圆的一般方程,标准方程,参数方程总结

1、已知圆心为C(a,b)，半径为r， 如何求的圆的方程？ 运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：

y(xa)2(yb)2r2 这个方程叫做圆的标准方程

2、圆的标准方程 ：(xa)(yb)r

222222OrC(a,b)Mx若圆心在坐标原点上，这时ab0，则圆的方程就是xyr 3、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径

圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了。这就是说要确定圆的方程，必须具备三个的条件，确定a,b,r，可以根据条件，利用待定系数法来解决 三、讲解范例：

例1 求以C(1,3)为圆心，并且和直线3x4y70相切的圆的方程

例2已知圆的方程xyr，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程

例3．求过点M(3,1)，且与圆(x1)y4相切的直线l的方程

例4．一圆过原点O和点P(1,3)，圆心在直线yx2上，求此圆的方程

例5．已知一圆与y轴相切，在直线yx上截得的弦AB长为27，圆心在直线x3y0上，求此圆的方程．

222222. 圆的一般方程

1．圆的一般方程

将标准方程(xa)(yb)r展开，整理， 得xy2ax2byabr0，

可见，任何一个圆的方程都可以写成xyDxEyF0的形式。①

反过来，形如①的方程的曲线是否一定是圆呢？ 2222222222D2E2D2E24F 将①配方得：(x)(y)． ②

224把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出： （1）当DE4F0时，方程①表示以(径的圆；

（2）当DE4F0时，方程①表示一个点(222222DE1,)为圆心，D2E24F为半222DE,)； 22 （3）当DE4F0时，方程①不表示任何图形．

结论：当DE4F0时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方

22程．

2．圆的一般方程形式上的特点：

（1）x和y的系数相同，且不等于0； （2）没有xy这样的二次项．

以上两点是二元二次方程AxBxyCyDxEyF0表示圆的必要条件，但不是充分条件．充要条件是？（A=C0，B=0，DE4FA0）

说明：1、要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数D、E、F就可以了． 2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点？（圆的标准方程：有利于作图。一般方程：有利于判别二元二次方程是不是圆的方程）

例1．求过三点O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．

例2．已知圆xyx8ym0与直线x2y60相交于P、定点R(1,1)，Q两点，

若PRQR，求实数m的值．

例3．若圆x2＋y2－2kx＋2y＋2＝0(k>0)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为

例4．(2009年高考宁夏、海南卷改编)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________________．

例5．(原创题)圆x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB＝90°，

则实数c的值是________．

例6．已知点P(1,4)在圆C：x2＋y2＋2ax－4y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－3＝0的对称点也在圆C上，则a＝________，b＝________.

例7．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆的方程是____________________．

222222223. 圆的参数方程

(1)根据三角函数的定义，xrcos， ①

yrsin显然，对于的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x,y)都在圆O上。 我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程，是参数． （2）圆心为O1(a,b)，半径为r的圆的参数方程是怎样的？

r圆O1可以看成由圆O按向量v(a,b)平移得到的（如图），

uuuuruuurO(a,b)， 由O1POP1可以得到圆心为1y

O1 P(x,y)

O

P1(x1,y1) x

半径为r的圆的参数方程是xarcos （为参数）

ybrsin例1．把下列参数方程化为普通方程：

2xx23cos1t21. 2. 

2ty32siny1t2例2．如图，已知点P是圆xy16上的一个动点，定点A(12,0)，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？

22例3 在圆x2y24上有定点A（2，0），及两个动点B、C，且A、B、C按逆

时针方向排列，∠BAC=，求△ABC的重心G（x，y）的轨迹方程

3

x3rcos,例4．：设圆（为参数）上有且仅有两点到直线-4x+3y=2的距离等于1，

y5rsin则r的取值范围是

例6、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值，

（2）x+y的最值，

（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。

例7、 过点(2,1)的直线中,被圆x+y-2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；

2

2

x3cosy2sin

为最短的直线方程是__________；

例8、若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值为 。

例9 已知点P（x，y）是圆x2(y1)21上任意一点，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，求c的取值范围。

例10 求函数f()

sin1的最大值和最小值。

cos2

x2cos补充：已知曲线C的参数方程为（为参数），P(x,y)是曲线C上

ysiny任意一点，t，求t的取值范围．

x