职高解析几何的概念教学

宣恩县中等职业技术学校 朱友岩

一、概念教学在解析几何中的重要性

1、在解析几何中重视并加强概念教学是学科本身的要求，是提高教学质量的需要。用概念来解题是解析几何中一种常用解题方法。

2、在解析几何中重视并加强概念教学是“中学数学教学大纲”的要求。现行大纲指出：“要使学生学好基础知识和掌握基本技能，首先要使学生正确理解数学概念”。

3、在解析几何中重视并加强概念教学是学生学习的需要。职高的学生与普高的学生相比，存在着很明显的特点。（1）学生基础普遍较差，特别是分析问题、解决问题的思维能力差；（2）学习缺乏动力，不感兴趣；（3）专业课程多，学生也比较重视专业课。基于上述特点，重视并加强概念教学，就可以降低起点，激发兴趣，为思维能力的培养和为学生学习专业课程奠定坚实基础和提供必要的工具。

二、解析几何中概念教学的尝试

在解析几何的概念教学中，既要把握概念的内涵，这是掌握概念的基础；又要了解它的外延，这样才有利于概念的理解和扩展；特别的，要对概念中的各项规定，各种条件，都要逐一认识，综合理解，使之印象清晰，掌握牢固。

一般的讲，在讲授一个新概念时，应力求明了以下问题： （1）这个概念讨论的对象是什么？有何背景（或与以前学的知识或概念有何关系）？

（2）概念中有哪些规定和条件？为什么要有这些规定和条件？这些规定和条件的确切含义是什么？

（3）概念的术语、名称有何特点？与日常用语和其他概念有何区别？

（4）这个概念有无重要的等价说法？为什么等价？

（5）根据概念中的条件和规定，能得出哪些基本性质？这些性质在应用中有何作用？能否派生出一些重要的数学思想方法？等等。

例如，曲线与方程的概念就是以函数与函数图象的概念为基础和背景的；在讲授坐标轴的平移后，最好是将它与平移变换加以区别，否则，往往混淆；在介绍有向线段的定比分点概念时，就贯串着分类讨论的数学思想，同时，要引导学生研究分比为什么会不可能为-1；在学习了椭圆、抛物线和双曲线的定义和标准方程后，应特别强调a、b、c、p的几何意义及a、b、c之间的关系（大小关系和几何图形关系）以及二次曲线的标准方程间的异同，还可向学生介绍椭圆、双曲线和抛物线的统一定义，等等。

解决讲授新概念的上述方面问题的全过程可以划分为以下三个阶段：

从老师教的角度来看，概念教学可分为引入、形成、巩固三个阶段；从学生学的角度来看，概念教学可分为感知概念、认同概念、内化概念。

（一）概念的引入（感知概念）

对于概念的引入，一定要在理解上下功夫，要精选一些吸引人的方法，引导学生参与给概念下定义的过程。我认为，成功的自然的引入新概念，就等于课堂教学成功了一半。引入新概念的具体方法很多，教师要根据实际灵活使用。一般地，有以下两种：

1、从旧概念深化、发展而来的新概念，不要直接把概念的定义抛给学生，应通过新旧知识的对比来引入新概念。例如，曲线与方程的概念应充分联系函数与函数图象的概念来引入；在讲授有向线段的定比分点概念时。联系向量平行、向量的倍积、相反向量等概念来引入和深化，学生就易于理解和掌握。具体设计如下：已知AB是轴L上的一条有向线段，点P是轴L上的任一点。提问：（1）点P与线段AB的位置关系如何，画出示意图。（2）向量AP与PB是何位置关系；用数学符号表示出来，有其他等价表示方法吗？（3）结合图示，由倍积的意义，的取值与点P在线段AB上的位置有何关系？（4）若

1，即APPB，有何结果？

待学生解决或在教师的指导下解决上述问题后，教师归纳得出有向线段的定比分点的有关概念。

2、借助模型和教具来引入新概念。教材上椭圆概念的引入，就是典型的一例。首先，提供给学生一些感性材料（椭圆形状的实物）。其次，通过动手作图（取一条定长的细线，把它两端固定在画图板上的F1和F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆）。然后归纳得出椭圆概念的定义。值得注意的是，模型和教具的使用要讲求科学性与准确性，更要避免唯模型和教具的做法。

（二）概念的形成（认同概念）

1、在引入新概念后，让学生做一些巩固练习，例如，引入有向线段的定比分点概念后，可选下列问题让学生回答：（1）已知AC5，

AB3。如图：

A

B

C

点B是线段AC的______分点，点B分有向线段AC成定比_____； 点A是线段BC的______分点，点A分有向线段BC成定比_____； 点C是线段AB的______分点，点C分有向线段AB成定比_____； （2）已知

PP1PP2=4；若点P在P1P2的延长线上，求点P分PP12所成

的比；若点P在线段P1P2上，求点P分PP12所成的比。

2、通过变式，深化对概念的理解

例如，我们知道经过点（1，1），斜率为k的直线方程可写成

y1k(x1)，该题可变式为：（1）直线y1k(x1)一定经过哪一点？

（2）经过点（1，1）的直线方程可以写成哪种形式？

3、对概念中的条件和规定要具体说明理由，抓住概念之间的内在联系，通过新旧概念的对比，形成正确的概念，从而建立完整的概念体系。

例如，在学完二次曲线的有关概念、标准方程、几何性质之后，便可指导学生将有关知识整理列表如下： 椭圆 双曲线 抛物线 与一个定点F和一条定直线L的距离相等 几何条件 F2的与两个定点F1、距离之和等于常数 常数=2a F2的与两个定点F1、距离之差的绝对值等于常数 常数=2a 2a、2c及p的几何意义 F1F22c(2a2c) F1F22c(2c2a) 定点F到定直线L的距离=p 标准方程 x2y21 a2b2(ab0)y F1 O M F2 x x2y221 2aby F1 O M F2 x y2px p0 L y K O 图形 顶点坐标 M F x a,0 0,b c,0 a,0 c,0 ca2b2 x轴、实轴长2a 0,0 p,0 2焦点坐标 ca2b2 x轴、长轴长2a 对称轴 y轴、短轴长2b ec 0e1 aa2x c y轴、虚轴长2b ec e1 aa2x cx轴 离心率 e1 x 准 线 p 2渐近线 统一定义 ybx a与一定点F和一条定直线L的距离之比等于常数e的点的轨迹。其中，e叫做离心率，点F叫做焦点，直线L叫做准线 4、根据学生的思维习惯并结合所具有的教学经验，预见到学生可能会出现的概念理解错误并作出针对性训练。

部分学生在学习椭圆、双曲线的标准方程后，常将椭圆、双曲线中的a、b、c间的关系和焦点位置弄错，为此，可让学生作一道对照

x2y2y2x2练习题：求曲线1和1的焦点坐标；

169169x2y2y2x2求曲线1和1的焦点坐标。

169916（三）概念的巩固、发展和深化（内化概念）

学生对概念的理解和掌握是一个由感知、认同到逐步内化的过程。概念教学的目的是实现学生对概念的内化，这就需要在学生形成概念后，教师采取一些必要的巩固、发展和深化概念的措施。

1、抓住重点，分散难点，有计划地安排概念形成，巩固、发展与深化的过程。

要做到有计划地安排，必须认真深入地钻研教材，弄清有关概念在解析几何中的地位和作用，以及与其他基础知识的内在联系。贯串解析几何始终的基本概念就是曲线与方程，求曲线的方程是解析几何的重点和难点，特别是求二次曲线的方程尤为重要。因此，在分别讲授椭圆、抛物线、双曲线的概念之后，可以通过让学生作一组习题，然后给出它们的统一定义，这样，学生内化概念就容易一些。这组习题如下：

求与定点F(2,0)和定直线x8的距离之比是e的点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。

（1） e； （2）e1； （3）e。

2、把概念教学与定理、公式及解题教学融为一体，使学生在运用知识的过程中不断加深对概念的理解，提高解题能力。

定理、性质、公式的教学是概念教学的延伸，解题教学是数学教

1254学的根本所在。在解析几何里，定理、性质、公式及解题教学，归根结底，都可以归结为是对概念的应用，并且，往往可直接用概念来解题。因此，只有当它们融合时，学生对概念的掌握才能完整化，具体化，才能形成概念体系，提高教学质量才不至于成为一句空话。举例如下：

x2y2求证：经过椭圆221ab0的一个焦点，且垂直于两焦点

ab2b2的连线的弦长等于。

ax2y2证明：如图，设椭圆221ab0的中心为点O，两焦点为

abF1、F2，经过点F1且垂直于F1F2的直线交椭圆于两点M1、M2。

由椭圆的定义有M1M22M2F1 *

由椭圆的定义有 M2F1M2F22a ……（1） F1F22c ……（2） 在RtM2F1F2中，M2F2M2F1F1F2…（3）

222M2 y M F1 O F2 x M1 a2c2联立（1）（2）（3）式可得 M2F1

a又根据椭圆的定义和几何性质知 a2c2b 2b22b2所以M2F1，那么，由 * 式可得M1M2。

aax2y2即经过椭圆 22=1的一个焦点且垂直于两焦点连线的弦长

ab2b2等于。

a