高中数学《导数》讲义(全)

高中数学导数讲义完整版

第一部分 导数的背景

一、导入新课 1. 瞬时速度

问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (s速度）.

2. 切线的斜率

问题2：P（1,1）是曲线yx上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.

3. 边际成本

问题3：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为C(q)3q10，我们来研究当q＝50时，产量变化q对成本的影响. 二、小结:

瞬时速度是平均速度

2212gt,其中g是重力加2s当t趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜t率是割线斜率极限.

Cy当x趋近于0时的极限；边际成本是平均成本当q趋近于0时的

qx三、练习与作业：

1. 某物体的运动方程为s(t)5t（位移单位：m，时间单位：s）求它在t＝2s时的速度. 2. 判断曲线y2x在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C与产量q的函数关系式为C2q5，求当产量q＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之

222

间的函数关系为ht，求t＝4s时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线y2112x在（1，）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.

2226. 已知成本C与产量q的函数关系为C4q7，求当产量q＝30时的边际成本.

第二部分 导数的概念

一、新课：

1.设函数yf(x)在xx0处附近有定义，当自变量在xx0处有增量x时，则函数

y与x的比如果x0时，yf(x)相应地有增量yf(x0x)f(x0)，

叫函数的平均变化率）有极限(即

y（也xy无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数xxx0yf(x)在xx0处的导数，记作y/，即

f/(x0)limx0f(x0x)f(x0)。 一般地，lim(abx)a，其中a,b为常数。特

x0x别，limaa。

x0二、练习

1．已知物体做自由落体运动的方程为ss(t)12gt,若t无限趋近于0时，2s(1t)s(1)无限趋近于9.8m/s，那么正确的说法是（ ）

tA．9.8m/s是在0～1s这一段时间内的平均速度 B．9.8m/s是在1～（1+t）s这段时间内的速度

C．9.8m/s是物体从1s到（1+t）s这段时间内的平均速度 D．9.8m/s是物体在t1s这一时刻的瞬时速度.

f(1x)f(1)f(1x)f(1)/2．若f(1)2015，则lim= ，lim= ，

x0x0xxf(1)f(1x)f(12x)f(1) lim= ， lim= 。

x0x04xx三、导数

如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a,b)，都对应着一个确定的导数f(x)，从而构成了一个新的函数f(x)。称这个函数f(x)为

///函数yf(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y，即 f(x)＝y＝

///yf(xx)f(x)lim

x0xx0xlim函数yf(x)在x0处的导数y/xx0就是函数yf(x)在开区间(a,b)(x(a,b))上导

数f(x)在x0处的函数值，即y//xx0＝f/(x0)。所以函数yf(x)在x0处的导数也记作

f/(x0)。

注：1.如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数yf(x)在开区间

(a,b)内可导。

2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分

3.求导函数时，只需将求导数式中的x0换成x就可，即f(x)＝lim4.由导数的定义可知，求函数yf(x)的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量yf(xx)f(x)。

/x0f(xx)f(x)

xyf(xx)f(x)。 xxy/（3）.取极限，得导数y＝lim。

x0x（2）.求平均变化率

例1.求y2x1在x＝－3处的导数。

例2.已知函数yxx （1）求y。 （2）求函数yxx在x＝2处的导数。

四、练习与作业： 1.求下列函数的导数：

（1）y3x4； （2）y12x (3)y3x12x (3)y5x

2.求函数yx1在－1,0，1处导数。

3.求下列函数在指定点处的导数：

2（1）yx,x02； （2）y22/223212x,x00； 3

22（3）y(x2),x01 （4）yxx,x01.

4.求下列函数的导数：

（1）y4x1; （2）y10x； （3）y2x3x; （4）y2x7。

5.求函数yx2x在－2,0，2处的导数。

2232

作业

1.若limf(x)存在，则[limf(x)]＝＿＿＿＿＿

x0x0/2.若f(x)x，则lim3.求下列函数的导数：

2x1f(x)f(1)＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

x123（1）y2x20x40x1 （2）y32x4x5x4214x 6（3）y(2x1)(3xx) （4）y(x2)(x1)

4.某工厂每日产品的总成本C是日产量x的函数，即C(x)10007x5x，试求： （1）当日产量为100时的平均成本；

（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本； （3）当日产量为100时的边际成本.

5.设电量与时间的函数关系为Q2t3t1，求t＝3s时的电流强度.

6.设质点的运动方程是s3t2t1，计算从t＝2到t＝2＋t之间的平均速度，并计算当t＝0.1时的平均速度，再计算t＝2时的瞬时速度.

7.若曲线y222322332x1的切线垂直于直线2x6y30，试求这条切线的方程. 228.在抛物线y2xx上，哪一点的切线处于下述位置？

（1）与x轴平行（2）平行于第一象限角的平分线.（3）与x轴相交成45°角

9.已知曲线y2xx上有两点A（2,0），B（1,1），求：

（1）割线AB的斜率kAB； （2）过点A的切线的斜率kAT；（3）点A处的切线的方程.

10.在抛物线yx上依次取M（1,1），N（3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.

11.已知一气球的半径以10cm/s的速度增长，求半径为10cm时，该气球的体积与表面积的增长速度.

12.一长方形两边长分别用x与y表示，如果x以0.01m/s的速度减小，y边以0.02m/s的速度增加，求在x＝20m，y＝15m时，长方形面积的变化率.

22

13.（选做）证明：过曲线xya上的任何一点（x0,y0）（x00）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.（提示：()21x/1） 2x

第一部分 函数求导

一、导数定义

1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限）

（1）求函数的增量yf(x0x)f(x0)；

yf(x0x)f(x0)。 xxf(x0x)f(x0)'（3）取极限求导数f(x0)lim

x0x'2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点f(x0)的导数就是导函数f(x)，当xx0时的函数值。

（2）求平均变化率

3．常用的导数公式及求导法则： （1）公式

c0(xn)nxn1sinxcosxcosxsinx(ax)axlna (ex)ex1logaxxlna1lnxx（2）法则：

(f(x)g(x))f(x)g(x)(f(x)g(x))f(x)g(x)g(x)f(x) f(x)f(x)g(x)g(x)f(x)()g(x)g2(x)二、例：

（1）yx3x24 （2）ysinx2 （3）y3cosx4sinx （4）y2x3 （5）xylnx2

第二部分 复合函数的导数

一、基本公式：如果函数(x)在点x处可导，函数f (u)在点u=(x)处可导，则复合函数y= f (u)=f [(x)]在点x处也可导，并且 (f [(x)])ˊ=

f(x)(x) 或记作

•uyx=yux

二、例题： 例1求下列函数的导数y例2求下列函数的导数 （1）y=

32x yx15y 1x(13x)412xcos x （2）y=ln (x+1x222) (3) f(x)ln(ln(lnx))

(4) f(x)(x3x2)sin3x

三、求下函数的导数.

1、（1）ycosx （2）y2x1 3(2)y=(2+3x)5 (3)y=(2－x2)3

(4)y=(2x3+x)2

2、(1)y=(5x－3)4 3、(1)y=

112

4 (2)y= (3)y=sin(3x－) (4)y=cos(1+x) 23(2x1)63x1232 4、⑴y(2x)； ⑵ysinx；⑶ycos(x)； ⑷ylnsin(3x1)．

45、 (1) y =sinx3+sin33x； （2）y

sin2x22 (3)loga(x2) (4)ln(2x3x1) 2x1导数的应用一：求切线方程

导数的几何意义：f(x)在xx0处的导数就是f(x)在xx0处的切线斜率

曲线C：y=f（x）在其上一点P（x0，f（x0））处的切线方程为y－f（x0）=f（x0）（x－x0）. 问题1：如何求解曲线的切线？求切线问题的基本步骤：找切点 求导数 得斜率 题1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.

练习1：已知f(x)x，求曲线yf(x)在x1处的切线斜率和切线方程． 练习2： 如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)= .

变式1:求曲线y=x2过点(0,－1)的切线方程 变式2．已知曲线yx1

(1)求曲线在点P(1,2)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,1)的切线方程；

变3：已知f(x)1x2，求曲线yf(x)在x

题2、在曲线yxx1上求一点P，使过点P点的切线与直线y4x7平行。

3211处的切线斜率是多少？ 2

题3、已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2)，且在点M处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式

题4、 曲线y=x2+1上过点P的切线与曲线y=－2x2－1相切，求点P的坐标.

作业：

411.已知曲线y=x3+，则在点P（2，4）的切线方程是______.

332.过点P（－1，2）且与曲线y=3x2－4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是______.

abc3.设函数f（x）=（x－a）（x－b）（x－c）（a、b、c是两两不等的常数），则++

f(a)f(b)f(c)=________.

4、求曲线y2xx在x1处的切线的斜率。

5．曲线y=x3+3x2+6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程.

6.已知函数f(x)x(1a)xa(a2)xb (a,bR)．若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值； 7.求曲线y3233xx3的过点A（2，-2）的切线方程。

8.若直线y=3x+1是曲线y=x3－a的一条切线，求实数a的值.

导数的应用二：单调区间讨论

例1：求下列函数的单调区间

(1) f(x)sinx (2) f(x)x2x5x (3) f(x)xe

例2:设a0，求函数f(x)练习： 已知函数f(x)x

例3.设函数f(x)axbxk(k0)在x0处取得极值，且曲线yf(x)在点(1,f(1))2322xxln(xa)(x(0,)的单调区间.

2a(2lnx),(a0)，讨论f(x)的单调性. xex处的切线垂直于直线x2y10．（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）若函数g(x)，讨论g(x)f(x)的单调性．

练习：已知函数f(x)x(1a)xa(a2)xb (a,bR)．

32

（I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值； （II）若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围． ．．．

1、（北京理）设函数f(x)xe(k0)

（Ⅰ）求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围. 2、已知函数f(x)kx13xax2b在x2处有极值. 3（1） 求函数f(x)的单调区间；

（2） 求函数f(x)在3,3上有且仅有一个零点，求b的取值范围。

3、已知函数f(x)13(k1)21xx，g(x)kx，且f(x)在区间(2,)上为增函323数．

（1）、求实数k的取值范围； （2）、若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

4、已知函数f(x)lnxax（Ⅱ）设当a1a11(aR).(Ⅰ)当a时，讨论f(x)的单调性；

2x1时，若对任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，求实数b取42值范围.g(x)x2bx4.

导数应用三：求函数的极值、最值

（一）函数极值的概念

（二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x);

（2）解方程f'(x)=0，得方程的根x0(可能不止一个） （3）如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是

极大值；反之，那么f(x0）是极大值 题型一、 极值求法 1 求下列函数的极值

（1）f(x)=x-3x-9x+5; (2)f(x)=

3

2

lnx1 （3）f(x)=xcosx(x) x2

2、设a为实数，函数y=e-2x+2a,求y的单调区间与极值

3、设函数f(x)=x

1322

x+x+(m-1)x,其中m>0。 3(1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1))处的切线的斜率 (2)求函数f(x)的单调区间与极值

x2a14、若函数f(x)=,(1)若f(x)在点（1，f(1）)处的切线的斜率为，求实数a的值

x12（2）若f(x)在x=1处取得极值，求函数的单调区间

5、函数f(x)=x+ax+3x-9已知f(x)在x=-3时取得极值，求a

6、若函数y=-x+6x+m的极大值为13，求m的值

7、已知函数f(x)=x+ax+bx+a在x=1处有极值10. (1)求a,b的值； （2）f(x)的单调区间

8、已知函数f(x)=ax+blnx在x=1处有极值并求出单调区间 9、设函数f(x)=

23

2

2

3

2

3

2

1（1）求a,b的值；(2)判定函数的单调性，2a3xbx2cxd(a>0)，且方程f'(x)-9x=0的两根分别为1,4，若f(x)3在（,）内无极值点，求a的取值范围

（三）函数的最值与导数

注：求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最值步骤如下 （1）求函数y=f(x)在(a,b)内的极值

（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个就是

最大值，最小的一个就是最小值 题型一 求闭区间上的最值

1、设在区间[a,b]上函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线，且在区间(a,b)上可导，下列命题正确的是

（1）若函数在[a,b]上有最大值，则这个最大值必是[a,b]上的极大值 （2）若函数在[a,b]上有最小值，则这个最小值必是[a,b]上的极小值 （3）若函数在[a,b]上有最值，则这个最值必在x=a或x=b处取得 2、求函数f(x)=x-4x+6在区间[1,5]上的最值 3、求函数f(x)=x-3x+6x-10在区间[-1,1]上的最值 4、已知f(x)=x3+2x2-4x+5,求函数在[-3,1]上的最值

题型二 有函数的最值确定参数的值

1、已知函数f(x)=ax-6ax+b,x[-3,1]的最大值为3，最小值为-29，求a,b的值 2、设

（四）导数综合应用

1、已知函数f(x)=x+ax+blnx(x>0,a,b为实数).(1)若a=1,b=-1,求函数f(x)的极值.(2)若

a+b=-2，讨论f(x)的单调性.

2、设函数f(x)=ax-取值范

围.(2)当f(x)在x=2,x=4出取得极值时，若方程f(x)=c在区间[1,8]内有三个不同的实

数根，求实数c的取值范围(ln20.639).

3、设函数f(x)=

23

2

3

2

2

326，求a,b a1，函数f(x)=x3-ax2+b(-1x1)的最大值为1，最小值为232b+lnx。(1)当f(1)=0时，若函数f(x)是单调函数，求实数a的x1322

x-ax-3ax+1（a>0）.（1）若a=1，求曲线f(x)在(a,f(a))处的切线方3

程。

(2)求函数f(x)的单调区间、极大值、和极小值.（3）若x[a+1,a+2]时，恒有f'(x)>-3a, 求实数a的取值范围. (四)作业

函数导数求极值，最值

1．已知f(x)xaxbxc，在x1与x2时，都取得极值。 （Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）若x3,2都有f(x)

3211恒成立，求c的取值范围。 c2a22．已知函数f(x)x，g(x)xlnx，其中a0。

x（1）若x1是函数h(x)f(x)g(x)的极值点，求实数a的值。

（2）若对任意的x1，x21,e（e为自然对数的底数）都有f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围。

3．已知函数f(x)axlnx(aR)． （1）求f(x)的单调区间；

2（2）设g(x)x2x1，若对任意x1(0,)，总存在x20,1，使得f(x1)g(x2)，

求实数a的取值范围．

4．已知函数f(x)x3bx2cxd(b0)在x0处取到极值2． （Ⅰ）求c,d的值；

（Ⅱ）试研究曲线yf(x)的所有切线与直线xby10垂直的条数；

（Ⅲ）若对任意x[1,2]，均存在t(0,1]，使得etlnt1f(x)，试求b的取值范围．