更大最小环（ｇｉｒｔｈ）的不规则ＬＤＰＣ码。Ｍａｏ和 Ｂａｎｉｈａｓｈｅｍｉ提出了平均最小环的概念，通过在随机生成的码 的纠错能力，仿真中也找到离香农限仅０．０４ ｄＢ码长为１０， ０００，０００比特的不规则ＬＤＰＣ码［１］。直到现在，为获得很好 的编码性能，一般都要求ＬＤＰＣ码有大于１００，０００比特的码 长。而实时通信应用中，我们却经常需要长度在几千比特的 短码。怎样才能构造好的短码长不规则ＬＤＰＣ码呢？ 当给定码长和度数分布对，通过随机连接二分图的变量 节点和校验节点，我们可得一个随机ＬＤＰＣ码码集［２］。就 长码长ＬＤＰＣ码而言，在ＢＰ解码算法下，此码集平均性能可 由Ｒｉｃｈａｒｄｓｏｎ等提出的密度进化算法分析［２］，随码长增加， 码集中的单个码性能将趋近于平均性能。而对于短码长码 而言，码集中的各个码性能差异很大［３］。ＢＰ算法是基于树 形拓扑结构的，在无环情况下ＬＤＰＣ码才能获得最优解，而现 实中码字长度有限，这必然形成环，导致在有限次迭代后出 现相关，算法无法收敛或收敛速度减慢，造成解码性能的下 集中搜索最大平均最小环来选择性能更好的码［３］。文献 ［７］通过选择大的停止集（ｓｔｏｐｐｉｎｇ ｓｅｔｓ），从而获得拥有更大 最小码间距的ＬＤＰＣ码。文献［８］给出了一种最小环条件的 方法，在构造校验矩阵时逐列添加列向量来保证校验矩阵 对应的二分图拥有尽量大的平均最小环，从而得到好的码。 由于每增加一个列向量，就要对整个校验矩阵进行一次平 均最小环的计算，所以这种算法复杂度较高，在变量节点 度数较大时不易实现。针对上述情况，本文提出一种基于 树的贪婪搜索法来构造短码长不规则ＬＤＰＣ码。仿真表明， 这种方法能有效降低计算复杂度，提高码的性能，在高信 噪比情况下尤其如此。 收稿日期：２００４年１２月６日；修回日期：２００５年４月３０日 维普资讯 http://www.cqvip.com
５９０ 信号处理 第２２卷 ２码的构造算法 假定校验矩阵有ｍ行、ｎ列，即对应一个有ｍ个校验 ０ ０ ０ １ ０ ０ １ １ １ Ｉ Ｃ０ ０ ０ １ １ ０ １ ０ ｌ ０ ｌ Ｃｌ ０ １ ０ ０ １ １ ０ ０ ０ ｌ ｃ２ １ １ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ Ｉ Ｃ 节点、 个变量节点的二分图。 ：∑ ： 为二分图的平均 ｌ｜ｋ 最小环，ｇｊ为第ｉ个节点的最小环。给定节点ｕ，其最小环 计算方法很简单：我们以Ｕ为根，经过厂步（厂大于或等于 ｋ），所有与根节点Ｕ距离为厂的节点都包含在树中。假定在 ０ ０ １ １ ０ １ ０ ０ １ ｌ ｃ４ １ １ ０ ０ ０ ０ １ ０ １ Ｖ０Ｖ１ Ｖ２ Ｖ３ Ｖ４ Ｖ５ Ｖ６ Ｖ７ Ｖ ＩＣ 第ｋ步，树中第一次出现了相同节点叶子，则２ｋ便是Ｕ的 最小环。对于短码长而言，这个算法的复杂度较低。实际 上，我们很容易得出上述二分图平均最小环的计算复杂度 是Ｏ（ｎ ）。 ：设定搜索级别Ｌ； 初始化各消息节点（列向量）的最小环ｇ ：２（Ｌ＋１）；； ；ｆ０ｒ（ｉ＝ｎ一１； ≥０； 一一） ； ： ｂｅｇｉｎ ｃｏｕｎｔ＝０； ； ；ｒｅｄｏ： ； ＩＩ ｊｃｏｕｎｔ＊－－ｃｏｕｎｔ＋１； 生成列向量 ； ；ｉｆ ｎ—ｍ ！Ｉ ：ｂｅｇｉｎ ｊ 重排列向量 的各行，形成一个由 和 ，｝（ｉ＜ ＜ｎ） 阻成的矩阵；对Ｈ进行高斯消去计算，使它形成下三角矩阵 Ｉ并获得 ； ｊ ｉｆ ｉ是零向量ｇｏｔｏ ｒｅｏｄ； ｉｅｎｄ ｊ ！ ・ ； 对 进行ＧＴＳ搜索得到 ； Ｉ ｊ 以 为根节点，构造树； ｉ！ ｆｏｒ（ ＝１； ；ｋ＋＋） ｉ ｂｅｉｇｎ ；将与第ｋ一１级节点相邻的节点加入树中构成第ｋ级；ｉ ｆｏｒ每个ｋ级节点Ｕ ｉ ｂｅｇｉｎ ；ｉ ｉｆ；￣Ｅ ｓ 级出现的节点Ｍ 与Ｍ 为同一节点Ｍ 和Ｍ ｊ及其各上级节点的最小环ｇ ＝２（＆＋ ）； ｉ ｉｆ上述节点最小环ｇ，＞ｇ ｇ：一ｇ ； ｊ； 删除Ｍ ，节点； ； ；： ｅｎｄ ｉ ・ｅｎｄ ｉ 用ｇ：替代甑计算 ； ； ｉ ｉｆ（ ＞ａ ｏｒ ｃｏｕｎｔ＿＞ｃｏｕｎｔｍａｘ） ： ；拥有最大 的列向量 加入样验矩阵； ！ ｊ 对应的ｇ，一 ｅｌｓｅ ｇｏｔｏ ｒｅｄｏ ！ 。 ｄ １ ６×９维的校验矩阵 在给定码长ｎ、度数分布对（ ，Ｐ）后，我们这样构造校验 矩阵：首先设定一个ｍ×ｎ维的全零校验矩阵日（其中ｍ＝ｎ ｒ１ ． ，１ Ｊ Ｏ Ｉ Ｐ（ ）ｒｄ／ＩＪ ０ （ ）ｄｒ），再将列向量按重量非递减顺序依次从 右至左添入校验矩阵日中。如 、 分别表示第ｉ和第 个列 向量，当ｉ＞ 时， 的列重不大于 的列重。对于前ｎ—ｍ次 列添加，我们都要对日进行高斯消去计算，使这ｎ—ｍ个列向 量线性，以保证校验矩阵行满秩。添人校验阵日中的所 有列向量都是在满足度数分布对条件下随机生成，当准备添 人的某一列向量通过贪婪树搜索法（ＧＴＳ）所得校验阵的平均 最小环达到某一设定门槛时，此次扩展完成。为保证算法收 敛且便于控制，我们引入了记数器，当记数器达到设定最大 值而校验矩阵的平均最小环还没达到我们要求时，此次计算 自动中断，并从先前计算中选出拥有最大平均最小环的列向 量添人校验矩阵中。算法的具体细节如左所述。 第０级 第１级 第２级 第３级 第４级 图２以 节点出发的ＧＴＳ搜索法，生存路径由粗实线表示 图１是一个６×９维的校验矩阵。图２是以 节点为根 展开的树，其中 表示变量节点，ｃ表示校验节点。ＧＴＳ搜索 法是指：设定校验阵中各列向量的最小环为一固定值２（Ｌ＋ １），每当选择一列向量（如节点 ）准备加入矩阵时，以 节 点为根展开Ｌ级树，逐级搜索树中所有环，确定环中各变量 节点因节点 引入对它们最小环的影响，如最小环值降低， 则此次所得值代替原值，反之则不改变原值。在树的逐级拓 展中，重复节点只保留一个，保证在生存路径上的节点得以 成长，而其它路径上的节点枯萎。这样可避免大量节点的最 小环重复计算，从而将计算复杂度从与节点数成指数级关系 降为线性关系。以拥有４级节点树的图２为例，实线表示生 存路径。在树的逐级拓展中，只有生成路径上的节点才需要 计算其最小环。从图中我们很容易看出各节点的最小环，其 中 ， ， ， 的最小环为４， 。的最小环为６， 的最小环 为８，而当Ｌ设定为４时， ， 的最小环为１０。 ３仿真与比较 我们将ＧＴＳ算法应用到构造度数分布为 ＝０．２３９０ 维普资讯 http://www.cqvip.com
第４期 构造短码长不规则ＬＤＰＣ码 ５９１ ＝０．７６１０，Ｐ ＝０．７７９３，Ｐ ＝０．２２０７，码长为１２６８的不规则 为变量节点下标ｉ的函数，既 ＝１４—２．２×（（１２６８一ｉ）／ 码。将它与最小环条件法和Ｍａｏ提出的简单搜索法进行了 比较，仿真结果表明，ＧＴＳ法在性能上优于Ｍａｏ提出的简单 ＬＤＰＣ码中［３］。在此设定搜索级别Ｌ为６，平均最小环门槛 １２６８） ，记数器门槛为１５０。通过此算法，我们找到了平均 搜索法［３］，特别是在高信噪比区域表现更加明显，在算法复 杂度上优于最小环条件法［８］。 最小环约为１１．８２的码。与此相比，用文献［３］提出的简单 筛选法，从随机生成的２０００个码中选出码的最大平均最小环 约为９．３８。用文献［８］提出的最小环条件算法，能获得平均 最小环约为１１．６３的码。图３是这３个码在ＡＷＧＮ信道、 ＢＰＳＫ调制方式下的性能比较图。 １０一 －－ｇ－Ｍａｏ １０ １０。 盘 ∞ｌ０一， １０ １０一’ 重ｒＣｌＥ匡Ｉ ．；；；ｊ－７…＝－７！＝薹 Ｔ１｜】』ｉ薹－７！＝；；！…－７！＝ ；；；１舅］Ｊｊ囊ｉ ＝…；薹 －７！＝一 ；；ｆｌｃＬ＝禹Ｉ ｉｒ－７！… ＝－７：！；ｊ； ｜】Ｊ＝１ｉ７一！－；薹 ；：７！＝‘－ ；］；詈Ｊｊ毫ｉ一 …＝。－７：、３＝蠹；； 一’！ ；；；ｌｆｒｌＩ…兰＝壁呈 ｉ＝皇１§：ｊ’ ｉ …＝！一， ＝巴－ｌ．１莹］詈Ｉ １０。 ∞ Ｅ～ 旺～¨ ～琵 ～鳇Ｅ～畦 ～一墟 图３ ＡＷＧＮ信道下（１２６８，４５６）码的３种构造算法性能比较 从图３中可见，相对于简单搜索法，ＧＴＳ算法拥有较大的 性能增益，这种现象在高信噪比区域尤其突出。相对于最小 环条件算法，ＧＴＳ法的性能增益并不明显，但应该注意的是： 为得到每增加一个列向量后校验矩阵的平均最小环，前者的 计算复杂度是Ｏ（（ｎ—ｉ） ），而本算法仅是Ｏ（（ｎ—ｉ））。由 于ＧＴＳ算法简单易行，我们可以将其应用在变量节点度数稍 ●一 争ｆｌＩ！＝＝■ｌＩ＿＝＿＝■三＝Ｉｌ■ｌｌｌ＿一＝三ｌ＝■－●■■＝ ＝一！ｌ！¨ｌ＝，¨ｌ＝ＩＩ＝．！一■ ＝一ｔｌ－■＝＝Ｓ一＝ｌ－！：一Ｉ１ｌｌ＝ －＿大的ＬＤＰＣ码构造中。我们以构造一个可传输ＭＰＥＧ２信源 ＲⅡ 眦Ｓ棚ＴＧｒ １●ｌ １ ｌｔ＿－ｌＩ－Ｊ『ｌｌＩ】＝兰Ｉｌ一！三ｌ＝，！ｌ■ｌｌ■；＝ｌ＿】■！：‘！¨ｌ＝ＩＪ，ｌｌＩ一ＩｌｌｌＩ：暑丰Ｊ ●，，，１●｝ ，¨ｌ＝■毫■ｉ＝一■ｉ＝、－ｌｌｌ＿ｌ三 ！ｌ！；＝●！：一¨＝ｌｌ；Ｉ＿ｌｌｌｌ：一 ■ ＝ 一 数据的ＬＤＰＣ码为例：ＭＰＥＧ２每码包数据大小为１８８字节，● ●．■ｌＩ１＝！＝＝■！：：！ｌｌＩｌｌ＿Ｅ＝一，¨１＝ 我们按码率为１／２，整ＭＰＥＧ２码包进行数据传输，即要求构 造（３００８，１５０４）的ＬＤＰＣ码。根据文献［１］给出的离散密度 进化及优化算法，我们从所得结果中选取一组性能相对较 好，变量节点度数适中的度数分布对来进行仿真。具体的度 数分布为≈（ ）＝０．２４８４ｘ＋０．４２０３ｘ ＋０．３３１２ｘ ，Ｐ（ ）＝ ， 其中变量节点最大度数为１６。在设定搜索级别Ｌ为４，平均 最小环门槛 ＝１０—３．３×（（３００８一ｉ）／３００８） ，记数器门槛 为１００情况下，我们通过ＧＴＳ算法，得到平均最小环为６．５９ 的码。图４给出了它在ＡＷＧＮ信道、ＢＰＳＫ调制方式下的性 能情况。为了便于比较，图中也列出了从该码集中随机选取 的一个平均最小环为５．７１的码。从图４我们可看出，用ＧＴＳ 算法找到的ＬＤＰＣ码在信噪比为１．７ｄＢ情况下，能达到误码 率低于ｌ０ 的较好性能，能达到ＭＰＥＧ２数据无线传输误码 率要求。另一方面，由此算法构造的码在信噪比大于１．６ｄＢ 的高信噪比区域其性能大大优于从码集中随机挑选的码。 ４结论 本文针对短码长不规则ＬＤＰＣ码在给定长度和度数分布 对情况下，码集中各码字性能差异较大的问题，给出一种基 于树的贪婪搜索算法（ＧＴＳ），通过此算法获得校验矩阵最大 的平均最小环，从而构造出性能很好的短码长不规则ＬＤＰＣ ！ ］＝ 王 ●－ 千 －ｉ－ 望 １一 ＝＝＝ 赛 ＝ 擎 ａｌｉ ｊ＝ ：： 三｛三 詈！ 三！ 塞 ＳＮＲ（ｄＢ） 图４ ＡＷＧＮ信道下（３００８，１５０４）码随机构造算法 与ＧＴＳ构造算法性能比较 参考文献 ［１］ Ｓａｃ—Ｙｏｕｎｇ Ｃｈｕｎｇ，Ｇ．Ｄａｖｉｄ Ｆｏｒｎｅｙ，Ｔｈｏｍａｓ Ｊ．Ｒｉｃｈａｒｄ— ｓｏｎ．Ｏｎ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｌｏｗ—ｄｅｎｓｉｔｙ ｐａｒｉｔｙ—ｃｈｅｃｋ ｃｏｄｅｓ ｗｉｔｈ— ｉｎ ０．００４５ ｄＢ ｏｆ ｔｈｅ Ｓｈａｎｎｏｎ ｌｉｍｉｔ『Ｊ］．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ，ＩＥＥＥ，２００１，５：５８—６０． ［２］Ｔｈｏｍａｓ Ｊ．Ｒｉｃｈａｒｄｓｏｎ，Ｒｕｄｉｇｅｒ Ｌ．Ｕｒｂａｎｋｅ．Ｔｈｅ ｃａｐａｃｉｔｙ ｏｆ ｌｏｗ －ｄｅｎｓｉｔｙ ｐａｒｉｙｔ ｃｈｅｃｋ ｃｏｄｅｓ ｕｎｄｅｒ ｍｅｓｓａｇｅ－・ｐａｓｓｉｎｇ ｄｅｃｏ－・ ｄｉｎｇ［Ｊ］，ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｉｎｆ．Ｔｈｅｏｒｙ，２００１，４７：５９９－６１８． ［３］ Ｙｏｎｇｙｉ Ｍａｏ，Ａｍｉｒ Ｈ．Ｂａｎｉｈａｓｈｅｍｉ．Ａ ｈｅｕｒｉｓｔｉｃ ｓｅａｒｃｈ ｆｏｒ ｇｏｏｄ ｌｏｗｄｅｎｓｉｔｙ ｐａｒｉｔｙ—ｃｈｅｃｋ ｃｏｄｅｓ ａｔ ｓｈｏｒｔ ｂｌｏｃｋ ｌｅｎｇｔｈｓ 『Ｃ］．Ｐｒｏｃ．ＩＥＥＥ Ｉｎｔ．Ｃｏｎｆ．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｈｅｌｓｉｎｋｉ， Ｆｉｎｌａｎｄ，２００１，１：１１—１４． ［４］ Ｒｏｂｅｒｔ Ｇ．Ｇａｌｌａｇｅｒ．Ｌｏｗ—Ｄｅｎｓｉｔｙ Ｐａｒｉｔｙ—Ｃｈｅｃｋ Ｃｏｄｅｓ ［Ｊ］．ＩＲＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｉｆｎｏｒｍ Ｔｈｅｏｙｒ，１９６２，８（１）：２１—２８． ［５］ ＭａｃＫａｙ Ｄ Ｊ Ｃ．Ｇｏｏｄ Ｅｒｒｏｒ—Ｃｏｒｒｅｃｔｉｎｇ Ｃｏｄｅｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｖｅｒｙ Ｓｐａｒｓｅ Ｍａｔｉｒｃｅｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｉｆｎｏｒｍ ｈＴｅｏｒｙ， １９９９，４５（２）：３９９—４３１． ［６］Ｈａｏｔｉａｎ Ｚｈａｎｇ，Ｊｏｓ’ｅ Ｍ．Ｆ．Ｍｏｕｒａ．Ｔｈｅ ｄｅｓｉｎｇ ｏｆ ｓｔｒｕｃ— ｔｕｒｅｄ ｒｅｇｕｌｒａ ＬＤＰＣ ｃｏｄｅｓ ｗｉｔｈ ｌｒａｇｅ ｇｉｔｒｈ［Ｃ］．ｉｎ ＩＥＥＥ Ｇｌｏｂｅｃｏｍ ２００３，Ｄｅｃ ２００３，７：４０２２—４０２７． ［７］Ｔａｏ Ｔｉａｎ，Ｃｈｒｉｓ Ｊｏｎｅｓ，Ｊｏｈｎ Ｄ．Ｖｉｌｌａｓｅｎｏｒ，ｅｔ ａ１．Ｃｏｎ— ｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｉｒｒｅｇｕｌｒａ ＬＤＰＣ ｃｏｄｅｓ ｗｉｔｈ ｌｏｗ ｅｒｒｏｒ ｆｌｏｏｒｓ ［Ｃ］．Ｐｒｏｃ．ＩＥＥＥ Ｉｎｔ．Ｃｏｎｆ．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，Ａｎｃｈｏｒ— ｇａｅ，ＡＫ，ＵＳＡ，２００３，５：３１２５—３１２９． ［８］ Ｙ．一Ｊ．Ｋｏ，Ｊ．一Ｈ．Ｋｉｍ．Ｇｉｒｔｈ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｎｇ ｆｏｒ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｈｏｒｔ ｂｌｏｃｋ ｌｅｎｇｔｈ ｉｒｅｇｕｌｒａ ＬＤＰＣ ｃｏｄｅｓ［Ｊ］．ｉｎ ＩＥＥ Ｅ— ｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２００４，４０（３）：１８７—１８８． 作者简介 敬龙江：男，１９７４年生，信号与信息处理博士研究生， 研究方向为新一代移动通信中的编码调制技术。
