第二章矩阵(1)

I 重要知识点

一、矩阵

1、定义 由mn个数aij(i1,2,,m;j1,2,n)排成m行n列的数表

a11a21am1a12a22am2a1na2n

amn称为mn矩阵，简记为A(aij)mn，当mn时，A也称为n阶方阵。 2、几类特殊矩阵

（1） 单位矩阵：主对角线上都是1，其余全为0的方阵，记为E。 （2） 对角矩阵：除主对角线外其余全为0的方阵.kE叫数量矩阵。 （3） 三角矩阵：主对角线上（下）方全为0的方阵称为下（上）

三角矩阵。上、下三角矩阵统称为三角矩阵。

（4） 矩阵的转置：将矩阵A(aij)mn的行与列的元素位置交换而

形成的矩阵叫作A的转置，记为AT(aji)nm或A/(aji)nm。 （5） 对称矩阵与反对称矩阵：设A(aij)nn，若ATA，则称A为

对称矩阵，若ATA，则称A为反对称矩阵。

（6） 正交矩阵：设A(aij)nn，若ATAAATE，则称A正交矩阵。 （7） 可交换矩阵：设A、B是同阶方阵，且ABBA。 （8） 分块矩阵：用水平和竖直虚线将矩阵A中的元素分割成若干

小块，而形成的以这些小块为元素的矩阵。

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3、矩阵的运算

（1） 矩阵的相等：设A(aij)mn，若aijbij（i1,2,,m，B(bij)mn，

j1,2,,n)，则称A与B相等，记为AB。

（2） 矩阵的和与差：设A(aij)mn，B(bij)mn，定义

AB(aijbij)mn（i1,2,,m，j1,2,,n)。

（3） 数乘矩阵：设A(aij)mn，定义kA(kaij)mn。

矩阵的加法和数乘运算满足下列运算规律： ① 交换律 ABBA。 ② 结合律 (AB)CA(BC)。

③ 分配律 k(AB)kAkB，(kl)AkAlA。

（4） 矩阵的乘法：设A(aij)ms，B(bij)sn，定义AB(cij)mn，

其中cijai1b1jai2b2jaisbsj。 矩阵乘法运算满足下列运算规律： ① 结合律 (AB)CA(BC)。

② 分配律 (AB)CACBC，C(AB)CACB。 ③ 数与乘积的结合律 k(AB)A(kB)(kA)B。

（5）方阵的幂：设A(aij)nn，定义AkAAA(k个A相乘）。

方阵的幂满足下列运算规律：AkAlAkl，(Ak)lAkl。 （6） 分块矩阵的运算：同阶矩阵分块相同才可相加减，在进行

分块矩阵乘法时，应当注意前一个列的分法必须与后一个

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行的分法相同。

二、逆矩阵

1、逆矩阵的定义：设A(aij)nn，若存在n阶方阵B，使得ABBAE，

则称A为可逆矩阵，并称B为A的逆矩阵，记BA1。

2、可逆矩阵的性质：

（1）若A可逆，则A1唯一。 （2）矩阵A可逆的充要条件是A0。

（3）若A可逆,则AT,A1均可逆,且有(AT)1(A1)T,(A1)1A。 （4）若A，B为同阶可逆矩阵，则AB也为可逆矩阵，且有

(AB)1B1A1。

（5）若A可逆,且k0，则A1 3、伴随矩阵

11，(kA)1A1。

kA设A(aij)nn，Aij为元素aij的代数余子式，定义A*(Aji)nn即：

a11aA21an1a12a22an2a1nA11a2nA12*A，Aann1nA21A22A2nAn1An2为A的伴随矩阵。 Ann 4、矩阵的初等变换与初等矩阵

（1） 矩阵的初等变换：

①交换矩阵的某两行（列）；

②以一个非零的数k乘矩阵的某一行（列）；

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③把矩阵的某一行（列）k倍加到另一行（列）；

（2）初等矩阵：对单位矩阵施行一次第i(i1,2,3)种初等变换后

而得到的矩阵叫第i种初等矩阵。初等矩阵为可逆矩阵，且其逆矩阵仍为初等矩阵。即：

P(i,j)1P(i,j)，P(i(c))1P(i(c1))，P(i,j(k))1P(i,j(k))。 （3）初等矩阵与初等变换的关系：对矩阵A左（右）乘第i(i1,2,3)种初等矩阵，就相当于对A的行（列）进行了一次同种的初等变换。

（4）可逆矩阵与初等矩阵的关系：任何一矩阵A总可以经过有

限次的初等变换化为ErOO，这也称为A的等价标准形。 O 矩阵A可逆A可以表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。 5、矩阵的秩及有关矩阵秩的结论

（1） 矩阵的秩：矩阵A的非零子式最高阶数叫矩阵A的秩，记

为r(A)。由于初等变换不改变矩阵的秩，故r(A)等于A的等价标准形ErOO中的r。 O（2） 有关矩阵秩的重要公式与结论 ① r(A)r(AT)r(ATA)。

② 若AO，则r(A)1，只有零矩阵的秩为零。 ③ r(AB)r(A)r(B)。

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④ r(AB)min{r(A),r(B)}。

⑤ 若A可逆，则r(AB)r(BA)r(B)。

⑥ 设A(aij)mn，B(bij)ns，若ABO，则r(A)r(B)n。

三、本章的的重要性质及公式 1、转置矩阵的性质

（1）(AT)TA； （2）(kA)TkAT； （3）(AB)TATBT； （4）(AB)TBTAT。 2、逆矩阵的性质

（1）(A1)1A； （2）(A)11A1,0；

（3）(AT)1(A1)T； （4）(AB)1B1A1。 3、伴随矩阵A*的性质

（1）(AT)*(A*)T； （2）(A*)1(A1)*； （3）AA*A*AAE（最常用）；（4）A*A （5）(A*)*An2n1；

A(n3)； （6）(AB)*B*A*。

4、分块矩阵的性质（A,B均为可逆矩阵）

AO（1）OBAC（2）OB1A1OA1OOOA； （2）1BBOA1CB1AO； （4）1CBB1OA1B1； OO； 1B11A1B1CA1II 题型归纳及思路提示

题型1 有关矩阵运算的命题（要熟悉矩阵运算的规律）

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例1设A,B为n阶对称矩阵，则下面结论不正确的是 。 （1）AB也是对称矩阵； （2）AB也是对称矩阵； （3）AmBn也是对称矩阵； （4）BATABT也是对称矩阵。 例2设A为n阶方阵，k是非零常数，则(kA)* 。 （1）kAn1；（2）kAn1；（3）kn(n1)An1；（4）kn1An1；

例3 设A,B,C均为n阶方阵，且ABBCCAE，则A2B2C2 。 （1） 3E； （2） 2E； （3） E； （4） O； 题型2 有关对称矩阵与反对称矩阵的证明题

例4 证明：任何一个方阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称

矩阵之和。 题型3 求矩阵的高次幂

三种类型：（1）AT,其中，为n维列向量的类型； （2）已知矩阵P,B，且P1APB，求Am。

（3）根据矩阵的特点进行归纳或分解后再进行计算。

312例5设A312，求An。

624101例6 设A010，求An。

001101例7设A020，而n2为正整数，则An2An1 。

101

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题型4 求矩阵的行列式

要考核的不单纯是行列式的计算，而是通过给出与行列式相关联的方阵、逆矩阵、伴随矩阵及向量在指定运算下所构成的行列式的计算，以达到考核这些概念的运算性质及行列式的性质等目的。 例8 设A为三阶方阵，A，求(A)18A*。

例9 设A(aij)33，Aij为aij的代数余子式，且Aijaij,a110，求A。

00例10设A1n10001100200000000，求A的所有元素代数余子式之和。 01n1813例11设A,B为n阶正交矩阵，且A/B1，证明AB0。 例12设A,B为n阶方阵，试证明：题型5 求逆矩阵与解矩阵方程

求逆矩阵的主要方法：（1）A11*（2）利用初等变换求逆； A；AAEABE。 EB（3） 对于零特别多的矩阵采用分块矩阵求逆； （4） 利用定义ABE求逆，有：A1B。

解矩阵方程的主要方法：先化简为：AXB或XAB或AXCB，再求出XA1B或XBA1或XA1BC1（要求A,C均可逆）。

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00 例13设A0ana10000a2000000，其中ai0,i1,2,,n，求A1。

0an100 例14已知矩阵A满足关系式A22A3EO，求(A4E)1。

1001 例15设矩阵A的伴随矩阵A*100300100011ABABA3E，，且08其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B。

例16设A为n阶方阵，且有自然数m，使(EA)mO，证明A可逆。 题型5 求矩阵的秩及与秩有关的命题

k1 例17设矩阵A111k1111k111，且r(A)3，则k 。 1k 例18设矩阵A的元素均为整数，证明：A1的元素均为整数当且仅

当A1。

例19设A(aij)mn，B(bij)ns，证明：若ABO，则r(A)r(B)n。

r(EAB)r(EAB)n。 例20设A,B均为n阶方阵且ABAB1，证明：

题型6 关于矩阵可逆的命题

例21设A为mn实矩阵，nm，且方程组Axb有唯一解，证明：

ATA可逆。

例22设n维向量(a,0,,0,a)T,a0;E为n阶单位矩阵，矩阵

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AET,BET，且BA1，求a。

例23设A,B,C均为n阶方阵，EA0，如果CACA，BEAB，

求证：BCE。

题型7与伴随矩阵有关的命题的证明（主要用AA*A*AAE） 例24设A为n阶可逆矩阵，且A2AE，证明：A伴随矩阵A*A。 例25设A为n阶方阵(n3)，证明：(A*)*An21aA。

例26设A,B均为n阶可逆矩阵，证明：(AB)*B*A*。

例27设A,B均为n阶方阵，A*,B*分别为A,B对应的伴随矩阵，分块

矩阵CAO*CC 。 ，则的伴随矩阵OBBB*O； （2）*OBBBA*O； （4）*OBAO； *AAO； *ABAA* （1）OAB*（3）OIII本章小结

矩阵是线性代数的核心内容，矩阵的概念、运算及理论贯穿线

性代数的的始终，因此矩阵是考试重点内容之一，一般出填空题及计算题。矩阵方程、求逆矩阵及伴随矩阵是出题最多的几个考点。所以矩阵的运算、矩阵的初等变换、求逆矩阵、伴随矩阵及矩阵的秩等知识点都应当认真仔细地复习。

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