[高二数学上学期期末试题]山西省忻州市2013-2014学年高二上学期期末联考数学(文)试题(A类)

山西省忻州市2013－2014学年高二第一学期期末联考数学试题（文科A类）

注意事项:

1．答题前，考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、班级、联考证号、座位号填写在试题和试卷上。

2．请把所有答案做在试卷上，交卷时只交试卷，不交试题，答案写在试题上无效。 3．满分150分，考试时间120分钟。

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．直线l经过坐标原点和点(-1，-1)，则直线l的倾斜角是

33 B． C．或 D.-

444442．已知集合A={x|x2－3x－4>0}，B={x|x>7，或x<-1}，则A(CRB)为

1)(7，) D．[-1，7] A．(4，7] B．[-7，-1) C．(，1x3．函数f(x)e的零点所在的区间是

xA．

1A． （0，）21B． （，1）23 C．（1，）2A

3D． （，2）2B A B

xy04．在平面直角坐标系中，不等式组xy0表示的 x1平面区域面积是

A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的

正三角形，AA1面A1B1C1，正视图是边长为2 的正方形，则侧视图的面积为 A．4

B．23

C．22 D．3

C1 A1

B1 A1 正视图

B1

第5题

俯视图

6．已知中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y离心率为

A．5

B．

1x，则此双曲线的25 D．5 217．在等比数列{an}(nN*)中，若a11，a4，则该数列的前10项和为

81111A．28 B．29 C．210 D．211

2222C．

8．某地出租车收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元（其他因素不考虑）．相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填 A．y72.6x C．y72.6x2

B．y82.6x D．y82.6x2

① 是 5 2开始 输入x x2否 y=7 输出y 结束

9．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边．

π3

若A＝，b＝1，△ABC的面积为，则a的值为

32A．1 B．2

3C． D．3

2

10．已知命题p：∀x∈[1， 2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，使得x20＋2ax0＋2－a＝0，若

“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是

A．a＝1或≤－2 B．a≤－2或1≤a≤2

C．a≥1 D．－2≤a≤1

11．已知定义在R上的函数f (x)，其导函数y＝f(x)的大

致图象如图所示，则下列叙述正确的是

A．f (a)取得极小值 B．f (d)取得最小值 C．f (x)在(a，c)上单调递增 D．f (e)取得极大值

x2y21的焦点为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于12．已知椭圆4A1A2的直线交椭圆于点P，则使得PF1PF20的点M的概率为

A．2 3B．

1 2C．6 3 D．26 3二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上) 13．已知球O与棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的各棱都相切，则该球的表面积为

___________．

14．平面上三点A、B、C满足|AB|1，|BC|1，|CA|2，则ABBCBCCA

+CAAB ．

15．给出下列三个命题：

①若命题p:xR，则命题“p”tanx1；命题q:xR，x2x10．（q）是假命题．

②已知直线l1：ax3y10，l2:xby10，则l1l2的充要条件是22a 3．b③命题“若x3x20，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x3x20”． 其中所有正确命题的序号为 ．

（a，b)，（，)，那么称这16．如果关于x的不等式f(x)0和g(x)0的解集分别为

11ba两个不等式为“对偶不等式”，如果不等式x243xcos22与0不等式（，）2x24xsin210为“对偶不等式”，且，那么 ．

2三．解答题(本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17．(本题满分10分)

已知向量a(cosx，1)，b(1，sinx)，设函数f(x)ab，其中xR．

 （1）求函数f(x)的最小正周期和最大值；

（2）将函数f(x)的图象向右平移个单位，然后将所得图像的纵坐标保持不变，横坐

4

标扩大为原来的两倍，得到函数g(x)的图象，求g(x)的解析式． 18．(本题满分12分)

已知圆N以N(2， 0)为圆心，同时与直线l1:yx和l2:yx都相切． （1）求圆N的方程；

（2）是否存在一条直线l同时满足下列条件：

①直线l分别与直线l1和l2交于A，B两点，且AB中点为E(4，1)； ②直线l被圆N截得的弦长为2．

若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

19．(本题满分12分)

为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有

900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：

分组 频数 频率 50.560.5 60.570.5 70.580.5

4 a 10 0.08 0.16 b

（1）求实数a，b，c，d的值； （2）补全频数条形图；

80.590.5 90.5100.5 合计 16 c 50 0.32 d 1 （3）若成绩在75.585.5分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？ 20．(本题满分12分)

如图，四棱锥PABCD的底面为菱形，且∠ABC＝120°，PA⊥底面ABCD，AB＝2，PA＝3， （1）求证：平面PBD⊥平面PAC； （2）求三棱锥PBDC的体积；

（3）在线段PC上是否存在一点E，使PC⊥平面EBD成立．如果存在，求出EC的长；如果不存在，请说明理由． 21．(本题满分12分)

A D B P E C

1点，且离心率e＝．

2

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知O为坐标原点，直线l过椭圆的右焦点F2与椭圆C交于M、N两点．若OM、

ON 的斜率k1，k2满足k1k23， 求直线l的方程． 22．(本题满分12分)

x2y23

设椭圆C:221(ab0)过点(1， )，F1、F2分别为椭圆C的左、右两个焦

2ab13a12xxbxa(a,bR)，其导函数f(x)的图象过原点． 32（1）当a1时，求函数f(x)的图象在x3处的切线方程；

已知函数f(x)（2）若存在x0，使得f(x)9，求a的最大值； （3）当a0时，确定函数f(x)的零点个数．

忻州市20132014学年第一学期期末联考

高二数学(文科A类)参及评分标准

一．选择题(每小题5分，共60分) AABABD BDDACC 二．填空题(每小题5分，共20分)

13．8 14．－2 15．①③ 16．三．解答题(本大题共6小题，共70分) 17．解：（1）

„„3分 f(x)cosxsinx2sin(x)，

42 ∴函数f(x)的最小正周期T „„4分 2．

1

当x=2k＋，kZ，函数f(x)取得最大值2． „„5分

4 （2）先向右平移个单位，得y=2sinx， „„7分

4

1再把横坐标扩大到原来的两倍，得y=2sinx，

21所以，g(x) =2sinx. „„10分

22

18．解：（1）∵圆N与直线l1:yx相切，∴半径r＝＝2． „„2分

2

所以圆N的方程为(x－2)2+y2＝2．

„„4分

5 6（2）假设存在直线l满足两个条件，显然l斜率存在， 设l的方程为y1k(x4)k1，

„„5分

因为l被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，即d2k11k21，

4， 3，的条件，矛盾！ 当k0时，显然不合AB中点为E(41)4当k时，l的方程为4x3y130，

34x3y130由，解得点A坐标为1313，，

yx4x3y1301313由，解得点B坐标为，，

77yx解得k0或

„„8分 „„9分

„„11分

1)，矛盾！ 显然AB中点不是E(4，所以不存在满足条件的直线l．

19．解：(1) a＝8，b＝0.2，c＝12，d＝0.24． (2)频数直方图如右图所示． „„8分

(3)成绩在75.580.5分的学生占70.580.5分的学生

„„12分 „„4分

1的，因为成绩在70.580.5分的学生频率为0.2 ，所以成绩在75.580.5分的学生频率为0.1 ， 2

1

成绩在80.585.5分的学生占80.590.5分的学生的，因为成绩在80.590.5分的学生

2频率为0.32 ，

所以成绩在80.585.5分的学生频率为0.16．

所以成绩在75.585.5分的学生频率为0.26， 由于有900名学生参加了这次竞赛，

所以该校获得二等奖的学生约为0.26900=234（人）．

„„12分 „„2分 „„4分 „„8分

„„10分

20．(1)证:∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．

又BD平面PBD内，∴平面PBD⊥平面PAD．

1113SBDCPA(22)31． 3322(3)解：假设存在，设ACBDO，则EOPC，

(2)解：V由ΔCOE∽ΔCPA ，可得CE

215． „„12分 51c121．解：（1）由题意椭圆的离心率e，∴．

2a22222∴a2c．∴bac3c．

x2y2∴椭圆方程为221． „„2分

4c3c3()2312又点(1，)在椭圆上，∴2221，∴c=1．

24c3cx2y21． ∴椭圆的方程为 „„4分 43 （2）若直线l斜率不存在，显然k1k20不合题意，∴直线l的斜率存在．„5分

设直线l为yk(x1)，代入椭圆方程3x24y212，得

(34k2)x28k2x4k2120． „„7分

依题意9k290． 设M(x1,y1)，N(x2,y2)， 8k24k212则x1x2，x1x1．

34k234k2yyx1x1又k1k212k(12)

x1x2x1x2 „„8分

x1x22k2)． k(2)＝k(22k3x1x2 „„10分

2k2从而k(22)=-3，即k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1．

k3故所求直线MN的方程为3x－y－3=0或x＋y－1=0．

„„12分

22．解:(1)因为f(x)x2(a1)xb，由已知f(0)0，则b0.

所以f(x)x(xa1)． „„2分

13xx21，f(x)x(x2)，则f(3)1，f(3)3. 3故函数f(x)的图象在x=3处的切线方程为y1=3(x3)，即3xy80. „„4分 (2)由f(x)9，得x(xa1)9. „„5分

当a1时，f(x)999(x)()2(x)()6，所以a7. xxx当且仅当x3时，a7. 故a的最大值为7. „„8分

当x0时，a1x(3) 当a0时，x,f(x),f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，0) 0 0 极大值 (－∞，a＋1) － ↘ a＋1 0 极小值 (a＋1，＋∞) ＋ ↗ f ′(x) f(x) ＋ ↗ ∵f(x)的极大值f(0)a0， 1111f(x)的极小值f(a1)a(a1)3[a33(a)2]0， „„11分

66241233由f(x)x[x(a1)]a，则f((a1))a0.

322140． 又f(2)a33所以函数f(x)在区间(2,0),(0,a1),(a1,(a1))内各有一个零点.

2故函数f(x)共有三个零点． „„12分

说明：各题如有其它解法可参照给分