固体物理基础(吴代鸣之高教版)课后11到13题答案

第n个原子位移xn，第n+p个位移xn+p，第n-p个位移xn-p（P=1，2，3，……）。

设最近邻原子间力常数为β1，次近邻β2，再次近邻β3，……β

p

2简谐近似下(由书P47，式3.1.6)：UU0ijxij

4ij1第n

d2xn个原子的运动方程：M2Uin(xixn)

xnindt第n+p和第n-p个原子对第n个原子的作用力：

fpp(xnpxn)p(xnxnp)p(xnpxnp2xn)

第n个原子总的受力：fpp(xnpxnp2xn)

ppd2xn运动方程：M2p(xnpxnp2xn)

dtp试探解：xnAei(naqt) 代入运动方程：

2Mxnp(xneipaqxneipaq2xn)pxn0Mp(2cospaq2)2p

(1cospqa)

所以色散关系为：2(q)

2Mpp

12. 设有一维双原子晶格，最近邻原子间的力常数交错地等于β和10β，假定两种原子的质量相等，最近邻原子间距为a/2，试求格波的色散关系。 解：

同一维单原子类似，可写出两种原子的运动方程

Md2undt210vn110vn2un d2Mvndt2unun1210vn 试探解为

ui(naqt)nAe vi(naqt)nBe

代入运动方程有：

2Mun10viaqne10vn2un 2Mvnunuiaqne20vn

将un、vn代入消去公因子ei(naqt)得

M2A10eiaqB10B2AM2BAeiaqA20B

整理，化为关于A、B的线性方程组

(2M2)A10(1eiaq)B0(1eiaq)A(20M2)B0

A， B有非零解的条件是上式系数行列式等于零，即

2M2(1e)iaq10(1eiaq)20M20

有

(2M2)(20M2)10(1eiaq)(1eiaq)0402M20MM102(1cosaq)0222242

即22M2M24202(1cosqa)0 解出：

1122222M[(22M)4M20(1cosqa)]2(q)22M2

M[11(10120cosqa)2]

113.求出一维单原子晶格的模密度，并导出在低温下晶格比热与温度关系。 解：

（1） 我们用另一种算法求一维单原子模密度：

ldq((q)) 22一维色散关系2(q)(1cosqa)

M一维时模密度g()cosqa1M2 22[0(sinqa)adq] M对色散关系两边同时微分有2(q)d(q)dq(q)d(q)Ma[1cos2qa]1/2

(q)d(q)M221/2a[1(1)]M2(q)d(q)M2241/2a[]2M(2)M

所以模密度g()l2l220dq((q))

(q)d(q)Ma[M2(q)M4(q)]1/22(2)2((q))

MlaM2M241/2[](2)2

Ml2l1aM224a(42)1/2[2(2)]1/2M4M

令

42N22m2]1/2 ，则有g()2l2121/2[mMa(m)同前面的加2一致。

（2） 下面看比热：

晶格比热CV(E)V T由P63（3.6.8）由模密度表示的E为

1Eg()d(/kBT)

2e11CVg()d() /kBTT2e1d2N()2m212e1(2)kBT(e/kBT1)2/kT

d2N()2m212e/kBTkB((e/kBT2)kBT1)2

令

xmxT,TxkBTkBmdTdxddmdxkBTmT

CV2NkBm0dx2ex2m[1()2]m12

(ex1)22NkB/T0Tmx2exdxT21x2m[1(x)]2(e1)2

2NkBT/T0dx[1(x2exTx)](ex1)2122

令Tx1 m令2y

1132yy.... 224T113[1(x)2]1/21(2)(2)2....

2241T3T1()2x2()4x4....

28T低温下T<<Θ，则0,

T展开(1y)1/212NkBTx2ex故CVdx(10)x2(e1)022NkBT22NkB()T33m

）

(这里用到积分公式0x2ex2dxx3(e1)2书上所用的积分公式是0x4ex44dxx215(e1)