计算方法各章小结
第一章 计算方法与误差 小结
误差在数值计算中是不可避免的， 误差的传播和积累直接影响到计算结果的精度。 在 研究算法的同时， 必须注重误差分析， 使建立起来的算法科学有效。 绝大多数情况下不存在绝 对的严格和精确， 在考虑数值算法时要能将误差在许可的范围之内， 这种算法就是数值稳 定的。
本章介绍了计算方法和误差理论的基本概念，并且对误差的产生与防止进行了分析； 同时介绍了绝对误差 （限） 、相对误差 （限） 、有效数字的概念和三者的联系及计算的方法； 最后 介绍了误差在近似值运算中的传播、估算方法和数值稳定性的概念以及减少运算误差的原 则。
按照误差产生的来源可分为模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差等。 误差的表示法有绝对误差和相对误差两种。
在表示一个近似数时，要用到有效数字的概念，这在数值计算中非常有用，有效数字 是由绝对误差决定的。
通常用函数的泰勒展开对误差进行估计。
第二章 一元非线性方程数值解法 小结
非线性方程厂 f（x）=o 的解通常叫做方程的根，也叫做函数， f（x） 的零点，本章讨论 了求解非线性方程近似根常用的一些数值方法。先要确定有根区间，且对于收敛的迭代格 式，这个区间要足够小。 针对各种求根的数值方法的特点， 要考虑其收敛性、 收敛速度和计 算量。
二分法是逐步将含根区间分半，主要用来求实根，特别适合于为收敛的迭代公式提供 好的初值。 迭代法是一种逐次逼近的方法，这种方法是建章在已知方程根的大致位置的基础上， 迭代法只是起着把根的精确值一步一步算出来的作用，即通过迭代公式反复校正根的近似 值，使之逐步精确化， 直到求出满足精度要求的结果。 一通过选代牧敛的理论可知， 迭代法具 有线性收敛速度。迭代法不仅可用于含一个未知元的一个方程，也可用于含多个未知元的 方程组。
牛顿法具有较快的收敛速度， 但对初值选取要求较高。 扩大初值的选取范围， 可采用牛 顿下山法。
若改用差商替换牛顿公式中的导数后得到的迭代公式便是弦截法，它避开了导数的计 算，具有超线性的收敛速度，每计算一步，要用到前面两步的信息。
迭代法的收敛速度， 即误差下降速度是衡量迭代法的一个重要准则， 而迭代一步所花费 的计算量也可用来作为一个衡量标准。对于具体问题可具体分析。
第三章 解线性方程组的直接方法 小结
本章介绍了解线性方程组的直接法。
直接法是 _ 种计算量小而精度高的方法。 直接法
中具有代表性的算法是高斯消去法 （ 在第奠嘉提到的克莱姆算法也是 J 种直接法，但该算法 用于高阶方程组时计算量太大而不实用 ） ，其他算法大都是它的变型， 这类方法是解具有稠密 矩阵或非结构矩阵 （零元分布无规律 ） 方程组的有效方法。
选主元的算法有很好的数值稳定性。从计算简单出发实际中多选用列主元法。解三对 角矩阵方程组(A的对角元占优)的追赶法以及解对称正定矩阵方程组的平方根法都是 三角分解法，且都是数值稳定的方法，这些方法不选主元素，也具有较高的精度。
向量、矩阵的范数、矩阵的条件数和病态方程组的概念， 是数值计算中一些基本概念。 线 性方程组的病态程度是其本身的固有杼睦， 因此即使用数值稳定的方法求解，也难以克服严重 病态导
致的解的失真。在病态不十分严重时，用双精度求解可减轻病态的影响。
在实际应用中如何选择算法是一个重要问题，往往从三个方面考虑： 1) 解的精度高。 2) 计算量小。
3) 所需计算机内存小。
但这些条件相互间是矛盾而不能兼顾的， 为大型、稀疏矩阵时，有效的解法是第
因此实际计算时应根据问题的特点和要求及
所用计算机的性能来选择算法。 一般说，系数矩阵为中、小型满矩阵，用直接法较好；当系数矩 阵
4章要讨论的迭代法。
第四章解线性方程组的迭代法小结
本章介绍了解线性方程组
Ax=b迭代法的一些基本理论和具体方法。
迭代法是一种逐
使解
次逼近的方法，即对任意给定的初始近似解向量， 按照某种方法逐步生成近似解序列，
序列的极限为方程组的解。 注意到在使用迭代法 x(k 1) Bx(k) f解方程组时，其迭代矩阵
方法简单，程序实现方
B和迭代向量，在计算过程中始终不变， 迭代法具有循环的计算公式，
便，它的优点是能充分利用系数的稀疏性， 适宜解大型稀疏系数矩阵的方程组。
迭代法不存在误差累积问题。使用迭代法的关键问题是其收敛性与收敛速度，收敛性 与迭代初值的选取无关， 这是与一般非线性方程求根相比的优越之处。
一种迭代格式收敛性较麻烦，由于求迭代矩阵的谱半径时需要求特征值， 时，特征值不易求出，通常采用矩阵的任一种范数都小于
在实际计算中，判断 当矩阵的阶数较大
1或对角占优来判断收敛性。有时
也可边计算边观察其收敛性。如何加快迭代过程的收敛速度是一个很重要的问题，实用中 更多的采用SOR法，选择适当的松弛因子叫有赖于实际经验。我们应针对不同的实际问题， 采用适当的数值算法。
第五章插值与曲线拟合小结
本章介绍的插值法和曲线拟合的最小二乘法都是实用性很强的方法。 它们解决的实际问 题虽然各式各样，但抽象为数学问题却有它的共陛， 即利用已知的数据去寻求某个较为简单
的函数P(x)来逼近f(x)。插值法和曲线拟合的最小二乘法分别给出了寻求这种近似函数 的两类不同的原则，以及构造近似函数的几种具体方法。其中插值法要求近似函数在已知 的数据点必须与f(x)完全一致，曲线拟合法不要求点点一致而只需满足一定的整体逼近条 件。
插值法中的拉格朗日插值多项式是研究数值微积分与微分方程数值解的重要工具。牛 顿插值多项式是拉格朗日插值多项式的变形， 具有承袭性，比拉格朗日插值多项式节省计算 量。埃尔米特插值多项式属于重节点的插值公式， 当n+1节点上的函数值和导数值给定时， 可构造2n +1次带导数的插值多项式。分段低次多项式插值由于具有良好的稳定性与收敛 性，且算法简单，便于应用。特别是应用广泛的三次样条插值， 不但有较好的稳定性和收敛 性，而且具有较好的光滑性， 从而满足了许多实际问题的要求。 需对样条函数作进一步了解 的读者可参阅有关文献。
曲线拟合的最小二乘法是处理实验数据的常用方法。本章主要介绍了最小二乘法的基 本原理和线性最小二乘问题的求解方法。多项式拟合是线性最小二乘拟合问题的一种特殊 情况，其特点是拟合多项式形式简单， 但当犯较大时，法方程组往往是病态的。 用离散正交 多项式进行曲线拟合，不用解线性方程组，只需按递推式进行计算，避免了法方程组病态所 造成的麻烦，并且当逼近次数增加一次时， 只要在原基础上增加一项， 计算程序十分简单。 关于非线性最小二乘曲线拟合问题， 一般求解比较困难，但对一些特殊情形。可以转换为线 性最小二乘拟合问题。在实际计算时，要选择合理的拟合多项式的次数有时是十分困难的。
一般可对数据作分析， 例如在方格纸上作草图， 从草图中观察应作几次多项式精度较好，以 选择最佳的拟合多项式的次数。
第一章小结计算方法与误差
本章介绍了计算方法的对象和特点、误差、绝对误差与绝对误差限、相对误差与相 对误差限和有效数字等基本概念；在近似计算中应遵循的原则和应注意的问题，误差的分 析是数值计算中一个非常重要的问题，应引起读者充分的注意。
第二章小结一元非线性方程数值解法
本章介绍了求非线性方程f(x)=O根的几种方法： 二分法简单直观，特别适合于用来求初值；
迭代法的突出优点是算法简单，但是迭代格式的选取与收敛有很大关系，对同一个方 程，如果迭代格式选得好则收敛，反之则不收敛：
牛顿法收敛速度快，但对初值的要求比较高；
弦截法收敛速度虽然比牛顿法慢一些， 但它的计算量比牛顿法小，特别当.f (x)计算 比较复杂时，弦截法就充分显示出它的优点了。
第三章小结函数插值
本章主要介绍多项式插值，它是最常用和最最本的方法，它要求所构造的多项式函数 严孥
世通过给定的所有数据点。由拉格朗日插值基函数的讨论，导出了拉格朗日插值公式 衰其余项公式，作为对拉格朗日插值的改进，建立了具有承袭性的牛顿插值公式。
拉格朗日型插值多项式和牛顿差商型插值多项式，适用于不等距节点的情况。 在等距节点的情况下，利用牛顿差分型插值多项式，可以使计算简单。
第四章小结线性方程组的数值解法
本章主要讨论了线性方程组的消去法和迭代法。
消去法的重点是高斯消去法、列主元高斯消去法、追赶法和迭代法。 列主元高斯消去法是为了控制计算过程中舍入误差的增长，减少舍入误差。
对于一些特殊类型的方程组可用特殊方法求解， 如系数矩阵是三对角矩阵，可用追赶 法求解。
迭代法是一类重要的方法，它能充分利用系数矩阵的稀疏性，减少内存占用量，而 且程序简单。缺点是计算量大。本书主要介绍雅可比迭代法和高斯一赛德尔迭代法。一 般来说高斯一赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛要快一些。 对于迭代法收敛性的判别， 本章介绍了 1个充分条件和放宽条件的充分性判定定理，这里需要指出的是充分条件不 满足时，不能肯定迭代的发散性。
第四章小结数据拟合
最小二乘原理是函数逼近的另一个重要方法， 在工程技术中被广泛地应用，它不要 求所构造的拟合函数严格地通过给定的所有数据点， 它以偏差的平方和最小为标准，主 要讨
论的是多项式拟合。在实际应用中，拟合函数的形式是需要预先确定的，一般可对 数据作分析，例如，在方格纸上作草图，从草图中观察数据点的大致形态，从而确定取 什么样的拟合函数。
