圆锥曲线一题40问之

x2y21已知椭圆E：43，左右焦点分别为F1(1,0),F2(1,0)，左右顶点分别为A1(2,0)，A2(2,0)，上下

/B(0,3)B顶点为，(0,3)。

MNF1M•F1N恒成立？并由

（1）过点F1的直线l交椭圆E与M，N两点，是否存在实常数λ，使此求

MN的最小值。

（2）过点F1的直线交椭圆E与M，N两点，MN的中垂线交X轴与点D，是否存在实常数λ，使

MNF1D恒成立？

（3）过点P(4，0)的直线交椭圆E与M，N两点，设PM与椭圆E与另一点Q，证明：F2QF2N。

PN(0)，过点M作x轴的垂线

（4）过焦点F1的直线交椭圆E与M，N两点，求弦长

MN，并求其最小值。

圆锥曲线一题40问之（2）面积问题

33M(1,)N(1,)2，2，求MPN的面积的最大值。 （5）已知动点P在椭圆E上，两定点

（6）设直线l交椭圆E与M，N两点，且以MN为直径的圆过椭圆的右顶点A，求AMN的面积

1

的最大值

（7）过点P（0，-2）的直线l交椭圆E与M，N两点，当OMN的面积最大时，求直线l的方程。

（8）过点F1的兩直线l1，l2分别交椭圆E与M，N两点和C，D 两点，且l1l2，是否存在实常数λ，使

MNCDMNCD恒成立？并求四边形MCND面积的最小值和最大值。

（9）过椭圆E右焦点F2的直线l斜率不为0，直线l与椭圆E交于两点M,N，G为MN的中点，射线OG与椭圆E交于P，求四边形MONP面积S的最小值。

m(3x,2y)n(3x,2y)M(x,y)N（x,y）lm11221122（10）直线与椭圆E交与，两点，已知，，若n，

证明：MON的面积是定值。

圆锥曲线一题40问之（3）定点问题

（11）直线l：ykxm交椭圆E于M，N两点（M,N不是左右顶点），且以MN为直径的圆过椭圆的右顶点，求证直线l过定点。

3P(1,)2满足直线PM与PN垂直，证明：直线MN过（12）已知M,N是椭圆E上两个动点，定点

定点。

（13）动点P在直线x2y40上，过P引椭圆E的两条切线，分别切与点C和D。证明：直线CD 过定点。

（14）动点P在直线x=4上，过P引椭圆E的两条切线，分别切与点C和D。证明：直线CD 过

2

定点。

（15）过椭圆E的右焦点F2作两条相互垂直的直线，分别与椭圆E交于A,B和C,D，设线段AB，CD的中点分别是P,Q，求证：直线PQ恒过一个定点。

3（16）过点P（2，1）的直线l交椭圆E于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，过点N作斜率为2的直线交

-椭圆E于另一点Q，求证：直线MQ过定点。

圆锥曲线一题40问之（4）定值问题

椭圆结论① 椭圆切线

x0xy0yx2y2x2y22121(ab0)21(ab0)222P（x,y）00的切线方程为：ab过椭圆ab上一点，从椭圆abx0xy0y212P（x0,y0）ab外一点往椭圆作两条切线分别交椭圆于A，B两点，则AB所在直线的方程为：

（17）已知动点P在椭圆E上（异于A，A），证明：

/kPA/kPA为定值

（18）已知动点P在椭圆E上，过原点O的直线l与椭圆E交与M(x1,y1)，N（x2,y2）两点，证明：

kPM•kPN为定值。

（19）已知直线l与椭圆E交于M(x1,y1)，N（x2,y2）两点，且MN的中点为P，求证：kMNkOP为定值。

3

kkOP（20）已知动点P在椭圆E上，在点P的切线的斜率为k，证明：为定值，且有

11kkPF1kkPF2为定值。

3P（1，）2满足直线PM与PN的倾斜角互补，（21）已知M，N是椭圆E上的两个动点，定点证明：

直线MN的斜率为定值。

（22）证明椭圆E的两个焦点到椭圆E的任一条切线的距离之积为定值

11ON2（23）已知M，N是椭圆E上的两个动点，且OMON,求证：

1122直线MN的距离为定值。ab，

OM2为定值，且原点O到

l2分别交椭圆E与M，（24）过点F1的兩直线l1，N两点和C，D 两点，且l1l2 ，求证：

11MNCD

为定值。

（25）已知动点M，N是椭圆E上位于x轴上方的两点，且直线MF1与直线MF2平行，MF1与MF2交于点P。求证：PF1PF2是定值。

（26）过焦点F1的直线l交椭圆E与M，N两点，直线l与y轴交于点P，PMMF1，PNNF1，

2a282-证明：为定值。3 b

（27）过点F1，F2的弦分别与椭圆E相交，得到的弦分别是PS，PT，设PF1F1S，PF2F2T，

4

证明：为定值。

圆锥曲线一题40问之（5）恒成立问题

3P（1，）2的M，N两点，且直线l2：x4交于点Q,求证：（28）过点F2的直线l1交椭圆E异于点kPMkPN2kPQ。

（29）过点F1的直线l1交椭圆E于M(x1,y1)，N（x2,y2）两点，P（-4，y0）为直线l：x=-4上任意一点，证明：

kPMkPN2kPF1

44P（，y0）x0）tt上任意（30）过点Q（t，的直线l1交椭圆E于M(x1,y1)，N（x2,y2）两点，为直线l：

一点，求证：

kPMkPN2kPQ0）。（Q（t，为x轴上任意一点）

（31）过点F1的光线在椭圆E上一点P处反射，求证：反射光线经过F2.(提示：PF1与PF2与点P处的切线所成的角相等)

（32）过点F1的兩直线l1，l2分别交椭圆E与M，N两点和C，D 两点，直线l3：x=-4，直线MD交直线l3于点P，证明：P，C，N三点共线。

（33）过点F1的直线l1交椭圆E于M(x1,y1)，N（x2,y2）两点，点M的关于x轴的对称点M,证明：

/0）M/，N，P（-4，共线。

（34）点P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线PA，PA分别与椭圆E交于M，

/N两点，证明：MN垂直x轴。

5

圆锥曲线一题40问之（6）探索性问题

（35）过点F1的直线l1交椭圆E于M(x1,y1)，N（x2,y2）两点，是否存在点P使得PM•PN为定值。

（36）过点F1不与坐标轴垂直的直线与椭圆E相交于M,N两点，且MN的垂直平分线交x轴于点

P(t,0)，求t的取值范围。

（37）过定点Q(t,0)的直线l交椭圆E与M，N两点，是否存在点P使得PM•PN为定值。

圆锥曲线一题40问之（7）椭圆轨迹问题

（38）过点P作椭圆E的两条切线l1，l2，且l1l2，求点P的轨迹方程。

（39）已知M，N是过点P（2，3）的直线l与椭圆E的交点，求MN中点的轨迹方程。

（40）已知P为椭圆E上一动点，连接PF1,PF2,过点F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线m，m交直线PF1于

一点Q，求Q的轨迹方程。

6