教案微分中值定理

时---------月---------日 课 间 星期----------------- 题 §3.1 微分中值定理 教学目的 理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。 教学重点 罗尔定理、拉格朗日定理的应用。 教学难点 罗尔定理、拉格朗日定理的应用。 课 型 基础课 教法选择 讲 授 教 学 过 程 一、罗尔定理 1. 罗尔定理 几何意义：对于在[a,b]上每一点都有不垂直于x轴的切线，且两端点的连线与x轴平行的不间断的曲线备课组 教法运用及板书要点 f(x)来说，至少存在一点C，使得其切线平行于x轴。 C A B 21 yyf(x) oabx从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理 费马引理 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义 并且在x0处可导 如果对任意xU(x0) 有f(x)f(x0) (或f(x)f(x0)) 那么f'(x0)0 证明：不妨设xU(x0)时，f(x)f(x0)（若f(x)f(x0)，可以类似地 1 / 7

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此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

证明）.于是对于x0xU(x0),有f(x0x)f(x0), 从而当x0时, f(x0x)f(x0); 而当x0时, f(x0x)f(x0)0; x x根据函数0f(x)在x0处可导及极限的保号性的得 x0f'(x0)f'(x0)limf(x0x)f(x0)0 x'' f(x0)f(x0)limf(x0x)f(x0)0 ，所以f'(x0)0, 证毕. x0x 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理 如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)f(b) 那么在(a,b)内至少在一点(ab)  使得函数f(x)在该点的导数等于零，即f'()0 证明：由于f(x)在[a,b]上连续，因此必有最大值M和最小值m，于是有两种可能的情形： （1）Mm，此时f(x)在[a,b]上必然取相同的数值M，即f(x)M. 由此得f(x)0.因此，任取(a,b)，有f()0. （2）Mm，由于f(a)f(b)，所以M和m至少与一个不等于f(x)在区间[a,b] 端点处的函数值.不妨设Mf(a)(若mf(a),可类似证明),则必定在(a,b)有一点使f()M. 因此任取x[a,b]有f(x)f(), 从而由费马引理有f()0. 证毕 【例1】 验证罗尔定理对f(x)x22x3在区间[1,3]上的正确性 解 显然上可导，且f(x)x22x3(x3)(x1) 在[1,3]上连续，在(1,3)f(1)f(3)0, 又f(x)2(x1), 取1,(1(1,3)),有f()0. 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的可能多于一个，也可能只有一个. 2 / 7

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【例2】 证明方程x55x10有且仅有一个小于1的正实根. 证明：设f(x)x5x1, 则由介值定理存在 设另有5f(x)在[0,1]上连续，且f(0)1,f(1)3. x0(0,1)使f(x0)0, 即x0为方程的小于1的正实根. x1(0,1),x1x0,使f(x1)0.因为f(x)在x0,x1之间满足罗尔定理的条件, 所以至少存在一个（在x0,x1之间）使得f()0. 但f(x)5(x41)0,(x(0,1)), 矛盾, 所以x0为方程的唯一实根. 二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 在罗尔定理中，第三个条件为(iii)f(a)f(b)，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是拉格朗日中值定理： 定理2：若函数满足： (i)f(x)在[a,b]上连续 ； 0.7(ii)f(x)在(a,b)上可导； 则在(a,b)内至少存在一点， 使得 f() 即 f(b)-2 -1 50. 0.25 5 -0.25-0. -0.75 5 1 2 f(b)f(a)。 baf()(ba) f(a) 若此时，还有f(a)f(b)， f()0。可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，因而用罗尔中值定理来证明之。 f(b)f(a)0 ……(1) baf(b)f(a)作一个辅助函数：F(x)f(x)(xa) ……(2) ba证明：上式又可写为 f()显然，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且 f(b)f(a)(aa)f(a) baf(b)f(a)(ba)f(a) F(b)f(b)ba F(a)f(a)F(a)F(b)，所以由罗尔中值定理，在(a,b)内至少存在一点,使得 3 / 7 西安交通工程学院《高等数学》课程建设组

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F()0。 又F(x)f(x)  f()f(b)f(a)ba f(b)f(a)f(b)f(a)。 0 或 f()baba注 1：拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广； 2：定理中的结论，可以写成f(b)f(a)f()(ba)(ab)，此式也称为拉格朗日公式，其中可写成： a(ba)(01) f(b)f(a)f(a(ba))(ba) ……(3) 若令bah, f(ah)f(a)f(ah)h ……(4) 3：若ab，定理中的条件相应地改为：f(x)在[b,a]上连续，在(b,a)内可导，则结论为： f(a)f(b)f()(ab) 也可写成 f(b)f(a)f()(ba) 可见，不论a,b哪个大，其拉格朗日公式总是一样的。这时，为介于a,b之间的一个数，(4)中的h不论正负，只要f(x)满足条件，(4)就成立。 4：设在点x处有一个增量x，得到点xx，在以x和xx为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有 f(xx)f(x)f(xx)x (01) 即 yf(xx)x 这准确地表达了y和x这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。 5：几何意义：如果曲线yf(x)在除端点外的每一点都有不平行于y轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的连线。 由定理还可得到下列结论： 推论1：如果yf(x)在区间I上的导数恒为0，则f(x)在I上是一个常数。 证明：在I中任取两点x1，x2(x1x2)，yf(x)在[x1,x2]连续，在(x1,x2)可导，由拉格朗日中值定理，则在(x1,x2)内至少存在一点，使得 4 / 7 西安交通工程学院《高等数学》课程建设组

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f(x2)f(x1)f()(x2x1) 由假设可知在I上，f(x)0，从而在(x1,x2)上，f(x)0， f()0， 所以f(x)f(x0)0 f(x)f(x0)， 可见，f(x)在I上的每一点都有：f(x)f(x0) （常数）。 】 【例3】 证明当x0时 证： 设f(x)x1xln(1x)x. ln(1x)，显然f(x)在[0，x]上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在一点(0,x)使f(x)xf(0)0f() 由于 f(x)11x ，f(0)0 ，f'()11，代入上式有 ln(1x)xLn111ln(1x) 即 x11 又由于0x 1111x1x所以 1即 11x111 ln(1x)xx1xln(1x)x 注：（1）构造辅助函数f(x)；（2）正确确定区间左右端点，利用TH2可得. 三、 三、柯西中值定理 定理3：若f(x),F(x)满足： (1)在[a,b]上连续； (2)在(a,b)内可导；(3) x(a,b) F(x)0 则在(a,b)内至少存在一点，使得 f()f(b)f(a)。 F()F(b)F(a)证明：令(x)f(b)f(a)F(x)f(x)，(x)在[a,b]上连续，显然，F(b)F(a)且(x)在(a,b)内可导，更进一步还有 (a)(b)，事实上， (b)(a)f(b)f(a)f(b)f(a)F(b)f(b)F(a)f(a) F(b)F(a)f(b)F(a) 5 / 7 西安交通工程学院《高等数学》课程建设组

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f(b)f(a)(F(b)F(a))(f(b)f(a))0 F(b)F(a) 所以(x)满足罗尔定理的条件，故在(a,b)内至少存在一点，使得()0， 又 (x)f(b)f(a)f(b)f(a)F(x)f(x)F()f()0因为F(b)F(a)F(b)F(a)f()f(b)f(a) F()F(b)F(a)F()0，  注 1：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，事实上，令F(x)x，就得到拉格朗日中值定理； 2：几何意义：若用义同前一个。 】 【例4】 证明arcsinxarccosxXf(x) （axb）表示曲线c，则其几何意YF(x)2（1x1）。 证：令f(x)arcsinxarccosx，f'(x)11x211x20， 。 由推论知f(x)=常数！再由f(0)2，故arcsinxarccosx2nn1】 【例5】若方程a0xa1xan1x0有一个正根xx0， 证明方程a0nxn1a1(n1)xn2an10必有一个小于x0的正根。 nn1证明：令f(x)a0xa1xan1x，在闭区间[0,x0]上满足罗尔定理的三个条件，故f'()0(0x0) f'(x)a0nxn1a1(n1)xn2an1  a0nn1a1(n1)n2an10 nn1上式表明x（0x0）即为方程a0xa1xan1x0的根。 6 / 7

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