常微分方程及其应用

习题5.2

1 .求下列各微分方程的通解y・+Y=沁,y⑴=1 ； :

(1)

2

x x

X dx + ydy = 0 ； (2) x y'-yin y =0 ； (3) 2

2

(xy +x)dx+(y-x y)dy =( )；(4) y ‘ - 3xy =0 ;

(5)

c p x 2y —y =e ;

(6) y' = ytanx+cosx .

2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 八e2

3, y(0) =0；

(2)

dx - y

dy = 0 , y(0)=

1 + y 1+x (4) y ‘ 一 y tan x = secx ,

(3) y，- y =cosx, y(0) = 0； y(0) = 0 ；

2

(6) X dy + ( 2xy-x+1 Hx = 0 , y(1)=0 .

5.3可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程

案例引入 求微分方程y\" = 6x的通解. 解 两边积分，得y' = J6xdx = 3x2

+G

两边再积分，得

y = /(3x2

+0 dx =x3

tCrX +C2

所以，原方程的通解为y=x'+Cix+C2，其中Ci、C2为任意常数.

5.3.1可降阶微分方程 1.形如y

(n)

= f(X)的微分方程

特点：方程右端为已知函数

f (x).

1

1；

解法：对y

(n)

= f(x)连续积分n次，即可得含有n个任意常数的通解.

2.形如y \" = f(X, y )的微分方程 特点：方程右端不显含未知函数

y .

解法：令y = p(x)，则y = p'(x).于是，原方程可化为 p' = f (x, p).这是关

于

p,p'的一阶微分方程•设其通解为 p(x)=®(x,Ci)，即y'=®(x,Ci) •两边积分，即可得原方程通解y =代(X'CJdx +C2，其中C1、C2为任意常数.

3.形如yJf(y,y)的微分方程 特点：方程右端不显含自变量 x .

解法：令=如理*生=pdp

/ = p(y)，则y

.于是，原方程可化为

dy dx dy dy

Pp = f (y, p).这是关于 p, p

的一阶微分方程.设其通解为p(y)=屮(y,Ci),即

吐=屮(y,Ci).分离变量，得

屮(y,Cdy dx

dx

i)= •然后两边积分，即可得原方程通解

dy = x+C2,其中Ci、C

(y,C)

2为任意常数. 屮i

例5-7 求微分方程y w = sin X - cosx的通解.

解 两边积分，得 y\"=J(si n X-cosx) dx =-cosx-si nx + 2Ci

两边再积分，得 y = J(—COSX —sin ^2C1 dx = -sin x + cosx +2C1x + C?

2

2

第三次积分，得 y = J(—sin X+C0SX+2C1X+C2 dx =cosx + sinx+Gx +C2X + C3

所以，原方程的通解为 y =cosx+sin X+0x2+C2X+C3，其中ci

、C2、C3为常数.

例5-8求微分方程xy”_y'=0的通解.

解 令y，= p(x)，则y = p'(x).原方程可化为xp' — P = 0 , 是关于p, p'的一阶线性齐次微分方程•其通解为:

P(X)=

2Cei

ln

Rx =2Ce^2C11x，即 /=2C1x •两边积分,

即得原方程通解

y = f2C1xd^C1x^C2，其中 C1、C2为任意常数.

例5-9 求微分方程y\"-一 y'xe」的通解.

X

解 令y = p(x)，则y\" = p(X)•于是，原方程可化为

p = xe* •这是关于

P,P'的一阶线性非齐次微分方程.其通解为

一dx I

V

一 -dx

-In x , , c —

p(x)=e'x Ifxe e 'x dx + 2C1

dx +2Ci

=x( fe^dx +2Ci)= xjr +2Ci )

即y'=x(-ej +2C1)•两边积分，即得原方程通解

y = Jx(-e\" +2G dx = [(—xe* +2C1xdx = fxd(e^ )+C1x2

= xe^ - fe^dx +C1x^(^1)e^ +C1x^C2

3

其中Ci、C2为任意常数.

4

例5-10 求微分方程

2

yy\"—(yj =0 的通解.

则y \" = PP '（ y）.于是，原方程可化为ypp' 一 P = 0 ,即

2

p'—丄p = 0 •这是关于

p, p'的一阶线性齐次微分方程.其通解为 y

fldy

l

p(y) = Cie y = Geny = Ci y，即 y' = G y .

所以原方程通解为y=C2e卩\"'=Cze&x，其中Ci、C2为任意常数.

5.3.2二阶常系数齐次线性微分方程 定义5.4形如

y\" + py’ + qy =0 , p、q 为常数

(5-5)

的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程

1.二阶常系数齐次线性微分方程解的结构

定理5.1如果函数y^x）和y2（x）是方程（5-5 ）的两个解，那么

y =Ci yi(x)+C2y2(x), G、C2为任意常数

(5-6)

也是方程（5-5）的解.（证明略）

定理5.1表明，二阶常系数齐次线性微分方程的解具有叠加性.那么叠加起来的解

y =Ciyi（x） + C2y2（x）就是通解吗？不一定.

例如，设函数 的一个解.由定理 的解•但C^2C2

yi（x）是方程（5-5）的一个解，则函数 y2（x）=2yi（x）也是方程（5-5）

5.i 可知，y =Ciyi(x)+

2

C2yi(x) =(Ci +C2)yi(x)是方程(5-5)

2

=C仍是一个任意常数， 所以y =（Ci +2C2）yi（x） =Cyi（x）不是方程

5

（5-5）的通解.那么在什么条件下才能保证

y^Gyjx） +C2y2（x）就是通解呢?

定义5.5设yi（x）和y2（x）是定义在某区间I上的两个函数，如果存在两个不全为零 的常数ki和k2，使kiyi（x）+k2y2（x） =0在区间I上恒成立，则称函数 ％ （x）与y2（x）在

区间I上线性相关，否则称线性无关.

由定义5.5可知，判断函数y^x）与y2（x）线性相关或线性无关的方法:

当y^X）= 一鱼=常数时

，

（x） k2

y2（x）线性无关.

yi（x）与y2（x）线性相关•当 yiy2(x) H常数时，yi（x）与

yi(x)

定理5.2 如果函数yi（x）和y2（x）是方程（5-5）的两个线性无关的特解，那么 （5-6）是方程（5-5）的通解.（证明略）

2.二阶常系数齐次线性微分方程的解法 由上述关于解的结构分析可知，欲求方程（

5-5）的通解，首先需讨论如何求出方程

（5-5）的两个线性无关的特解.

猜想方程（5-5）有形如y =e的解，其中

rx

r为待定常数•将y=erx

2

rx

代入该方程，得

rx

（e\"）” + 卩（「）’初（「）+ pre\" r/

=(r 中 pr 中q)e =0 , 由于e H0,

所以只要r满足方程

P、q为常数

(5-7)

即当r是方程（5-7）的根时，函数y =e就是方程（5-5）的解.

定义5.6方程（5-7）称为方程（5-5）的特征方程.特征方程的根称为 特征根.

rx

6

的通解有以下三种情

况:

rixr2x

（1）若方程（5-7）有两个不相等的实根ri H「2,则yi = e和y^ e是方程（5-5）

r1r2x

的两个线性无关的特解，故方程（5-5）的通解为 ^C1e^C2e，其中C1、C2为任

、、八Nr、匸 意吊数.

（2）若方程（5-7）有两个相等实根r, =「2 = r =-卫 则仅得到一个特解 y^erx

设r,、r2为特征方程（5-7）的两个特征根.根据特征根的不同情形，确定方程（ 5）

5-

2

rxrx

= xe，故方程（5-5）的通 利用常数变易法可得到与 y1 =e线性无关的另一个特解 y

rr

解为y =C1ex +C2xex，其中C,、C2为任意常数.

x

（3）若方程（5-7）有一对共轭复根 » =a +i P与『2 =a - ip，则y^e^*^和

是方程（5-5）的两个复数特解.为便于在实数范围内讨论问题，在此基础上 y2

x可找到两个线性无关的实数特解 e^cos Px和e^sin Px .故方程（5-5 ）的通解为

y =egCi cos Px +C2 sin Px），其中 C,、C2 为任意常数.

x 由定理5.1可知，以上两个函数 eQXcosPx和^si n Px均为方程（5-5）的解，且它

们线性无关.

上述依据特征根的不同情形来求二阶常系数齐次线性微分方程通解的方法, 称为特征

根法.一般步骤:

第一步写出所给微分方程的特征方程;

第二步求出特征根;

第三步根据特征根的三种不同情形，写出通解.

1）

（特征根与通解的关系参见表

5-

表5-1特征根与通解的关系

特征方程r2 +pr +q =0的两个根r, , q 微分方程y\"+ py' + qy=O的通解

7

-一- 两个不相等实根r^ r2 -二两个相等实根r, =「2 = r = - P 二 2 三 一对共轭复根 5 =“ +iP , r2=a_iP

^C1e^C2e y =(C1 +C2X)e y =e°x(C1 cosPx +C2sin Px) rxr1r2x例5-11 求微分方程y“-2y'-3y=0的通解.

解 该方程的特征方程 r — 2r —3 = 0的特征根为 匚=—1, D = 3 ( 口 H j).

所以，方程的通解为 y - De- +C2e.

例5-12 求微分方程y”+2y' + y=0满足初始条件y(0)=0, y'(0) =1的特解.

3x

解 该方程的特征方程r

2

+2r +1 =0的特征根为R =「2 = -1.所以方程的通解为

y =(C1 +C2X)e」

上式对x求导，得:

y，=C2e 一-(G +C2x)e 一

将y(0) =0, y'(0) =1代入上两式，解得G =0 , C2 =1 .因此，所求特解为y = xe^

例5-13 求微分方程

y”—2y，+5y =0 的通解.

r -2r +5 =0的特征根为匚=1 +2i ,心=1 -2i .

2

解该方程的特征方程

所以，方程的通解为 y =

ex(C1 cos2x +C2Sin2x).

5.3.3二阶常系数非齐次线性微分方程 定义5.7形如

8

y\" + p yyqy = f(x) , p、q 为常数

(5-8)

的微分方程，称为二阶常系数非齐次线性微分方程

1.二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构

定理5.3 如果函数y^x)是方程(5-8)的一个特解，Y(x)是该方程所对应的线性齐 其中Qn(x)是与Pn(x)同次待定多项式.

次方程(5-5)

的通解，那么

y =Y(X)+y\"x)

是方程(5-8) 的通解.

定理 5.4 如果函数y1(x)是方程y\" + Py'+qy = fjx)

y +py +qy =f2(x)的特解，那么

/ = yi”(x) +y2(x)

就是方程

y\" + py' + qy = f1(x) + f2(x)的特解.

2.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

二阶常系数齐次线性微分方程的通解问题已经解决，根据定理 齐次线性微分方程的通解的关键在于求其自身的一个特解.

以下介绍当自由项 f(x)为几类特殊函数时求特解的方法: (1) f(X)=Pn(x)e/x

, Pn(x)是x的n次多项式，A是常数微分方程的特解可设为

，不是特征根时，k =

沖

k

. /X

y =x Q0

n(x)e\"

/是单特征根时，k = 1

9

(5-9)

y2(x)是方程

(5-10)

5.3,求二阶常系数非

的特解，函数 (2) f (X) =Pn(x)cos©x (或 Pn(x)s in ©x), Pn(x)是 x 的 n 次多项式，©是常数

微分方程的特解可设为

„ ks /、 C /、. ■, 血i非特征根时，k=0 y

=X[Qn(X)沁x+Rn(X)sgX] '｛勿j是特征根时，心

其中Qn(x)和Rn(x)是与Pn(x)同次待定多项式.

(3) f (X) =ecos^x (或 e赵 sinwx), A 与 ©均为常数

微分方程的特解可设为

7

y =x e那[Acoseox+Bsin^x],

k

几+切)非特征根时，k=0

—

,

iA+©i是特征根时，k= 1

(4)当f (x)为上述任意两类函数之和时， 根据定理5.4处理即可.

例5-14 求微分方程y\"-2y' = 3x+1的通解.

解 方程y\"—2y'=0的特征方程r -2r=0的特征根为r, = 2 , “=0 •于是方程

y\"-2y'=0的通解为

又因为Pn(x) =3x +1，几=0是单特征根，所以原方程的特解可设为

y* = xQn(X)= x( Ax + B) 3

代入原方程，解得

5 4

3 2 5 中C2 一一 X —-x .

4 4

A = ——, B = - 一.故原方程的通解为

4

C 2x 土小

^C1e

10

例5-15 求微分方程y\"中y ' + y=3ex的一个特解.

2

11

解 方程y\" + y + y =0的特征方程 r +r +1=0的特征根为

2

r1

1 \"*^i . f(x^3e2x, Z =2非特征根，所以原方程的特解可设为

r2 = 一一

2 2

代入原方程，解得T .故所求特解为几尹

例5-16 求微分方程y\" + 3/ +2y=xe上X的一个特解. 解 方程y”+3y' + 2y =0的特征方程r

x

2

+3r +2

=0的特征根为口 = 一2 ,

所以原方程的特解可设为

「2 = —1 . f(X)=xe', Pn(x) =x，扎=-2是单特征根,

/ =x(Ax +B)e4

1 X 2

代入原方程，解得A = —— ,B = —1.故所求特解为y*=x(—— —1)e

2 2

例5-17 求微分方程y\" + y = Sin X的通解.

=0的特征方程r2 +1 =0的特征根为 山=i ，「2 =-i .于是方程

y +y =0的通解为

¥丄

y =Ci cosx +C2 sin x

又因为

f(X)=sin X， 几+ Qi =i是特征根，所以原方程的特解可设为

y* = x( Acosx + Bsin x)

1

=— , B=0 •故原方程的通解为 代入原方程，解得 A

2

12

1

y = G cosx +C2Sin x —一 xcosx .

2

例5-18 求微分方程y\" + y=xcos2x的一个特解.

解 方程y\" + y =0的特征方程r+1=0的特征根为r, = i , q = —i .

2

f（X）= XCOS2X，乙+ © i = 2i不是特征根，所以原方程的特解可设为

y* =(Ax + B) cos2x + (Cx + D)sin 2x

1 3

4 9

代入原方程，解得 A = — — , B=0 , C=0, D=—.故所求特解为

* 1 4

y =——xcos2x+ — sin 2x .

3 9

例5-19 求微分方程y\"+3y'-y =eXcos2x的一个特解.

解 方程y\"+3y' —y=0的特征方程r

2

+3r—1=0的特征根为r1

r2

3 V13

f（x） =excos2x，几+ eoi =i+2i不是特征根，所以原方程的特解可

设为

y* =eX( Acos2x + Bsin 2x)

代入原方程,

1 101

10

得 A =———,B=——.故所求特解为

101 cos2x +

y * =eX( -^^cos2x + n 2x).

101 101

例 5-20

1

2+sinx的一个特解. 求微分方程y\"—2y' + y=—e解 方程y -2y' + y =0的特征方程r -2r +1=0的特征根为n = q = 1 .

1

f1（x） =—eX, f2（x） =sinx , =1是二重特征根，=i不是特征根，所以两个分解

13

2

方程的特解可分别设为

14

yr = Ax2ex与 y2 = B cosx +Csin x

1

分别代入两个分解方程，解得A= — ,B= — ,C=0 .故所求特解为

4

1 +- cosx . 2

5.3

y = — x e

4

X

1

2 x

习题

1.求下列各微分方程的通解:

(1) y \" = X +sin x ；

(3) xy\" + y'=0 ；

(2)

(4)

利

x

y =

H

1

, x

(5)八1 +(y) ；

2

y — 一 y = xe ;

22 + _ (y) =0. -1 y

2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:

⑴ yJe, y(1) =y(1) =y\"(1) =0 ;

2

2x

(2) y” —3(y) =0 , y(0) =0 , y(0) =—

3.判断下列各函数组是线性相关还是线性无关: (1) 与 X ； (2) e

2

x

2x

与 6e ； x

(3) 与xe ； (4) e cosx与e sin

2x

X

/ 、 x

. x .

4. 求下列各微分方程的通解:

(1) y” —y'=0；

(3) y” —10y'+25y =0 ；

5. (1) (2)

(2) y“+ 4y=0 ； (4) y\"+y' + y= 0 .

求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:

y\" —4y' + 3y =0, y(0) =6, y'(0) =10 ； y\" —4y' + 4y=0, y(0) =1 , y'(0) = 4 .

15

6. 求下列各微分方程的一个特解:

(1) y\"_2y，—3y =3x+1 ; (3)y\"-2y，+ 2y =e」sinx ；

yN_4y，+ 4y =e2x ； y\"+ 4y = X +1 +sin X .

7. 求下列各微分方程的通解:

(1) y \"-2y y = X

2

y\" + 2y'-3y =eX ；

yH-y，-2y = x + cos2x .

(3) y\"+y =ex +cosx ；

&求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:

(1) yJ3yq2y=5，y(0) =1，y'(0) =2 ； (2) y\"-y =4xeX, y(0)=0, \"(0)=1.

5.4微分方程应用举例

微分方程在实践中有着广泛的应用.在实际应用中，常常需要应用微分方程寻求实际 问题中的未知函数.而要建立微分方程，除了需要数学知识外，往往还需要许多专业方面 的知识•本节通过举例来介绍微分方程在几何学、电工学及力学方面的一些简单应用.

例5-21曲线L上点M(x,y)处的法线与x轴的交点为 N，且线段 MN被y轴平 分.求曲线L的方程.

解 如图5-2，设曲线的方程为 y =y(x).先建立法线 MN的方程.设法线上的动点

坐标为(X ,Y),由于法线MN的的斜率为 1

k法=-二，于是法线MN的方程为

y'

1

Y-y = -rX

y

-x)

16

又因为线段 MN被y轴平分，从而MN与y轴交点坐标为p(0丄)，代入上式，得

，2

^-y =—丄(0-X)，即 yy' = —2x

用分离变量法解得X

2

其中c为任意正数.

例5-22 设有一 RC电路如图5-3所示，电阻 R = 1O0，电容C =0.1F，电源电 压U =10si nt(V)，开关K闭合前，电容电压uc =0，求开关K闭合后电容电压随时

C

R

图5-3

解 设开关K闭合后电路中的电流为i(t)，电容极板上的电荷为

q(t)，则有

17

c . dq d(Cuc) c due q = cuc , i =

— = ------------------- = c ---

dt dt dt

根据回路电压定律：电容电压与电阻电压之和等于电源电压，即 Uc + Ri = U，于是

uRcdu 有 .将 R = 10 , C = 0.1 , U =10sint代入，得 uC +uc =10sint .又

因为开关K闭合前, 电容电压uc =0,即uc (0) =0 .从而问题转化为初值问题:

^c-

用通解公式求得通解

将初始条件uc (0) =0

(uC +Uc =10si nt iuc(0) =0

uc = Ae，+5(s i ti-co s)

代入通解，求得 A=5 •所以，所求特解为

Uc =5e 丄+5(s in t-cost)

数

此即为所求规律Uc(t)的表达式.

例5-23 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与其下落的速度成正比

(比例系数为常

k > 0)，起跳时的速度为0 .求跳伞员下落的速度与时间之间的函数关系.

解 这是一个运动问题，可利用牛顿第二定律

F =ma建立微分方程.设跳伞员下落

所受外力只有重力和空气阻力，于是有 F =mg -kv，由牛顿第二定律 F = ma可得速度

V =v(t)应满足的微分方程为 mg -kv =mv .又因为起跳时的速度为 0 ,即其初始条件

的速度与时间之间的函数关系为

v =v(t)，则加速度a =v'(t).由于跳伞员在下落过程中

为v(0) =0 •所以，这个运动问题可化为初值问题:

18

何g - kv = mv’ 卜(0) = 0

上t

用分离变量法求出通解为

mg -kv =Ce m .将初始条件为 v(0) =0代入通解，解得

v^^O-e韦t) , 0k

C =mg .因此，所求特解为

即为所求函数关系.

例5-24 物体冷却过程. 将某高温物体置于空气中冷却，假定空气温度恒为 249 , 在时刻t =0时，测得其温度为150C ,10分钟后测得温度为100£ .已知牛顿冷却定律: 物体冷却速率与物体和介质的温差成正比. 钟后该物体的温度.

解 设物体的温度与时间的函数关系为

求物体的温度与时间的函数关系，

并计算20分

T =T(t).因为热量总是从温度高的物体向温

度低的物体传导，从而物体随时间增加而逐渐冷却，所以冷却速率(温度的变化速度)

T (t) <0 ,而物体和空气的

¥十(一

2

温差恒为正.所以，根据牛顿冷却定律可得

4).又因为在时刻

t=0时，测得其温度为1509，即有T(0)=150 .从

而问题转化为初值问题：

其中k > 0为比例常数.

T(0) =150

用分离变量法或通解公式解得T =24+1260山.将T(10) =100代入，

0051

求得

051

k.^^^ .故物体的温度与时间的函数关系为

T =24+126eq

•将

t =20代入，得 T(20) =24 +12604 过 疋 (°C).

例5-25弹簧振动问题.设有一弹簧上端固定， 下端挂着一个质量为 m的物体.

当弹

0510

簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹簧恢复力大小相等，方向相反•设给物体一个初 始位移Xo，初速度Vo，则物体便在其平衡位置附近上下振动•已知阻力与其速度成正比,

19

求振动过程中位移 x的变化规律.

////////

O

图5-4

解 建立坐标系如图5-4所示，平衡位置为原点. 位移x是时间t的函数X = x(t).物体在 振动过程中受到弹簧恢复力

f与阻力R的作用•由虎克定律，有 f=—kx，其中k >0为

弹性系数，负号表示弹簧恢复力与位移方向相反;

R = -Pv，其中 卩> 0为比例系数(或

F = ma，可得

称阻尼系数)，负号表示阻力与速度方向相反.根据牛顿第二定律

V =x'(t)，记 2n =巴八2

ma = —kx - 出.又因为 a = x\"(t)，

m

亍

所以上述弹簧振动问题化为初值问题:

|d X , _ dx .\" --- +2n—— dt dt

1x(0) =X0,x'(0)

2

这是一个二阶常系数齐次线性方程, 其特征方程为

r2 +2nr 2

=，特征根为

0

「1,2 = -n±vn -豹

22

.具体情况讨论如下:

(1) 大阻尼情形，即n X.

这时, 特征根是两个不相等实根，所以方程的通解为

22G』^^ +c e-(En 看)t

x = Ge

2

(2) 临界阻力情形，即 n =©

20

这时，特征根r,=『2 = -n , 所以方程的通解为

X = (Ci + C2t)e』t

(3)大阻尼情形，即n X

这时，特征根是一对共轭复根 「1,2 = -n ±晶2 _n i，所以方程的通解为

2

X =e』t(C1 cosJJ -n1 + C2 sin

上述三种情形中的任意常数均可由初始条件确定. 停止，称为弹簧的阻尼自由振动.

习题5.4

1 •设过点(1,1)的曲线L上任意点M(x,y)处的切线分别与x轴、y轴交于点A、B , 且线段AB被点M平分.求曲线L的方程.

2 •在如图5-5所示的RC电路中，已知开关

这类振动问题均会因阻尼的作用而

2

S闭合前，电容上没有电荷，电容两端

电压为零，电阻为 R，电容为 C，电源电压为E •把开关S合上，电源对电容充电，电

图5-5 容电压Uc逐渐升高.求电容电压

Uc随时间t变化的规律.

3.将温度为100心的沸水注入杯中，放在室温为20°C的环境中自然冷却，5min后 测得温度为60乜.求水温与时间的函数关系， 并计算水温自100七降至30°C所需时间.

4. 设有一弹簧上端固定，下端挂着一个质量

21

为

0.025kg的物体.先将物体用手拉到

离平衡位置0.04m处，然后放手，让物体自由振动.若物体所受的阻力大小与运动速度成 正比，方向相反, 弹簧的弹性系数 k=0.625N/m，阻尼系数4 =0.2N ‘s/m .求物体 的运动规律. 知识拓展:

马尔萨斯（Malthus ）模型

马尔萨斯（ Malthus ）模型是最简单的生态学模型.给定一个种群，我们的目的是确 定种群的数量是如何随着时间发展变化的.

模型假设:

1. 初始种群规模已知 x（0） =Xo，种群数量非常大，世代互相重叠，因此种群的数量 可以看作是连续变化的;

2. 种群在空间分布均匀，没有迁入和迁出（或迁入和迁出平衡） 3.

小、年龄、性别等;

种群的出生率和死亡率为常数， 即不区分种群个体的大

为此，我们作出如下假设:

4.环境资源是无限的.

确定变量和参数： 为把问题转化为数学问题，我们首先确定建模中所需变量和参数:

t :时间（自变量），x（t） : t时刻的种群密度，b :瞬时出生率，d :瞬时死亡率.

模型的建立与求解:

考察时间段［t,t+At］（不失一般性，设 M>0）,由物质平衡原理，在此时间段内种 群的数量满足:

t + At时刻种群数量-t时刻种群数量 =也t内新出生个体数- At内死亡个体数,

22

x(t +At) -x(t) =bx(t)At -dx(t)At

亦即

令At T 0 ,可得

XD — Xjbst) At

=(b-d)x(t):=Ax(t) dt

满足初始条件x(0) =Xo的解为

X(t) ^005 = X。/

于是有

(

Z >0时，即 b Ad，则有 lim x(t)=址，

几=0 时，即 b = d，则有 lim x(t) = x，

0

t—Jpc

A <0时，即 bed，则有 lim x(t) = 0 .

t—Jpe

马尔萨斯(Malthus)模型的积分曲线x(t)呈“ J ”字型，因而种群的指数增长又称为 ”

型增长.人也是一种生物种群，人口预测问题就是在马尔萨斯( 通过修改而得以解决。

本章小结

“ J

Malthus )模型的基础上

23

一、内容提要

24

一阶微分方程 f(X, y, y) =0

T

可分离变量微分方程

dy 矿 f(x)g(y)

微分方程 常微分方程 1 r 一 ] 可降阶微分方程y(n)= f(x) y、f(x,y) y\" = f (y, y)

▼ 一阶线性微分方程 y + P (x)y =Q(x)

25

偏微分方程

二阶常系数线性微分方程

y\"+ p y'+qy = f (x)

▼

齐次方程

非齐次方程

f（X）三 0

二、学习重点

1. 基本概念：微分方程的定义、阶、解、通解、特解、初始条件、初值问题；函数的 线性相关与线性无关；二阶常系数线性微分方程解的结构特征；特征方程、特征根等.

2. 微分方程的解法: （1 ）一阶微分方程的解法: 方程类型 可分离变量方程 一阶线性方程 方程形式 方程解法 分离变量法（分离变量，两边积分） 分离变量法或用通解公式 y = Ce J（dy :=f(x)g(y) dx 齐次方程 ） 26

y * P(x)y =0 非齐次方程 常数变易法或用通解公式 _|P(x)dxyyp (x)y =Q(x) 「 fP(x)dx y =訂 (2)可降阶微分方程的解法: 方程形式 [jQ(x)e' 7 dx + cj 方程解法 对y(n)y(n)=f(x) = f (x)连续积分n次. y\"= f(X, y) 令y' = p(x)，原方程化为 p^ f (x, p).设其通解为 y'=p(x) =W(x,Ci) •两边积分，即得原方程通解 y = N(x,Ci)dx+C2. y Jf(y,y) 令y' = p(y)，原方程化为 pp = f(y, P) •设其通解为 丄=p(y)=屮(y,Ci).用分离变量法，即得原方程通解 dx J 二X+C2. 屮(y,G) (3 )二阶常系数线性齐次微分方程的解法 特征方程r +pr+q=0的根的情况 有两个不相等实根r,工「2 有两个相等实根 片二^二/二-卫\" 2

(特征方程法)： y N + py' + qy = 0 的通解 y =Cie +C2e y =(Ci +C2X)e y = /x(C, cos Px + C2 sin Px) rxrixr2x2 有一对共轭复根 片=«+!0 , 「2=«—iP

(4)二阶常系数线性非齐次微分方程的解法(待定系数法) 自由项f(X)的形式 y\"+ Py' + qy = f (x)的通解为 y =Y(x) + /(x) 27

f(x) =Pn(x)e\" yJxQn(x)e\" , * kkr A不是特征根时，k = 0 入是单特征根时，k = 1 几是二重特征根时 ，k = 2 f(X)= Pn(X)COSBX (或 Pn (x)sin ©X) y* = x[Qn (x)cosBX + Rn(x)si n ©x] 非特征根时，k =0 世i是特征根时，k = 1 y* = xe 芬[Acos©x+ Bsi n©x] +© i非特征根时，k ：= 0 kf(X)=e 那 cos 讥 (或 e \" sin 郴) a十(?)i是特征根时，k =1 f(x)为上述任意两类函数之 y J y*(x)中 y：(x) 和，即 f(X)= f1(X)+ f2(x) 三、学习难点 1常数变易法. .

2. y\" = f (y, y)的解法. 3. 二阶常系数线性微分方程的解法.

同步练习五

选择题 (1)微分方程

(1—x)y-xy'=0 的通解是(

B. y =CJ1 -x

2

A. y =Cxe\"

C.

C

』1 -x

2

1x3

D.

+5 .

(2)微分方程

y +y=0满足初始条件y(—) = 3 , y'(—) = 4的特解是(

2 2

A.

y =4sin x — 3cosx ；

B . y =4cosx —3sin x ；

28

C. y =3sin x —4cosx ；

D . y = -3sin x — 4cosx .

(3)微分方程y\" + 2y'+y=e」的一个特解具有形式(

A . y =ae」

C. y =(ax +b)ed ；

B . y =axe」

D . y =ax

2

ei .

(4)微分方程y \"—6y ‘+9y = x2e3x的一个特解具有形式(

A. y =ax

23

ex ；

2

B . y =(ax

3x

2

+bx + c)e3x ；

D . y =x

2

C . y =x(ax

+bx + c)e ； (ax +bx+ c)e .

23x

(5)微分方程y\" + 2y'+5y =sin2x的一个特解具有形式(

A. y =a sin 2x ； C.

B.

y =x(asin2x)；

y =asin 2x + bcos2x ； D . y =x(asin2x + bcos2x).

1 1

(6)若函数y*=-xcos2x是微分方程y\"+4y=si n 2x的一个特解，则该方程的通解

4 y =(C1 +C2X)e\"

1

1

--xcos2x ； 4

1

D. y =C1 sin 2x+C2 cos2x - 一 xcos2x

4

X 4 Jx 1

C.

--xcos2x ； y =C1e +C2e 2x

4 B . y =(5 +C2X)e -— xcos2x ； 4

2

2.填空题

(1 )微分方程y ' = 2 xy2满足初始条

件

y(0) = -1的特解是

(2)有一条过原点曲线在其任意点 (x,y)处的切线斜率为3x，则该曲线方程是

29

(3)在其定义区间内，函数

e与ebx(a Hb)

ax

,3ln x与 2ln x

.(填“线性

相关”或“线性无关”)

(4)微分方程y\"+3y'-4y = 0的通解是

3. 解微分方程

/ ・ 2 3

(1)y卡旳=cosx；

(2)y'———y =(1+x) , y(0) =1;

1 +x

(3) y\" + 4y'+ 3y=2si nx ； ( 4) y\" 一 8y'+16y=x +ex.

任止后汽有一汽艇以时间知m艇在的速度在行进时中到进时的阻力与发动成正经过试确定发动机汽艇的

4

30