2021年辽宁省沈阳市于洪区中考数学二模试卷(解析版)

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分） 1．﹣5的相反数是（ ） A．5

B．﹣5

C．

D．

2．某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）

A．三棱柱 B．球体 C．圆锥体 D．圆柱体

3．如图，l1∥l2，AE⊥BE．若∠1＝130°，则∠2的度数为（ ）

A．120° B．130° C．140° D．150°

4．在平面直角坐标系内，将点M（3，1）先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则移动后的点的坐标是（ ） A．（6，3）

B．（6，﹣1）

C．（0，3）

D．（0，﹣1）

5．若m2+2m＝1，则4m2+8m﹣3的值是（ ） A．4

6．反比例函数y＝A．k≥1

B．3

C．2

D．1

的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是（ ） B．k＞1

C．k＜1

D．k≤1

7．关于“可能性是1%的事件在100次试验中发生的次数”，下列说法错误的是（ ） A．可能发生一次 C．可能发生两次

B．可能一次也不发生 D．一定发生一次

8．某种服装，平均每天可销售50件，每件利润40元，若每件降价5元，则每天多售10

件．如果要在扩大销量的同时，使每天的总利润达到2100元，每件应降价多少元？若设每件应降价x元，则可列方程得（ ） A．B．C．D．

上一点（不与A，B重合），则

9．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧cosC的值为（ ）

A． B． C． D．

10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（3，0）．下列结论①b2﹣4ac＜0；②4a+2b+c＞0；③图象与x轴的另一个交点为（﹣1，0）；④当x＞0时，y随x的增大而减小，所有正确结论的序号是（ ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．因式分解：6ab﹣a2﹣9b2＝ ．

12．甲、乙两块水稻田，随机测量若干株水稻的高度后，计算方差分别为

＝18.5，

＝

30.2，则两块水稻田稻苗高度比较均匀的是 ．（填“甲”或“乙”） 13．化简：

＝ ．

14．甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，图中的l1、l2分别表示甲、乙离B地的距离y（km）与甲出发后所用时间x（h）的函数关系图象，则甲出发 小时与乙相遇．

15．如图，要在夹角为30°的两条小路OA与OB形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边OA和OB上取点P和点Q，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若OP和OQ两段篱笆的总长为8米，则当OP＝ 米时，该花坛POQ的面积最大．

16．如图，在正方形ABCD外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM．其中AN交直线DE于点N．若45°＜∠CDE＜90°，则当MN＝4，AN＝3时，正方形ABCD的边长为 ．

三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分） 17．计算：

．

18．某学校开展“垃圾分类，从我做起”的宣讲活动，该活动的宣讲员从甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽选．

（1）若只抽选一名学生，乙被选中的概率为 ，

（2）若随机抽选两名学生，请用列表法或画树状图法求乙被选中的概率．

19．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在CA和AC的延长线上，且AE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．

四四、（每小题8分，共16分）

20．某中学为了解学生参加户外活动的情况，对全校学生每天参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，解答下列问题： 户外活动时间的统计表

组别 A B C D E

时间/小时 0.5≤x＜1 1≤x＜1.5 1.5≤x＜2 2≤x＜2.5 2.5≤x＜3

人数 8 14 m n 3

（1）本次被调查的学生有 人；

（2）在扇形统计图中，组别D所在扇形的圆心角度数是 °； （3）被调查的学生每天户外活动时间的中位数出现在 组；

（4）若该校共有800名学生，根据抽样调查的结果，请估计该校有多少名学生每天户外活动时间不少于2小时．

21．某店主购进A，B两种礼盒，已知A，B两种礼盒的单价比为2：3，单价和为10元．该店主进B种礼盒的数量是A种礼盒数量的2倍少1个，且这两种礼盒花费不超过398元，则A种礼盒最多购买多少个？ 五、（本题10分）

22．如图，BO是△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O交AC于点D，当BC为⊙O切线时．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若sinA＝，AD＝3，求图中阴影部分面积．（结果保留π和根号）

六、（本题10分）

23．在平面直角坐标系中，点A（0，3），直线AB∥x轴，在矩形OCDE中，OC＝4，OE＝3，以点C在第一象限内直线AB上时为初始位置，将矩形OCDE以点O为中心逆时针旋转，旋转角为α．直线OC，直线DE分别与直线AB相交于点M，N．

（1）如图1，当顶点D落在直线AB上时（此时点N与点D重合）． ①求证：△MAO≌△MCD； ②求点M的横坐标；

（2）如图2，当顶点D落在y轴正半轴上时，请直接写出点M的横坐标；

（3）在矩形OCDE旋转过程中，当0°＜α＜90°时，若AN＝3AM，请直接写出此时点M的横坐标．

七、（本题12分）

24．在菱形ABCD中，∠B＝60°．点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF．连接AE，AF．

（1）如图1，连接EF，求证：△AEF是等边三角形； （2）AG平分∠EAF交BC于点C．

①如图2，AG交EF于点M，点N是BC的中点，当BE＝4时，求MN的长． ②如图3，O是AC的中点，点H是线段AG上一动点（点H与点A，点G不重合），当AB＝12，BE＝4时，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1：3．若存在，请直接写出理由．

的值；若不存在，请说明

八、（本题12分）

25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图，点D是第一象限抛物线上一点，过D作DM⊥x轴于点M，交BC于点N．若点N为DM中点，求点D的坐标，并直接写出此时直线DC的表达式．

（3）在（2）的条件下，点E为y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线DC的垂线，垂

足为P，若∠ECP＝∠DAB，请直接写出点E的坐标．

参

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分） 1．﹣5的相反数是（ ） A．5

B．﹣5

C．

D．

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 解：﹣5的相反数是5， 故选：A．

2．某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）

A．三棱柱 B．球体 C．圆锥体 D．圆柱体

【分析】如图所示，根据三视图的知识来解答．

解：根据俯视图为圆形，主视图以及左视图都是三角形，可得这个几何体为圆锥体， 故选：C．

3．如图，l1∥l2，AE⊥BE．若∠1＝130°，则∠2的度数为（ ）

A．120° B．130° C．140° D．150°

【分析】根据平角的定义得出∠3＝50°，由三角形外角的性质得出∠4，根据平行线的性质得出∠2＝∠4即可． 解：如图，

∵∠1＝130°，

∴∠3＝180°﹣∠1＝50°， ∵AE⊥BE．

∴∠4＝∠3+90°＝140°， ∵l1∥l2，

∴∠2＝∠4＝140°． 故选：C．

4．在平面直角坐标系内，将点M（3，1）先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则移动后的点的坐标是（ ） A．（6，3）

B．（6，﹣1）

C．（0，3）

D．（0，﹣1）

【分析】横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；依此即可求解． 解：3+3＝6， 1+2＝3．

故点M平移后的坐标为（6，3）． 故选：A．

5．若m2+2m＝1，则4m2+8m﹣3的值是（ ） A．4

B．3

C．2

D．1

【分析】把代数式4m2+8m﹣3变形为4（m2+2m）﹣3，再把m2+2m＝1代入计算即可求出值．

解：∵m2+2m＝1， ∴4m2+8m﹣3 ＝4（m2+2m）﹣3 ＝4×1﹣3 ＝1． 故选：D．

6．反比例函数y＝A．k≥1

的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是（ ） B．k＞1

C．k＜1

D．k≤1

【分析】先根据反比例函数y＝k的取值范围即可． 解：∵反比例函数y＝∴k﹣1＜0， 解得k＜1． 故选：C．

的图象位于第二、四象限得出关于k的不等式，求出

的图象位于第二、四象限，

7．关于“可能性是1%的事件在100次试验中发生的次数”，下列说法错误的是（ ） A．可能发生一次 C．可能发生两次

B．可能一次也不发生 D．一定发生一次

【分析】根据“概率”的意义进行判断即可．

解：根据“可能性是1%的事件在100次试验中发生的次数”的意义可知， 在这100次试验中，可能发生一次，也可能发生两次，也可能一次也不发生， 虽然可能性为1%，但100次试验也不一定发生一次， 故选：D．

8．某种服装，平均每天可销售50件，每件利润40元，若每件降价5元，则每天多售10件．如果要在扩大销量的同时，使每天的总利润达到2100元，每件应降价多少元？若设每件应降价x元，则可列方程得（ ） A．B．C．D．

【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝2100，为了扩大销量，计算得到降价多的数量即可． 解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：

，

故选：A．

9．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧cosC的值为（ ）

上一点（不与A，B重合），则

A． B． C． D．

【分析】作直径AD，连接BD，如图，根据圆周角定理得∠ABD＝90°，则利用勾股定理可计算出BD＝8，于是根据余弦定义得到cosD＝cosC＝．

解：作直径AD，连接BD，如图， ∵AD为直径， ∴∠ABD＝90°，

在Rt△ABD中，∵AD＝10，AB＝6， ∴BD＝∴cosD＝

＝

＝8， ＝，

＝，然后利用圆周角定理易得

∵∠C＝∠D， ∴cosC＝． 故选：D．

10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（3，0）．下列结论①b2﹣4ac＜0；②4a+2b+c＞0；③图象与x轴的另一个交点为（﹣1，0）；④当x＞0时，y随x的增大而减小，所有正确结论的序号是（ ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 解：①由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故①错误；

②当x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象可知当x＝2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0，故②正确；

③（3，0）关于直线x＝1的对称点为（﹣1，0），故③正确；

④当x＞0时，由图象可知y先随x的增大而增大，再随x的增大而减小，故④错误； 正确的是②③． 故选：C．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．因式分解：6ab﹣a2﹣9b2＝ ﹣（a﹣3b）2 ．

【分析】直接提取“﹣”，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 解：原式＝﹣（a2﹣6ab+9b2） ＝﹣（a﹣3b）2． 故答案为：﹣（a﹣3b）2．

12．甲、乙两块水稻田，随机测量若干株水稻的高度后，计算方差分别为

＝18.5，

＝

30.2，则两块水稻田稻苗高度比较均匀的是 甲 ．（填“甲”或“乙”）

【分析】根据方差的意义判断即可．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 解：∵∴

＜

＝18.5，，

＝30.2，

∴两块水稻田稻苗高度比较均匀的是甲．

故答案为：甲． 13．化简：

＝

．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 解：原式＝＝＝

．

． •

•

故答案为：

14．甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，图中的l1、l2分别表示甲、乙离B地的距离y（km）与甲出发后所用时间x（h）的函数关系图象，则甲出发 1.4 小时与乙相遇．

【分析】由函数图像求出l1和l2的解析式，然后由l1和l2的解析式组成的方程组，求出交点坐标即可． 解：由图象可得，

设l1对应的函数解析式为y1＝k1x+b1， ∴

，

解得：，

∴l1对应的函数解析式为y1＝﹣30x+60， 设l2对应的函数解析式为y2＝k2x+b2，

∴，

解得：

∴l2对应的函数解析式为y2＝20x﹣10， 由方程组解得：

，

，

即点A的坐标为（1.4，18）， 故答案为1.4．

15．如图，要在夹角为30°的两条小路OA与OB形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边OA和OB上取点P和点Q，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若OP和OQ两段篱笆的总长为8米，则当OP＝ 4 米时，该花坛POQ的面积最大．

【分析】根据题意和三角形的面积公式，可以表示出花坛POQ的面积，然后根据二次函数的性质，即可得到当OP为多少时，该花坛POQ的面积最大． 解：设OP长为x米，则OQ长为（8﹣x）米， ∵∠POQ＝30°，

∴点P到OQ的距离是OP•sin30°＝OP＝x（米），

∴S△POQ＝＝﹣（x﹣4）2+4，

∴当x＝4时，S△POQ取得最大值， 即OP＝4米时，该花坛POQ的面积最大， 故答案为：4．

16．如图，在正方形ABCD外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM．其中AN交直线DE于点N．若45°＜∠CDE＜90°，则当MN＝4，AN＝3时，正

方形ABCD的边长为 ．

【分析】根据对称的性质可知，NC＝NM，DC＝DM，推出∠NCD＝∠NMD＝∠DAM，推出∠ANC＝90°，求出AC即可解决问题． 解：如图所示，连接CN、DM、AC，

∵点C关于直线DE的对称点为M， ∴CN＝MN＝4，CD＝DM，

∴∠NCM＝∠NMC，∠DCM＝∠DMC， ∴∠DCN＝∠DMN，

在正方形ABCD中，AD＝CD， ∴AD＝DM， ∴∠DAM＝∠DMN， ∴∠DCN＝∠DAM，

∵∠ACN+∠CAN＝∠DCA﹣∠DCN+∠CAD+∠DAM＝∠DCA+∠CAD＝90°， ∴∠ANC＝180°﹣90°＝90°， ∴△ACN是直角三角形， ∵AN＝3，CN＝4， ∴AC＝

＝

＝5， AC＝

．

∴正方形ABCD的边长＝故答案为：

．

三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分） 17．计算：

．

【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 解：原式＝2＝2＝﹣

﹣2+1﹣6×﹣4

﹣4

﹣2+1﹣3﹣5．

18．某学校开展“垃圾分类，从我做起”的宣讲活动，该活动的宣讲员从甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽选．

（1）若只抽选一名学生，乙被选中的概率为

，

（2）若随机抽选两名学生，请用列表法或画树状图法求乙被选中的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式计算；

（2）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出乙被选中的结果数，然后根据概率公式计算．

解：（1）若只抽选一名学生，乙被选中的概率＝； 故答案为； （2）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中乙被选中的结果数为6， 所以乙被选中的概率＝

＝．

19．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在CA和AC的延长线上，且AE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．

【分析】证△DOE≌△BOF（SAS），即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA+AE＝OC+CF， 即OE＝OF，

在△DOE和△BOF中，

，

∴△DOE≌△BOF（SAS）， ∴DE＝BF．

四四、（每小题8分，共16分）

20．某中学为了解学生参加户外活动的情况，对全校学生每天参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，解答下列问题： 户外活动时间的统计表

组别 A B C D E

时间/小时 0.5≤x＜1 1≤x＜1.5 1.5≤x＜2 2≤x＜2.5 2.5≤x＜3

人数 8 14 m n 3

（1）本次被调查的学生有 40 人；

（2）在扇形统计图中，组别D所在扇形的圆心角度数是 45 °；

（3）被调查的学生每天户外活动时间的中位数出现在 组；

（4）若该校共有800名学生，根据抽样调查的结果，请估计该校有多少名学生每天户外活动时间不少于2小时．

【分析】（1）根据B组的人数和百分比，可以计算出被调查的学生总数；

（2）根据（1）中的结果和C组的人数，可以计算出C所在扇形的圆心角度数，然后再计算出B组的频数，即可将频数分布直方图补充完整； （3）根据中位数的定义即可求解；

（4）根据表中的数据，可以计算该校有多少名学生每天户外活动时间不少于2小时． 解：（1）本次被调查的学生有14÷35%＝40（人）， 故答案为：40；

（2）D组的人数是n＝40﹣8﹣14﹣3﹣40×25%＝5， 组别D所在扇形的圆心角度数是：360°×故答案为：45；

（3）本次被调查的学生有40人， ∴中位数是第20，21个数的平均数， ∵A组的人数为8，B组的人数为14，

∴被调查的学生每天户外活动时间的中位数出现在B组； 故答案为：B；

（4）800×

＝160（人），

＝45°，

答：估计该校有160名学生每天户外活动时间不少于2小时．

21．某店主购进A，B两种礼盒，已知A，B两种礼盒的单价比为2：3，单价和为10元．该

店主进B种礼盒的数量是A种礼盒数量的2倍少1个，且这两种礼盒花费不超过398元，则A种礼盒最多购买多少个？

【分析】根据A，B两种礼盒的单价比为2：3，单价和为10元可得A礼盒的单价是每盒4元，B礼盒的单价是每盒6元，再由题意列出一元一次不等式可得答案． 解：A礼盒的单价是10×＝4元，B礼盒的单价是10﹣4＝6元， 设购买A礼盒x个，则B礼盒（2x﹣1）个， 由题意得，4x+6（2x﹣1）≤398， 解得x≤25， 所以x最多为25，

答：A种礼盒最多购买25个． 五、（本题10分）

22．如图，BO是△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O交AC于点D，当BC为⊙O切线时．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若sinA＝，AD＝3，求图中阴影部分面积．（结果保留π和根号）

【分析】（1）过O作OE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到OE＝OC，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）由sinA＝得∠A＝60°，∠AOE＝60°，可得OE＝3，AE＝3

AOE﹣S

扇形DOE

，根据S阴影＝S△

即可得到结论．

【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于E，

∵BC为⊙O切线， ∴OC⊥BC，

∵BO是△ABC的角平分线， ∴OE＝OC， ∴AB是⊙O的切线；

（2）Rt△AOE中，sinA＝

＝，AD＝3，

∴∠A＝60°，∠AOE＝60°， ∴AO＝2OE，

∵AO＝OD+AD＝OE+3， ∴OE＝3， ∴AE＝3

，

＝π，

．

∴S扇形DOE＝

∴S阴影＝S△AOE﹣S扇形DOE＝AE•OE﹣π＝六、（本题10分）

23．在平面直角坐标系中，点A（0，3），直线AB∥x轴，在矩形OCDE中，OC＝4，OE＝3，以点C在第一象限内直线AB上时为初始位置，将矩形OCDE以点O为中心逆时针旋转，旋转角为α．直线OC，直线DE分别与直线AB相交于点M，N．

（1）如图1，当顶点D落在直线AB上时（此时点N与点D重合）． ①求证：△MAO≌△MCD； ②求点M的横坐标；

（2）如图2，当顶点D落在y轴正半轴上时，请直接写出点M的横坐标；

（3）在矩形OCDE旋转过程中，当0°＜α＜90°时，若AN＝3AM，请直接写出此时点M的横坐标．

【分析】（1）①根据AAS证明△AMO≌△CMD；

②设AM＝x，则CM＝x，OM＝4﹣x，在Rt△AMO中，由勾股定理列方程解出即可； （2）根据HL证明Rt△AON≌Rt△EON，得AN＝EN，∠ANO＝∠ENO，设AN＝y，则EN＝y，DN＝4﹣y，根据勾股定理列方程得y＝1.5，同理可得AM的长，从而得结论； （3）分两种情况：①M在点A的右侧时，如图3，过M作MG⊥DE于G，②M在点A的左侧时，如图4，过M作MG⊥DE于G，证明△OAM≌△MGN（AAS），可解答． 【解答】（1）①证明：∵AB⊥y轴， ∴∠MAO＝90°， ∵点A（0，3）， ∴OA＝3，

∵四边形OCDE是矩形， ∴CD＝OE＝3，∠C＝90°， 在△AMO和△CMD中，

，

∴△AMO≌△CMD（AAS）；

②解：设AM＝x，则CM＝x，OM＝4﹣x， 在Rt△AMO中，由勾股定理得：OA2+AM2＝OM2，

∴32+x2＝（4﹣x）2， 解得：x＝， ∴点M的横坐标是； （2）解：如图2，连接ON，

∵OA＝OE，ON＝ON， ∴Rt△AON≌Rt△EON（HL）， ∴AN＝EN，∠ANO＝∠ENO， 设AN＝y，则EN＝y，DN＝4﹣y， 在Rt△DEO中，DE＝4，OE＝3， ∴OD＝5， ∴AD＝5﹣3＝2， ∵AD2+AN2＝DN2， ∴22+y2＝（4﹣y）2， ∴y＝1.5， ∵DE∥OC， ∴∠ENO＝∠CON， ∴∠CON＝∠ANO， ∴MN＝OM，

设MN＝a，则OM＝a，AM＝a﹣1.5， ∴32+（a﹣1.5）2＝a2， ∴a＝∴AM＝

，

﹣1.5＝，

∴点M的横坐标是﹣； （3）解：分两种情况：

①M在点A的右侧时，如图3，过M作MG⊥DE于G，

∵OC∥EN， ∴∠AMO＝∠MNG，

∵∠OAM＝∠MGN＝90°，OA＝MG＝OE＝3， ∴△OAM≌△MGN（AAS）， ∴AM＝GN， ∵AN＝3AM， ∴MN＝2AM＝2GN， ∵∠MGN＝90°， ∴∠NMG＝30°， ∵∠OMG＝90°， ∴∠AMO＝60°， ∴∠AOM＝30°， Rt△AMO中，OA＝3， ∴AM＝

，

；

此时M的横坐标为

②M在点A的左侧时，如图4，过M作MG⊥DE于G，

∵OC∥DE， ∴∠MNG＝∠AMO，

∵MG＝OA，∠OAM＝∠MGN＝90°， ∴△AMO≌△GNM（AAS）， ∴MN＝OM，

设AM＝b，则MN＝4b＝OM， ∴b2+32＝（4b）2， ∴b＝

（负值舍），

； 或﹣

．

此时M的横坐标为﹣综上，M的横坐标为七、（本题12分）

24．在菱形ABCD中，∠B＝60°．点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF．连接AE，AF．

（1）如图1，连接EF，求证：△AEF是等边三角形； （2）AG平分∠EAF交BC于点C．

①如图2，AG交EF于点M，点N是BC的中点，当BE＝4时，求MN的长． ②如图3，O是AC的中点，点H是线段AG上一动点（点H与点A，点G不重合），当AB＝12，BE＝4时，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1：3．若存在，请直接写出理由．

的值；若不存在，请说明

【分析】（1）根据菱形四条边都相等的性质及∠B＝60°，证明△ABC和△ADC都是等边三角形，再证明△ABE≌△ACF，得到AE＝AF，再证明∠EAF＝60°，即可证明△AEF是等边三角形；

（2）①连接AN，先证明△AEM∽△ABN，再证明△NAM∽△BAE，由相似三角形的性质得到MN与BE的比，求出MN的长；

②分两种情况，即OH∥CE和OH∥AE，第一种情况由三角形的中位线定理可直接求出结果，第二种情况，连接EF交AG于点M，作EL⊥AB于点L，证明△GEM∽△EAL，求出EG的长，即可求得结果．

【解答】证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CB＝AD＝CD， ∵∠B＝60°， ∴∠D＝∠B＝60°，

∴△ABC和△ADC都是等边三角形， ∴AB＝AC，∠B＝∠ACF＝∠BAC＝60°， ∵BE＝CF，

∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，

∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝60°， ∴△AEF是等边三角形． （2）①如图2，连接AN， ∵点N是BC的中点， ∴AN⊥BC； ∵AG平分∠EAF， ∴AM⊥EF，

∴∠AME＝∠ANB＝90°， ∵∠AEM＝∠B＝60°， ∴△AEM∽△ABN， ∴∴

， ，

∵∠EAM＝∠BAN＝30°， ∴∠NAM＝∠BAE＝30°﹣∠EAN， ∴△NAM∽△BAE， ∴∴MN＝②存在．

如图3，OH交AE于点P，连接OE， ∵S△AOP：S四边形OPEC＝1：3， ∴S△AOP：S△ACE＝1：4，

∵OA＝OC，且△AOE与△COE的高相等， ∴S△AOE＝S△COE， ∴S△AOP：S△AOE＝1：2， ∴S△AOP：S△EOP，

∵△AOP与△EOP的高相等， ∴PA＝PE， ∴OH∥CE， ∴

； ＝sin60°＝BE＝

，

．

×4＝2

如图4，OH交CE于点Q，连接EF交AG于点M，作EL⊥AB于点L， 同理可得EQ＝CQ，OH∥AE，

∵∠ELB＝90°，∠B＝60°，AB＝12，BE＝4， ∴∠BEL＝30°， ∴BL＝BE＝×4＝2，

∴AL＝AB﹣BL＝12﹣2＝10，EL＝BL•tan60°＝2

，

∴EF＝AE＝＝

＝2

；

＝4，

∴EM＝FM＝EF＝×4

∵∠GEM＝180°﹣60°﹣∠AEB＝120°﹣∠AEB，∠EAL＝180°﹣60°﹣∠AEB＝120°﹣∠AEB， ∴∠GEM＝∠EAL， ∵∠EMG＝∠ALE＝90°， ∴△GEM∽△EAL， ∴∴EG＝

，

＝

＝

，

∵BC＝AB＝12，BE＝4， ∴EC＝12﹣4＝8，

∴EQ＝CQ＝EC＝×8＝4，

∴＝，

综上所述，的值为或．

八、（本题12分）

25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图，点D是第一象限抛物线上一点，过D作DM⊥x轴于点M，交BC于点N．若点N为DM中点，求点D的坐标，并直接写出此时直线DC的表达式．

（3）在（2）的条件下，点E为y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线DC的垂线，垂足为P，若∠ECP＝∠DAB，请直接写出点E的坐标． 【分析】（1）将A、C两点代入抛物线的表达式可求得；

（2）设D点坐标，根据△BMN∽△BOC或BC的关系式y＝﹣x+3，求出N点坐标，进而根据DM＝2MN求得；

（3）当E在BC上方时，作DF⊥AB于F，作DG⊥OC于G，可推出∠ECP＝∠DAB＝∠CDG，进而求得E点坐标，当E在BC下方时，先求出CE于DG的交点H的坐标，求出CE的表达式，然后和二次函数联立方程组求得． 解：（1）由题意得， 、

，

∴，

∴抛物线的表达式是y＝﹣（2）由﹣x1＝﹣2，x2＝3， ∴OB＝OC＝3， 设点D（x，﹣∵MN∥OC， ∴△BMN∽△BOC， ∴

，

）， ＝0得，

；

∴MN＝BM＝3﹣x， ∵点N为DM中点， ∴DM＝2MN， ∴﹣

＝2（3﹣x），

∴x1＝2，x2＝3（舍去）， 当x＝2时，y＝﹣∴D（2，2），

此时直线DC的表达式是y＝﹣（3）如图1，

； ＝2，

作DF⊥AB于F，作DG⊥OC于G， ∵A（﹣2，0），D（2，2），C（0，3）， ∴tan∠DAB＝tan∠CDG＝

， ，

∴∠ECP＝∠DAB＝∠CDG， ∴CE∥DG∥x轴， ∴E（1，3）， 如图2，

设GH＝a， ∵∠DCE＝∠GDC， ∴设DH＝CH＝2﹣a， 在Rt△GHC 中， CH2﹣GH2＝CG2， ∴（2﹣a）2﹣a2＝1， ∴a＝， ∴H（，2），

∴直线CE的表达式是y＝﹣由﹣x1＝当x＝＝﹣

，x2＝0（舍去）， 时，y＝﹣

+3， 得，

＝﹣，

∴

，

综上所述：E（1，3）或（，﹣）．