指数函数及其性质常见题型

——习题课

题型一：与指数有关的复合函数的定义域和值域

1、 含指数函数的复合函数的定义域

xfxyaa0,且a1yaR（1） 由于指数函数的定义域是，所以函数的定义域与fx的定义域相同.

xa0,且a1的定义域，关键是找出tax的值域哪些部分yft的定义域中. yfa（2） 对于函数

2、 含指数函数的复合函数的定义域

fxyaa0,且a1的函数值域时，先求得fx的值域（即tfx中t的范围）（1） 在求形如，再根据

yat的单调性列出指数不等式，得出at的范围，即yafx的值域.

xyfa（2） 在求形如

a0,且a1的函数值域时，易知axx0（或根据yfa对x限定的更加具体

x的范围列指数不等式，得出a的具体范围），然后再t0,上，求yft的值域即可.

【例】求下列函数的定义域和值域.

（1）y0.41x1；（2）y35x1x；（3）y1a.

题型二：利用指数函数的单调性解指数不等式

解题步骤：（1）利用指数函数的单调性解不等式，首先要将不等式两端都凑成底数相同的指数式.

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fxgx,a1afxagxfxgx,0a1 （2）

1【例】（1）解不等式23x12xa；（2）已知

23x1ax6a0,a1，求x的取值范围.

题型三：指数函数的最值问题

解题思路：指数函数在定义域R上是单调函数，因此在R的某一闭区间子集上也是单调函数，因此在区间的两个端点处分别取到最大值和最小值.需要注意的是，当底数未知时，要对底数分情况讨论.

a【例】函数fxaa0,a1在1,2上的最大值比最小值大2，求a的值.

x题型四：与指数函数有关的单调性

fxyaa0,且a1的函数的单调性时，有如下结论： 1、研究形如

（1）当a1时，函数yafx的单调性与fx的单调性相同；

fx（2）当0a1时，函数ya的单调性与fx的单调性相反.

xya2、研究形如

a0,且a1的函数的单调性时，有如下结论：

x（1）当a1时，函数ya的单调性与yt的单调性相同； （2）当0a1时，函数yax的单调性与yt的单调性相反.

精心整理

注意：做此类题时，一定要考虑复合函数的定义域.

xa0,且a1fxa【例】1.已知，讨论

23x2的单调性.

2.求下列函数的单调区间.

10.2x1

（1）yax2x32；（2）

y题型五：指数函数与函数奇偶性的综合应用

虽然指数函数不具有奇偶性，但一些指数型函数可能具有奇偶性，对于此类问题可利用定义进行判断或证明.

1ax31为奇函数，则a的值为.

【例】1.已知函数

fx2.已知函数

fxa1xRx12是奇函数，则实数a的值为.

3.已知函数

fx11a0,a1xa12，判断函数fx的奇偶性.

题型六：图像变换的应用

xya1、平移变换：若已知的图像，

xxbyayab（1）把的图像向左平移个单位，则得到的图像；

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xxbyayab（2）把的图像向右平移个单位，则得到的图像；

xxyayab的图像； b（3）把的图像向上平移个单位，可得到

xxyayab的图像. b（4）把的图像向下平移个单位，则得到

xya2、对称变换：若已知的图像，

xxyaya（1）函数的图像与的图像关于y轴对称；

xxyaya（2）函数的图像与的图像关于x轴对称；

xxyaya（3）函数的图像与的图像关于坐标原点对称.

xy2【例】1.画出下列函数的图象，并说明它们是由函数的图像经过怎样的变换得到的.

xx1xxxy2x1y2y21y2y2y2①；②；③；④；⑤；⑥

xyaa0,且a1的图像可能是（） yxa2.函数与

ABCD

yax11a0,且a1y2a3.若直线与函数的图像有两个公共点，则a的取值范围是.