【例1】在一次测验中的解答的填空题如下：
⑴当m取1时，一次函数y＝(m-2)x＋3，y随x的增大而增大；
⑵等腰梯形ABCD，上底AD＝2，下底BE＝8，∠B＝60°，则腰长AB＝6； ⑶菱形的边长为6cm，一组相邻角的比为1∶2，则菱形的两条对角线的长分别为6cm和6 cm；
⑷如果一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形是五边 形。
你认为正确的填空个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F。 ⑴求证：四边形CDOF是矩形；
⑵当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由。
【例3】如图，点A，B，C在一次函数y＝-2x＋m的图象上，它们的横坐标依次为-1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是( )
A．1 B．3 C．3(m－1) D．
（ ）
【例4】如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是_______。
【例5】如图，在平面直角坐标系中，点A(12，0)，K(4，0)过点A的直线y＝kx－4交y轴于点N。过K点且垂直于x轴的直线与过A点的直线y＝2x＋b交于点M。
⑴试判断△AMN的形状，并说明理由；
⑵将AN所在的直线l向上平移。平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E。当直线l平移时(包括l与直线AN重合)，在直线MK上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【例6】韬哥未讲
【例7】如图1，在直角坐标系中放入一个边长AB长为6，BC长为10的矩形纸片ABCD，B点与坐标原点O重合。将纸片沿着折痕AE翻折后，点D恰好落在x轴上，记为F。
⑴求折痕AE所在直线与x轴交点的坐标； ⑵求过D，F的直线解析式；
⑶将矩形ABCD水平向右移动m个单位，则点B坐标为(m，0)，其中m＞0。如图2所示，连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值。
答案解析 【例1】
（1）当m=1，一次函数y=-x+3是减函数，y随x的增大而减小； 故本项错误；
（2）如图，作AE⊥BC，DF⊥BC， ∴在等腰梯形ABCD中，BE=FC=3， 又∵∠B=60°， ∴AB=2BE=6； 故本项正确；
（3）如图，由题意可得，
在菱形ABCD中，∠BAD=60°，∠ABC=120°， ∴∠ABO=60°，∠BAO=30°， ∴OB=AB=3cm，OA=3 cm， ∴BD=6cm，AC=6 cm； 故本项正确；
（4）由（n-2）×180°+180°=360°×3， 解得，n=7； 故本项错误． 故选B． 【例2】
（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知）， ∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF， ∵∠AOC+∠BOC=180°， ∴2∠COD+2∠COF=180°， ∴∠COD+∠COF=90°， ∴∠DOF=90°；
∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知），
∴OD⊥AC，AD=DC（等腰三角形的“三合一”的性质）， ∴∠CDO=90°， ∵CF⊥OF， ∴∠CFO=90°
∴四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形； 理由如下：∵∠AOC=90°，AD=DC， ∴OD=DC；
又由（1）知四边形CDOF是矩形，则 四边形CDOF是正方形；
因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形． 【例3】
由题意可得：A点坐标为（-1，2+m），B点坐标为（1，-2+m），C点坐标为（2，m-4），D点坐标为（0，2+m），E点坐标为（0，m），F点坐标为（0，-2+m），G点坐标为（1，m-4）．
所以，DE=EF=BG=2+m-m=m-（-2+m）=-2+m-（m-4）=2，又因为AD=BE=GC=1，所以图中阴影部分的面积和等于×2×1×3=3． 故选B． 【例4】 如图，分别延长AE、BF交于点H， ∵∠A=∠FPB=60°， ∴AH∥PF， ∵∠B=∠EPA=60°， ∴BH∥PE，
∴四边形EPFH为平行四边形， ∴EF与HP互相平分．
∵G为EF的中点，
∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN． ∵CD=10-1-1=8，
∴MN=4，即G的移动路径长为4． 故答案为：4． 【例5】
（1）△AMN的形状是等腰直角三角形， 理由是：∵y=kx-4过点A（12，0）． ∴k=， ∴y=x-4， ∴N（0，-4），
把A（12，0）代入y=2x+b得b=-24， ∴直线AM为y=2x-24， 当x=4时，y=-16， ∴M（4，-16），
∴AM2=（12-4）2+162=320， AN2=122+42=160， MN2=42+（16-4）2=160， ∴AN2+MN2=160+160=320=AM2， AN=MN．
∴△AMN是等腰直角三角形．
（2）解：∵y=kx-4过点A（12，0）． ∴k=，
∵直线l与y=x-4平行，
∴设直线l的解析式为y=x+b．
则它与x轴的交点D（-3b，0），与y轴交点E（0，b）． ∴OD=3OE．
（Ⅰ）以点E为直角顶点时，
①根据题意，点M（4，-16）符合要求；
②过P作PQ⊥y轴，
当△PDE为等腰直角三角形时， 有Rt△ODE≌Rt△QEP． ∴OE=PQ=4，QE=OD． ∵在Rt△ODE中，OD=3OE， ∴OD=12，QE=12． ∴OQ=8．
∴点P的坐标为（4，-8） （Ⅱ）以点D为直角顶点． 同理得到P（4，6），P（4，-3）． 综上所得：满足条件的P的坐标为（4，-16），（4，-8），（4，-3），（4，6）． 【例7】
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=CB=10，AB=DC=6，∠D=∠DCB=∠ABC=90°， 由折叠对称性：AF=AD=10，EF=DE， 在Rt△ABF中，BF=AF2AB2=100-36=8， ∴CF=2，
设EC=x，则EF=6-x，
在Rt△ECF中，22+x2=（6-x）2， 解得：x=， ∴E点坐标为：（10，）， ∴设AE所在直线解析式为：y=ax+b， 则 ， ＝ ＝ 解得： ，
∴AE所在直线解析式为：y= x+6， 当y=0时，x=18，
故折痕AE所在直线与x轴交点的坐标为：（18，0）； （2）设D，F所在直线解析式为：y=kx+c， ∵BF=8，∴F点坐标为：（8，0），
＝
将D，F点坐标代入解析式得： ，
＝ ， 解得：
＝
∴过D，F的直线解析式为：y=3x-24；
（3）分三种情况讨论： 若AO=AF， ∵AB⊥OF， ∴BO=BF=8， ∴m=8，
若OF=FA，则m+8=10， 解得：m=2，
若AO=OF，在Rt△AOB中， AO2=OB2+AB2=m2+36， ∴（m+8）2=m2+36，
解得：m= （m＜0不合题意舍去），
综上所述，若△OAF是等腰三角形，m的值为m=8或2．
＝
