自动控制理论习题

R(s)G(s)H(s)Y(s)R(s)-G(s)H(s)Y(s)(a)

解：（a）由图可列出

(b)

题7-7图

Y(s){G(s)[R(s)H(s)Y(s)]}*{G(s)R(s)G(s)H(s)Y(s)}* [G(s)R(s)]*[G(s)H(s)]*Y(s)因此Y(z)Z[G(s)R(s)]。

1Z[G(s)H(s)]（b）记图中采样开关后的信号为F(s)。由图可列出

Y(s)[R(s)F(s)]G(s) *F(s)[Y(s)H(s)]得到

F(s){[R(s)F(s)]G(s)H(s)}*[R(s)G(s)H(s)]F(s)[G(s)H(s)]F(z)Z[R(s)G(s)H(s)]

1Z[G(s)H(s)]**

因此

Y(z)Z[R(s)G(s)]F(z)Z[G(s)]Z[R(s)G(s)]

Z[R(s)G(s)H(s)]Z[G(s)]

1Z[G(s)H(s)]7-6 一个二阶采样系统的方块图如图，采样周期T＝0.1s。 （1）求使系统稳定的放大系数K。

（2）如果没有采样开关和零阶保持器，K的取值是否影响系统稳定性？

R(s)-1eTssKs(0.1s1)Y(s) 题7-6图

解：（1）按照以下步骤计算K的稳定范围。 a. 计算系统开环脉冲传递函数。

G(z)Kz1G(s)Z[]zsz110.10.01KZ[2]zss0.1s1z1Tz0.1z0.1zK[]z(z1)2z1za

T0.1(z1)K[0.1]z1zaT0.1(a1)K[]z1za(T0.1a0.1)z(0.10.1aaT)K(z1)(za)10T其中T0.1,ae。

（2）求出系统闭环特征多项式。

D(z)z2[K(T0.1a0.1)(a1)]zK(0.10.1aaT)a

（3）作双线性变换z1w，用Routh判据计算K的取值范围。 1wD(w)(1w)2[K(T0.1a0.1)(a1)](1w2)[K(0.10.1aaT)a](1w)2[1K(T0.1a0.1)(a1)K(0.10.1aaT)a]w2[22K(0.10.1aaT)2a]w[1K(T0.1a0.1)(a1)K(0.10.1aaT)a][2a2K(0.20.2aaTT)]w2[22a2K(0.10.1aaT)]wK(TaT)T＝0.1s时，ae10T

0.368，

D(w)(2.7360.0104K)w2(1.20.0528K)w0.0632K

当0（2）如果没有采样开关和零阶保持器，闭环系统为典型二阶系统，无论K取何值系统均稳定。

6-5 如图所示非线性系统中，继电特性输出幅值M=4.7。 （1）如果继电器特性的a=0，求系统的自持振荡周期和振幅。 （2）a为何值时，系统无自持振荡？

r(t)x(t)Ma1s(s1)(2s1)y(t)

题6-5图

解： 设正弦输入信号的幅值为A。死区继电器特性描述函数为：

N(A)4Ma1()2AA(Aa)

Y(iω)N(A)P(iω)，产生自持振荡的条件是R(iω)1N(A)P(iω)其负倒描述函数为实数。系统频率特性

1N(A)P(i)0，即P(i)1/N(A)。因此分析系统自持振荡就是确定P(i)和1/N(A)的交点。

线性部分的频率特性为

P(i)11 i(i1)(2i1)i(1223i)2画出其Nyquist图。当120，即2/2时，P(i)与实轴相交，交点为

P(i2/2)2/3。

1N(A)Im2/3oReP(i)a2M

（1）a=0时，当A从0变化时，1/N(A)从0。与1/N(A)相交，交点为实轴的－2/3，即N(A)2/2时，P(i)4M3244.7，4.0。得到AA233.14因此自持振荡周期T2/228.，振幅A4.0。

（2）a>0时，当A从0变化时，1/N(A)从，其中A到最大值2a时达

a2M。如果24M，则P(i)和1/N(A)不相交。因此a2.02M33a时，系统无自持振荡。

5-6 对含有谐振环节的高阶系统，设其开环传递函数为

0.2(s20.1s0.5) P(s)2s(s1)(s0.05s0.45)试设计串联校正装置C(s)，使校正后的系统满足：模裕度sm0.65，误差系数Kv100，交越频率5 rad/sc8 rad/s。

解：（1）由校正后系统的稳态误差要求，确定C(s)的静态增益为K500。 绘制KP(s)的频率特性，由如下MATLAB程序

numKP=500*0.2*[1 0.1 0.5]; denKP=conv([1 1 0],[1 0.05 0.45]); KP=tf(numKP,denKP); margin(KP)

0计算出KP(s)的交越频率c9.97rad/s。由如下MATLAB程序

S0=feedback(1,KP ,-1); [ninf,fpeak] = norm(S0,inf)

0得到Ms010.54，模裕度sm1/Ms00.095。这些性能指标都不符合系统的设计要求。

（2）确定校正装置

采用超前校正显然不能满足交越频率要求；若使用滞后校正，可能使谐振频段的开环幅频特性靠近0dB线，对系统的鲁棒性不利。因此考虑采用滞后-超前校正。

Bode DiagramGm = -42.5 dB (at 0.707 rad/sec) , Pm = 5.44 deg (at 9.97 rad/sec)100Magnitude (dB)Phase (deg)500-50-90-135-180-22510-210-1100101102Frequency (rad/sec)

取sm0.65,计算校正后的相角裕度m2arcsin(sm/2)38；取c5rad/s，由上图读出KP(i5)169。取m45，11。超前校正部分提供的相角补偿

mm[180KP(i5)]45111045

1sinm1sin4511a5.8，0.083s

1sinm1sin45ac5.85所以，超前装置部分的参数为

C1(s)②确定滞后校正部分

0.48s1

0.083s1由图可以读出|KP(i5)|dB11.8dB，滞后校正部分提供的高频衰减参数为

20lgbKP(ic)|dB10lga11.84.716.5dBb6.7

11c0.5rad/s，T2s T10Ts12s1 C2(s)

bTs113.4s1 （3）验算

写出校正后系统的开环传递函数

100(s20.1s0.5)(0.48s1)(2s1) LKC1(s)C2(s)Ps(s1)(s20.05s0.45)(0.083s1)(13.4s1)绘制校正后系统的频率特性，得到c6.54rad/s，符合要求。

numP=0.2*[1 0.1 0.5]; denP= conv([1 1 0],[1 0.05 0.45]) ; P=tf(numP,denP);

numC=500*conv([0.48 1],[2 1]);denC=conv([0.083 1],[13.4 1]); C=tf(numC,denC);L=P*C; margin(L)

Bode DiagramGm = -25.3 dB (at 0.731 rad/sec) , Pm = 48.4 deg (at 6.54 rad/sec)150100Magnitude (dB)Phase (deg)500-50-100-90-135-180-22510-2100102Frequency (rad/sec)

由MATLAB 程序

S=feedback(1,L ,-1); [ninf,fpeak] = norm(S,inf)

得到Ms1.4522，模裕度sm1/Ms0.69，满足要求。

5-3 已知单位反馈最小相位系统的固有部分对数幅频特性|P(i)|dB和串联校正装置的对数幅频特性|C(i)|dB如下图所示。（1）由图形写出传递函数P(s)和C(s)；（2）求校正前系统的相角裕度；（3）画出校正后系统的对数幅频特性|L(i)|dB。

8060dB204020|P(i)|dB4000.02101200.41001011026020102C(i)dB

解 （1）未校正系统的开环传递函数为

P(s)K

s(0.1s1)(0.01s1)K80dB，故K100。（2）未校正系统的交0.01当0.01时，其幅值为80dB，即20lg越频率为

1000，解得131.6，未校正系统的相位裕度为 c020.1(c)0m18090arctan(0.131.6)arctan(0.0131.6)0.02

（3）校正装置的传递函数为C(s)2.5s1，校正后开环系统的传递函数为

50s1L(s)P(s)C(s)100(2.5s1)，由20logL(i)可以求得，在各转折频率

s(50s1)(0.1s1)(0.01s1)处的幅值：当0.02时，74dB；当0.4时，21.9dB；当10时，－6dB；当100时，－46dB。由此可知，已校正系统的交越频率c10。故有校正后的对数幅频特性图。

80100(2.5c)解出c5，1，

c(50c)dB2040200-60.02-460.4205101004060

4-11 已知各最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图所示，

（1）试确定各系统的开环传递函数； （2）求相角裕度；

（3）概略画出对应的相频特性曲线； （4）分析闭环系统的稳定性。

dB60|L(i)|40dB/decdB4020dB/dec20dB/dec1020|L(i)|20dB/dec40dB/dec00.112(a)40dB/dec60dB/dec2015500.110060dB/dec(b)

解：I. 针对(a)图：

(1)如图，转折频率为2、10、20。该系统为典型Ⅱ型系统，其开环传递函数形式为

G(s)K(0.5s1)

s2(0.1s1)(0.05s1)160 0.120lgK+40lg即20lgK=20，解得K=10。

该系统的开环传递函数为

10(0.5s1) 2s(0.1s1)(0.05s1)(2)20=40lg2+20lgc即20=20lg(2c) ，解得c=5，由此 12

m180arctan0.5c180arctan0.1carctan0.05c27.60(3) G(i)arctan0.5180arctan0.1arctan0.05

G(i)-135o0.1-180o-225o-270o2151020100ω

(4)P=0，wn2(cc)2(00)0，故N= P+wn=0，闭环系统稳定。 II. 针对(b)图：

(1)设未知转折频率从左至右依次为11/T1、21/T2、31/T3、41/T4，则其开环传递函数形式为

G(s)K(10s1)

(T1s1)(T2s1)(T3s1)(T4s1)20lgK20， 解得K=10； 20lg10.14020，解得1=1 T1=1；

60lg10045，解得4=82.54， T4=0.0121

40lg20lg4155，解得3=46.42，T3=0.0215 334015 解得2=2.61 T2=0.383 2G(s)10(10s1)

(s1)(0.383s1)(0.0215s1)(0.0121s1)该系统的开环传递函数为

(2)c=100，由此

m180arctan10carctancarctan0.383c

arctan0.0215carctan0.0121c24(3)

G(i)arctan10arctanarctan0.383arctan0.0215arctan0.0121G(i)90o

0o-90o-180o-270o0.112.611010046.4282.541000ω

(4)P=0，wn2(cc)2(10)2故N= P+wn=2，闭环系统不稳定，有2个RHP极点。

4-12针对正反馈系统，Nyquist给出ω=0→∞的幅相频率特性图如下，临界点为1，重新表述Nyquist稳定性定理。

正反馈系统的Nyquist图，临界点为1

答：若开环传递函数L(s)的RHP极点数为P, 则闭环系统稳定的充分必要条件是L(s) 的Nyquist 图{ L(iω) ，ω=−∞→∞}顺时针环绕临界点L=1的圈数为P。

4-4设某系统结构图如下图所示，其中K >0。

（1）试求系统稳态误差ess；

（2）若ω=1时,要求稳态误差幅值ess0.4A，试选择K值。

rAsinteKs2y

解：(1)求系统稳态误差ess，系统开环传递函数为G(s)闭环系统的误差传递函数为

K， s2Φe(s)其幅值与相位为

1s21G(s)s2K

42Φe(i) (2K)22Φe(i)arctan0.5arctan因输入r(t)Asint，系统的稳态误差为

2K

essAΦe(i)sin(tΦe(i))42

Asin(tarctan0.5arctan)22(2K)2K(2)因1，令

42(2K)2210.4

有

K24K26.250

解得

K13.5，K27.5(舍去).

故满足题意要求的K值范围为K3.5

4-6 设系统的开环传递函数为

G(s)其中K，T1，T2，T3，T4>0。

K(T1s1)

s2(T2s1)(T3s1)(T4s1)（1）已知T2T3T4T1，试概略绘制该系统的Nyquist图。 （2）若T2T3T4T1，请概略绘制该系统的Nyquist图。 解：（1）G(i0)ei180，而且对于小正数，有

G(i)180(T2T3T4T1)180

G(i)0ei360， 概略绘制的Nyquist图如下

ImG0（2）G(i0)ei180OReG

，而且对于小正数，有

G(i)180(T2T3T4T1)180

G(i)0ei360，概略绘制的Nyquist图如下

ImG0

OReG

3-17 已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)K。希望系统的所有特征根位于s

s(sa)平面上s＝－2的左侧区域，且阻尼比0.50.707。求K和a的取值范围。 解：先画出根轨迹。如图所示。

0.50.707ao

分别做出0.5和0.707的等阻尼线，它们与负实轴夹角分别为arccos60和45。它们与根轨迹的交点分别为

11a/2i3a/2 12a/2ia/2 2闭环系统特征多项式为D(s)sasK。0.5时特征根为a/2i3a/2，

可得到

K1a2

0.707时特征根为a/2ia/2，可得到

K2a2/2

因此K的取值范围是

a2/2Ka2

为了使所有特征根位于s平面上s＝－2的左侧区域，应使a/22。即a的取值范围是a4。

3-12 已知温度计的传递函数为

1。用其测量容器内的水温，1分钟才能显示出该温度Ts1的98%的数值。若加热容器使水温按每分钟5ºC的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？

R5/min。解：依题意，温度计的时间常数T1/4min。输入信号为斜坡信号u(t)Rt，

输出稳态误差为

esslimss0R1RT(1)limRT1.25

s0Ts1Ts1s2

2-2 已知机械系统如图所示，其中位移xi为输入，位移xo为输出。试列写该系统的微分方程模型及其传递函数。

xiK1x1xof2f1K2

解：在阻尼器1和2取辅助点，设其位移为x1，由弹簧力和阻尼力平衡的原则，可得到

ix1)K1(xix1)f2(x1xo)f1(x

1xo)K2xof2(x消去中间变量x1，可得到系统的微分方程模型为

f1f22f22fKf2K1f2K2fffoxo12i xo12xxi2xK1K2K1K2K1K2K2则系统的传递函数为

f1f22f2ssXo(s)K1K2K2 2Xi(s)f1f22f22f1K2f2K1f2K2ss1K1K2K1K2