2020-2021学年河南省郑州外国语中学九年级(下)开学数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年河南省郑州外国语中学九年级（下）开学

数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 计算：−(−1)=( )

A. ±1 B. −2 C. −1 D. 1

2. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的

无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为( )

A. 7.6×10−9

3. 计算正确的是( )

B. 7.6×10−8 C. 7.6×109 D. 7.6×108

A. (−5)0=0 B. 𝑥2+𝑥3=𝑥5 C. (𝑎𝑏2)3=𝑎2𝑏5 D. 2𝑎2⋅𝑎−1=2𝑎

4. 下列说法不正确的是( )

A. 在选举中，人们通常最关心的数据是众数 B. 数据3，5，4，1，−2的中位数是3 C. 一组数据1，1，0，2，4的平均数为2

D. 甲、乙两人数学成绩的平均分都是95，方差分别是2.5和10.5，要选择一人参加

数学竞赛，选甲比较稳定

𝑥−4≤2(𝑥−1),5. 不等式组{1中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是( )

(𝑥+3)>𝑥+1

2

A.

B.

C.

D.

6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，

原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为( ) =𝑦+23

A. {𝑥

+9=𝑦2

𝑥

=𝑦−23

B. {𝑥−9

=𝑦2

𝑥

=𝑦+23

C. {𝑥−9

=𝑦2

1

𝑥𝑥

3

D. {𝑥

=𝑦−2

−9=𝑦2

7. 如图，已知点A、B分别在反比例函数𝑦=𝑥(𝑥>0)，𝑦=

−𝑥(𝑥>0)的图象上，且𝑂𝐴⊥𝑂𝐵，则𝑂𝐴的值为( )

4

𝑂𝐵

A. √2 B. 2

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C. √3 D. 4

8. 已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)图象上部分点的坐标(𝑥,𝑦)的对应值如表所

示：

x y … … 0 0.37 √5 −1 4 0.37 … … 则方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1.37=0的根是( )

A. 0或4 B. √5或4−√5 C. 1或5 D. 无实根

9. 如图，在菱形OABC中，∠𝐴𝑂𝐶=30°，𝑂𝐴=4，以O为坐标原点，以OA所在的

B为圆心，直线为x轴建立平面直角坐标系，如图按以下步骤作图：①分别以点A，以大于2𝐴𝐵的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN交BC于点𝑃.则点P的坐标为( )

1

A. (4,2)

3

B. (8−4√,2)

33

C. (4+2√,2)

3

D. (3√3,2)

10. 如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=120°，点E是边AB的中点，点P是边

BC上一动点，设𝑃𝐶=𝑥，𝑃𝐴+𝑃𝐸=𝑦.图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点.那么𝑎+𝑏的值为( )

A. 4√3 B. 7 C. 7√3 D. 9

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 与√14−2最接近的整数是______ ．

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12. 从等腰三角形、平行四边形、菱形、双曲线、抛物线中随机抽取两个(不放回)，得

到的两个图形都是中心对称图形的概率是______ ．

13. 已知抛物线𝑦=𝑥2−2𝑏𝑥的顶点在第三象限，请写出一个符合条件的b的值为

______．

14. 如图，在矩形ABCD中，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=√3，两顶点A、

B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则当OC为最大值时，点C的坐标是______．

15. 在矩形ABCD中，𝐴𝐵=5，𝐵𝐶=7，点P是直线BC一

动点，若将△𝐴𝐵𝑃沿AP折叠，使点B落在平面上的点E处，连结AE、𝑃𝐸.若P、E、D三点在一直线上时，则𝐵𝑃=______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分） 16. 先化简，再求值.(

8𝑥+1

−𝑥+1)÷

𝑥2+6𝑥+9𝑥+1

−4，，其中x的取值−3√2，−√17，−(2√5−

1)这四个实数中最小值．

17. 某工厂甲、乙两个部门各有员工200人，为了了解这两个部门员工的生产技能情况，

相关部门进行了抽样调查，过程如下：

【收集数据】从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩(百分制，单位：分)如下： 甲 78 75 乙 92 80 86 79 71 81 74 81 83 69 81 70 81 81 75 75 72 73 76 80 81 74 87 85 91 82 70 70 83 80 75 83 75 70 90 77 82 59 第3页，共26页

【整理、描述数据】按分数段整理以上两组样本数据后，绘制甲、乙两部门员工成绩的频数分布图(如图)

(说明：测试成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60−69分为合格) 【分析数据】两组样本数据的平均数，中位数、众数如下表所示： 部门 甲 乙 平均数 78.35 ______ 中位数 77.5 ______ 众数 75 ______ (1)请将上述不完整的频数分布图补充完整；

(2)请分别求出乙部门员工测试成绩的平均数，中位数和众数填入表中； (3)请根据以上统计过程进行下列推断；

①估计乙部门生产技能优秀的员工约有______人；

②你认为甲，乙哪个部门员工的生产技能水平较高，请说明理由，(至少从两个不同的角度说明推晰的合理性)

18. 如图，AB是⊙𝑂的直径，D是⊙𝑂外一点．DB和DC

都与⊙𝑂相切，切点分别是点B、C，连接OD交⊙𝑂于点E，连接AC． (1)求证：𝐴𝐶//𝑂𝐷；

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(2)如果𝐴𝐵=2，

①当𝐵𝐷=______时，四边形OACE是菱形； ②当𝐵𝐷=______时，四边形OCDB是正方形．

19. “C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科

技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一数据不𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝑀//𝐵𝑁//𝐸𝐷，完整的航模飞机机翼图纸，

𝐴𝐸⊥𝐷𝐸，(请根据图中数据，求出线段BE和CD的．结果精确到0.1𝑐𝑚，𝑠𝑖𝑛37°≈0.60，𝑐𝑜𝑠37°≈0.80，𝑡𝑎𝑛37°≈0.75)

20. 为了预防新冠肺炎，某药店销售甲、乙两种防护口罩，已知甲口罩每袋的售价比乙

口罩多5元，小明从该药店购买了3袋甲口罩和2袋乙口罩共花费115元． (1)求该药店甲、乙两种口罩每袋的售价分别为多少元？

(2)根据消费者需求，药店决定用不超过8000元购进甲、乙两种口罩共400袋．已知甲口罩每袋的进价为22.2元，乙口罩每袋的进价为17.8元，要使药店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，并求出最大利润．

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21. 在平面直角坐标系xOy中，直线𝑦=−2𝑥+5与x轴、y轴分别交于点A、𝐵(如图).

抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥(𝑎≠0)经过点A． (1)求线段AB的长；

(2)如果抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥经过线段AB上的另一点C，且𝐵𝐶=√5，求这条抛物线的表达式；

(3)如果抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥的顶点D位于△𝐴𝑂𝐵内，求a的取值范围．

1

22. 如图1，在弧MN和弦MN所组成的图形中，P是弦MN上一动点，过点P作弦MN

P两点间的距离为xcm，的垂线，交弧MN于点Q，连接𝑀𝑄.已知𝑀𝑁=6𝑐𝑚，设M、P、Q两点间的距离为𝑦1𝑐𝑚，M、Q两点间的距离为𝑦2𝑐𝑚．

小轩根据学习函数的经验，分别对函数𝑦1，𝑦2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小轩的探究过程，请补充完整：

(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了𝑦1，𝑦2与x的几组对应值：𝑥/𝑐𝑚

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𝑥/𝑐𝑚 𝑦1/𝑐𝑚 𝑦2/𝑐𝑚 0 0 0 1 2.24 2.45 2 2.83 3.46 3 3.00 4.24 4 2.83 4.90 5 2.24 m 6 0 6 上表中m的值为______.(保留两位小数)

(2)在同一平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦(图2)中，函数𝑦1的图象如图，请你描出补全后的表中𝑦2各组数值所对应的点(𝑥,𝑦2)，并画出函数𝑦2的图象；

MP的长度约为______.((3)结合函数图象，解决问题：当△𝑀𝑃𝑄有一个角是60°时，保留两位小数)

23. 已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合，连接

AF，CE，点M是CE的中点，连接DM． (1)请你猜想AF与DM的数量关系是______．

(2)如图②，把正方形ABCD绕着点D顺时针旋转𝛼角(0°<𝛼<90°)．

(温若成立，请证明；若不成立，请说明理由；①𝐴𝐹与DM的数量关系是否仍成立，

馨提示：延长DM到点N，使𝑀𝑁=𝐷𝑀，连接𝐶𝑁) ②求证：𝐴𝐹⊥𝐷𝑀；

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③若旋转角𝛼=45°，且∠𝐸𝐷𝑀=2∠𝑀𝐷𝐶，求𝐸𝐷的值．(可不写过程，直接写出结果)

𝐴𝐷

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：−(−1)=1． 故选：D．

直接利用相反数的定义得出答案．

此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键．

2.【答案】B

【解析】解：将0.000000076用科学记数法表示为7.6×10−8， 故选：B．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为𝑎×10−𝑛，其中1≤|𝑎|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3.【答案】D

【解析】解：A、(−5)0=1，故错误， B、𝑥2+𝑥3，不是同类项不能合并，故错误； C、(𝑎𝑏2)3=𝑎3𝑏6，故错误； D、2𝑎2⋅𝑎−1=2𝑎故正确． 故选：D．

根据零指数幂的性质，幂的乘方和积的乘方的计算法则，单项式乘以单项式的法则计算即可．

本题考查了零指数幂的性质，幂的乘方和积的乘方的计算法则，单项式乘以单项式的法则，熟练掌握这些法则是解题的关键．

4.【答案】C

【解析】解：A、在选举中，人们通常最关心的是众数，正确，不符合题意； B、数据3，5，4，1，−2的中位数是3，正确，不符合题意； C、一组数据1，1，0，2，4的平均数为1.6，错误，符合题意；

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D、甲、乙两人数学成绩的平均分都是95，方差分别是2.5和10.5，要选择一人参加数学竞赛，选甲比较稳定，正确，不符合题意， 故选C．

利用众数、中位数、平均数及方差的定义分别判断后即可确定正确的选项．

本题考查了众数、中位数、平均数及方差的定义，解题的关键是能够了解这些统计量的意义，难度不大．

5.【答案】A

𝑥−4≤2(𝑥−1) ①

, 【解析】解：由不等式组{1

(𝑥+3)>𝑥+1②2解不等式①得：𝑥≥−2， 解不等式②得：𝑥<1，

∴此不等式组的解集为：−2≤𝑥<1， 该不等式组的解集在数轴表示如下：

故选：A．

𝑥−4≤2(𝑥−1),

根据不等式组{1可以得到该不等式组的解集，从而可以在数轴上表示出

(𝑥+3)>𝑥+1

2

来，本题得以解决．

本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．

6.【答案】B

𝑥

3

【解析】解：依题意，得：{𝑥−9

2

=𝑦−2

． =𝑦

故选：B．

根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程

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组是解题的关键．

7.【答案】B

【解析】 【分析】

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键．

过点A作𝐴𝑀⊥𝑦轴于点M，过点B作𝐵𝑁⊥𝑦轴于点N，利用相似三角形的判定定理得出△𝐴𝑂𝑀∽△𝑂𝐵𝑁，再由反比例函数系数k的几何意义得出𝑆△𝐴𝑂𝑀：𝑆△𝐵𝑂𝑁=1：4，进而可得出结论． 【解答】

解：过点A作𝐴𝑀⊥𝑦轴于点M，过点B作𝐵𝑁⊥𝑦轴于点N，

∴∠𝐴𝑀𝑂=∠𝐵𝑁𝑂=90°， ∴∠𝐴𝑂𝑀+∠𝑂𝐴𝑀=90°， ∵𝑂𝐴⊥𝑂𝐵，

∴∠𝐴𝑂𝑀+∠𝐵𝑂𝑁=90°， ∴∠𝑂𝐴𝑀=∠𝐵𝑂𝑁， ∴△𝐴𝑂𝑀∽△𝑂𝐵𝑁，

∵点A，B分别在反比例函数𝑦=𝑥(𝑥>0)，𝑦=−𝑥(𝑥>0)的图象上， ∴𝑆△𝐴𝑂𝑀：𝑆△𝐵𝑂𝑁=1：4， ∴𝐴𝑂：𝐵𝑂=1：2， ∴𝑂𝐵：𝑂𝐴=2． 故选B．

1

4

8.【答案】B

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【解析】解：由抛物线经过点(0,0.37)得到𝑐=0.37， 因为抛物线经过点(0,0.37)、(4,0.37)， 所以抛物线的对称轴为直线𝑥=2， 而抛物线经过点(√5,−1)， 所以抛物线经过点(4−√5,−1)，

所以二次函数解析式为𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+0.37，

方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1.37=0变形为𝑎𝑥2+𝑏𝑥+0.37=−1，

所以方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+0.37=−1的根理解为函数值为−1所对应的自变量的值， 所以方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1.37=0的根为𝑥1=√5，𝑥2=4−√5． 故选：B．

利用抛物线经过点(0,0.37)得到𝑐=0.37，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线𝑥=2，抛物线经过点(√5,−1)，由于方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1.37=0变形为𝑎𝑥2+𝑏𝑥+0.37=−1，则方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1.37=0的根理解为函数值为−1所对应的自变量的值，所以方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1.37=0的根为𝑥1=√5，𝑥2=4−√5．

c是常数，𝑎≠0)本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎,b，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

9.【答案】C

【解析】解：如图，连接AP，作𝑃𝐷⊥𝑥轴于点D，

根据作图过程可知：

MN是AB的垂直平分线，交AB于点E，交x轴于点Q， ∴𝑃𝑄⊥𝐴𝐵，𝑃𝐴=𝑃𝐵， ∴∠𝑃𝐴𝐵=∠𝐵=30°， ∵∠𝐵𝐴𝑄=∠𝐶𝑂𝐴=30°， ∴∠𝑃𝐴𝑄=60°，

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∵∠𝐴𝐸𝑄=90°， ∴∠𝐴𝑄𝐸=60°， ∴△𝐴𝑃𝑄是等边三角形， ∴𝑃𝐷=𝐴𝐸=𝐴𝐵=2，

21

∴𝐴𝐷=𝑃𝐷⋅𝑡𝑎𝑛30°=

2√3

， 32√3

， 3

∴𝑂𝐷=𝑂𝐴+𝐴𝐷=4+∴𝑃(4+

2√3

,2)． 3

故选：C．

连接AP，作𝑃𝐷⊥𝑥轴于点D，根据作图过程可得，MN是AB的垂直平分线，交AB于点E，交x轴于点Q，进而可以证明三角形APQ是等边三角形，可求出AD和PD的长，即可求解．

本题考查了作图−基本作图、坐标与图形性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．

10.【答案】B

【解析】解：如图，将△𝐴𝐵𝐶沿BC折叠得到△𝐴′𝐵𝐶，则四边形𝐴𝐵𝐴′𝐶为菱形，菱形的对角线交于点O，

由图②可知，当点P与点B重合时，

𝑦=𝑃𝐴+𝑃𝐸=𝐴𝐵+𝑃𝐸=𝐴𝐵+2𝐴𝐵=3√3， 解得：𝐴𝐵=2√3，即菱形的边长为2√3． 则该菱形的高为√𝐴𝐵=3，

2

点A关于BC的对称点为点𝐴′，连接𝐴′𝐸交BC于点P，此时y最小， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=120°，

则∠𝐵𝐴𝐴′=60°，故△𝐴𝐴′𝐵为等边三角形， ∵点E是AB的中点， ∴𝐴′𝐸⊥𝐴𝐵，

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31

∵𝐴𝐵//𝐴′𝐶，

∴∠𝑃𝐴′𝐶为直角，𝐴′𝐶=𝐴𝐵=2√3， 则𝑃𝐶=cos∠𝐵𝐶𝐴′=

𝐴′𝐶

2√3√32

=4，

此时𝑏=𝑃𝐶，𝑎=𝐴′𝐸=3， 则𝑎+𝑏=7． 故选：B．

点A关于BC的对称点为点𝐴′，连接𝐴′𝐸交BC于点P，此时y最小，进而求解． 本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．

11.【答案】2

【解析】解：因为3.52=12.25，42=16，而12.25<14<16， 所以3.5<√14<4， 所以1.5<√14−2<2， 所以√14−2最接近的整数是2， 故答案为：2．

估算√14的近似值，进而得出答案．

本题考查无理数的估算，掌握算术平方根的意义是正确解答的关键．

12.【答案】10

【解析】解：五种图形中，属于中心对称图形的有：平行四边形、菱形、双曲线， 将等腰三角形、平行四边形、菱形、双曲线、抛物线分别记作A，B，C，D，E， 列表可得：

3

总共有20种等可能的情况，其中抽取的两个都是中心对称图形的有6种，

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∴得到的两个图形都是中心对称图形的概率是20=10， 故答案为：10．

将等腰三角形、平行四边形、菱形、双曲线、抛物线分别记作A，B，C，D，E，再列表，根据所得的结果进行计算即可．

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

3

63

13.【答案】−1

【解析】解：∵𝑦=𝑥2−2𝑏𝑥=(𝑥−𝑏)2−𝑏2， ∴顶点坐标为(𝑏,−𝑏2)， ∵顶点在第三象限， ∴𝑏<0，

比如：𝑏=−1(答案不唯一)． 故答案为−1．

利用配方法即可解决问题；

本题考查二次函数的性质，配方法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

3314.【答案】(3√,) 22

【解析】 【分析】

本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能根据题意求出OC的最大值是解此题的关键．

E为AB的中点，当O，E及C共线时，OC最大，此时𝑂𝐸=2𝐴𝐵=1，由勾股定理求出𝐶𝐸=2，𝑂𝐶=3，求出∠𝐶𝑂𝐵=30°，即可求出CF和OF即可． 【解答】

解：取E为AB的中点，连接OE、EC，

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1

易知当O，E及C共线时，OC最大， 过C作𝐶𝐹⊥𝑥轴于F，则∠𝐶𝐹𝑂=90°，

𝑅𝑡△𝑂𝐴𝐵中，E为斜边AB中点， ∴𝑂𝐸=𝐴𝐸=𝐵𝐸=𝐴𝐵=1，

21

𝑅𝑡△𝐸𝐵𝐶中，由勾股定理得：𝐶𝐸=√𝐵𝐶2+𝐵𝐸2=2， 则OC最大为𝑂𝐸+𝐸𝐶=1+2=3， 即𝐵𝐸=2𝐶𝐸， ∵∠𝐶𝐵𝐸=90°，

∴∠𝐸𝐶𝐵=30°，∠𝐵𝐸𝐶=60°， ∴∠𝐴𝐸𝑂=60°， ∴△𝐴𝑂𝐸等边三角形， ∴∠𝐴𝑂𝐸=60°，

∴∠𝐶𝑂𝐵=90°−60°=30°， ∴𝐶𝐹=𝑂𝐶=×3=，

222

由勾股定理得：𝑂𝐹=√𝑂𝐶2−𝐶𝐹2=√32−()2=

23

3√3

， 2

1

1

3

1

所以点C的坐标是(故答案为：(

3√33

,). 22

3√33

,). 22

15.【答案】7−2√6或7+2√6

【解析】解：(1)如图1，当点P在线段BC上，若P、E、D三点在一直线上，

由折叠得：𝐴𝐵=𝐴𝐸=5，𝐵𝑃=𝑃𝐸，∠𝐵=∠𝐴𝐸𝑃=90°

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在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸中，由勾股定理得：𝐷𝐸=√𝐴𝐷2−𝐴𝐸2=√72−52=2√6 设𝐵𝑃=𝑥，则𝑃𝐸=𝑥，𝑃𝐶=7−𝑥，在在𝑅𝑡△𝐷𝐶𝑃中，由勾股定理得： (2√6+𝑥)2=(7−𝑥)2+52，

解得：𝑥=7−2√6，即：𝐵𝑃=7−2√6； 故答案为：7−2√6．

(2)如图2，当点P在BC的延长线上， 由折叠得：𝐴𝐵=𝐴𝐸=5，𝐵𝑃=𝑃𝐸，∠𝐵=∠𝐴𝐸𝑃=90°

易证△𝐴𝐷𝐸≌△𝐷𝐶𝑃 (𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐷=𝐷𝑃=7，

在𝑅𝑡△𝐷𝐶𝑃中，由勾股定理得：𝑃𝐶=√72−52=2√6， ∴𝐵𝑃=𝐵𝐶+𝑃𝐶=7+2√6， 故答案为：7+2√6或7−2√6．

根据折叠，得出相等的线段、角，由于P、D、E在一条直线上，由勾股定理可以求出DE，设𝐵𝑃=𝑥，在直角三角形DCP中，由勾股定理列出方程进而求出结果． 此题主要考查了矩形的性质、直角三角形勾股定理、折叠对称等知识，设未知数，转化到一个三角形中，借助勾股定理列方程求解是常用的方法．

16.【答案】解：原式=[𝑥+1−

8

𝑥2−1𝑥+1

]⋅

𝑥+1(𝑥+3)2

9−𝑥2𝑥+1

=⋅

𝑥+1(𝑥+3)2

(3−𝑥)(3+𝑥)𝑥+1=⋅

𝑥+1(𝑥+3)2

=𝑥+3；

∵−3√2=−√18，−4=−√16，−√17，−(2√5−1)=−√20+1， ∴−3√2最小，

当𝑥=−3√2时，原式=

−33+3√2√2+33−𝑥

=1−1+√2√=2(1+√2)21−2

=−(1+√2)2．

【解析】先将括号内通分，然后因式分解，再约分．

本题考查了分式的化简求值，熟悉约分、通分、因式分解是解题的关键．

17.【答案】解：(1)补全图表如下：

第17页，共26页

成绩x 人数 部门 甲 乙 0 1 0 1 12 6 7 10 50≤𝑥≤59 60≤𝑥≤69 70≤𝑥≤79 80≤𝑥≤ 90≤𝑥≤100 1 2

(2)填表如下： 部门 甲 乙 (3)①120； ②甲或乙，

1°、甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高； 2°、甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高；

或1°、乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高； 2°、乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高．

78 平均数 78.35 中位数 77.5 80.5 众数 75 81

【解析】 【分析】

本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义以及用样本估计总体是解题的关键． (1)根据题干数据整理即可得；

(2)利用平均数、中位数及众数的定义求出答案填写即可．

第18页，共26页

(3)①总人数乘以样本中优秀的人数所占比例；②根据中位数和众数等意答可得．【解答】 解：(1)见答案；

(2)乙部门的平均数为：20(92+71+83+81+72+81+91+83+75+82+80+81+69+81+73+74+82+80+80+59)=78，

乙部门的成绩从小到大排列为：59，69，70，71，72，73，74，75，80，80，81，81，81，81，82，82，83，83，91，92，

共有20个数据，平均数应为(80+81)÷2=80.5， 这组数据中80出现次数最多，因此众数是80．

(3)①估计乙部门生产技能优秀的员工人数是200×20=120人； ②见答案．

12

1

18.【答案】√3 1

【解析】(1)证明：连接BC，OC． ∵𝐷𝐵，DC是⊙𝑂的切线， ∴𝐷𝐵=𝐷𝐶， ∵𝑂𝐶=𝑂𝐵， ∴𝑂𝐷⊥𝐵𝐶， ∵𝐴𝐵是直径，

∴∠𝐴𝐶𝐵=90°，即𝐴𝐶⊥𝐵𝐶， ∴𝐴𝐶//𝑂𝐷．

(2)解：①当𝐵𝐷=√3时，四边形OACE是菱形． 理由：连接EC． ∵𝐵𝐷是⊙𝑂的切线， ∴𝐵𝐷⊥𝑂𝐵， ∴∠𝑂𝐵𝐷=90°， ∴tan∠𝐷𝑂𝐵=𝑂𝐵=√3， ∴∠𝐷𝑂𝐵=60°， ∵𝐴𝐶//𝑂𝐷，

∴∠𝑂𝐴𝐶=∠𝐷𝑂𝐵=60°，

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𝐵𝐷

∵𝑂𝐴=𝑂𝐶，

∴△𝐴𝑂𝐶是等边三角形， ∴𝐴𝐶=𝑂𝐴=𝑂𝐸， ∵𝐴𝐶//𝑂𝐸，

∴四边形OACE是平行四边形， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐸，

∴四边形OACE是菱形． 故答案为√3．

②当𝐵𝐷=1时，四边形OCDB是正方形． 理由：∵𝐵𝐷，DC是⊙𝑂的切线， ∴𝐷𝐵=𝐷𝐶，

∵𝑂𝐵=𝑂𝐶=1，𝐵𝐷=1， ∴𝑂𝐵=𝐵𝐷=𝐷𝐶=𝑂𝐶， ∴四边形OCDB是菱形， ∵∠𝑂𝐵𝐷=90°，

∴四边形OCDB是正方形． 故答案为1．

(1)想办法证明𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝑂𝐷⊥𝐵𝐶即可判断．

(2)①当𝐵𝐷=√3时，四边形OACE是菱形．根据四边相等的四边形是菱形证明即可． 四边形OCDB是正方形．根据有一个角是90°的菱形是正方形证明即可． ②当𝐵𝐷=1时，

本题属于圆综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，菱形的判定，.正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形，正方形的判定，属于中考压轴题．

19.【答案】解：∵𝐵𝑁//𝐸𝐷，

∴∠𝑁𝐵𝐷=∠𝐵𝐷𝐸=37°， ∵𝐴𝐸⊥𝐷𝐸， ∴∠𝐸=90°，

∴𝐵𝐸=𝐷𝐸⋅tan∠𝐵𝐷𝐸≈18.8(𝑐𝑚)， 如图，过C作AE的垂线，垂足为F， ∵∠𝐹𝐶𝐴=∠𝐶𝐴𝑀=45°，

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∴𝐴𝐹=𝐹𝐶=25𝑐𝑚， ∵𝐶𝐷//𝐴𝐸，

∴四边形CDEF为矩形， ∴𝐶𝐷=𝐸𝐹，

∵𝐴𝐸=𝐴𝐵+𝐸𝐵=35.75(𝑐𝑚)， ∴𝐶𝐷=𝐸𝐹=𝐴𝐸−𝐴𝐹≈10.8(𝑐𝑚)，

答：线段BE的长约等于18.8𝑐𝑚，线段CD的长约等于10.8𝑐𝑚．

【解析】在𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐷中可先求得BE的长，过C作𝐶𝐹⊥𝐴𝐸于点F，则可求得AF的长，从而可求得EF的长，即可求得CD的长．

本题主要考查解直角三角形的应用，利用条件构造直角三角形是解题的关键，注意角度的应用．

(1)设该药店甲种口罩每袋的售价为x元，【答案】解：乙种口罩每袋的售价为y元， 20.

𝑥−𝑦=5𝑥=25根据题意得：{，解得{，

𝑦=203𝑥+2𝑦=115答：甲、乙两种口罩每袋的售价分别为25元、20元；

(2)设药店购进甲种口罩m袋，获利w元，根据题意得： 22.2𝑚+17.8(400−𝑚)≤8000， 解得𝑚≤200，

𝑤=(25−22.2)𝑚+(20−17.8)(400−𝑚)=0.6𝑚+880， ∵0.6>0，

∴𝑤随m的增大而增大，

∴当𝑚=200时，药店获利最大，最大利润为：0.6×200+880=1000(元)． 答：购进甲、乙两种口罩各200袋时，药店获利最大，最大利润为1000元．

【解析】(1)分别根据甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小明从该药店购买了3袋甲口罩和2袋乙口罩共花费115元，列方程组解答即可；

(2)设药店购进甲种口罩m袋，获利w元，根据题意得出w与m的关系式以及m的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．

本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，在解

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答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．

21.【答案】解：(1)针对于直线𝑦=−2𝑥+5，

令𝑥=0，𝑦=5， ∴𝐵(0,5)，

令𝑦=0，则−2𝑥+5=0， ∴𝑥=10， ∴𝐴(10,0)，

∴𝐴𝐵=√52+102=5√5；

(2)设点𝐶(𝑚,−2𝑚+5)， ∵𝐵(0,5)，

∴𝐵𝐶=√𝑚2+(−𝑚+5−5)2=

21

√5|𝑚|， 2

11

1

∵𝐵𝐶=√5， ∴

√5|𝑚|2

=√5，

∴𝑚=±2，

∵点C在线段AB上， ∴𝑚=2， ∴𝐶(2,4)，

100𝑎+10𝑏=0将点𝐴(10,0)，𝐶(2,4)代入抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥(𝑎≠0)中，得{，

4𝑎+2𝑏=4∴{𝑎=−𝑏=2

514

，

1

5

∴抛物线𝑦=−4𝑥2+2𝑥；

(3)∵点𝐴(10,0)在抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥中，得100𝑎+10𝑏=0， ∴𝑏=−10𝑎，

∴抛物线的解析式为𝑦=𝑎𝑥2−10𝑎𝑥=𝑎(𝑥−5)2−25𝑎， ∴抛物线的顶点D坐标为(5,−25𝑎)，

将𝑥=5代入𝑦=−2𝑥+5中，得𝑦=−2×5+5=2，

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1

1

5

∵顶点D位于△𝐴𝑂𝐵内， ∴0<−25𝑎<，

2∴−

110

5

<𝑎<0；

【解析】(1)先求出A，B坐标，即可得出结论；

(2)设点𝐶(𝑚,−2𝑚+5)，则𝐵𝐶=√5|𝑚，进而求出点𝐶(2,4)，最后将点A，C代入抛物

2线解析式中，即可得出结论；

(3)将点A坐标代入抛物线解析式中得出𝑏=−10𝑎，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为(5,−25𝑎)，即可得出结论．

此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键．

1

22.【答案】4.90 1.50或4.50

【解析】解：(1)利用测量法可知：当𝑥=4时，𝑦2=4.90， ∴𝑚=4.90， 故答案为：4.90．

(2)函数图象如图所示：

(3)函数𝑦1与直线𝑦=√3𝑥的交点的横坐标为1.50， 函数𝑦1与直线𝑦=√𝑥的交点的横坐标为4.50，

3

故当△𝑀𝑃𝑄有一个角是60°时，MP的长度约为1.50或4.50． 故答案为：1.50或4.50．

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3(1)利用测量法解决问题即可． (2)利用描点画出函数图象即可．

(3)利用图象法求出函数𝑦1与直线𝑦=√3𝑥，直线𝑦=√𝑥的交点的横坐标即可解决问题．

3本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，勾股定理，一次函数的性质，函数的图象与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

3

23.【答案】𝐴𝐹=2𝐷𝑀

【解析】解：(1)猜想AF与DM的数量关系是𝐴𝐹=2𝐷𝑀， 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴𝐶𝐷=𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐶=90°， 在△𝐴𝐷𝐹和△𝐶𝐷𝐸中， 𝐴𝐷=𝐶𝐷

{∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐶𝐷𝐸， 𝐷𝐹=𝐷𝐸

∴△𝐴𝐷𝐹≌△𝐶𝐷𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐹=𝐶𝐸， ∵𝑀是CE的中点， ∴𝐶𝐸=2𝐷𝑀， ∴𝐴𝐹=2𝐷𝑀，

故答案为：𝐴𝐹=2𝐷𝑀；

(2)①𝐴𝐹=2𝐷𝑀仍然成立，

理由如下：延长DM到点N，使𝑀𝑁=𝐷𝑀，连接CN， ∵𝑀是CE中点， ∴𝐶𝑀=𝐸𝑀， 又∠𝐶𝑀𝑁=∠𝐸𝑀𝐷， ∴△𝑀𝑁𝐶≌△𝑀𝐷𝐸(𝑆𝐴𝑆)，

∴𝐶𝑁=𝐷𝐸=𝐷𝐹，∠𝑀𝑁𝐶=∠𝑀𝐷𝐸， ∴𝐶𝑁//𝐷𝐸， 又𝐴𝐷//𝐵𝐶 ∴∠𝑁𝐶𝐵=∠𝐸𝐷𝐴， ∵四边形ABCD是正方形，

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∴𝐴𝐷=𝐷𝐶，∠𝐵𝐶𝐷=90°=∠𝐸𝐷𝐹， ∴∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐷𝐶𝑁， ∴△𝐴𝐷𝐹≌△𝐷𝐶𝑁(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐹=𝐷𝑁， ∴𝐴𝐹=2𝐷𝑀； ②∵△𝐴𝐷𝐹≌△𝐷𝐶𝑁， ∴∠𝑁𝐷𝐶=∠𝐹𝐴𝐷， ∵∠𝐶𝐷𝐴=90°，

∴∠𝑁𝐷𝐶+∠𝑁𝐷𝐴=90°， ∴∠𝐹𝐴𝐷+∠𝑁𝐷𝐴=90°， ∴𝐴𝐹⊥𝐷𝑀； ③∵𝛼=45°，

∴∠𝐸𝐷𝐶=90°−45°=45°

∵∠𝐸𝐷𝑀=2∠𝑀𝐷𝐶， ∴∠𝐸𝐷𝑀=3∠𝐸𝐷𝐶=30°， ∴∠𝐴𝐹𝐷=30°，

过A点作𝐴𝐺⊥𝐹𝐷的延长线于G点，∴∠𝐴𝐷𝐺=90°−45°=45°，

2

∴△𝐴𝐷𝐺是等腰直角三角形，

设𝐴𝐺=𝑘，则𝐷𝐺=𝑘，𝐴𝐷=𝐴𝐺÷𝑠𝑖𝑛45°=√2𝑘， 𝐹𝐺=𝐴𝐺÷𝑡𝑎𝑛30°=√3𝑘， ∴𝐹𝐷=𝐸𝐷=√3𝑘−𝑘， 故

𝐴𝐷

=𝐸𝐷

√2𝑘√3𝑘−𝑘=

√6+√2． 2

(1)根据题意合理猜想即可；

使𝑀𝑁=𝐷𝑀，连接CN，先证明△𝑀𝑁𝐶≌△𝑀𝐷𝐸，再证明△𝐴𝐷𝐹≌△(2)①延长DM到点N，

𝐷𝐶𝑁，得到𝐴𝐹=𝐷𝑁，故可得到𝐴𝐹=2𝐷𝑀；

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②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解；

③依题意可得∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐸𝐷𝑀=30°，可设𝐴𝐺=𝑘，得到DG，AD，FG，ED的长，故可求解．

此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、旋转的特点、全等三角形的判定与性质及三角函数的运用．

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