③当 a>0 ，且 a≠l 时，函数 与函数 y= 的图象关于 y 轴对称。利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值
二、对数函数
底数对函数值大小的影响 ：
1.在同一坐标系中分别作出函数 当 a>l 时，底数越大，图象越靠近
的图象， 如图所示， 可以看出：
x 轴，同理，当 Ox 轴．利用这一规律，我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题．2.类似地，在同一坐标系中分别作出
的
x=l
图象，如图所示， 它们的图象在第一象限的规律是：直线个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比如
把第一象限分成两个区域，
分别对应函数
每
，则必有
对数函数的图象与性质 ：
三、对数函数与指数函数的对比：
(1) 对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线 (2) 它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当 a>l 时，它们是增函数；当 Oy=x 对称．四、关于同底指数函数与对数函数的交点问题
一、 a 1时方程 a x log a x 的解
先求如图 3 所示曲线 y
ax
与ylog a
x
相切时 a 的值。设曲线
y
a x 与y log a x 相切于点 M （ x 0 , x 0 ），由于曲线y a
x
在点 M 处的切线斜率为
1，
x 0 ,
x0
ax 0
即
ax 0 ,
所以
(a x )' |x x 0 1ax0
ln a 1
ax
01
所以 ln a
x 0 , 1
则 a ln a x 0
1 ln a
e
即
1
1
,所以 a
ln a
e e ,此时 x 0 e
1
。
以上说明，当 a e 时，两条曲线 e
y
ax 与 y log a x相切于点 M (e,e) 。
因此有以下结论：
1
①当 a
e e , 方程 (*) 无解（见图
1 所示）；
1
②当 1
a ee ，方程（ * ）有且只有两解（见图
2 所示）；
1
③当 a e e ，方程（ *）有且只有一解（见图
3 所示）。
1
用计算器可算得 e e
1.44467 。
二、
0 a 1时方程 a log a x 的解
x
先求如图 5 所示曲线 y
ax 与ylog
a x 相切时 a 的值。
a 与 y log a 相切于点 P，由对称性知， 点 P 在直线 ylog a x(或由于曲线 y ax ) 在点 P 处切线的斜为 1，
设曲线
y
xx
y
x 上，设 P(x 0 , y 0 ) 。
ax
0
x 0 ,
所以 (log a x)' |x x0
1
ax 0
x 0 ,
1
1
即
x 0 ln a
1
a
ln a 1 ,1
1
,
ln a 即 e ln a x
1
x 1
0 所以0
ln a
e a1
( ) e
x 0 1
则
e 。此时，
e 。
1
a ( )
e
x
以上说明，当log
e 时，两条曲线
y
a 与y
a
x
相切于点 P因此有以下结论：
01
a ( )e
①
e 时，方程（ * ）有且只有三解（见图
4 所示）；
a (1
) e
②当 e 时，方程（ * ）有且只有一解（如图 5 所示）；
11 ,
e e ）。
（
( ) e a 1
③当 e 时，方程（ *）有且只有一解（如图
1
6 所示）。
用计算器可算出
( ) e 0.06599 e 。由于此数非常小，因此，人们在平时较难观察到这种
1
较小数值所示的函数图像，这也是人们易产生错误认识的—个重要原因。
综上所述，得：
a (0,( ) e ) 当 e 时，方程
1
ax
log
a
x 有且只有三解；
a ( ) e 时, 方程 ax log a x
有且只有一解； 当 e a (( ) ,1)
当 e时，方程
1
1
e
axlog x a 有且只有一解；
当
a
1
(1,e ) 时，方程 a1
ex
logx a a
有且只有两解；
当 a
e
e 时，方程 a1
x
logx
有且只有一解；
当
a
(e , ) 时，方程 aex
logx
a
无解。
