浙江省杭州市九年级(上)期中数学试卷-(含答案)

题号得分

一

二

三

总分

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.

在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A. B. C. D.

2.

若圆内接四边形ABCD的内角满足：∠A：∠B：∠C=2：4：7，则∠D=（　　）

A. 80∘

3.

B. 100∘C. 120∘D. 160∘

已知⊙O的弦AB长为8厘米，弦AB的弦心距为3厘米，则⊙O的直径等于（　　）

A. 5厘米

4.

B. 8厘米C. 10厘米D. 12厘米

设P是抛物线y=2x2+4x+5的顶点，则点P位于（　　）

A. 第一象限

5.

B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

下列各式的变形中，正确的是（　　）

A. 𝑥6÷𝑥=𝑥C. 𝑥2+𝑥3=𝑥5

6.

B. (𝑥2−𝑥)÷𝑥=𝑥−1D. 𝑥2−𝑥+1=(𝑥−2)2+4

1

3

1

如图是某石圆弧形（劣弧）拱桥，其中跨度AB=24米，拱高CD=8米，则该圆弧的半径r=（　　）

A. 8 米

7.

B. 12 米C. 13米D. 15 米

如图，已知△ABC为⊙O的内接三角形，若∠ABC+∠AOC=90°，∠AOC=（　　）则

A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 70∘

第1页，共17页

8.

在长为3cm，4cm，6cm，7cm的四条线段中任意选取三条线段，这三条线段能构成三角形的概率是（　　）

A. 49.

3

B. 32

C. 21

D. 41

抛物线y=-x2+2x-2经过平移得到抛物线y=-x2，平移方法是（　　）

A. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位B. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位C. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位

10.设抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动，抛物线与x轴交于C，D

两点（C在D的左侧）．若点A，B的坐标分别为（-2，3）和（1，3），给出下列结论：①c＜3；②当x＜-3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为-5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a=-3．其中正确的是（　　）

4

A. ①②④B. ①③④C. ②③D. ②④

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.已知圆O的半径长为6，若弦AB=63，则弦AB所对的圆心角等于______ ．，则y关于x的函数表达式12.已知一次函数的图象经过点A（0，2）和点B（2，-2）

为______ ；当-2＜y≤4时，x的取值范围是______ ．

13.A，B两同学可坐甲，乙，丙三辆车中的任意一辆，则A，B两同学均坐丙车的概

率是______ ．

14.在平面直角坐标系中，以点（1，1）为圆心5为半径作圆O，则圆O与坐标轴的

交点坐标是______．

15.在直径为20的⊙O中，弦AB，CD相互平行．若AB=16，CD=10，则弦AB，CD

之间的距离是______ ．

16.设直线y=-x+m+n与双曲线y=𝑥交于A（m，n）（m≥2）和B（p，q）两点．设该直

线与y轴交于点C，O是坐标原点，则△OBC的面积S的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17.计算：×[（-2）-3-23]．

1

第2页，共17页

18.在一个不透明的袋中装有32个黄球，30个黑球，18个红球，它们仅有颜色区别．

（1）求从袋中任意摸出一个球是黄球的概率；

（2）若从袋中取出若干个黑球（不放回），设再从袋中摸出一个球是黑球的概率是3，问取出了多少个黑球？

1

19.在平面直角坐标系中，若抛物线y=x2-5x-6与x轴分别交于A，B两点，且点A在点

B的左边，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴，以及抛物线与坐标轴的交点坐标，并画出这条抛物线；

（2）设O为坐标原点，△BOC的BC边上的高为h，求h的值．

第3页，共17页

20.设点A、B、C在⊙O上，过点O作OF⊥AB，交⊙O于

点F．若四边形ABCO是平行四边形，求∠BAF的度数．

21.某商店购进一批玩具，购进的单价是20元．调查发现，售价是30元时，月销售量

是320件，而售价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大的月销售利润是多少？

22.如图，已知△ACB 和△DCE为等边三角形，点A，D，E 在同一直线上，连结BE．

（1）求证：AD=BE；（2）求∠AEB的度数；

（3）若△ACB 和△DCE为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E 在同一直线上，CM⊥DE于点M，连结BE．①计算∠AEB的度数；

②写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

第4页，共17页

23.设二次函数y=-4x2+bx+c的图象与坐标轴交于A（0，

10），B（-4，0），C三点．

（1）求二次函数的表达式及点C的坐标；（2）设点F为二次函数位于第一象限内图象上的动点，点D的坐标为（0，4），连结CD，CF，DF，记三角形CDF的面积为S．求出S的函数表达式，并求出S的最大值．

1

第5页，共17页

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误； B、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项错误； C、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项错误； D、该图形既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项正确． 故选：D．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】B

【解析】

解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∴∠A=2×则∠C=4×

=40°，∠B=7×=80°，

=140°，

∠D=180°-80°=100°， 故选：B．

根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程即可．

本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3.【答案】C

【解析】

解：连接OC， ∵OC⊥AB， ∴AC=AB=4cm， 在直角△AOC中，OA=则直径是10cm． 故选C．

根据垂径定理即可求得AC的长，连接OC，在直角△AOC中根据勾股定理即可求得半径OA的长，则直径即可求解．

本题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．

=

=5cm．

第6页，共17页

4.【答案】B

【解析】

解：

∵y=2x2+4x+5=2（x+1）2+3，

∴抛物线顶点坐标为（-1，3）， ∴P点坐标为（-1，3）， ∴点P在第二象限， 故选B．

把解析式化为顶点式可求得P点坐标，则可求得答案．

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．5.【答案】D

【解析】

解：∵x6÷x=x5，故选项A错误， ∵

=

，故选项B错误，

∵x2+x3不能合并成一项，故选项C错误， ∵

，故选项D正确，

故选D．

计算出各个选项中式子的正确结果即可判断哪个选项是正确的，本题得以解决．

本题考查分式的混合运算、合并同类项、同底数幂的除法、配方法的应用，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．6.【答案】C

【解析】

解：拱桥的跨度AB=24m，拱高CD=8m， ∴AD=12m，

利用勾股定理可得：122=AO2-（AO-8）2，

解得AO=13m．

即圆弧半径为13米． 故选C．

将拱形图进行补充，构造直角三角形，利用勾股定理和垂径定理解答．

本题考查了垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

第7页，共17页

7.【答案】C

【解析】

解：∵∠ABC+∠AOC=90°，∠ABC=∴∠AOC=60°， 故选：C．

根据圆周角定理可得∠ABC=

，

，再由∠ABC+∠AOC=90°可得∠AOC的

度数．

此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8.【答案】A

【解析】

解：由题意知，本题是一个古典概率．

∵试验发生包含的基本事件为3，4，6；3，4，7；4，6，7；3，6，7共4种；

而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为：3，4，6；4，6，7；3，6，7共3种；∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率，

故选：A．

根据古典概率试验发生包含的基本事件可以列举出共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件可以列举出共3种；根据古典概型概率公式得到结果．

本题考查了概率公式以及三角形成立的条件，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，要遵循三角形三边之间的关系．9.【答案】B

【解析】

解：∵y=-x2+2x-2=-（x-1）2-1得到顶点坐标为（1，-1）， 平移后抛物线y=-x2的顶点坐标为（0，0），

∴平移方法为：向左平移1个单位，再向上平移1个单位． 故选B．

由抛物线y=-x2+2x-2=-（x-1）2-1得到顶点坐标为（1，-1），而平移后抛物线y=-x2的顶点坐标为（0，0），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．

本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．10.【答案】D

【解析】

第8页，共17页

解：∵点A，B的坐标分别为（-2，3）和（1，3）， ∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，3），

又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）， ∴c≤3，（顶点在y轴上时取“=”），故①错误； ∵抛物线的顶点在线段AB上运动， ∴当x＜-2时，y随x的增大而增大，

因此，当x＜-3时，y随x的增大而增大，故②正确；

若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x=1，

根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值为-2-4=-6，故③错误； 根据顶点坐标公式，

=3，

令y=0，则ax2+bx+c=0，设方程的两根为x1，x2， 则CD2=（x1+x2）2-4x1x2=（-）2-4×=根据顶点坐标公式，∴

=-12，

，

=3，

，

∴CD2=×（-12）=-

∵四边形ACDB为平行四边形， ∴CD=AB=1-（-2）=3， ∴-=32=9，

解得a=-，故④正确；

综上所述，正确的结论有②④． 故选D．

根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①错误；根据二次函数的增减性判断出②正确；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③错误；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．

本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，解题的关键是灵活运用所学知识，题目比较难，属于选择题中的压轴题．11.【答案】120°

【解析】

第9页，共17页

解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA、OB， 则AC=BC=AB=3在Rt△AOC中，OC=∴OC=OA，

∴∠A=30°，

∴∠AOB=180°-30°-30°=120°．

∴弦AB所对的圆心角的度数为120°． 故答案为120°．

如图，作OC⊥AB于C，连接OA、OB，利用垂径定理得到AC=BC=AB=3再利用勾股定理计算出OC=

=3，则OC=OA，所以∠A=30°，则

，

，

=3，

可计算出∠AOB，从而得弦AB所对的圆心角的度数． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同

“弧”一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的

是指同为优弧或劣弧．12.【答案】y=-2x+2；-1≤x＜2

【解析】

解：设一次函数解析式为y=kx+b，把A（0，2）、B（2，-2）代入得：

，

解得：

．

则一次函数解析式为y=-2x+2；

∵y=-2x+2，

∴函数y随x的增大而减小．∵当y=-2时，x=2；当y=4时，x=-1，

∴当-2＜y≤4时，-1≤x＜2．故答案为：y=-2x+2，-1≤x＜2．

设一次函数解析式为y=kx+b，把A与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出一次函数表达式；

再分别令y=-2与y=4求出x的对应值即可．

此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．13.【答案】9

【解析】

第10页，共17页

1

解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，A，B两同学均坐丙车的有1种情况， ∴A，B两同学均坐丙车的概率是：． 故答案为：．

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A，B两同学均坐丙车的情况，再利用概率公式即可求得答案．

此题考查了列表法或树状图法求概率．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

14.【答案】（0，3）、（0，-1）、（3，0）、（-1，0）

【解析】

解：如图，设⊙P与坐标轴分别交于A、B、C、D．作PE⊥OA于E，PF⊥OD于F．

易知四边形PEOF是正方形，边长为1， 由勾股定理可得AE=DF=BF=CE=2， ∴A（0，3），B（-1，0），C（0，-1），D（3，0）， 故答案为（0，3）、（0，-1）、（3，0）、（-1，0）；

如图，设⊙P与坐标轴分别交于A、B、C、D．作PE⊥OA于E，PF⊥OD于F．易知四边形PEOF是正方形，边长为1，由勾股定理可得AE=DF=BF=CE=2，由此即可解决问题．

本题考查勾股定理、直线与圆的位置关系、正方形的判定、坐标与图象的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】53±6【解析】

解：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图， ∵AB∥CD，

第11页，共17页

∴OF⊥CD，

∴AE=BE=AB=8，CF=DF=CD=5， 在Rt△AOE中，OE=在Rt△OCF中，OF=

=6， =5

，

+6， 当点O在AB和CD之间时，EF=OE+OF=5

-6， 当点O不在AB和CD之间时，EF=OE-OF=5

±6． ∴AB、CD之间的距离为

±6． 故答案为

过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质得OF⊥CD，则根据垂径定理得到AE=BE=AB=8，CF=DF=CD=5，再利用勾股定理计算出OE，OF，然后分类讨论：当点O在AB和CD之间时，EF=OE+OF，当点O不在AB和CD之间时，EF=OE-OF．

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论思想的应用．16.【答案】2＜S≤8

【解析】

1

5

解：如图，直线y=-x+m+n与x轴交于点D， C点坐标为（0，m+n），D点坐标为（m+n，0），则△OCD为等腰直角三角形，

∴点A与点B关于直线y=x对称，则B点坐标为（n，m），

∴S=S△OBC=（m+n）•n=mn+n2， ∵点A（m，n）在双曲线y=上， ∴mn=1，即n=∵m≥2， ∴0＜∴0＜（

≤， ）2≤，

∴S=+（

）2

∴＜S≤． 故答案为：＜S≤．

先确定直线y=-x+m+n与坐标轴的交点坐标，即C点坐标为（0，m+n），D点坐标为（m+n，0），则△OCD为等腰直角三角形，根据反比例函数的对称性得到点A与点B关于直线y=x对称，则B点坐标为（n，m），根据三角形面积公式得

第12页，共17页

到S△OBC=（m+n）•n，然后mn=1，m≥2确定S的范围．

本题考查了反比例函数图象与一次函数的交点问题，关键是掌握反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．17.【答案】解：×[（-2）-3-23]=8×[−8-8] =-1- =-65．【解析】

1

根据算术平方根、立方以及负整数指数幂进行计算即可． 本题考查了实数的运算，掌握运算法则是解题的关键．

18.【答案】解：（1）∵在一个不透明的袋中装有32个黄球，30个黑球，18个红球，

它们仅有颜色区别，

∴从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为：32+30+18=5；32

2

（2）设取出了x个黑球，则80−𝑥=3，解得x=5，

经检验x=5是原方程的解，且符合题意，答：取出了5个黑球．【解析】

30−𝑥1

（1）由在一个不透明的袋中装有32个黄球，30个黑球，18个红球，它们仅有颜色区别，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先设取出了x个黑球，由概率公式则可得方程：求得答案．

此题考查了概率公式的应用．注意根据概率公式得到方程19.【答案】解：y=x2-5x-6，

y=（x-2.5）2-12.25，

抛物线y=x2-5x-6的顶点坐标是（2.5，-12.25），对称轴是直线x=2.5，

由x=0得y=-6，抛物线与y轴的交点坐标是（0，-6），由y=0得x2-5x-6=0，解得x1=-1，x2=6，

抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0），（6，0），画出抛物线为：

=，解此方程即可

=是关键．

第13页，共17页

（2）BC=62+62=62，则h=6×6÷62=32．【解析】

（1）把二次函数y=x2-5x-6化为y=（x-2.5）2-12.25即可求出顶点及对称轴，由x=0得y=-6，由y=0得x2-5x-6=0，可求抛物线与坐标轴的交点坐标，再通过列表、描点、连线画出该函数图象即可；

（2）先根据勾股定理求出BC，再根据等积法求出h的值．

本题主要考查了二次函数的图象，性质及抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟记二次函数的图象，性质．20.【答案】解：连结OB，

∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形，∴∠BOA=60°，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，

∴∠BOF=∠AOF=2∠BOA=30°，由圆周角定理得∠BAF=2∠BOF=15°．【解析】

1

1

连结OB，利用平行四边形的性质可得OC=AB，然后证明△AOB为等边三角形，进而可得∠BOA=60°，然后利用等腰三角形的性质可得∠BOF=∠AOF=∠BOA=30°，再根据圆周角定理可得答案．

第14页，共17页

此题主要考查了平行四边形的性质，圆周角定理，以及等腰三角形的性质，求出∠BOA=60°是解决问题的关键．

21.【答案】解：（1）依题意得y=（30+x-20）（320-10x）=-10x2+220x+3200，

自变量x的取值范围是0＜x≤10且x为正整数；（2）y=-10x2+220x+3200=-10（x-11）2+4410，∵0＜x≤10且x为正整数，

当x=10时，y有最大值，最大值为：-10（10-11）2+4410=4400（元），

答：每件玩具的售价定为40元时，可使月销售利润最大，最大的月销售利润是4400元．【解析】

（1）根据：总利润=单件利润×销售量即可得函数解析式； （2）利用二次函数的性质结合自变量的取值范围即可得．

本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出函数解析式是解题的关键．22.【答案】（1）证明：如图1中，

∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，

∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．

（2）∵△ACD≌△BCE ∴∠ADC=∠BEC． ∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°． ∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°．

第15页，共17页

（3）①如图2

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90° ∴CA=CB，CD=CE，

∠ACD=∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB=∠BCE，在△ACD和△BCE中，

∵CA=CB，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，②∵CD=CE，CM⊥DE于M，∴DM=ME，∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．【解析】

（1）根据SAS证明△ACD≌△BCE即可．

（2））由△ACD≌△BCE，推出∠ADC=∠BEC，由△DCE为等边三角形，推出∠CDE=∠CED=60°． 根据∠AEB=∠BEC-∠CED=60°时间即可．

（3）①由△ACD≌△BCE（SAS），推出AD=BE，∠ADC=∠BEC．由△DCE为等腰直角三角形，推出∠CDE=∠CED=45°．由点A，D，E在同一直线上，推出∠ADC=135°，∠BEC=135°，由∠AEB=∠BEC-∠CED=90°即可证明．②由

CD=CE，CM⊥DE于M，推出DM=ME，由∠DCE=90°，推出DM=ME=CM，可得AE=AD+DE=BE+2CM．

本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

第16页，共17页

23.【答案】解：（1）把A（0，10），B（-4，0）代入y=-4x2+bx+c得；

𝑐=10

{−4−4𝑏+𝑐=0．

1

解得：𝑐=10，

所以抛物线的解析式为y=-0.25x2+1.5x+10； 当y=0时，-0.25x2+1.5x+10=0，解得x1=-4，x2=10，

所以C点坐标为（10，0）；

（2）连结OF，如图，设F（t，-0.25t2+1.5t+10），∵S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，∴S=S△CDF=S△ODF+S△OCF-S△OCD

=2×4×t+2×10（-0.25t2+1.5t+10）-2×4×10，=-1.25t2+9.5t+30．=-1.25（t-3.8）2+48.05，

当t=3.8时，S有最大值，最大值为48.05．【解析】

1

1

1

{𝑏=1.5

（1）把A（0，10），B（-4，0）代入y=-x2+bx+c求出b和c的值即可求出抛物线解析式，进而可求出点C的坐标；

（2）连结OF，如图，设F（t，-0.25t2+1.5t+10），由S四边形

OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF计算即可．

本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征得出关于t的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．

第17页，共17页