初中数学找规律解题方法及技巧.

初中数学找规律解题方法及技巧

通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题

目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律， 常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥 秘。

初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：

一、基本方法 ——看增幅

（一）如增幅相等（实为等差数列） 对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第 ： n 个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中 a 为数列的第一位数，b 为增幅，(n-1)b 为第一位数到第 n 位的总增幅。然后再简化代数式 a+(n-1)b。 例：4、10、16、22、28„„，求第 n 位数。

分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加 6，增幅都是 6，所以，第 n 位数是：4+(n-1) 6 ＝6n－2

（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。 如增幅分别为 3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第 n 位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第 n-1 位到第 n 位的增幅；

2、求出第 1 位到第第 n 位的总增幅； 3、数列的第 1 位数加上总增幅即是第 n 位数。

此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法 求出，方法就简单的多了。

（三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17 增幅为 1、 2、4、8.

（四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）此类题大概没有 。 通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技 巧。

二、基本技巧

（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些 已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较， 就比较容易发现其中的奥秘。

2

例如，观察下列各式数： 0，，， 3 8 15，24，„„。试按此规律写出的第 100 个数是 100  1 ，

第 n 个数是 n 2 1 。

解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100 个数。我们把有关的量放在

一起加以比较：

给出的数：0，3，8，15，24，„„。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减 1。因此，第 n 项是 n -1，第 100

2

序列号： 1，2，3， 4， 5，„„。

2

项是100 —1

（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或 2n、3n 有 关。

例如：1，9，25，49，（81），（121），的第 n 项为（

n  1)

2(2

），

1，2，3，4，5．。。。。。。，从中可以看出 n=2 时，正好是 2×2-1 的平方,n=3 时，正好是 2× 3-1 的平方，以此类推。

（三）看例题：

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A： 2、9、28、65.....增幅是 7、19、37....，增幅的增幅是 12、18

答案与 3 有关且是 n 的 3 次幂，即： n 3+1

B：2、4、8、16......增幅是 2、4、8.. ..... 答案与 2 的乘方有关即： 2 n

（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、 （三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。 例：2、5、10、17、26„„，同时减去 2 后得到新数列： 0、3、8、15、24„„，

序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当 n=1 时，得 1*1-1 得 0，当 n=2 时，2*2-1 得 3，

3*3-1=8，以此类推，得到第 n 个数为 n  1 。再看原数列是同时减 2 得到的新数列，则在 n  1

2

2

的基础上加 2，得到原数列第 n 项 n  1

2

（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找

出规律，并恢复到原来。

例 ： 4，16，36，，？，144，196，„ ？（第一百个数）

同除以 4 后可得新数列：1、4、9、16„，很显然是位置数的平方，得到新数列第n 项即 n 2 ，原 数列是同除以 4 得到的新数列，所以求出新数列 n 的公式后再乘以 4 即，4 n 2 ，则求出第一百 个数为 4*100 2 =40000

（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为 1、2、3）。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。

（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。

三、基本步骤

1、 先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。 2、 如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律 3、 如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、 （三）找出新数列的规律

4、 最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题

四、练习题

例 1：一道初中数学找规律题

0，3，8，15，24，······ 2，5，10，17，26，····· 0，6，16，30，48······ （1）第一组有什么规律？

答：从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。 （2）第二、三组分别跟第一组有什么关系？

答：第一组是位置数平方减一，那么第二组每项对应减去第一组每项，从中可以看出都等于

2，说明第二组的每项都比第一组的每项多2，则第二组第 n 项是：位置数平方减 1 加 2，得位置

2 1数平方加 1 即 n 。

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22n第三组可以看出正好是第一组每项数的 2 倍，则第三组第 n 项是：  1



（3）取每组的第 7 个数，求这三个数的和？

答：用上述三组数的第 n 项公式可以求出，第一组第七个数是 7 的平方减一得 48，第二组 第七个数是 7 的平方加一得 50，第三组第七个数是 2 乘以括号 7 的平方减一得 96，48+50+96=194 2、观察下面两行数

2，4，8，16，32，， ．．．（1） 5，7，11，19，35，67．．．（2）

根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他们的和。（要求写出最后的计算结果和详细解题过 程。）

解：第一组可以看出是 2 n ，第二组可以看出是第一组的每项都加 3，即 2 n +3，

则第一组第十个数是 2 10 =1024，第二组第十个数是 2 10 +3 得 1027，两项相加得 2051。

3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑 排列的珠子，前 2002 个中有几个是黑的？

解：从数列中可以看出规律即：1，1，1，2，1，3，1，4，1，5

，„„.，每二项中后

项减前项为 0，1，2，3，4，5„„，正好是等差数列，并且数列中偶项位置全部为黑色珠子， 因此得出 2002 除以 2 得 1001，即前 2002 个中有 1001 个是黑色的。

2

2 2

22

式表示规律

解：被减数是不包含 1 的奇数的平方，减数是包括 1 的奇数的平方，差是 8 的倍数，奇数项 第 n 个项为 2n-1，而被减数正是比减数多 2，则被减数为 2n-1+2,得 2n+1，则用含有 n 的代数式

2

4、 3  1 =8 5  3 =16 7  5 =24 „„用含有 N 的代数

表示为：

2 2

2n  1  2=8nn 。





写出两个连续自然数的平方差为 888 的等式

解：通过上述代数式得出，平方差为 888 即 8n=8X111,得出 n=111，代入公式：

（222+1） 2 -（222-1） 2 =888

五、对于数 表

1、先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律 2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差

六、数字推理基本类型

按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下几种类型： 1.和差关系。又分为等差、移动求和或差两种。 (1)等差关系。

12，20，30，42，( 56 ) 127，112，97，82，( 67 ) 3，4，7，12，( 19 )，28

(2)移动求和或差。从第三项起，每一项都是前两项之和或差。 1，2，3，5，( 8 )，13 A.9 B.11 C.8 D.7

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选 C。1 +2=3，2+ 3=5，3+ 5=8，5+ 8=13 0，1，1，2，4，7，13，( 24) A.22 B.23 C.24 D.25

选 C。注意此题为前三项之和等于下一项。一般考试中不会变态到要你求前四项之和，所以 个人感觉这属于移动求和或差中最难的。

5，3，2，1，1，(0 ) A.-3 B.-2 C.0 D.2 选 C。前两项相减得到第三项。

2.乘除关系。又分为等比、移动求积或商两种

(1)等比，从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。 8，12，18，27，(40.5)后项与前项之比为 1.5。

6，6，9，18，45，(135)后项与前项之比为等差数列，分别为 1，1.5，2，2.5，3 (2)移动求积或商关系。从第三项起，每一项都是前两项之积或商。 2，5，10，50，(500)

100，50，2，25，(2/25)

3，4，6，12，36，(216) 从第三项起，第三项为前两项之积除以 2 1，7，8，57，(457)第三项为前两项之积加 1 3.平方关系

1，4，9，16，25，(36)，49 为位置数的平方。

66，83，102，123，(146) ，看数很大，其实是不难的，66 可以看作 +2，83 可以看作 81+2，

102 可以看作 100+2，123 可以看作 121+2，以此类推，可以看出是 8，9，10，11，12 的平方加 2

4.立方关系

1，8，27，(81)，125 位置数的立方。

3，10，29，(83)，127 位置数的立方加 2 0，1，2，9，(730) 后项为前项的立方加 1 5.分数数列。

关键是把分子和分母看作两个不同的数列，有的还需进行简单的通分，则可得出答案

1 2

4 3 9 4 16 5

2

25 6

36

( 7 )分子为等比即位置数的平方，分母为等差数列，则第 n 项

代数式为： n  1

n

2/3 1/2 2/5 1/3 (1/4) 将 1/2 化为 2/4，1/3 化为 2/6，可得到如下数列：2/3, 2/4,

2 n

1 

n  2 2/5, 2/6, 2/7, 2/8 „„.可知下一个为 2/9，如果求第 n 项代数式即：n  2 分解后得： ，

6.、质数数列

2，3，5，(7)，11 质数数列

4，6，10，14，22，(26) 每项除以 2 得到质数数列

20，22，25，30，37，(48) 后项与前项相减得质数数列。 7.、双重数列。 又分为三种：

(1)每两项为一组，如

1，3，3，9，5，15，7，(21) 第一与第二，第三与第四等每两项后项与前项之比为 3

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2，5，7，10，9，12，10，(13)每两项中后项减前项之差为 3

1/7，14，1/21，42，1/36，72，1/52，(104 ) 两项为一组，每组的后项等于前项倒数*2 (2)两个数列相隔，其中一个数列可能无任何规律，但只要把握有规律变化的数列就可得出

结果。

22，39，25，38，31，37，40，36，(52) 由两个数列，22，25，31，40，( )和 39，38，

37，36 组成，相互隔开，均为等差。

34，36，35，35，(36)，34，37，(33) 由两个数列相隔而成，一个递增，一个递减 (3)数列中的数字带小数，其中整数部分为一个数列，小数部分为另一个数列。

2.01， 4.03， 8.04， 16.07，(32.11)整数部分为等比，小数部分为移动求和数列。双重

数列难题也较少。能看出是双重数列，题目一般已经解出。特别是前两种，当数字的个数超过7 个时，为双重数列的可能性相当大。

8.、组合数列。

最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差关系与平方立方关系组合。需要熟悉前面的几种关系 后，才能较好较快地解决这类题。

1，1，3，7，17，41，( 99 ) A. B.99 C.109 D.119

选 B。此为移动求和与乘除关系组合。第三项为第二项*2 加第一项，即 1X2+1=3、3X2+1=7， 7X2+3=17，17X2+7=41，则空中应为 41X2+17=99

65，35，17，3，( 1 ) A.1 B.2 C.0 D.4

选 A。平方关系与和差关系组合，分别为 8 的平方加 1，6 的平方减 1，4 的平方加 1，2 的

平方减 1，下一个应为 0 的平方加 1=1

4，6，10，18，34，( 66 ) A.50 B. C.66 D.68

选 C。各差关系与等比关系组合。依次相减，得 2， ，4 ，16( 8 )，可推知下一个为 32，32 +34=66 6，15，35，77，( )

A.106 B.117 C.136 D.143

选 D。此题看似比较复杂，是等差与等比组合数列。如果拆分开来可以看出，6=2X3、15=3x5、 35=7X5、77=11X7，正好是质数 2 、3，5，7、11 数列的后项乘以前项的结果，得出下一个应为 13X11=143

2，8，24，，( 160 ) A.160 B.512 C.124 D.1

选 A。此题较复杂，幂数列与等差数列组合。2=1X2 1 的 1 次方，8=2X2 2 的平方，24=3*X2 3 ，

=4X2 4 ，下一个则为 5X2 5 =160

0，6，24，60，120，( 210 )

A.186 B.210 C.220 D.226

选 B。和差与立方关系组合。0=1 的 3 次方-1，6=2 的 3 次方-2，24=3 的 3 次方-3，60=4 的 3 次方-4，120=5 的 3 次方-5。空中应是 6 的 3 次方-6=210

1，4，8，14，24，42，(76 ) A.76 B .66 C. D.68

选 A。两个等差与一个等比数列组合依次相减，原数列后项减前项得 3，，， ，4， 618 10 ( 34 )， 得到新数列后，再相减，得 1，2，4，8，16，( 32 )，此为等比数列，下一个为 32，倒推到 3，4，6，8，10，34，再倒推至 1，4，8，14，24，42，76，可知选 A。

9.、其他数列。

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2，6，12，20，( 30 ) A.40 B.32 C.30 D.28

选 C。2=1*2，6=2*3，12=3*4，20=4*5，下一个为 5*6=30 1，1，2，6，24，( 120 ) A.48 B.96 C.120 D.144

选 C。后项=前项 X 递增数列。1=1*1，2=1*2，6=2*3，24=6*4，下一个为 120=24*5 1，4，8，13，16，20，( 25 ) A.20 B.25 C.27 D.28

选 B。每 4 项为一重复，后期减前项依次相减得 3，4，5。下个重复也为 3，4，5，推知得 25。

27，16，5，( 0 )，1/7 A.16 B.1 C.0 D.2

选 B。依次为 3 的 3 次方，4 的 2 次方，5 的 1 次方，6 的 0 次方，7 的-1 次方。

七、 解题方法

数字推理题难度较大，但并非无规律可循，了解和掌握一定的方法和技巧对解答数字推理问

题大有帮助。

1.快速扫描已给出的几个数字，仔细观察和分析各数之间的关系，尤其是前三个数之间的关

系，大胆提出假设，并迅速将这种假设延伸到下面的数，如果能得到验证，即说明找出规律，问 题即迎刃而解；如果假设被否定，立即改变思考角度，提出另外一种假设，直到找出规律为止。

2.推导规律时往往需要简单计算，为节省时间，要尽量多用心算，少用笔算或不用笔算。 3.空缺项在最后的，从前往后推导规律；空缺项在最前面的，则从后往前寻找规律；空缺项

在中间的可以两边同时推导。

(一)等差数列

相邻数之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减。等差数列是数字推理测验中排列数

字的常见规律之一。它还包括了几种最基本、最常见的数字排列方式：

自然数数列：1，2，3，4，5，6„„ 偶数数列：2，4，6，8，10，12„„

奇数数列：1，3，5，7，9，11，13„„ 例题 1 ：103，81，59，( 37 )，15。 A.68 B.42 C.37 D.39

解析：答案为 C。这显然是一个等差数列，前后项的差为 22。 例题 2：2，5，8，( 11 )。 A.10 B.11 C.12 D.13

解析：从题中的前 3 个数字可以看出这是一个典型的等差数列，即后面的数字与前面数字之

间的差等于一个常数。题中第二个数字为 5，第一个数字为 2，两者的差为 3，由观察得知第三 个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上对未知的一项进行推理，即 8 +3=11，第四项应 该是 11，即答案为 B。

例题 3：123，456，7，( 1122 )。

A.1122 B.101112 C.11112 D.100112

解析：答案为 A。这题的第一项为 123，第二项为 456，第三项为 7，三项中相邻两项的差

都是 333，所以是一个等差数列，未知项应该是 7 +333=1122。注意，解答数字推理题时，应 着眼于探寻数列中各数字间的内在规律，而不能从数字表面上去找规律，比如本题从123，456， 7 这一排列，便选择 101112，肯定不对。

例题 4： 11，17，23，( 29 )，35。

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A.25 B.27 C.29 D.31

解析：答案为 C。这同样是一个等差数列，前项与后项相差 6。 例题 5： 12，15，18，( 21 )，24，27。 A.20 B.21 C.22 D.23

解析：答案为 B。这是一个典型的等差数列，题中相邻两数之差均为3，未知项即 18+ 3=21，

或 24-3=21，由此可知第四项应该是 21。

(二)等比数列

相邻数之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减。等比数列在数字推理测验中，也是

排列数字的常见规律之一。

例题 1： 2，1，1/2，( B )。 A.0 B.1/4 C.1/8 D.-1

解析：从题中的前 3 个数字可以看出这是一个典型的等比数列，即后面的数字与前面数字之

间的比值等于一个常数。题中第二个数字为 1，第一个数字为 2，两者的比值为 1/2，由观察得 知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上对未知的一项进行推理，即(1/2)/2，第 四项应该是 1/4，即答案为 B。

例题 2： 2，8，32，128，( 512 )。 A.256 B.342 C.512 D.1024

解析：答案为 C。这是一个等比数列，后一项与前一项的比值为 4。 例题 3： 2，-4，8，-16，( 32 )。 A.32 B. C.-32 D.-

解析：答案为 A。这仍然是一个等比数列，前后项的比值为-2。 (三)平方数列

1、完全平方数列：

正序：1，4，9，16，25

逆序：100，81，，49，36 2、一个数的平方是第二个数。 1)直接得出：2，4，16，( 256 )

解析：前一个数的平方等于第二个数，答案为 256。 2)一个数的平方加减一个数等于第二个数：

1，2，5，26，(677) 前一个数的平方加 1 等于第二个数，答案为 677。 3、隐含完全平方数列：

1)通过加减一个常数归成完全平方数列：0，3，8，15，24，( 35 )

前一个数加 1 分别得到 1，4，9，16，25，分别为 1，2，3，4，5 的平方，答案 35 2)相隔加减，得到一个平方数列： 例：65，35，17，( 3 )，1 A.15 B.13 C.9 D.3

解析：不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是：65 等于 8 的平方加 1，35

等于 6 的平方减 1，17 等于 4 的平方加 1，再观察时发现：奇位置数时都是加 1，偶位置数时都 是减 1，所以下一个数应该是 2 的平方减 1 等于 3，答案是 D。

例：1，4，16，49，121，( 169 )。(2005 年考题) A.256 B.225 C.196 D.169

解析：从数字中可以看出 1 的平方，2 的平方，4 的平方，7 的平方，11 的平方，正好是 1， 2，。。。，可以看出后项减前项正好是 1， ， 2，，，。。。。。。，从中可以看出应为 11+5=16， 4 ， 7 ， 11.。 3 4 5 。16 的平方是 256，所以选 A。

例：2，3，10，15，26，( 35 )。(2005 年考题) A.29 B.32 C.35 D.37

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解析：看数列为 2=1 的平方+1，3=2 的平方减 1，10=3 的平方加 1，15=4 的平方减 1，26=5

的平方加 1，再观察时发现：位置数奇时都是加1，位置数偶时都是减 1，因而下一个数应该是 6

n 2  (1) n

的平方减 1=35，前 n 项代数式为： 所以答案是 C.35。

(四)立方数列

立方数列与平方数列类似。

例题 1： 1，8，27，，( 125 )

解析：数列中前四项为 1，2，3，4 的立方，显然答案为 5 的立方，为 125。 例题 2：0，7，26，63 ，( 124 )

解析：前四项分别为 1，2，3，4 的立方减 1，答案为 5 的立方减 1，为 124。 例 3： -2，-8，0，，( )。(2006 年考题) A. B.128 C.156 D 250

解析：从数列中可以看出，-2，-8，0， 都是某一个数的立方关系，-2=(1-3)×1 3 ，-8=

，因此最后一项因 3n3n（2-3）X2 ，0=（3-3）X3 ，=（4-3）X4 ，前 n 项代数式为：

3

3

3

该为(5-3)×5 3 ＝250 选 D

例 4：0，9，26，65，124，( 239 )(2007 年考题)

解析：前五项分别为 1，2，3，4，5 的立方加 1 或者减 1，规律为位置数是偶数的加 1，则 奇数减 1。即：前 n 项=n 3 + (-1) n 。答案为 239。

在近几年的考试中，也出现了 n 次幂的形式

例 5：1，32，81，，25，( 6 )，1。(2006 年考题) A.5 B.6 C.10 D.12

解析：逐项拆解容易发现 1=1 6 ，32=2 5 ，81=3 4 ，=4 3 ，25=5 2 ，则答案已经很明显了，6

的 1 次幂，即 6 选 B。 (五)、加法数列

数列中前两个数的和等于后面第三个数：n1+n2=n3

例题 1： 1，1，2，3，5，( 8 )。 A8 B7 C9 D10

解析：第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项

之和等于第五项，按此规律 3 +5=8 答案为 A。

例题 2： 4，5，( 9 )，14，23，37 A 6 B 7 C 8 D 9 解析：与例一相同答案为 D

例题 3： 22，35，56，90，( 145 ) 99 年考题 A 162 B 156 C 148 D 145

解析：22 +35-1=56， 35+ 56-1=90 ，56+ 90-1=145，答案为 D (六)、减法数列

前两个数的差等于后面第三个数：n1-n2=n3 例题 1：6，3，3，( 0 )，3，-3

A 0 B 1 C 2 D 3

解析：6-3=3，3-3=0 ，3-0=3 ，0-3=-3 答案是 A。(提醒您别忘了：“空缺项在中间，从两

边找规律”)

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(七)、乘法数列

1、前两个数的乘积等于第三个数

例题 1：1，2，2，4，8，32，( 256 )

前两个数的乘积等于第三个数，答案是 256。 例题 2：2，12，36，80，( ) (2007 年考题) A.100 B.125 C.150 D.175

解析：2×1， 3×4 ，4×9，5×16 自然下一项应该为 6×25＝150 选 C，此题还可以变形

2(n1)2324n22252314为： ， ， ， „..,以此类推，得出

2、两数相乘的积呈现规律：等差，等比，平方等数列。

例题 2：3/2， 2/3， 3/4，1/3，3/8 ( A ) (99 年海关考题)

A 1/6 B 2/9 C 4/3 D 4/9

解析：3/2×2/3=1 2/3×3/4=1/2 3/4×1/3=1/4 1/3×3/8=1/8 3/8×?=1/16 答案是 A。 (八)、除法数列

与乘法数列相类似，一般也分为如下两种形式： 1、两数相除等于第三数。

2、两数相除的商呈现规律：顺序，等差，等比，平方等。 (九)、质数数列

由质数从小到大的排列：2，3，5，7，11，13，17，19„ (十)、循环数列

几个数按一定的次序循环出现的数列。 例：3，4，5，3，4，5，3，4，5，3，4

以上数列只是一些常用的基本数列，考题中的数列是在以上数列基础之上构造而成的，下面

我们主要分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。

1、二级数列

这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列

形式。

例 1：2 6 12 20 30 ( 42 )(2002 年考题) A.38 B.42 C.48 D.56

解析：后一个数与前个数的差分别为：4，6，8，10 这显然是一个等差数列，因而要选的答

案与 30 的差应该是 12，所以答案应该是 B。

例 2：20 22 25 30 37 ( ) (2002 年考题) A.39 B.45 C.48 D.51

解析：后一个数与前一个数的差分别为：2，3，5，7 这是一个质数数列，因而要选的答案

与 37 的差应该是 11，所以答案应该是 C。

例 3：2 5 11 20 32 ( 47 ) (2002 年考题) A.43 B.45 C.47 D.49

解析：后一个数与前一个数的差分别为：3，6，9，12 这显然是一个等差数列，因而要 选

的答案与 32 的差应该是 15，所以答案应该是 C。

例 4：4 5 7 1l 19 ( 35 ) (2002 年考题) A.27 B.31 C.35 D.41

解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，2，4，8 这是一个等比数列，因而要 选的答案

与 19 的差应该是 16，所以答案应该是 C。

例 5：3 4 7 16 ( 43 ) (2002 年考题) A.23 B.27 C.39 D.43

解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，3，9 这显然也是一个等比数列，因而要选的答

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案与 16 的差应该是 27，所以答案应该是 D。

例 6：32 27 23 20 18 ( 17 ) (2002 年考题) A.14 B.15 C.16 D.17

解析：后一个数与前一个数的差分别为：-5，-4，-3，-2 这显然是一个等差数列，因而要 选

的答案与 18 的差应该是-1，所以答案应该是 D。

例 7：1， 4， 8， 13， 16， 20， ( 25 ) (2003 年考题) A.20 B.25 C.27 D.28

解析：后一个数与前一个数的差分别为：3，4，5，3，4 这是一个循环数列，因而要 选的

答案与 20 的差应该是 5，所以答案应该是 B。

例 8：1， 3， 7， 15， 31， ( 63 ) (2003 年考题) A.61 B.62 C.63 D.

解析：后一个数与前一个数的差分别为：2，4，8，16 这显然是一个等比数列，因而要 选

的答案与 31 的差应该是 32，所以答案应该是 C。

例 9：( 69 )，36，19，10，5，2(2003 年考题) A.77 B.69 C.54 D.48

解析：前一个数与后一个数的差分别为：3，5，9，17 这个数列中前一个数的 2 倍减 1 得后

一个数，后面的数应该是 17*2-1=33，因而 33+36=69 答案应该是 B。

例 10：1，2，6，15，31，( 56 ) (2003 年考题) A.53 B.56 C.62 D.87

解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，4，9，16 这显然是一个完全平方数列，因而要

选的答案与 31 的差应该是 25，所以答案应该是 B。

例 11：1，3，18，216，( 5184 ) A.1023 B.12 C.243 D.5184

解析：后一个数与前一个数的比值分别为：3，6，12 这显然是一个等比数列，因而要选的

答案与 216 的比值应该是 24，所以答案应该是 D：216*24=5184。

例 12： -2 1 7 16 ( 28 ) 43 A.25 B.28 C.3l D.35

解析：后一个数与前一个数的差值分别为：3，6，9 这显然是一个等差数列，因而要选的答

案与 16 的差值应该是 12，所以答案应该是 B。

例 13：1 3 6 10 15 ( ) A.20 B.21 C.30 D.25

解析：相邻两个数的和构成一个完全平方数列，即：1+3=4=2 的平方，6+10=16=4 的平方，

则 15+？=36=6 的平方呢，答案应该是 B。

例 14：102，96，108，84，132，( 36 ) ，（228）(2006 年考)

解析：后项减前项分别得 -6，12，-24，48，是一个等比数列，则 48 后面的数应为-96， 132-96=36，再看-96 后面应是 96X2=192，192+36=228。

八、妙题赏析 ：

规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格，令人 耳目一新，其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力，在往年“数字类”、“计算类”、“图 形类”的基础上，今年又推陈出新，增加了“设计类”与“动态类”两种新题型，现将历年来中 考规律类中考试题分析如下：

1、设计类

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【例 1】(2005 年大连市中考题)在数学活动中，小明为了求

的

值 （ 结 果 用 n 表 示 ）， 设 计 如 图 a 所 示 的 图 形 。（ 1 ） 请 你 利 用 这 个 几 何 图 形 求

的值为

。

（2）请你利用图 b，再设计一个能求

的值的几何图形。

【例 2】(2005 年河北省中考题)观察下面的图形（每一个正方形的边长均为 1）和相应的等 式，探究其中的规律：

（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；

（2）猜想并写出与第 n 个图形相对应的等式。

解析：【例 1】(1)

（2）可设计如图 1，图 2， 图 3，图 4 所示的方案：

【例 2】（1） ，对应的图形是

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（2）

。

此类试题除要求考生写出规律性的答案外，还要求设计出一套对应的方案，本题魅力四射， 光彩夺目，极富挑战性，要求考生大胆的尝试，力求用图形说话。考察学生的动手实践能力与创 新能力，体现了“课改改到哪，中考就考到哪！”的命题思想。

2、动态类 【例 3】(2005 年连云港市中考题)右图是一回形图，其回形通道的宽与 OB 的长均为 1，回 形线与射线 OA 交于点 A1，A2，A3，„。若从 O 点到 A1 点的回形线为第 1 圈（长为 7），从 A1 点到 A2 点的回形线为第 2 圈，„„，依此类推。则第 10 圈的长为 。

【例 4】(2005 年重庆市中考题)已知甲运动方式为：先竖直向上运动 1 个单位长度后，再水 平向右运动 2 个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2 个单位长度后，再水平向左运动 3 个单位长度。在平面直角坐标系内，现有一动点 P 第 1 次从原点 O 出发按甲方式运动到点 P1， 第 2 次从点 P1 出发按乙方式运动到点 P2，第 3 次从点 P2 出发再按甲方式运动到点 P3，第 4 次 从点 P3 出发再按乙方式运动到点 P4,„„。依此运动规律，则经过第11 次运动后，动点 P 所在 位置 P11 的坐标是 。

解析：【例 3】我们从简单的情形出发，从中发现规律，第1 圈的长为 1+1+2+2+1，第 2 圈的 长为 2+3+4+4+2，第三圈的长为 3+5+6+6+3，第四圈的长为 4+7+8+8+4，„„归纳得到第 10 圈的 长为 10+19+20+20+10＝79。【例 4】（－3，－4）

3、数字类

【例 5】(2005 年福州市中考题 )瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 ， ， ，

，„„，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第七个数据

是

。

解析：【例 5】这列数的分子分别为 3，4，5 的平方数，而分母比分子分别小 4，则第 7 个数

的分子为 81，分母为 77，故这列数的第 7 个为

。

【例 6】(2005 年长春市中考题)按下列规律排列的一列数对（1，2）（4，5）（7，8），„， 第 5 个数对是 。

解析：【例 6】有序数对的 前一个数比后一个数小 1，而每一个有序数对的第一个数形成等 差数数列，1，4，7，故第 5 个数为 13，故第 5 个有序数对为（13，14）。

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【例 7】(2005 年威海市中考题)一组按规律排列的数：

， ， ， ， ，„请你推

断第 9 个数是

解析：【例 7】中这列数的分母为 2，3，4，5，6„„的平方数，分子形成而二阶等差数列，

依次相差 2， ， ，分母为 100，故答案为 4 6 8„„故第 9 个数为 1+2+4+6+8+10+12+14+16＝73，

。

【例 8】(2005 年济南市中考题)把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第 二行、第三行„„，中间用虚线围的一列，从上至下依次为 1、5、13、25、„，则第 10 个数 为 。

解析：【例 8】的一列数形成二阶等差数列，他们依次相差4，8，12，16„„故第 10 个数为 1+4+8+12+16+20+24+28+32+36＝181。

【例 9】(2005 年武汉市中考题)下面是一个有规律排列的数表„„上面数表中第 9 行、第 7 列的数是 。

【例 9】

4、计算类 【 例

10 】 (2005

年 陕 西 省 中 考 题 ) 观 察 下 列 等 式 ：

，„„ 则第

n 个等式可以表示为

。

解析：【例 10】

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【 例 11 】 (2005 年 哈 尔 滨 市 中 考 题 ) 观 察 下 列 各 式 ：

，

， ， „„ 根 据 前 面 的 规 律 ， 得 ：

。其中 n 为正整 （

数）

解析：【例 11】

【例 12】(2005 年耒阳市中考题)观察下列等式：观察下列等式：4－1=3，9-4=5，16-9=7，

25-16=9，36-25=11，„„这些等式反映了自然数间的某种规律，设 n（n≥1）表示了自然数， 用关于 n 的等式表示这个规律为 。

解析：【例 12】 5、 图形类

（n≥1，n 表示了自然数）

【例 13】(2005 年淄博市中考题)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为 整点。观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第 10 个正方 形（实线）四条边上的整点共有 个。

解析：【例 13】第一个正方形的整点数为 2×4-4＝4，第二个正方形的 正点数有 3×4－4＝ 8，第三个正方形的整点数为 4×4－4＝12 个，„„故第 10 个正方形的整点数为 11×4-4＝40，

【例 14】(2005 年宁夏回自治区中考题) “ ”代表甲种植物，“

”代表乙种植物，为

美化环境，采用如图所示方案种植。按此规律，第六个图案中应种植乙种植 物 株。

【例 14】第一个图案中以乙中植物有2×2＝4 个，第二个图案中以乙中植物有3×3＝9 个， 第三个图案中以乙中植物有 4×4＝16 个，„„故第六个图案中以乙中植物有 7×7＝49 个.

【例 15】(2005 年呼和浩特市中考题)如图，是用积木摆放的一组图案，观察图形并探索： 第五个图案有 块积木，第 n 个图案 有 块积木。

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【例 15】第一个图案有 1 块积木，第二个图案形有 1+3＝4＝2 的平方，第三个图案有 1+3+5 ＝9＝3 的平方，„„故第 5 个图案中积木有 1+3+5+7+9＝25＝5 的平方个块，第 n 个图案中积木 有 n 的平方个块。

综观规律性中考试题，考察了学生收集数据，分析数据，处理信息的能力，考生在回答此类 试题时，要体现“从特殊到一般，从抽象到具体”的思想，要从简单的情形出发，认真比较，发 现规律，分析联想，归纳猜想，推出结论，一举成功。

2007•无锡）图 1 是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面-层有一个圆圈， 以下各层均比上-层多一个圆圈，一共堆了 n 层．将图 1 倒置后与原图 1 拼成图 2 的形状，这样

我们可以算出图 1 中所有圆圈的个数为 1+2+3+„+n= ．

如果图 1 中的圆圈共有 12 层，

（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图 3 的方式填上一串连续的正整数 1，2，3，4，„，则 最底层最左边这个圆圈中的数是；

（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4 的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，„，求 图 4 中所有圆圈中各数的绝对值之和．

解析：（1）图 3 中依次排列为 1，2，4，7，11„„，如果用后项减前项依次得到 1，2，3， 4，5„„，正好是等差数列，再展开原数列可以看出第一位是1，从第二位开始后项减前项得到 等差数列，分解一下：1，1+1，1+1+2，1+1+2+3，1+1+2+3+4„„,从分解看，第 n 个圆圈的个数 应为 1+(1+2+3+4+„„n)，而 1+2+3+4+„„+n 正好是连续自然数和的公式推导，上面已给出了

公式: 1+2+3+„+n= ，则第 n 项公式为 1+ ，已知共有 12 层，那么求图 3 最左

边最底层这个圆圈中的数应是 12 层的第一个数，那么 1+11（11+1）/2=67.

解析：（2）已知图中的圆圈共有 12 层，按图 4 的方式填上-23，，-22，-21，„„,求图 4 中所有圆圈中各数的绝对值之和？

第一层到第十二层共有多少个圆圈呢，运用等差数列求和公式得：（1+12）12/2=78 个，那 78 个圆圈中有多少个负数，多少个正数呢，从已知条件可以看出，第一个数是-23，到-1 有 23 个负数，1 个 0，78-24=54 个正数， 1 至 54，所以分段求和，两段相加得到图 4 中所有圆圈的

首项  末项

 项数

2 和。第一段：S= =（|-23|+|-1|）*23/2=276,第二段=（1+54）*54/2=1485，

相加后得 1761。

例如、观察下列数表：

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解析：根据数列所反映的规律，第 行第 列交叉点上的数应为______ .（乐山市 2006 年 初中毕业会考暨高中阶段招生统一考试）这一题，看上去内容比较多，实际很简单。题目条件里 的数构成一个正方形。让我们求的是左上角至右下角对角线上第 n 个数是多少。我们把对角线上 的数抽出来，就是 1，3，5，7，„„。这是奇数从小到大的排列。于是，问题便转化成求第 n 个奇数的表达式。即 2n-1。

还有，邵阳市 2006 年初中毕业学业考试试题卷（课改区）的数学试题“图中的螺旋形由一 系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤„„，则第n 个等腰直角三角形的 斜边长为_____________。”也可以按照这个思想求解。

二、 要抓题目里的变量

找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变 量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。

例如，用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有 黑色瓷砖 块，第 个图形中需要黑色瓷砖 块（用含 的代数式表示）（海南省 2006 . 年初中毕业升考试数学科试题（课改区））

这一题的关键是求第 个图形中需要几块黑色瓷砖？

解析：在这三个图形中，前边 4 块黑瓷砖不变，变化的是后面的黑瓷砖。它们的数量分别是， 第一个图形中多出 0×3 块黑瓷砖，第二个图形中多出 1×3 块黑瓷砖，第三个图形中多出 2×3 块黑瓷砖，依次类推，第 n 个图形中多出（n-1）×3 块黑瓷砖。所以，第 n 个图形中一共有 4+ （n-1）×3 块黑瓷砖。

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云南省 2006 年课改实验区高中（中专）招生统一考试也出有类似的题目：“ 观察图（l）至

（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第 n 个图中小圆圈的个数为 m，则， m= （用含 n 的代数式表示）.”

三、 要善于比较

“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化 规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般 规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比 较容易发现其中的奥秘。

例如，观察下列各式数： 0， ，。” 3，8 15，24，„„。试按此规律写出的第 100 个数是

解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100 个数。我们把有关的量 放在一起加以比较：

给出的数：0，3，8，15，24，„„。 序列号： 1，2，3， 4， 5，„„。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第 n 项是 n2-1，第 100 项是 1002-1。

如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要 考虑其他因素。

譬如，日照市 2005 年中等学校招生考试数学试题“已知下列等式： ① 13＝12；

② 13＋23＝32；

③ 13＋23＋33＝62；

④ 13＋23＋33＋43＝102 ； „„ „„

由此规律知，第⑤个等式是 ．”

解析：这个题目，在给出的等式中，左边的加数个数在变化，加数的底数在变化，右边的和 也在变化。所以，需要进行比较的因素也比较多。就左边而言，从上到下进行比较，发现加数个 数依次增加一个。所以，第⑤个等式应该有5 个加数；从左向右比较加数的底数，发现它们呈自 然数排列。所以，第⑤个等式的左边是 13＋23＋33＋43＋53。再来看等式的右边，指数没有变 化，变化的是底数。等式的左边也是指数没有变化，变化的是底数。比较等式两边的底数，发现 和的底数与加数的底数和相等。所以，第⑤个等式右边的底数是（1+2+3+4+5），和为 152。

四、要善于寻找事物的循环节

有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。

譬如，玉林市 2005 年中考数学试题：“观察下列球的排列规律错误!其中●是实心球， 是空心 球)：

●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●„„ 从第 1 个球起到第 2004 个球止，共有实心球 个。”

这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔 10 个球循环一次，循环节是●○○●●○ ○○○○。每个循环节里有 3 个实心球。我们只要知道 2004 包含有多少个循环节，就容易计算 出实心球的个数。因为 2004÷10=200（余 4）。所以，2004 个球里有 200 个循环节，还余 4 个球。 200 个循环节里有 200×3=600 个实心球，剩下的 4 个球里有 2 个实心球。所以，一共有 602 个 实心球。

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五、要抓住题目中隐藏的不变量

有些题目，虽然形式发生了变化，但是本质并没有改变。我们只要在观察形式变化的过程中， 始终注意寻找它的不变量，就可以揭示出事物的本质规律。

例如，2006 年芜湖市（课改实验区）初中毕业学业考试题“请你仔细观察图中等边三角形 图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实： 。”

在这三个图形中，白色的三角形是等边三角形，里边镶嵌着三个黑色三角形。从左向右观察， 其中上边两个黑色三角形按照顺时针的方向发生了旋转，但是形状没有发生变化，当然黑色三角 形的高也没有发生变化。左起第一个图形里黑色三角形高的和是等边三角形里一点到三边的距离 和，最后一个图形里，三个黑色三角形高的和是等边三角形的高。所以，等边三角形里任意一点 到三边的距离和等于它的高。

六、要进行计算尝试

找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是函数的解析式。函数的解析式里常常包含 着数算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数算式子。所以，从运 算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。

例如，汉川市 2006 年中考试卷数学“观察下列各式：0，x1，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，„„。 试按此规律写出的第 10 个式子是 。”

这一题，包含有两个变量，一个是各项的指数，一个是各项的系数。容易看出各项的指数等 于它的序列号减 1，而系数的变化规律就不那么容易发现啦。然而，如果我们把系数抽出来，尝 试做一些简单的计算，就不难发现系数的变化规律。

系数排列情况：0，1，1，2，3，5，8，„„。

从左至右观察系数的排列，依次求相邻两项的和，你会发现，这个和正好是后一项。也就是 说原数列相邻两项的系数和等于后面一项的系数。使用这个规律，不难推出原数列第 8 项的系数 是 5+8=13，第 9 项的系数是 8+13=21，第 10 项的系数是 13+21=34。

所以，原数列第 10 项是 34x9。

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