在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题

Tnf(X)f(x,x,x)X(x,x,,x)Rn12n12n定义1 设元函数在的某个邻

f(X)f(X)f(X)f(X),,,xxx12n, f(X)域内有一阶、二阶连续偏导数。 记

TX(x,x,,x)f(X)12n称为函数在点处的梯度.

定义3 满足f(X0)0的点X0称为函数f(X)的驻点.

2f(X)2x12f(X)xxn12f(X)2f(X)x1x2x1xn22f(X)f(X)2xnx2xn

2f(X)H(X)xxijnn定义4

n称为函数f(X)f(x1,x2,xn)在点XR处的黑塞矩阵。显然H(X)是由

f(X)的n2个二阶偏导数构成的n阶实对称矩阵.

000TX(x,x,,x)处存在f(X)012n定理8(极值存在的必要条件) 设函数在点

一阶偏导数，且

X0为该函数的极值点，则f(X0)0.

n定理9(极值的充分条件) 设函数f(X)在点X0R的某个邻域内具有一阶、

f(X0)f(X0)f(X0)f(X0),,,0x2xnx1二阶连续偏导数，且

则 : (1)当H(X0)为正定矩阵时，f(X0)为f(X)的极小值; (2)当(3)当

H(X0)为负定矩阵时，f(X0)为f(X)的极大值; H(X0)为不定矩阵时，f(X0)不是f(X)的极值。

应注意的问题：

利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立.

222f(x,y,z)x2y3z2x4y6z的极值. 例3 求三元函数

解 先求驻点，由

fx2x20fy4y40fz6z60 得x1,y1,z1

,1,1). 0(1所以驻点为P再求(Hessian)黑塞矩阵 因为

fxx2,fxy0,fxz0,fyy4,fyz0,fzz6,

200H040,1,1)点取得006，可知H是正定的，所以f(x,y,z)在P0(1所以

极小值：f(1,1,1)6.

222f(x,y,z)(x1)2(y1)3(z1)6求得极当然，此题也可用初等方法

小值6，结果一样.

4.2投入产出的矩阵理论 投入产出分析对于生产生活中有着非常广泛和

重要的作用，它是利用数学理论和计算机技术来对经济活动中生产部门和消费部门之间的相互关系进行研究的,尤其是研究和分析各部门在产品生产和消费之间的数量关系。在利用矩阵理论研究投入产出经济问题的过程中,通常地会把所讨论的某一个经济系统反映在一张平衡表中(我们称之为投入产出表),并通过建立数学模型把这种关系用数学关系式表示出来。我们可以从它们特有的数学模型看出来,这种模型是研究某一经济系统中各部门之间“投入”和“产出”关系的一种线性模型。能够反映一个系统中各部门之间数量依存关系的投入产出表以及由此得到的平衡方程统被我们称之为投入产出模型。投入产出模型按其内在结构可分为两类:一是闭模型;另一个是开模型。

一、投入产出分析的闭模型

这类模型计量全部产出都被当作生产中的所有投入而消耗的情况。它可以反映整个生产系统的投入产出结构。

例1.有三个农户张、王、李，各有所长,商定通过转工来实行联合经营。张要把劳动时间的20%用在自家，40%用在王家，40%用在李家；王要把劳动时间的10%用在张家，50%用在自家，40%用在李家；李要把劳动时间的60%用在张家，10%用在李家，30%用在自家。一年后，需要计算每户应得多少劳动报酬(包括在自家的劳动报酬)，以使每个人的劳动报酬与此其所做的工作量相当。 分析：将上述张、王、李的劳动时间分配情况排列成一个数表，即33矩阵 张王 李

在张家做工所占比例0.2 0.1 0.6 在王家做工所占比例0.4 0.5 0.1 在李家做工所占比例0.4 0.4 0.3

以x1、x2、x3分别表示张、王、李应得的劳动报酬。为公平合理，就要求每户付出的总量与所得到的总量相等，因此，得到如下等量关系：内部消耗=总产出。

于是有：

x1 0.2 x1 0.1 x2 0.6 x3 x2 0.4 x1 0.5 x2 0.1 x3 x3 0.4 x1 0.4 x2 0.3 x3

解：设x1、x2、x3分别表示张、王、李应得的劳动报酬 则上述方程组用矩阵表示为

x10.20.10.6x1x0.40.50.12x2 x0.40.40.3x33若记A为系数矩阵(直接消耗矩阵),X为张、王、李产出 的列向量，则AX为用于内部消耗所需在张、王、李家的投入 量。于是，上述矩阵方程可表示为

X AX

化简得E AX 0(1)

该方程的解即为张、王、李应得的报酬。而方程(1)的解的情况与矩阵E A的秩有关，因而求解(1)就变成求矩阵E A的秩：

0.80.10.610310.40.5-0.1360.40.40.7EA=0132 360.40.5-0.100000.90.8000由于RE A 2 3,所以方程(1)有非零解。取x3=cc0,则方程(1)的解用矩阵表示：

31x13632x236c x31若取C= 360元,则张、王、李的报酬为

31x13631032320 x236c=360x31一般地一个投入产出闭模型的投入产出矩阵为Aaij(i,j 1,2,,n)。这里aij表示i被消耗的与j所生产的产出量之比。对于闭模型来说,每列之和等于1，即表明全部产出都被消耗。而对所有的元素来说0aij1。如果A是这个含有n个成分的闭系统的投入产出矩阵，X表示该系统每个产出评价值的列向量，那么有：

X AX

即：

X AX 0E AX 0

这是一个齐次线性方程组,它的解与E A的秩有关，只要RE A r n，这个方程组就有非零解。如果矩阵A中的元素为正数且每一列的和等于1那么这个方程有一参数解，即n 1个未知量可用其余的一个作为参数的未知量解出。这个参数作为一个尺度因子起作用。

二、投入产出分析的开模型

在开模型中，除了产出的内部消耗外,还有产出的外部需求。这些外部需求包括出口、消费者的需求等。因而，这里以产出都被消耗为前提。

例2. 假定一个农场生产三种产品R、S、T。R产品的一部分分别用于这三种产品的生产中,而其余的部分用于消费。S和T这两种产品的使用情况也是如此。现用一张表来描述在一定时期内这三种产品在使用中的相互关系。

表1 R S T

R 50 20 30

S 20 30 20

T 40 20 20

单位：元 消费 70 90 50 合计 180 160 120 表中每一行表示每种产品的产值的投入情况。在总产值180元中，R、S、T20和40元，其中70元被用来供给消费。由于R产品的产品生产中分别耗用了50、全产出都被R、S、T和消费利用，产的目的是为了满足消费需求，而产出70元的产量。为满足着一需求，R必须产出总产值180元，因为还有110元是R、S、和T在生产中所需要的。

现假定消费需求是变动的。假设在原有需求的基础上第三年的需求分别为60，110，60，在生产条件不便的情况下,问为满足这些预测的需求第三年应产出多少?分析：由于这三种产品中的任何一种产品的生产都受到其他两种产出变化的影响。因此,第三年对R产品的总需求不仅取决于对R的消费需求,而且还决定于S和T产品的需求。这就是说,这些产业之间是相互联系的。

这类问题的解决可用投入产出分析开模型求出。为此,需要确定生产一个单位的R产品需要消耗R、S、T产品各多少?例如,要得到180个单位的R产品需要消耗50个单位的R,20个单位的S和30个单位的T。由此构成一系列的比值, 就是生产一个单位的R产品所需要的各种产品的投入量：50/180 0.278 R产品

30/180 0.167为T产品的投入量。20/180 0.111为S产品的投入量，的投入量，如果要求产出x1个单位的R产品，则需要投入0.278 x1个单位的R产品，0.111 x1个单位的S产品，0.167 x1个单位的T产品。这样做下去,就可作出这一个矩阵：

R S T

R0.2780.1250.333A=S0.1110.1680.167

T0.1670.1250.167第1列表示产出1个单位的R产品所需要投入的R、S、T产品的数量，第2列表示产出1个单位的S产品所需要投入的R、S、T产品的数量,第3列表示产出1个单位的T产品所需要投入的R、S、T产品的数量。例如，第3行第2列中的元素(0.125)表示产出一个单位的S产品所需要投入的T产品的数量。

解：以Xx1，x2,x3T为满足给定需求D60110，，60T所需要的总产出量,则AX表示内部消耗所要求的R、S、和T产品的投入量。生产与消费平衡的前提条件要求：

内部消耗+消费需求=总产出

从矩阵A，总产出向量X和需求向量D来看，这个需求就等于这个方程式：

0.2780.1250.333x160x10.1110.1680.167x1102x2 0.1670.1250.167x60x33以这个方程式对预定的需求向量D求X，而矩阵A可按上述方法根据某个已知的生产过程求出。于是求满足未来第三年需求所要求的总产出X，就要解以下方程：AX D X

化简得 E AX (2) D?1XE AD 求解X，得 0.7720.1250.333=0.1110.8120.1670.1670.1250.833160110 601.60840.35680.713160178.3220.29461.33630.3857110187.811 0.36690.27211.401360135.969因此，满足预测需求D所需要的R、S和T的总产出为：

x1178.322x187.8112 x135.9693投入产出分析的开模型可归结为如下：设一经济系统有n个部门或产品,每个部门生产某一产品或服务，除供n个部门消耗外，还有其余的部分用来满足预定的各种需求。在给定满足现有需求所需要的每个部门总产出的情况下，要求满足未来需求所需要的每个部门的总产出。

开模型的矩阵Aaij(i,j 1,2,,n),由元素aij组成。这里aij是j部门产品生产一个单位产出量所需要的i部门的投入量，即aij xij/ xj。如以X列向量表示该系统每个部门的产出量，D列向量表示该系统每个部门产出的需求量,那么就有：

X AX D

由此得E AX D，如果 E A0，则E A有逆矩阵，在此条件下，求解X：

XE AD

1通过记算E A来对各种需求状况D求X，对经济计量特别有用。但应注意，应用投入产出矩阵解决预测问题是假定存在这样两个前提条件：一是每个部门只生产一种产品；二是所考察的这段时间内生产技术没有进步，即矩阵A中的比值保持不变。

1