结构分析专题读书报告

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结构分析专题理论与实践

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目录

1 常见的结构抗震分析方法 ........................................................................................................... 4

1.1 反应谱 ................................................................................................................................ 4

1.1.1 反应谱相关概念 ..................................................................................................... 4 1.1.2 底部剪力法 ............................................................................................................. 6 1.1.3 振型分解反应谱法 ................................................................................................. 6 1.2 时程分析法 ........................................................................................................................ 8 1.3 静力弹塑性分析 ................................................................................................................ 9

1.3.1 等效单自由度体系 ............................................................................................... 10 1.3.2 水平侧力加载模式 ............................................................................................... 11 1.3.3 结构位移性能需求 ............................................................................................... 13 （1）目标位移法 ........................................................................................................... 13 （2）能力谱法 ............................................................................................................... 14 1.4 基于能量的模态推覆分析（MPA）方法 ...................................................................... 15 1.5 逐步增量弹塑性时程分析（IDA）方法 ....................................................................... 16 2 钢筋混凝土结构材料的本构关系 ............................................................................................. 17

2.1 钢筋混凝土材料的理论模型 .......................................................................................... 17

2.1.1 线弹性本构关系 ................................................................................................... 17 2.1.2 非线性弹性关系 ................................................................................................... 17 2.1.3 弹塑性关系 ........................................................................................................... 18 2.1.4 粘弹性和粘塑性的流变模型 ............................................................................... 19 2.1.5 断裂力学理论 ....................................................................................................... 19 2.1.6 损伤力学 ............................................................................................................... 19 2.2 钢筋的本构关系 .............................................................................................................. 20

2.2.1 单向加载下，钢筋的应力-应变关系 .................................................................. 20 2.2.2 反复加载下，钢筋的应力-应变关系 .................................................................. 21 2.3 混凝土本构关系 .............................................................................................................. 22

2.3.1 单调加载应力-应变关系 ..................................................................................... 22 2.3.2 重复加载应力-应变关系 ..................................................................................... 24 2.3.3 反复加载应力-应变关系 ..................................................................................... 25 2.3.4 混凝土双向受力下应力-应变关系 ...................................................................... 25

3 钢筋混凝土有限元模型 ............................................................................................................. 29

3.1.1 分离式模型 ........................................................................................................... 29

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3.1.2 组合式模型 ........................................................................................................... 31 3.1.3 整体式模型 ........................................................................................................... 32

4 非线性方程组的解法 ................................................................................................................. 32

4.1 结构分析的非线性问题 .................................................................................................. 32

4.1.1 几何非线性问题 ................................................................................................... 32 4.1.2 材料非线性问题 ................................................................................................... 32 4.1.3 边界非线性 ........................................................................................................... 33 4.2 求解非线性方程组的逐步增量法 .................................................................................. 33 4.3 求解非线性方程组的迭代法 .......................................................................................... 34

4.3.1 割线刚度迭代法 ................................................................................................... 34 4.3.2 切线刚度迭代法 ................................................................................................... 34 4.3.3 等刚度迭代法 ....................................................................................................... 35 4.4 收敛标准 .......................................................................................................................... 36 5 常用有限元程序中的混凝土模型 ............................................................................................. 37

5.1 ANSYS ............................................................................................................................. 37

5.1.1 混凝土模型 ........................................................................................................... 37 5.1.2 钢筋模型 ............................................................................................................... 38 5.1.3 前后处理 ............................................................................................................... 38 5.1.4 二次开发 ............................................................................................................... 38 5.2 ABAQUS .......................................................................................................................... 38

5.2.1 混凝土模型 ........................................................................................................... 38 5.2.2 钢筋模型 ............................................................................................................... 41 5.2.3 前后处理 ............................................................................................................... 41 5.2.4 二次开发 ............................................................................................................... 41

参考文献......................................................................................................................................... 41

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1 常见的结构抗震分析方法

常用的抗震分析方法可分为两大类。一类是等效地震作用的静力计算方法，运用反应谱（包括底部剪力法和振型分解反应谱法）求得作用于建筑物上的等效地震力，并将其作为静力荷载进行结构分析，得到结构的内力和位移。另一类是直接求解地震作用下结构内力和变形的方法，如弹性和弹塑性时程分析方法。

我国的抗震设计思想为“三水准设防目标，两阶段设计步骤”。所谓两阶段设计步骤指的是小震作用下的弹性内力和变形分析以及大震作用下的弹塑性变形分析。小震作用下的弹性分析包括反应谱法和弹性时程分析法，这两种分析方法现有的商业化软件做的比较成熟；大震作用下的弹塑性变形分析包括弹塑性时程分析和静力非线性（推覆）分析，这两种非线性分析目前还不够完善。

1.1 反应谱

1.1.1 反应谱相关概念

反应谱是指单自由度体系对于某个实际地震地面运动的最大反应与体系的自振特性（自振周期和阻尼比）之间的函数关系。地震反应谱建立了结构体系本身的动力特征与地震反应之间的关系，反映了地震动的强度及频谱特征。

反应谱的标准化是指反应谱与引起该反应的地震动最大幅值之比，该比值即为标准化反应谱。对反应谱进行标准化处理可以消除地震动强度的影响，突出地震动频谱特征的影响。

g，弹性和弹塑质量为m的单自由度体系在强地面运动作用下，若地面运动加速度为x性单自由度体系的运动微分方程可由达朗伯原理得到为：

mxcxkxmxg(t) （1.1）

mxcxF(x)mxg(t) （1.2）

,x及x分别为体系的加速度、式中，c为结构的阻尼系数。速度及位移。（1.1）和（1.2）x式的主要区别在于等式左端的第三项，（1.1）式中的k是弹性体系的刚度系数，kx表示体系的弹性恢复力，仅仅是时间的函数，而（1.2）式中的F(x)则表示弹塑性体系的恢复力，当体系在弹性阶段时，它也仅仅是时间的函数，但当体系进入了非弹性变形阶段，它就随体系位移改变而改变。

弹性反应谱基于结构是单质点单自由度的弹性体系，认为结构所处的地面相当于刚性平面以及地面运动时程就是强震观测记录等三个假设而得到。对于一组N个具有不同自振周

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期T（=1，2，„„,N）和相同阻尼比的单自由度体系，在某一给定地震加速度的作用下，可求得各体系的最大加速度反应Sa，最大速度反应Sv和最大位移反应Sd。将所得到的最大反应按周期（或频率）的大小排列起来，所得到的Sa、Sv和Sd与周期的关系曲线分别称为绝对加速度反应谱、相对速度反应谱和相对位移反应谱，总称为弹性反应谱。弹性反应谱主要反映了地震动的频谱特性。

令Saxg(t)max及xg(t)maxkg，则有

FmSamkgkG （1.3）

其中xg(t)max为地震动峰值加速度，为动力系数，k为地震系数，G为质点的重力

荷载代表值。从式 (1.3)可知，求作用在质点上的水平地震作用的关键在于求出动力系数和地震系数k。

为简化计算，将地震系数k和动力系数以两者的乘积表示，称之为地震影响系数。即：

k （1.4）

则有

FG （1.5）

因为

k(xg/g)(Sa/xgmax) （1.6）

所以地震影响系数就是单质点线性系统在地震时以重力加速度为单位的最大反应加速度。我国抗震设计规范就是以地震影响系数作为抗震实际依据的，其数值根据设防烈度、场地类别、设计地震分组以及结构自振周期和阻尼比确定，如图1.1所示。

图1.1 地震影响系数曲线

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反应谱理论一般具有以下特征：

（1）对于加速度反应谱，周期很短时其值接近地震动的最大加速度，周期很长时接近于零；

（2）对于速度反应谱，周期很短时接近于零，周期增大时则不断增大，当固有周期大到某一值时就增大到顶点而不再增大；

（3）对于位移反应谱，周期很短时接近于零，周期增大时其值不断增大，当固有周期达到某值时就增加到顶点并保持不变。

1.1.2 底部剪力法

底部剪力法是适合于手算的常用简化方法，该计算方法的要点就是首先根据地震影响系数求出结构底部总的剪力，然后将此剪力按照沿结构竖向倒三角形分布的模式分配到各个楼层。结构底部总的等效地震水平剪力为：

FEk1Geq （1.7）

式中，1为相应于结构基本自振周期的水平地震影响系数值；Geq为结构等效总重力荷载，单质点应取总重力荷载代表值，多质点可取总重力荷载代表值的85%。

底部剪力法仅考虑了结构的基本自振周期，未考虑高阶振型的影响，因此该方法具有较大的局限性，仅适合于高度不超过40m，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构。

1.1.3 振型分解反应谱法

对多自由度系统可以通过振型矩阵解耦成一组单自由度系统。多自由度体系的动力平衡方程为:

[M]{X}[C]{X}[K]{X}[M]Ba(t) （1.8）

[M]、[C]、[K]分别为质量矩阵、阻尼比矩阵和刚度矩阵；

{X}、{X}、{X}分别为结构的位移向量、速度向量和加速度向量；

......a(t)是加速度曲线。

引入变换{X}{Y}，则平衡方程解耦成为：

MjYjCjYjKjYjPj(t) (t = 1,2,3 .......n) （1.9）

其中：MjjMj，CjjCj，KjjKj，Pj(t)jMBa(t)Lja(t) 那么各振型上的响应为：

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TTT...TYj(t)Lj1Lj1j(t)a()esin(t)dVj(t) (j=1,2,3,…… n) jMjjMjj由此得到位移响应在各振型上的分量：

Xj(t)jYj(t)Lj1Vj(t)，(j=1,2,3,…… n)

Mjj若己给定谱速度曲线Sv(,)或谱加速度曲线Sa(,)Sv(,)，则 可求得各振型上的谱位移响应为：

Lj1Lj1X(t)jSv(j,Tj)jSa(j,Tj) （1.10） 2MjjMjj*j继而求出各振型上的地震力：

fj*KX*jLjMjSa(j,Tj)Mj （1.11）

接下来需要对各个振型的反应进行组合。目前常见的振型的组合方法主要有： （1）各振型反应绝对值的总和，即Q_Q_j；

__（2）只考虑绝对值最大的一个振型的影响，即QQjmax；

（3）各振型反应的某种线性组合；

（4）各振型反应的平方和开方(SRSS法)，Q_Q_2j；

_（5）考虑振型间相关性的完全二次型组合法(CQC 法)，即Q_ijijQiQj。

__其中，Q表示体系的总反应，Qi表示体系第i振型的反应，ij为振型间的相关系数。 各振型对应的结构响应Qj是很容易求出的，因此组合方法1～4的总响应也可以很方便的得到，但对于CQC法，还要计算各振型之间的相关系数ij。对ij的求法，有很多学者进行过研究，以下简单介绍Kiureghian的公式：

__ij2ijij(4ijijij/ijij4ijij222 （1.12）

式中，ijij2；ijij；ijij2；ijij。

i ，i分别为第i振型的圆频率和阻尼比。如果各阶振型的阻尼比为常数，

即ij，则上式成为：

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82(1r)r1.5 （1.13） ij(1r2)42r(1r2)式中rj/i，这就是我国现行抗震规范采用的公式。

研究表明，当体系各振型相应的频率分布较稀疏时，振型间的藕联作用很小，第4种方法的结果具有较高的精度。但当体系各振型间的藕联作用不可忽略时，较好的方法是CQC法。实际上不考虑体系各振型间的藕联作用时，CQC法即退化为SRSS方法，这种两种方法在工程中已得到了广泛的应用。

1.2 时程分析法

虽然反应谱分析法具有很多优点，但此法仍然是拟动力法，并不是结构真实的动力响应分析。时程分析是结构更为真实反映的动力分析，而且对许多非线性问题，反应谱分析是没有意义的，这就更加需要动力时程分析。

在结构分析中，从结构的基本振动方程直接出发，直接输入对应于建筑场地土条件的若干条天然地震加速度纪录或人工模拟的加速度时程曲线，通过积分运算求得在地面加速度随时间变化期间内结构的各种响应值，这种分析计算方法称为时程分析法，又称为直接动力法或数值积分法。

对于高层建筑结构在地震作用下的振动方程为：

[M]{u}[C]{u}[K]{u}[M]{ug} （1.14）

直接动力法计算可以考虑材料的非线性，是非线性的震动问题，叠加原理不适用，故不能用振型分解反应谱法分析。常用的方法是逐步积分法，即：将地面运动分割成许多微小的时间间隔，相隔为t，然后对每个时间时间间隔t内把结构体系当作线性体系进行计算，逐步求出结构体系在每个时刻的响应。按照此法可将式(2.1)写成时间间隔增量的形式，先列出t和tt时刻的振动方程，然后将两者相减可得

.....[M]{u}[C]{u}[K]{u}[M]{ug} （1.15）

求解上式时，认为K和C在此时间间隔内保持不变，即K(tt)K(t)，

.....C(tt)C(t)。先求出时间步长t内地增量u、u和u；然后与该时间步长的

初始值相加，即得出时间步长t的末端值响应。

建筑结构在进行线性分析时，仍能使用振型叠加原理，计算量会大大减少。

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...高层建筑结构采用时程分析法比反应谱具有很多其它优点，且可以达到以下的目的： （1）时程分析能够较好地描述结构物在整个地震过程中实际的受力和变形随时间变化的时程响应情况，若考虑结构的弹塑性特性，能比较真实地揭露出结构的薄弱部位以及找出各构件出现塑性铰的顺序，判断结构破坏机理，以便有效地改进采用反应谱法进行的抗震设计的不足；

（2）时程分析计算结果是作为反应谱分析的补充，即根据结果差异的大小和实际可能，对反应谱法计算结构，按总剪力判断、位移判断，以结构层间剪力和层间位移(角)为主要控制指标，加以比较、分析，适当调整反应谱法的计算结果，从而获得更为合理的抗震安全度和经济效果。

（3）反应谱分析只反映了地面运动的强度与平均频谱特性，而时程分析则全面反映了地面运动峰值强度(加速度峰值、速度峰值和位移峰值)、频谱特性与持续时间三个要素。

1.3 静力弹塑性分析

静力弹塑性分析方法是指借助结构推覆分析结果确定结构弹塑性抗震性能或结构弹塑性地震响应的方法，也被称为Pushover分析方法，是基于性能评估既有结构和设计新结构的一种方法。Pushover分析的目的是对建筑结构的抗震性能进行检查或评估，目标是预测结构和构件在给定地震作用下的峰值响应。我们可通过结构的荷载－位移曲线（Pushover曲线）来描述在侧向力作用下，结构变形从弹性到弹塑性发展的不同阶段，如图4.1所示，荷载－位移曲线上的不同位移代表不同的性能控制点，通过在给定荷载作用下结构的期望性能点所在的位置，来判断结构的抗震能力是否达到要求。因而，Pushover分析可以考虑结构在设计地震作用下的非线性行为，明确结构中的薄弱部位，预测构件能力需求，使我们能够更好的理解结构行为，采用更合理的而非保守的抗震性能目标。

位移为时的割性刚度大震不倒\" 控制点结构失稳起点基底剪力初始弹性刚度倒塌顶点位移

图1.2 结构荷载－位移曲线

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静力弹塑性分析方法通过对结构逐步施加某种形式的水平荷载，用静力推覆分析计算得到结构的内力和变形，并借助地震需求谱或直接估算目标性能需求点，近似得到结构在预期地震作用下的抗震性能状态，由此实现对结构的抗震性能进行评估。

结构静力弹塑性分析方法是基于以下两个假定：

（1）结构可以由多自由度（MDOF）系统等效为一单自由度系统（SDOF）； （2）在分析过程中，结构沿高度方向的形状向量保持不变。

对于结构抗震性能分析，以上两个假定严格来说在理论上是不严密的，但是很多学者研究表明，对由第一阶振型控制的结构，用结构静力弹塑性分析法预测地震弹塑性响应是较好的，但它对结构的动力响应、阻尼、地震动特性以及结构刚度退化等方面则无法深入详细分析。对地高阶振型参与成分较多的复杂结构，静力弹塑性分析则需要进一步改进，比如引入多模态推覆分析方法（MPA）等。

1.3.1 等效单自由度体系

等效单自由度系统的建立不是唯一的，但是基于上面的假定认为MDOF系统的振型可以用一个振型向量表示，这个向量在地震的整个过程保持不变而不考虑结构处于何种破坏水平。所以，定义MDOF系统的相对位移向量为X，Xt（t是建筑结构的顶点位移），这样MDOF系统运动微分方程为：

[M]t[C]t{Q}[M]1g （1.16）

其中，[M]和[C]是质量和阻尼矩阵，{Q}表示建筑各层的力向量，g是地面的加速度。 如果定义参考SDOF的位移为：

*.......M*t （1.17） TM1对方程(3.1)的两边前乘，并用公式(3.2)中的t代入公式(3.1)中，可以得到下面的等效单自由度体系的动力反应：

*..**.**.*TTMCQMg （1.18）

..M*,C*和Q*分别表示等效单自由度体系的动力特性参数，解释如下：

MM1 （1.19） QM1 （1.20）

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TTM1T （1.21） CCTM假定形状向量已知，等效单自由度体系的力-变形的关系(Q**关系)，可以从MDOF体系的Pushover分析得到，MDOF体系通常得到的是底部剪力(V)-顶点位移(t或t)图。为了规范化地得到整个强度和位移数量的关系，多线性的V-t关系图需要用双线性的关系图来代替。这个图定义了“屈服强度” Vy，有效“弹性”刚度KeVy/t,y和一个强化(或弱化)刚度KsKe。必须用一些界定来定义这些特性，基底剪力-顶点位移被用来定义等效单自由度体系的特性。

利用基底剪力的屈服值(Vy)和对应的顶点位移(t,y)以及方程(4.2)和(4.5)来计算等效单自由度体系的力－位移的关系，公式如下：

TMT**,QQy （1.22） yt,yyTM1TT其中Qy是屈服点处的层力，即Vy1Qy。

等效单自由度体系的等效周期Teq可以用以下的公式计算：

MTeq2* （1.23）

Qy利用MDOF体系的Vt关系的应变强化比率来定义等效单自由度体系的应变强化比。

*y*121.3.2 水平侧力加载模式

静力弹塑性分析时所采用的水平侧力加载模式代表结构上地震惯性力分布，简称“侧力模式”。静力弹塑性分析的侧力模式与结构的侧移变形模式相关，因此，不同的侧力模式对分析结果有直接影响。事实上，由于任何一种荷载分布方式都不可能反映结构全部的变形及受力要求，因为不论用何种分布方式，都将使得和该加载方式相似的振型作用得到加强，而其他振型的作用则受到抑制。常用的惯性力分布有倒三角分布、均匀分布、弹性反应谱多振型组合分布、考虑高度影响的等效侧向力分布等。这些侧向力分布在整个加载过程中保持不变，被称为固定式侧向力模式。当结构高阶振型影响不明显且结构只有一个失效模式时固定分布可较好地预测结构的反应，当高阶振型影响明显时，固定侧向力分布的适用性尚待研究。

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自适应分布是对固定分布的改进，它考虑层惯性力分布随结构弹塑性水平的变化，根据每次加载时结构侧向位移或振型的变化调整侧向力分布。

（1）固定式加载

B.Gupta，Sashi，K.Kunnath记录了八幢结构在实际地震作用下楼层惯性力的分布情况，观察可知，由于高阶振型的影响较大，在不同时刻记录到的楼层惯性力分布状况相差很大，对大部分框架结构，在层间位移角最大的时刻，惯性力的分布方式与结构的第二振型接近。而且，尽管所观察结构的底层层高都比标准层高，但结构的最大层间位移并不出现在首层。因此Krawinkler建议，至少用两种以上的荷载分布方式，如均匀分布方式、倒三角分布方式、用底部剪力法得到的分布方式、反应谱振型组合得到的分布方式等。

（2）适应性加载

相对于固定分布方式而言，选用适应性的分布方式显得更为合理些。所谓适应性的分布方式，是指根据加载过程中结构塑性铰的发展，不断调整侧向荷载的分布方式。如根据结构振型的变化，用振型分解反应谱平方和开方（SRSS）计算结构各楼层层间剪力的方法；根据结构层抗剪强度的变化调整各楼层层间剪力的方法等。虽然适应性的分布方式被认为比固定的分布方式更为合理，而且不少学者对此进行了研究，但由于分析结果受结构形式的影响有很大的差别，因此迄今对于适应性加载方式的优点及可靠性仍无公认的结论性意见。

FEMA356对于侧向荷载作了具体的规定。作用在结构数值模型上的侧向荷载应当与每层楼面内的惯性力分布成正比，也就是说作用在某一楼层的侧向力应当分布作用在楼板上，其大小与该方向上各个板块的质量成正比。不论是标准的或是简化的非线性静力分析，至少采用两种以上的荷载分布方式。

采用水平力均布方式加载时，考虑结构的层质量，每层施加的侧向荷载与对应层的质量成比例，各层施加载荷载如下：

PiwiwjnVb （1.24）

j式中，Pi、wi、Vb分别表示第i层的侧向荷载、第i层的重力荷载代表值和基底剪力。 采用水平力按倒三角方式加载时，假定结构各层加速度沿高度呈线性分布，各层施加载荷载如下：

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PiwihiwhjjnVb （1.25）

j式中，Pi、wi、hi、Vb分别表示第i层的侧向荷载、第i层的重力荷载代表值、基底到第i层高度和基底剪力。

采用水平力按第一振型方式加载时，假定结构的第一振型占结构动力响应的主要部分，即用第一振型来表现结构在地震作用下的响应，这种方法常常用于分析比较规则或者层数不多的结构，因为这类结构在地震作用下的结构往往受第一振型控制，ATC-40中也建议使用这种方式。其侧向荷载为：

PimiimjjnVb （1.26）

j式中，mi，mj为结构第i，j层的质量；i，j为结构第一振型在结构i，j层处的位移值。

1.3.3 结构位移性能需求

由于结构进入弹塑性后，其非线性行为非常复杂，故而如何确定其结构位移性能需求也非常复杂，不同的学者提出了大量不同的方法。目前，FEMA273/274/356建议的目标位移法和ATC-40建议的能力谱法是当前确定结构位移性能需求接受度较高的两种方法。

（1）目标位移法

FEMA273/274/356通过多个系数调整等效弹性单自由度SDOF体系在地震作用下的弹性位移，得到相应的多自由度MDOF弹塑性体系的顶点目标位移，给出的公式如下：

Te2tC0C1C2C3CaSa2g （1.27）

4式中，t为MDOF体系的顶点目标位移；Te为等效弹性SDOF体系的自振周期；Sa为等效弹性SDOF体系在相应等效周期和等效阻尼比下的谱加速度；g

g为等效弹性SDOF体系的弹性位移；C0C3为修正系数， 42即由等效弹性SDOF体系的弹性位移e转化为MDOF体系顶点弹塑性位移的修正系为重力加速度；Sa数。

Te213

（2）能力谱法

1975 年Freeman等人提出了能力谱（Capacity Spectrum）方法，这种方法由于其形象、直观，计算简单，因而受到广泛重视。前期研究中，能力谱方法中的需求谱（Demand Spectrum）多采用弹性反应谱，用等效阻尼考虑非线性特性，进行迭代求解目标位移。经研究发现，该方法有时迭代不收敛，或不能收敛于正确解。1999年Chopra和Goel提出了改进的能力谱法，改进的能力谱法应用能力谱法的基本思想，将多自由度转化为等价的单自由度体系，建立单自由度体系的能力图，同时建立单自由度体系的等延性设计谱，将等延性设计谱转化为加速度位移格式后与等价单自由度体系能力谱加以比较，来确定结构的弹塑性抗震性能。

改进能力谱方法的基本思想是建立结构的能力曲线，然后构造需求谱曲线，将两条曲线转换成相同格式绘在同一坐标图中，计算二者的交点，即为目标位移点。基本步骤如下：

（1）对结构进行Pushover分析，得到结构的基底剪力（Vb）和顶点位移（UN）关系曲线；

（2）将结构的Pushover曲线转换成等效单自由度体系谱加速度（Sa）和谱位移（Sd）形式的能力曲线，这里：

SaNVbUN，Sd （1.28） M*1N12Nmmjj1jj1j1j1 （1.29） *，M1NNmj2j1mj2j1j1j1N是结构的总层数，其中mj为结构第j层的质量，1、j1是第1振型在第j层的元素，

M*是结构对应于第1振型的振型参与系数和振型质量。

（3）建立非弹性反应需求谱，并将其从标准的加速度（A）和周期（Tn）的形式，转换成谱加速度（Sa）和谱位移（Sd）的形式；

目前常采用两种方法来确定非弹性需求谱。一是通过强度折减系数对弹性反应谱进行折减，二是对谱进行统计研究，直接获得非弹性设计谱。显然，如果可以在一定精度范围内预测具体场地地面运动，那么，后一种方法能够得出更为精确的结果，但是需要进行大量的工作，目前多采用前一种方法。

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通过建立强度折减系数（R）与延性（）的关系，以弹性反应谱为基础来建立非弹性反应谱。目前，常用的强度折减系数（R）与延性（）的关系主要有Newmark-Hall方法、Krawinkler-Nassar方法、Vidic-Fajfar-Fischinger方法、Miranda-Bertero方法等。确立了R~关系后，可按下式由弹性反应谱来构造非弹性反应谱

ATnA，SdSa2 （1.30）

RR其中A为弹性加速度反应谱上对应于SDOF体系弹性周期（Tn）和阻尼比（）的加速度值。变化值，可以得到一组Sa~Tn曲线，转换成Sa~Sd格式，即等延性需求谱。对于双线性体系，Vidic-Fajfar-Fischinger方法给出的R~计算方法如下：

20.95Tn1.35(1)1,TnT0T0R （1.31）

1.35(1)0.951,TnT0其中：

T00.750.2TcTc （1.32）

这里Tn为结构体系的弹性自振周期，Tc为场地特征周期。

（4）计算等效单自由度（SDOF）体系的位移Sd0，将非弹性需求谱与简化能力曲线绘制在一起，一般地，能力曲线与需求曲线相交于若干个点。按交点所在的坐标计算出的延性系数应与相交非弹性反应需求谱的位移延性系数相等的原则来判断真实解Sd0，必要时可在两根等延性曲线之间进行插值。

（5）多自由度体系（MDOF）的目标位移为

Sd1N1Sd0 （1.33）

1.4 基于能量的模态推覆分析（MPA）方法

随着 ATC-40、FEMA-273/274等一系列规范的发布，基于能力谱和需求谱的结构性态抗震（Performance-Based Earthquake Engineering，PBEE）研究受到越来越多的重视。对于计算结构的地震反应性态指标，静力非线性分析（Nonlinear Static Procedure，NSP）相比时程分析计算效率高、操作简便且概念清晰，为结构工程界广为采纳，该方法已被部分国家写入规范条文，如欧洲、加拿大、中国等。NSP 采用某一特定的侧向荷载模式进行非线性分析，求出结构在地震作用下的变形需求。但已知常规的侧向加载模式存在缺陷，为了克服固

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定加载模式仅能近似表征结构低阶模态反应，无法考虑高阶模态反应的缺点，一些研究者提出了改进的 NSP 方法。模态 Pushover 方法（Modal Pushover Analysis，MPA）考虑了结构高阶模态效应，但由于采用弹性阶段的模态信息，无法考虑非线性发展对结构变形的影响；修正的模态 Pushover 方法在 MPA 的基础上考虑了第一振型的非弹性反应。在实际应用中，MPA 方法在高阶模态推覆时，仍以顶点位移为变形指标的适用性提出质疑，认为高阶模态推覆分析时，结构进入非弹性后，顶点位移不再与结构各层变形等比例发展，若仍采用顶点位移计算谱位移，是无法综合考虑体系变形的。为了综合考虑体系变形，Betero提出了基于能量的等效变形算法，易伟健等在 Pushover 方法中应用了基于滞回耗能的能量谱估算目标位移。魏新磊和周云等研究分析了多自由度与单自由度输入能量和耗能的等效性问题。在 MPA 的应用研究中，对于结构变形吸收能量与性态评估分析方法相关的研究较少，目前仅有部分研究对该问题进行了探讨，本文尝试将变形能算法应用于 MPA 中，并使用基于能量的位移变形指标，从而使性态评估的 MPA 方法具备更好的通用性。

1.5 逐步增量弹塑性时程分析（IDA）方法

对于一条特定地震动输入，通过设定一系列单调递增的地震动强度指标，并在每个强度指标下对结构进行弹塑性时程分析后，得到结构在不同烈度地震作用下的一系列弹塑性地震响应，称为逐步增量弹塑性时程分析方法（Incremental Dynamic Analysis），简称 IDA 方法，也可称为动力推覆分析（Dynamic Pushover），简称 DPO 方法。

该方法能够反映结构在不同强度水准的同一地震作用下的抗震性能，通过单调增加地震峰值加速度，计算结构在不同强度水准的地震作用下的弹塑性响应，得出相应的结构IDA 能力曲线，可对结构抗震能力作出较为全面、真实的评价。考虑到地震过程中结构响应峰值出现时刻的一致性，一般可采用结构层间剪力-层间位移IDA 能力曲线对推覆分析结果进行比较评价。

对于给定的结构，一条地震记录仅能得到一条准确的 IDA 能力曲线。以 IDA分析曲线为依据，与静力推覆分析方法得到的能力曲线进行比较，可以判断推覆分析结果的合理性。由于地震记录不同，不同的 IDA 能力曲线之间会有较大的差异，但根据多条地震记录得到多条 IDA 能力曲线，就可以在统计意义上评价静力推覆分析结果的可靠性。

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2 钢筋混凝土结构材料的本构关系

在研究材料的力学性能时，从由试验和经验中观察到的特征出发，在某些理论的假设下，找出描述材料力学性质的数学表达式，它们被称为材料的本构方程或本构关系。由于得出材料本构关系的过程中带有经验性和某些假定，因此，对于相同的材料，特别是混凝土材料，不同的研究人员可能会得到不同的本构关系。由于材料的本构关系仅是强调了材料在某些方面的性质，因此，对于像混凝土这样的各向异性材料，受力性质不同，得到的本构关系不同，例如受压和受拉时的本构关系不同。

本构关系所基于的理论模型主要有：弹性理论、非线性弹性理论、弹塑性理论、粘弹性理、黏塑性理论、断裂力学理论、损伤力学理论、内时理论等。

2.1 钢筋混凝土材料的理论模型

线弹性本构关系

2.1.1

在加载或卸载中，应力应变呈线性关系（以E为斜率的直线），如图2.1（a），其表达式为：

E （2.1）

应力应变之间呈线性比例关系，对于一维问题，其比例系数即为弹性模量E，它是常数。对于二维、三维问题，联系应力和应变之间关系的则是弹性矩阵。

图2.1 线弹性和非线性弹性关系

2.1.2 非线性弹性关系

由于混凝土材料在加载过程中应变增加明显地快于应力的增加，为描述这种非线性关系，工程上常采用非线性弹性模型，如图2.1（b）所示，其特点是应力应变不成正比，但仍

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有一一对应关系，卸载时延加载路径返回，没有残余变形，用公式表示则为：

E （2.2） dEdEtd式中，弹性模量Et是应力水平（或应变大小）的函数。

2.1.3 弹塑性关系

在变形体材料加载后卸载时产生不可恢复的变形成为塑性变形，基于这一现象，建立了塑性理论。图2.2（a）为典型的钢筋单向拉伸试验的应力应变曲线包括线弹性阶段（OA端），流动阶段（AB）和硬化阶段（BC）。常用的弹塑性简化模型为：

图2.2 弹塑性关系

（1）理想弹塑性模型（图2.2（b））； （2）线性强化弹塑性模型（图2.2（b））； （3）刚塑性模型（图2.2（d））。

（4）强化模型。在应力改变符号并产生反应的屈服时，根据其屈服极限变化的不同，此时常采用两种简化模型：

A.等向强化模型。即拉伸和压缩时的强化屈服极限是相等的，其屈服极限值取决于历史上达到的绝对值最高应力它与总的变形塑性总和有关，如图2.3中的BOB曲线。

图2.3 弹塑性强化模型

B.随动强化模型。该模型认为弹性的范围不变，如图2.3中的卸载并反向加载的应力应

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变曲线之原点从O移到O。如图2.3中的BOB曲线。

对比金属实验的数据，实际上的屈服极限值介于上述两种假设之间，因而有的学者又提出了混合强化模型，如图2.3中的BC曲线。

弹塑性体的重要特点是，材料进入塑性状态的条件不仅与材料的物理力学性质有关，而且与加载历史及其应力水平有关，可以很好地描述结构在各种复杂加载过程中的应力应变状态。因而得到广泛的应用。

2.1.4 粘弹性和粘塑性的流变模型

钢筋混凝土结构在外荷载作用下，其应变不仅与应力状态和加载历史、路径有关，而且还与时间有关。按照弹性力学和塑性力学观点，结构的内力和变形均在加载的瞬时发生，不再随着时间变化。但混凝土材料的徐变和预应力构件中钢筋应力损失等现象，说明需要考虑应力应变关系与时间的联系。引用流变学的观点能较为合理地解释上述现象。

粘弹性与粘塑性理论采用了三种基本的、具有理想力学特征的力学元件：理想弹性元件、理想塑性元件和粘性元件。

2.1.5 断裂力学理论

断裂力学的应用需要满足下述条件，而且该结构会发生低应力脆断：（1）研究的结构应是含有裂缝的缺陷体；（2）结构中有拉（剪、扭）应力的作用；（3）材料本身的微观结构对脆断敏感。钢筋混凝土结构能满足以上的条件。

在一般应力场中，按裂缝位置与应力方向之间的关系，裂缝扩展可分为：扩张型、剪切型和扭转型。对于张开型裂缝而言，裂缝尖端的应力场就决定于强度因子KI，当KI达到临界值KIC时，裂缝就扩展，KI是通过结构分析求出的。在线弹性断裂力学中，可以用有限元计算裂缝尖端的应力强度因子KI。KIC为断裂韧性，仅仅取决于材料性能，表征材料对裂缝扩展的抗力，是从断裂力学引出的衡量材料韧性的指标。

2.1.6 损伤力学

混凝土的应力应变曲线由上升段和下降应变软化段组成。特别是下降段，它具有裂缝逐渐扩展；卸载时弹性弱化等特点。以上所述的非线性弹性、弹塑性等模式很难描述这一特征。损伤力学则既可考虑混凝土材料在未受力时的初始裂缝的存在，也可反映在受力过程中由于

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损伤累积而产生的裂缝扩展，从而导致的应变软化。

损伤力学和断裂力学一样，承认一般工程材料内部存在微观缺陷这一事实。但与断裂力学不同，它引进了一个损伤变量作为表征材料内部缺陷的物理量。所谓损伤是指材料内结合部分发生不可恢复的减少。

2.2 钢筋的本构关系

单向加载下，钢筋的应力-应变关系

2.2.1

软钢的应力-应变曲线可以分为三个怪阶段：弹性段、屈服平台和强化段。

如图2.4所示的弹塑性强化模型，弹性段是以E为斜率的直线，屈服平台是斜率为零的水平线（也可以把屈服平台一段改成平坦的倾斜线），强化段可用曲线或直线表示。实际上钢筋混凝土构件形成塑性铰以后，由于塑性区段混凝土的极限变形很少超过0.006.，所以钢筋受拉之后的而变形即使超过屈服平台进入强化段，也达不到很大的范围，从而强化段可以简化为直线。软钢的应力-应变也可以分为三段：弹性段、软化段和后续段。没有明显的屈服平台（如图2.5）。

图2.4 钢筋的本构模型

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图2.5 硬钢的应力-应变曲线

2.2.2 反复加载下，钢筋的应力-应变关系

在反复荷载作用下，软钢的卸载段往往采用以E为斜率的直线，如图2.5。如果钢筋在进入屈服平台后，卸载又反向加载，将会出现Baushinger效应，即反向再加载时不再出现屈服平台而成为曲线的应力-应变关系，如图2.6。

图2.6 反复加载下钢筋的应力-应变关系

图2.7 卸载后又反向再加载的应力应变关系－Baushinger效应

图2.8是钢筋反复加载的应力-应变滞回环。其中左图是大体对称的，右图是偏向对称轴一边的。其中在左图，实线为骨架曲线和卸载段，曲线为软化段（Baushinger效应）。将图2.8左图中的骨架曲线首尾相连，可以得到图2.9所示的骨架曲线。它和单向加载的应力-21

应变曲线想接近。

图2.8 周期荷载下软钢的Baushinger效应

图2.10为硬钢预应力钢筋在重复荷载作用下的应力-应变曲线，把所有的卸载点连接起来就是骨架曲线，它和单调加载的应力-应变曲线相一致。

图2.9 软钢的骨架曲线 图2.10 预应力钢筋在重复加载的钢筋应力-应变曲线

总之，不论软钢或硬、不论重复荷载或反复荷载，只要加载过程中不产生时效，它们的骨架曲线在计算中可以认为和单调的应力-应变曲线相一致。

2.3 混凝土本构关系

单调加载应力-应变关系

2.3.1

（1）单向受压

混凝土在轴向受压下一般的应力-应变关系曲线如图2.11所示。

Saenz建议了一般性的公式：

22

EABCD00023 （2.3）

式中，E为弹性模量；A、B、C和D为常数，可由图中给出的条件确定，并做简化，得到下式：

E0E102E002 （2.4）

该式只适用于应力-应变曲线的上升段，在有限元计算中，常采用此式。

图2.11 混凝土在轴向受压下一般的应力-应变曲线

（2）单向受拉

混凝土轴向受拉应力-应变的试验研究较少，部分实验结果见图2.12。

图2.12 混凝土单向受拉时的应力-应变曲线

混凝土单向受拉的应力-应变关系式可采用可采用两折线、三段斜直线和曲线型等。在有限元分析中，混凝土单向受压下的应力-应变关系一般简化为线性关系。

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2.3.2 重复加载应力-应变关系

混凝土重复记载应力-应变的关系式包括骨架曲线、卸载及再加载曲线。这里主要讨论了卸载及再加载的关系式。卸载及再加载方程可分为直线和曲线两类。

1. 直线方程

直线方程比较简单，见Blakeley的模型。在应用中，必须有这些线段的方程式和加、下载的变化规律。

在Blakeley模型中，虽考虑了卸载至混凝土受压，但由于未超过抗拉强度，所以仍属重复加载。在该模型中，当应变小于0时，卸载和再加载曲线都是以初始弹性模量E斜率的直线；当应变大于0时，以卸载点垂直向下卸到一半，然后考虑刚度退化系数KC进行卸载和再加载。KC与卸载坐标有关，其计算式为：

kc0.8m00.70.1200 （2.5）

式中，20为相应于最大应力只剩20%时的应变，m和0见图2.13。

图2.13 Blakeley混凝土的应力-应变模型

2. 曲线方程

Takiguchi及Tanigawa都是以Umemura的e函数曲线为骨架曲线，卸载和再加载也是用曲线方程，如图所示2.14。

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图2.14 混凝土应力-应变模型

2.3.3 反复加载应力-应变关系

在承受反复荷载的钢筋混凝土结构中，对于重新受压的已开裂截面和新受压的未裂截面，有不同的而受力特征。裂面重新受压时，在裂缝闭合的过程中，由于骨料的咬合作用而传递压力，所以在周期性反复荷载下，应力-应变曲线方程要考虑裂面效应。 考虑了裂面效应的等效应力-应变模型见图，该模型的骨架曲线相同于图2.15。

图2.15 混凝土考虑裂面效应的等效应力-应变模型

2.3.4 混凝土双向受力下应力-应变关系

混凝土在双向受压下的实验数据比较多，实验结果表明，混凝土的应变大小与应力状态的性质（受压或受拉）等有关。为了既方便又能较好地反映混凝土在双向受压下的应力-应变关系，可采用非线性弹性模式。该模式属于经验型，计算简单，适用于单调加载和混凝土受压区非线性变形阶段，在钢筋混凝土结构有限元分析中应用较多。此外，也可采用弹塑性模式和断裂力学模式等。

1. 非线性弹性本构关系

非线性弹性本构关系有两种基本形式：全量式应力应变形式和增量式应力应变形式。 全量式应力应变形式仅仅使用按比例一次加载的情况。在钢筋混凝土有限元分析中，非线性

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弹性本构关系——增量式的模式应用较多，这里介绍其中一种模式：Darwin和Pecknold模式。

Darwin和Pecknold模式的基本假定：混凝土为正交各向异性材料，并且在各级荷载增量内应力-应变成线弹性关系，其应力增量和应变增量关系式为：

d11d2d11212E12E1EE21200d1d2 （2.6） 112Gd1200式中，E1和E2为施加一级荷载后在主应力方向的等效切线模量；

d1，d2，d12为由荷载增量引起的应力增量； d1，d2，d12为由荷载增量引起的应变增量；

1，2为由于在方向1,2受力而对方向2,1所产生影响的泊松比值。

各向异性体弹性力学的基本关系式为

1E22E1 （2.7）

并近似取 212 （2.8） 这样，式就成为

d11d22d112E1E1E2E2E1E200d10d2 （2.9） 12Gd120公式，E1,E2,G,的取值方法如喜爱所述。 （a）剪切模量G的取值

由于缺少有关的试验资料，做出了一些假定后，G与E1,E2的关系式可取为

EE1G142122E1E2 （2.10）

则式子变成

d11d22d112E1EE120E1E2E20d1d （2.11） 02d112E1E22E1E240（b）泊松比的取值

的取值可有试验得出，在0.15-0.20之间，值的大小对于计算结果影响相对较小。

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Darwin和Pecknold建议，双向受拉时，0.2

一向受拉、一向受拉时，0.20.620.41 （2.12）

ffcc44（c）E1,E2的取值

E1,E2可由试验得出，但E1,E2究竟是取单向加载的试验结果还是取双向受荷下的试验结果，

两种不同的取法，均存在一些问题。

试验研究表明，双向受压时，微裂缝受约束，其刚度增长远比泊松比单独影响引起的增长打得多。如果取用正交方向单向加载试验得出的切线模量，公式就意味着任意方向有效刚度由于另一方向压应力作用而产生的增长，仅与泊松比有关，没有考虑微裂缝受约束的影响。若取用双向受荷下得出的切线模量值，将该值代入应力增量与应变增量式中计算，这样，泊松比就会再一次得到重复考虑，其原因是双向受荷下的应力-应变关系式已考虑到泊松比和微裂缝受约束的影响。这在理论上是不正确的。

鉴于上述原因，如果取用双向受荷下得出的切线模量值，就必须在双向受荷试验得出的应力-应变关系式中消除泊松比的影响因素，为此，Darwin和Pecknold提出了等效单向受力应变-应力关系式，用以代表消除了泊松比影响之后（没有消除微裂缝影响）的应力-应变关系。这些应力-应变曲线随1比值的变化而异。 2混凝土在双向受压应力状态下，主应力各为1,2，假定在每级荷载增量内应力-应变变成弹性关系，于是可得出下式：

d1d1d2E1E2d2d1d2E2E1 （2.13）

对式中第二式稍加整理后可得：

d2E2d2E2d2u （2.14） 1n式中，1Ed2;n1;d2u为方向2的等效单向受力应变。 2E21n于是，式中的E2由于等效单向受力应变d2u的引入而消除了泊松比的影响，d2方向的应力可由等效单向受力应变d2u及响应的弹性模量E2求得。

图2.16表示了这样一条曲线，从这条曲线中取得切线模量，再加上考虑泊松比影响，就可以得到双向受力下真实的应力增量与应变增量的关系式。

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图2.16 等效单向受力应力-应变曲线

根据Darwin和Pecknold所做的分析，从双向受力应力-应变曲线中消除泊松比影响后得到的等效单向应力-应变关系式仍可用Saenz公式。其形式表示为：

iEiuEiuiu102Esicic3 （2.15）

式中，i为主应力方向；iu为等下单向受力应变，即iui；ic为相应于最大压Ei应力ic的等下单向受力应变；Es为相应于最大压应力ic的割线模量Es切线模量。

2. 弹塑性本构模型

ic；E0为原点ic经典的塑性理论主要有两种，一种是形变理论，二是增量理论。形变理论是弹塑性小变形理论的建成，该理论试图直接建立全量式应力-应变关系，形变理论的数学处理比较简单，但理论上并非最好，而且仅适用于简单加载情况（在按比例加载的情况下可以得到较理想的结果）。在电子计算机得到广泛应用的情况喜爱，形变理论已较少采用。

增量理论又称为流动理论，是描述材料在塑性状态时应力与应变速度或应变增量之间关系的理论，这一理论实际应用中需要按加载过程积分，计算比较复杂，但随着电子计算机的额发展和计算方法的改进，增量理论已得到广泛的应用。

弹塑性增量理论要对三个方面做出基本假设：

（1）屈服准则，即应力状态满足什么条件时进入屈服状态； （2）流动法则，它确定了材料处于屈服状态时塑性变形增量的方向；

（3）硬化法则，关于材料达到初始屈服面以后，屈服条件变化的法则，相当于一维应力状态下，材料到达初始屈服条件后，其屈服极限是不变的（理想弹塑性）、还是提高（硬化弹塑性）或是降低（软化）的法则。

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3 钢筋混凝土有限元模型

美国学着Clough于20世纪50年代提出有限元方法时，是基于结构力学中的矩阵位移法，随后被证明在数学上是分片插值的一种逼近法，并可证明当结构单元划得充分小时，可以逼近精确解，在一般情况下，可以得到满意的解答。 使用有限元法分析问题一般包括如下几个步骤。

（1）将结构离散化。所谓离散化，是将所分析的结构分割成有限元单元体，使相邻单元仅在节点处相连接，分析对象由这个单元结合体代替原有结构。如果分析对象是桁架、刚架等杆件结构，一般可取一个杆件作为一个单元，而这类结构的联节点即为节点，如果分析的是二维、三维连续体，那么可根据实际结构的形状、材料组成和计算精度的要求去剖分单元，单元可以是三角形、四边形或四面体、六面体。

（2）单元分析，求得单元节点位移与节点力的关系，计算单元刚度矩阵。在杆件结构中，杆件的节点力与节点位移之间的关系可用结构力学的方法，通过平衡（应力与外力）、协调（位移与变形）和物理（应力与应变）关系求得。例如梁的转角位移方程。将单元节点力与节点位移用矩阵形式表达，即可得到单元刚度矩阵。在连续体（非杆件）结构中，单元节点力与结构位移之间的关系式（单元刚度矩阵）一般很难用结构力学的方法推导出来，而是假设位移插值函数，再用虚功原理来推导。

（3）以节点为隔离体，建立平衡方程。在有限元计算中不必逐个节点建立平衡方程，而是通过集合单元刚度矩阵为整体刚度矩阵来完成。

（4）施加荷载（如是非节点荷载可由静力平衡条件转化为节点荷载）。

（5）引入边界条件。为经引入边界条件时，刚度矩阵式奇异的。从力学角度来看，这是由于没有边界约束的结构可以产生刚体位移，因而在一定的荷载作用下无法确定其位移的大小。

（6）求解方程，求得节点位移。

（7）对每一单元循环，由单元节点位移通过单元刚度矩阵求得单元应力或杆件内力。

3.1.1 分离式模型

分离式模型把混凝土和钢筋作为不同的单元来处理，即混凝土和钢筋各自被划分为足够

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小的单元。在平面问题中，混凝土可划分为三角形或四边形单元，钢筋也可分为三角形或四边形单元。但考虑到钢筋是一种细长材料，通常可忽略其横向抗剪强度。这样，可以将钢筋作为线形单元来处理。这样处理，单元数目可以大大减少，并且可以避免因钢筋单元划分太细而在钢筋和混凝土的交界处应用很多过渡单元、

在分离式模型中，钢筋和混凝土之间之间可以插入联结单元来模拟钢筋和混凝土之间的粘结和滑移，如图3.1所示。这一点是组合式或整体式有限元模型做不到的。但若钢筋和混凝土之间的粘结很好，不会有相对滑移，可视为刚性联结，这时也可以不用联结单元。

图3.1 联结单元

对混凝土有限元分析中常用单元有杆件线形单元（平面单元）、平面三角形单元、平面问题矩形单元和平面四节点等参单元；在钢筋混凝土有限元分析中，有一种特殊单元，即能描述钢筋与混凝土之间粘结作用的单元。一般有常用的两种单元，即双弹簧连接单元与四边形滑移单元，

分离式有限元模型的特点是混凝土单元刚度矩阵Kc、钢筋单元刚度矩阵Ks是分别计算的，然后统一集成到整体刚度矩阵K中去。其优点是可按实际配筋划分单元，必要时可在钢筋与混凝土之间嵌入粘结单元。该单元的缺点是，当配筋量大且不规则时，划分单元数量最大。

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3.1.2 组合式模型

当钢筋和混凝土之间的粘结较好，可以认为两者之间无滑移时，可采用组合式或整体式模型，参考书目中主要介绍组合式模型。

1. 分层组合式

在组合式模型中，最常见的有两种方式，第一种为分层组合式，即在横截面上分成许多混凝土层和若干钢筋层，并对截面的应变做出某些假设（如应变沿截面高度为直线分布是应用最广泛的一种假设）。根据材料的实际应力应变关系和平衡条件可以导出单元的刚度表达式（包括轴向刚度和弯曲刚度）。这种组合方式在杆件系统，尤其在钢筋混凝土板和壳结构中应用最广。

这一方法将混凝土分为许多条带，对钢筋则同一层钢筋分为同一钢筋条带。对一般受弯构件，将混凝土分为7-10层计算弯矩和曲率的关系即能满足工程要求。计算中，假定每一条带上的应力是均匀分布的。

图3.2 分层组合式

2. 带钢筋的四边形单元和带钢筋膜的8节点六面体单元

另外一种组合方法是采用等参数单元。若假定钢筋与混凝土之间无相对滑移，则两者处于同一为一场中，各点的位移均可由节点的位移来确定。与一般均匀连续体不同指出在于，这种组合单元包括了钢筋对刚度单元的贡献。

该方法通过计算钢筋单元的矩阵，联系钢筋的节点力和节点位移，将钢筋的单元矩阵贡献到整个单元中去。

组合式模型中已经包含了钢筋和混凝土两种材料，在推导单元刚度矩阵时，采用了统一的位移函数，但考虑了不同的材料特征，同时计算单元刚度矩阵KeKceKse，单元刚度矩阵中已包括了混凝土和钢筋两种材料对单元刚度矩阵贡献。这种矩阵的特点是单元数量减少，但计算精度可提高。但对每一个单元刚度的计算比较麻烦，当单元中钢筋布置不规则时，

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没有通用公式可用，要自己推导，遇到配筋类别很多时，单元刚度的计算很麻烦。所以，这种单元是三种模式中应用较少的一种。

3.1.3 整体式模型

在整体式有限元模型中，将钢筋分布于整个单元中，并把单元视为均匀材料，这样求得单元刚度矩阵。与分离式不同，它求出的是综合了混凝土与钢筋单元的刚度矩阵。这一点与组合式相同。但与组合式不同的在于它不是先分别求出混凝土与钢筋对单元刚度的贡献，然后组合，而是一次求得综合的单元刚度矩阵。

这一模型的单元也包括了两种材料对单元刚度矩阵的贡献，但它不再分别极端Kc和

Ks，而是将钢筋转化为等效的混凝土，然后按一种材料计算单元刚度矩阵，即

KceBDDBdV （3.1）

csT然后将Ke集成为总体刚度矩阵。这一模型的优点是单元划分少，计算量小，可适应复杂配筋的情况。故目前在一般实际工程结构计算中均采用这模型。这一模型的缺点是只能求得钢筋在所得单元中的平均应力，且不能极端钢筋与混凝土之间的粘结应力。

4 非线性方程组的解法

4.1

结构分析的非线性问题

非线性问题可以分为三类：几何非线性、材料非线性及边界条件非线性。

4.1.1 几何非线性问题

几何非线性问题是由于结构的位移或应变相当大，以至于必须按照变形后的几何位置来建立平衡方程。在线性问题中，物体的变形时由位移的一阶微分求得的，当变形很大而不能忽略高阶微分量时，必须考虑几何非线性问题。

4.1.2 材料非线性问题

材料非线性问题是由材料本身的非线性应力应变关系引起的，例如钢筋混凝土结构中混凝土弹塑性变形，受拉区混凝土的开裂，钢筋屈服和硬化，钢筋与混凝土的滑移，混凝土的收缩、徐变等性质，这些都是材料的非线性问题

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4.1.3 边界非线性

若材料是弹性的，变形又是小变形，但由于边界条件的变化也会产生非线性问题。边界非线性问题最多的是接触问题。在受理过程中接触面出了几何形态发生变化以外，接触面的本构关系也还有非线性关系。

4.2 求解非线性方程组的逐步增量法

用位移有限元法分析结构时，最后可得到一组总体平衡方程组：

K P （4.1）

为节点位移矩阵，P为节点荷载矩阵。K式中K为总刚度矩阵，在线弹性结构中，

是常量。在非线性问题中，K是变量，岁结构的内力（应力）或位移的变化而变化。但无论如何，总体刚度矩阵可由单元刚度矩阵按标准方法集合而成：

KKeBTDe B dV （4.2）

nn其中，Ke为单元刚度矩阵；表示将单元刚度矩阵集合为总刚度矩阵；B为集合

n矩阵，通过它建立节点位移与单元应变之间的关系：

B  （4.3）

式4.3中Dc为材料本构矩阵，即：

De  （4.4）

在线弹性材料中，Dc是常量，通常称为弹性矩阵。在材料的非线性问题中，Dc是应力状态的函数，即：

Dcf （4.5）

归纳以上几个方程，式4.1表示平衡条件；式4.3表示几何关系；式7.4，式7.5表示材料的本构关系。解非线性问题也要满足这三大关系。

为了研究非线性问题的解法，很多数学、力学工作者做出了大量工作。其中比较常用的有增量法和迭代法。增量法实际上是微分方程求解过程中常用的方法。将4.1写成增量形式，则为：

K ddP （4.6）

增量法是将荷载划分为许多增量，每次施加一个荷载增量，计算结构的位移和其他反应时，认为结构是线性的，即结构的刚度矩阵是常数。在不同的荷载增量中，刚度矩阵是不

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同的，它与结构的变形有关。所以增量法实质上是用分段线性的折线去代替非线性的曲线。或者说，用分段的线性解去逼近非线性解。

4.3 求解非线性方程组的迭代法

4.3.1 割线刚度迭代法

如图4.1所示，在某级荷载P作用下，用初始刚度矩阵K0，求得位移的第一次近似值：

[1][K0]1[P] （4.7）

然后利用[1]求得单元的应变，进而求得应力，根据应力，根据应力状态确定即时的本构矩阵，根据这一本构矩阵可求得信的割线刚度矩阵[K1]，根据刚度矩阵[K1]可求得位移的第二次近似值：

[2][K1]1[P] （4.8）

重复上述步骤，每次可由下列公式求得进一步的近似值：

[K1][KK]1[P] （4.9）

直到[K1]与[K]充分接近为止。

图4.1 割线刚度迭代法 图4.2 切线刚度迭代法

4.3.2 切线刚度迭代法

又称牛顿切线迭代法，迭代过程如图3.2所示。首先取初始刚度矩阵K0，求得位移的第一次近似值：

[1][K0]1[P] （4.10）

由初始位移可以求得单元应变，进而取得单元应力。由单元应力可求得相应的节点荷载[P1]。第二步，用相应于[1]的即时切线模量[K1]，在荷载[P1][P][P1]作用下求得位移增量[2]，即：

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[2][K1]1[P1] （4.11）

从而求得位移的第二次近似值为：

[2][1][2] （4.12）

重复以上步骤，即：

[PK][P][PK][K1][KK]1[PK] （4.13） [K1][K][K1]直到[K1]与[K]充分接近，或者[PK]足够小为止。

4.3.3 等刚度迭代法

以上两种是变刚度迭代法，其缺点是每一步计算都要重新计算刚度矩阵和建立新的方程组，不经济。等刚度迭代法在迭代过程中采用不变的刚度。具体步骤如下：

①用初始刚度K0，求出位移的第一次近似值：

[1][K0]1[P] （4.14）

②按[1]求出单元应变[1]，由单元应变求得单元应力[1][D0][1]由应力可以求得相当的节点力为：

[P1][B][]dV （4.15）

这样[P1]与原加载的差为[P1][P][P1]。

③将[P1]再加于结构，仍用初始刚度K0求得附加位移：

T[2][K1]1[P1] （4.16）

从而求得第二次位移的近似值：

[2][1][2] （4.17）

④重复以上步骤，直到[K1]与[K]充分接近，或者[PK]足够小为止。

在实际应用中，有时兼用变刚度迭代法和等刚度迭代法，即在收敛速度很慢时变化一次刚度，然后保持此刚度进行迭代。这样可以在变化刚度次数不多的情况下得到较快的收敛速度。

为了求得加载全过程的位移曲线和应力变化等信息，必须将荷载分成许多级，逐级加上，这就要用增量法。而对每一级荷载增量，又要运用迭代法才能求得更精确的结果。所以在实际计算中增量法和迭代法结合在一起的。

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4.4 收敛标准

收敛准则主要有力、位移、弯矩和转角的收敛。在实际应用中，常用的两种量是：不平衡节点力；位移增量。对于一个结构，无论是节点力或节点位移都有很多量，组成一个向量，其“大小”如何衡量？因此引入向量的范数。若[V]表示一向量，则此向量的范数用V来表示。

常用向量的范数有三个，现说明如下。设有一列向量[V][V1,V2,V3,,Vn]T，则该向量的三个范数为：

（1）各元素绝对值之和：V（2）各元素绝对值之和：V（3）各元素绝对值之和：V这三个范数可记为VP1Vi (Vi2)1/2

i1nni1n2maxVi

(P1,2,)。

有了向量的范数，则无论是节点向量还是节点位移向量，其“大小”均可按其范数的大小来判断。所谓足够小或充分小就是指其范数已小于预先指定的一个小数。

若取不平衡节点力为衡量收敛标准，则满足下列条件时就认为收敛。

PresP （4.18）

其中Pres为残余节点力向量的范数；P为施加荷载（以化为节点荷载）向量的范数；

为预先指定的一个小数，称为收敛允许值。

若取节点位移增量为判断收敛的标准，则下列条件满足时即认为收敛。K其中

K

K为在某级荷载作用下经K次迭代后的总节点位移向量的范数；K为在同

级荷载作用下，第K次迭代时附加位移增量向量的范数，即KKK1。

一般用力的控制加载时，可以使用残余力的2-范数控制收敛；而位移控制加载时，最好用位移的范数控制收敛。收敛精度默认为 0.1%，但一般可放宽至 5%，以提高收敛速度。使用力收敛是绝对的，而位移收敛并不一定代表你的计算真的收敛，但很多情况下使用位移更容易得到想要的结果。

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5 常用有限元程序中的混凝土模型

在常用的商业有限元程序中，ABAQUS、ANSYS都加入了混凝土本构模型，以及相应的前后处理功能。一般来说，各个有限元程序都有链杆或梁单元，可以通过这些单元与混凝土单元组合，建立分离钢筋模型。此外，在这些程序中，有的还专门设计看了钢筋模型，可以建立组合式或者整体式钢筋。

5.1 ANSYS

ANSYS提供了混凝土弹塑性断裂模型和整体式钢筋模型。

5.1.1 混凝土模型

为了解混凝土结构的详细受力机理和破坏过程，往往需要利用三维实体单元进行非线性有限元分析。而混凝土本身同时具有开裂、压碎、塑性等诸多复杂力学行为，在三维条件下这些力学行为更加难以确定，给实际应用带来了较大的困难。为了便于使用者应用，ANSYS软件提供了专门用于钢筋混凝土结构分析的八节点六面体单元SOLID65，可以在一定程度上反映混凝土的压溃和开裂。该单元中加入了混凝土的三轴本构关系以及破坏准则，同时包含了由弥散钢筋单元组成的整体式钢筋模型。

图5.1 SOLID65单元几何形状示意图

SOLID65单元输入信息包括：

（1）实常数real constants；在实常数中给定SOLID 65单元在三维空间各个方向的钢筋材料编号，位置，角度和配筋率。对于墙、板等钢筋分布比较密集而又均匀的构件形式，一般使用这种整体式钢筋混凝土模型。

（2）材料模型Material Model；在这里设定混凝土和钢筋材料的弹性模量，泊松比，密度等参数。

（3）数据表 Data Table；在这里给定钢筋和混凝土的本构关系；对于钢筋材料，一般需要给定一个应力-应变关系的Data Table，譬如双折线等强硬化或随动硬化模型等。而对于混凝土模型，则需要两个Data Table。一个是本构关系的Data Table，比如使用Multilinear

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kinematic hardening plasticity模型或者Drucker-Prager plasticity 模型等，用来定义混凝土的应力应变关系。另一个则是SOLID 65特有的Concrete element data，用于定义混凝土的强度准则，譬如单向和多向拉压强度等。

SOLID65单元的基本属性：

（1）SOLID65单元的破坏面：为改进的William Warnke五参数破坏曲面，需要以下几个参数加以定义：单轴受拉强度，单轴受压强度，双向受压强度，以及在某一围压下的单向受压强度和双向受压强度。

（2）SOLID65的本构关系：SOLID65可以使用弹性或弹塑性本构关系来描述其受拉的应力应变关系，其中主要使用Mises屈服准则和Drucher prager屈服准则。在ANSYS中，塑性流动均为关联流动，使用Mises准则时，可以选择等强硬化或随动强化模型，而使用Drucher prager屈服准则时，则只能使用理想弹塑性模型。因此，SOLID65单元在本构模型的选择上是比较有限的，对于高威压的混凝土是不适用的。

（3）压碎与开裂行为：在SOLID65中，当应力组合达到破坏面时，则单元进入压碎或开裂状态。如果单元进入压碎状态，则单元刚度为0，且应力完全释放。这时往往会带来计算的不收敛，需要注意。

5.1.2 钢筋模型

SOLID65中提供了整体式钢筋模型，用户可以通过定义各个方向的配筋率来模拟钢筋混凝土。在未指定局部坐标系的情况下，ANSYS默认SOLID65的单元坐标和整体坐标轴平行。

5.1.3 前后处理

ANSYS的钢筋和混凝土定义均可以通过GUI界面实线。另外，ANSYS可以通过GUI显示钢筋布置。后处理中，ANSYS出了可以显示开裂应变外，还可以显示裂缝一级压碎破坏。

5.1.4 二次开发

ANSYS提供了UPF以供用户自定义材料。

5.2 ABAQUS

ABAQUS中提供了混凝土弹塑性断裂和混凝土损伤模型以及钢筋单元。

5.2.1 混凝土模型

ABQUS主要提供了两种混凝土模型，即弹塑性断裂模型和弹塑性断裂-损伤模型，另外，

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在ABAQUS/Explicit模块中，还提供了一种弹性断裂模型，也可以用于模拟混凝土的断裂破坏。

（1）弹塑性模型

ABAQUS提供的第一种混凝凝土模型，即弹塑性断裂模型（在ABAQUS自带的文献中成为Smeared Crack Model），是一种用弹塑性模型描述混凝土受压，用固定弥散裂缝模型模拟混凝土受拉的本构模型。在ABAQUS的用户手册中指出，由于该模型的受压弹塑性模型相对比较简单，因此比较适合于非线性主要由受拉开裂引起的低围压混凝土构件。对于高静水压情况，则ABAQUS推荐使用帽盖模型。

（2）损伤模型

在新版本的ABAQUS中还提供了一个弹塑性断裂和损伤的混凝土模型。其主要改进有：

A. 将损伤指标引入混凝土模型，对混凝土的弹性刚度矩阵加以折减，以模拟混凝土的卸载刚度随损伤增加而降低的特点；

B. 将非关联硬化引入混凝土弹塑性本构模型中，以期更好的模拟混凝土受压弹塑性行为；

C. 可以人为控制裂缝闭合前后的行为，更好模拟反复荷载下混凝土的反应。

Abaqus中采用混凝土损伤本构时，需要采用相关的数据，分别为：混凝土受拉时真实应力-塑性应变关系，受拉时的损伤系数-塑性应变关系；混凝土受压时的真实应力-塑性应变关系，受压时的损伤系数-塑性应变关系。按以下步骤进行求解：

（1）规范给的曲线为名义应力-名义应变曲线，首先将其变成真实应力-真实应变曲线。

图5.2 试验或规范给定的名义应力-名义应变曲线

nomll0l1（5.1） l0l0

ln(1nom)有材料体积不变得：

（5.2）

l0A0lAAA039

l0（5.3） l

真实应力：

FFllnom()nom(1nom)AA0l0l0（5.4）

（2）由真实的应力-应变曲线得到真实的应力-塑性应变曲线。

图5.3 总体应变分解为弹性和塑性应变分量

plteltE

（5.5）

其中：t为总体应变；el为弹性应变；pl为塑性应变；为真实应力；E为初始弹性模量。

（3）求解损伤系数与塑性应变。求解损伤系数的方法很多，常用的方法： A. 能量原理

图5.4 Najar线性化损伤模型

混凝土损伤本构模型的损伤变量定义为：

D1W （5.6） W01其中：W0E02；Wdfd。

2B. 规范提供的方法

新版《混凝土结构设计规范》GB50010-2010 附录C提供了求解D的方式。 C. ABAQUS Users’ Conference 提供的方法：

dc1cEc1cpl(1/bc1)cEc1 （5.7）

其中：bc = 0.7

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dt1tEc1tpl(1/bt1)tEc1 （5.8）

其中：bc = 0.1

1d(1scdt)(1stdc) （5.9）

5.2.2 钢筋模型

ABAQUS可以添加单独的钢筋单元，也可以在单元属性中附加钢筋属性以定义组合模型的钢筋，还可以通过Embed方法将链杆单元或者膜单元嵌入混凝土单元中，ABAQUS可以自动耦合自由度。ABAQUS钢筋的一般定义方法为：定义钢筋的斜面积，间距，方向，钢筋所对应的单元边界编号以及在该边上的相对位置，如图所示。

5.2.3 前后处理

在ABAQUS中，混凝土材料参数和组合式钢筋的输入已经集成在GUI图形界面中，在后处理中可以绘制混凝土的额开裂应变（目前只针对弹塑性断裂-损伤模型）。

5.2.4 二次开发

ABAQUS中提供的UMAT用户自定义子程序可以由用户由FORTRAN语言自己定义混凝土的本构关系。

参考文献

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