高中数学会考知识点总结-(超级经典)

数学学业水平复习知识点

第一章 集合与简易逻辑

1、 集合

（1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。 （2）、集合的表示法：列举法（）、描述法（）、图示法（）；

（3）、集合的分类：有限集、无限集和空集（记作，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）； （4）、元素a和集合A之间的关系：a∈A，或aA；

（5）、常用数集：自然数集：N ；正整数集：N；整数集：Z ；整数：Z；有理数集：Q；实数集：R。 2、子集

（1）、定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集 ；记作：AB， 注意：AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ

（2）、性质：①、AA,A；②、若AB,BC，则AC；③、若AB,BA则A=B ； 3、真子集

（1）、定义：A是B的子集 ，且B中至少有一个元素不属于A；记作：AB； （2）、性质：①、A,A；②、若AB,BC，则AC； 4、补集

①、定义：记作：CUA{x|xU,且xA}；

CUA A （CUA）A； ②、性质：ACUA，ACUAU，CU5、交集与并集

（1）、交集：AB{x|xA且xB}

性质：①、AAA,A ②、若ABB，则BA （2）、并集：AB{x|xA或xB}

性质：①、AAA,AA ②、若ABB，则AB

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A

B

A B 完美WORD格式.整理

6、一元二次不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）

判别式：△=b-4ac y 二次函数 O 20 y 0 0 y f(x)ax2bxc(a0) 的图象 一元二次方程 x1 x2 x O x1=x2 x O x 有两相异实数根 有两相等实数根 没有实数根 R ax2bxc0(a0)的根 一元二次不等式 x1,x2(x1x2) {x|xx1,xx2} “＞”取两边 x1x2b 2ab{x|x} 2aax2bxc0(a0)的解集 一元二次不等式 {x|x1xx2} “＜”取中间   ax2bxc0(a0)的解集 不等式解集的边界值是相应方程的解

含参数的不等式ax＋b x＋c>0恒成立问题含参不等式ax＋b x＋c>0的解集是R； 其解答分a＝0(验证bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a<0且△<0）两种情况。

22

第二章 函数

1、映射：按照某种对应法则f ，集合A中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元素和它对应， 记作f：A→B，若aA,bB，且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，a叫b的原象。

2、函数：（1）、定义：设A，B是非空数集，若按某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x）， （2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；自变量x的取值范围叫函数的定义域，函数值f（x）的范围叫函数的值域，定义域和值域都要用集合或区间表示；

（3）、函数的表示法常用：解析法，列表法，图象法（画图象的三个步骤：列表、描点、连线）； （4）、区间：满足不等式axb的实数x的集合叫闭区间，表示为：[a ，b] 满足不等式axb的实数x的集合叫开区间，表示为：（a ，b）

满足不等式axb或axb的实数x的集合叫半开半闭区间，分别表示为：[a ，b）或（a ，b]； （5）、求定义域的一般方法：①、整式：全体实数，例一次函数、二次函数的定义域为R；

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②、分式：分母0，0次幂：底数0，例：y1

2|3x|③、偶次根式：被开方式0，例：y25x2

1x④、对数：真数0，例：yloga(1)

（6）、求值域的一般方法：①、图象观察法：y0.2 ②、单调函数：代入求值法： ylog2(3x1),x[,3] ③、二次函数：配方法：yx4x,x[1,5)， y2|x|13x22x2

x 2x12sinx⑤、“对称”分式：分离常数法：y

2sinx④、“一次”分式：反函数法：y⑥、换元法：yx12x （7）、求f（x）的一般方法：

①、待定系数法：一次函数f（x），且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f（x） ②、配凑法：f(x)x1x21,求f（x） 2x③、换元法：f(x1)x2x，求f（x）

④、解方程（方程组）：定义在（-1，0）∪（0，1）的函数f（x）满足2f(x)f(x)3、函数的单调性：

（1）、定义：区间D上任意两个值x1,x2，若x1x2时有f(x1)f(x2)，称f(x)为D上增函数； 若x1x2时有f(x1)f(x2)，称f(x)为D上减函数。（一致为增，不同为减） （2）、区间D叫函数f(x)的单调区间，单调区间定义域；

（3）、判断单调性的一般步骤：①、设，②、作差，③、变形，④、下结论 （4）、复合函数yf[h(x)]的单调性：内外一致为增，内外不同为减； 4、反函数：函数yf(x)的反函数为yf反函数的求法：①、由yf(x)，解出xf的定义域（即原函数的值域）；

11，求f（x） x(x)；函数yf(x)和yf1(x)互为反函数； (x)，③、写出yf11(y)，②、x,y互换，写成yf1(x) . 专业资料分享 .

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反函数的性质：函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf函数yf(x)的图象和它的反函数yf11(x)的值域、定义域；

(x)的图象关于直线yx对称；

点（a，b）关于直线yx的对称点为（b，a）；

5、指数及其运算性质：（1）、如果一个数的n次方根等于a（n1,nN），那么这个数叫a的n次方根；

n*a(a0)a叫根式，当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nan|a|

a(a0)mn（2）、分数指数幂：正分数指数幂：aa；负分数指数幂：anmmn1amn

0的正分数指数幂等于1，0的负分数指数幂没有意义（0的负数指数幂没有意义）； （3）、运算性质：当a0,b0,r,sQ时：aaarsrs,(a)a,(ab)ab，raa；

rsrsrrr1rb6、对数及其运算性质：（1）、定义：如果aN(a0,a1)，数b叫以a为底N的对数，记作logaNb，

其中a叫底数，N叫真数，以10为底叫常用对数：记为lgN，以e=2.7182828…为底叫自然对数：记为lnN （2）、性质：①：负数和零没有对数，②、1的对数等于0：loga10，③、底的对数等于1：logaa1，④、积的对数：loga(MN)logaMlogaN， 商的对数：logaMlogaMlogaN， N1n幂的对数：logaMnlogaM， 方根的对数：loganMlogaM，

n7、指数函数和对数函数的图象性质 函数 定义 图象 指数函数 对数函数 yax （a0且a1） a>1 y y=ax 01 y y=logax 0 完美WORD格式.整理 性 单调性 质 图 定 点 象 图象 特征 图象 关系

函数值变化 在（-∞，+∞） 上是增函数 在（-∞，+∞） 上是减函数 在（0，+∞） 上是增函数 在（0，+∞） 上是减函数 1,x0ax1,x0 1,x01,x0ax1,x0 1,x00,x1logax0,x1 loga0,0x10,x1x0,x1 0,0x1a01,过定点（0，1） ax0,图象在x轴上方 loga10,过定点（1，0） x0,图象在y轴右边 yax的图象与ylogax的图象关于直线yx对称 第三章 数列

（一）、数列：（1）、定义：按一定次序排列的一列数叫数列；每个数都叫数列的项； 数列是特殊的函数：定义域：正整数集N（或它的有限子集{1，2，3，…，n}），

值域：数列本身，对应法则：数列的通项公式；

（2）、通项公式：数列{an}的第n项an与n之间的函数关系式；例：数列1，2，…，n的通项公式an= n 1，-1，1，-1，…，的通项公式an=(1)n11(1)n ； 0，1，0，1，0，…，的通项公式an

2（3）、递推公式：已知数列{an}的第一项，且任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系用一个公式表示，这个公式叫递推公式；例：数列{ an }：a11，an11an1，求数列{ an }的各项。

a1S1(n1)

SS(n2)n1n（4）、数列的前n项和：Sna1a2a3an； 数列前n项和与通项的关系：an（二）、等差数列 ：（1）、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

（2）、通项公式：ana1(n1)d （其中首项是a1，公差是d；整理后是关于n的一次函数）， （3）、前n项和：1．Snn(a1an)n(n1)d（整理后是关于n的没有常数项的二次函数） 2. Snna1

22（4）、等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：Aab或2Aab 2[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项

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的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 （5）、等差数列的判定方法：

①、定义法：对于数列an，若an1and(常数)，则数列an是等差数列。 ②、等差中项：对于数列an，若2an1anan2，则数列an是等差数列。 （6）、等差数列的性质：

①、等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，公差为d，则有

anam(nm)d

②、等差数列an，若nmpq，则anamapaq。

a1ana,a2,a3,,an2,an1,an

a2an1a3an2，如图所示：1a2an1*③、若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等差数列。

也就是：a1anS3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k

如下图所示：SkS2kSkS3kS2k④、设数列

an是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和，

SnS奇S偶S奇S偶a中则有：前n项的和当n为奇数时，则

， 当n为偶数时，

S奇S偶S奇nd2，其中d为公差；

，

n1n1a中S偶a中a22，（其中中是等差数列的中间一项）。

'⑤、等差数列an的前2n1项的和为S2n1，等差数列bn的前2n1项的和为S2n1，则

anS2n1。 'bnS2n1（三）、等比数列：（1）、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0）。

n1（2）、通项公式：ana1q（其中：首项是a1，公比是q）

na1,(q1)n（3）、前n项和] Sna1anqa1(1q)（推导方法：乘公比，错位相减）

,(q1)1q1qaanqa1(1qn)(q1) ○说明：①Sn2Sn1(q1)

1q1q3当q1时为常数列，Snna1，非0的常数列既是等差数列，也是等比数列 ○

（4）、等比中项：

如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

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也就是，如果是的等比中项，那么（5）、等比数列的判定方法： ①、定义法：对于数列an，若

Gb2，即GaGab（或Gab，等比中项有两个）

an1q(q0)，则数列an是等比数列。 an2②、等比中项：对于数列an，若anan2an1，则数列an是等比数列。

（6）、等比数列的性质：

①、等比数列任意两项间的关系：如果an是等比数列的第n项，am是等比数列的第m项，且mn， 公比为q，则有anamqnm

②、对于等比数列an，若nmuv，则anamauav

a1ana,a2,a3,,an2,an1,an

a2an1a3an2。如图所示：1a2an1也就是：a1an③、若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k

如下图所示：SkS2kSkS3kS2k（7）、求数列的前n项和的常用方法：分析通项，寻求解法

123nn(n1)1135(2n1)n2， ，122232n2n(n1)(2n1)

2612n①公式法：“差比之和”的数列：(235)(235)(235) ②、并项法： 1234(1)③、裂项相消法：1n1n

111 26(n1)n1341nn1

112123④、到序相加法：

⑤、错位相减法：“差比之积”的数列：12x3xnx

2n1

第四章 三角函数

1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角； （2）、与终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合{|k360,kZ}

（3）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象

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 完美WORD格式.整理

限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。

2、弧度制：（1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。 （2）、度数与弧度数的换算：180弧度，1弧度(（3）、弧长公式：l||r （是角的弧度数） 扇形面积：S

3、三角函数 （1）、定义：（如图） （2）、各象限的符号：

180)5718' 11lr||r2 22rx2y20y P（x，y） r 0  x yyrsin　　　tan　　　sec　　+ +

rxx O x xxr_ _ cos　　　cot　　　cscryysin

（3）、 特殊角的三角函数值

y

_ _

O

y

+

x _

O y

+ _

x +

+

cos

tan

的角度 0 的弧度 0 sin cos 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 5 6 61 23 2 42 22 2 33 2 21 0 — 2 33 23 42 22 2 0 3 22 0 0 1 23 23 31 0 — 1 0 1 23 1 23 1 0 1 0 tan 3 31 1 4、同角三角函数基本关系式

（１）平方关系： （２）商数关系： （３）倒数关系：

sin

cos sin2cos21 tan1tan2sec2 cotsin tancot1 costan 1 cot

cos sincsc1 sin1cot2csc2 cossec1

（4）同角三角函数的常见变形：（活用“1”）

sec csc

2222①、sin1cos， sin1cos2；cos1sin， cos1sin2；

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cos2sin22cos2sin22cos2②tancot，cottan2cot2

sincossin2sincossin2③(sincos)212sincos1sin2， 1sin2|sincos| 5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）

公式一： sin(k360)sin　　cos(k360)cos　　tan(k360)tan

公式二： 公式三： 公式四： 公式五：

sin(180)sinsin()sinsin(360)sin　　cos(180)cos cos(180)cos cos()cos cos(360)cos　　

tan()tantan(180)tantan(180)tantan(360)tansin(180)sinsin(33sin()cossin()cossin()cos2222补充：cos()sin cos()sin cos(3)sin cos(3)sin 222233tan()cottan()cottan()cottan()cot2222)cos6、两角和与差的正弦、余弦、正切

S()：sin()sincoscossin S()：sin()sincoscossin

C()：cos(a)coscossinsin C()：cos(a)coscossinsin T()：tan()tantantantan T()：tan()

1tantan1tantanT()的整式形式为：tantantan()(1tantan)

例：若AB45，则(1tanA)(1tanB)2．（反之不一定成立）

8、二倍角公式：（1）、S2： sin22sincos （2）、降次公式：（多用于研究性质） C2： cos2cossin sincos1sin2 21cos211222 12sin2cos1 sincos2

2222tan1cos2112T2： ta2n coscos222221tan22 . 专业资料分享 .

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（3）、二倍角公式的常用变形：①、1cos22|sin|， 1cos22|cos|；

②、

11cos2|sin|， 11cos2|cos|

2222422sin2244③、sincos12sincos1； cossincos2；

24④半角：sin2sin1cos1cos1cos1cos，cos，tan sin1cos22221cos9、三角函数的图象性质

（1）、函数的周期性：①、定义：对于函数f（x），若存在一个非零常数T，当x取定义域内的每一个值时，都有：f（x+T）= f（x），那么函数f（x）叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期； ②、如果函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f（x）的最小正周期。 （2）、函数的奇偶性：①、定义：对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，

都有：f（-x）= - f（x），则称f（x）是奇函数，f（-x）= f（x），则称f（x）是偶函数

②、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称； ③、奇函数，偶函数的定义域关于原点对称； （3）、正弦、余弦、正切函数的性质（kZ） 函数 定义域 值域 [-1，1] [-1，1] （-∞,+∞） 周期性 奇偶性 2递增区间 2递减区间 3 22k,22kysinx xR xR T2 奇函数 2k,2k T2 偶函数 T 奇函数 ycosx (2k1),2k k,k 222k,(2k1) ytanx {x|xk} 23，1），（，0），（，-1），（2，0）；

223，0），（2，1）； ycosx图象的五个关键点：（0，1），（，0），（，-1），（22ysinx图象的五个关键点：（0，0），（

y y   21 0 -1 ysinx2  32 2 x y  3 2 2 o  23 x 2 . 专业资料分享 . 1  2ycosx  0 32ytanx 2x 完美WORD格式.整理

2； x)的周期Tycosx的对称中心为（k,0）；对称轴是直线xk； yAcos(2ytanx的对称中心为点（k,0）和点（k,0）； yAtan(x)的周期T；

22(4)、函数yAsin(x)(A0,0)的相关概念：

函数 定义域 值域 振幅 A 周期 频率 相位 初相 图象 五点法 ysinx的对称中心为（k,0）；对称轴是直线xk； yAsin(x)的周期T2；

yAsin(x) xR [-A，A] T2f1x T2 yAsin(x)的图象与ysinx的关系：

当A1时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍

①振幅变换：ysinx 当0A1时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍 yAsinx

当1时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的

1倍

1②周期变换：ysinx 当01时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍 ysinx



当0时，图象上的各点向左平移个单位倍

当0时，图象上的各点向右平移||个单位倍 ③相位变换：ysinx ysin(x)

个单位倍 ④平移变换：yAsinx yAsin(x) |个单位倍 当0时，图象上的各点向右平移|

当0时，图象上的各点向左平移

常叙述成： ①把ysinx上的所有点向左（0时）或向右（0时）平移||个单位得到

ysin(x)；

②再把ysin(x)的所有点的横坐标缩短（1）或伸长（01）到原来的得到ysin(x)；

③再把ysin(x)的所有点的纵坐标伸长（A1）或缩短（0A1）到原来的A倍（横坐标不变）得到yAsin(x)的图象。

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1倍（纵坐标不变） 完美WORD格式.整理

先平移后伸缩的叙述方向：yAsin(x)

先平移后伸缩的叙述方向： yAsin(x)Asin[(x

)] 第五章、平面向量

1、空间向量：（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示。 （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的。

（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a平行的单位向量：ea|a|；

（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作a//b；规定0与任何向量平行；

（5）相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等；

任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。 2、向量的运算：（1）、向量的加减法：

三角形法则 向量的加法 平行四边形法则 向量的减法 a b b b b a ab a b b ab a ab 指向被减数 a 首位连结 a （2）、实数与向量的积：①、定义：实数与向量a的积是一个向量，记作：a； ②：它的长度：|a||||a|；

③：它的方向：当0，a与向量a的方向相同；当0，a与向量a的方向相反；当0时，

a=0；

3、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对平面内的任一向量a，有且

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只有一对实数1,2，使a1e12e2；

不共线的向量e1,e2叫这个平面内所有向量的一组基向量，{e1,e2 }叫基底。

4、平面向量的坐标运算：（１）运算性质：abba,abcabc,a00aa （２）坐标运算：设ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2

设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则ABx2x1,y2y1. （3）实数与向量的积的运算律: 设ax,y，则λax,yx,y，

00（4）平面向量的数量积：①、 定义：ababcosa0,b0,0180 ， 0a0. ①、平面向量的数量积的几何意义：向量a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积； ③、坐标运算:设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2y1y2 ；

向量a的模|a|：|a|2aaxy；模|a|22x2y2

x1x2y1y2x1y122④、设

是向量ax1,y1,bx2,y2的夹角，则cosx2y222，a

bab0

5、重要结论：（1）、两个向量平行的充要条件： a//bab (R)

设ax1,y1,bx2,y2，则a//b x1y2x2y10 （2）、两个非零向量垂直的充要条件：abab0

设 ax1,y1,bx2,y2，则 abx1x2y1y20 （3）、两点Ax1,y1,Bx2,y2的距离：|AB|(x1x2)2(y1y2)2

（4）、P分线段P1P2的：设P（x，y） ，P（ ，P（ ，且P（即1x1，y1）2x2，y2）1PPP2 ，

|P1P||PP2|）

x则定比分点坐标公式yx1x2x1x2

x12 ， 中点坐标公式

y1y2yy1y212

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'xxh,（5）、平移公式：如果点 P（x，y）按向量ah,k 平移至P′（x′，y′），则

'yyk. 6、解三角形：（1）三角形的面积公式：S（2）在△ABC中：ABC180，

111absinCacsinBbcsinA 222因为AB180C：sin(AB)sinC， cos(AB)cosC， tan(AB)tanC 因为

AB90C：sin(AB)cosC， cos(AB)sinC， tan(AB)cotC

22222222abc2R,边用角表示：a2RsinA,　b2RsinB，　c2Rsin sinAsinBsinCa2b2c22bccosA（3）正弦定理，余弦定理 ①正弦定理：

a2b2c2ab若：a2b2c22ab则：

②余弦定理：bac2accosB222c2a2b22abcosC(ab)22ab(1cocC)a2b2c23abb2c2a2a2c2b2a2b2c2　　　　cosB　　　　cosC求角： cosA

2bc2ac2ab

第六章：不等式

1、不等式的性质：（1）、对称性：abba； （2）、传递性：ab,bcac；

（3）、abacbc；ab,cdacbd

（4）、ab,若c0acbc，若c0acbc；ab0,cd0acbd

y （5）、ab0anbn,na1、 均值不等式：（1）、

（2）、ab2ab或ab(nb,(nN,n1)（没有减法、除法） （aba2b2）

22aaax ab2) 一正、二定、三相等 2不满足相等条件时，注意应用函数f(x)x1图象性质（如图） x2a应用：证明（注意1的技巧），求最值，实际应用 （3）、对于n个正数：a1,a2,a3,an(n2)， 那么：

a1a2an叫做n个正数的算术平均数，na1a2an叫做n个正数的几何平均数；

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3、不等式的证明，常用方法：

（1）比较法：①、作差：ab0ab,ab0ab，（作差、变形、确定符号）

②、作商：a1(b0)ab(b0),a1(b0)ab(b0)

bb;　　,　; （2）综合法：由因到果，格式：,　（3）分析法：执果索因，格式：原式

，　，　，　，

（4）反证法：从结论的反面出发，导出矛盾。

4、不等式的解法：（不等式解集的边界值是相应方程的解）

一元二次不等式（x的系数为正数）：0时“>”取两边,“<”取中间 绝对值不等式：含一个绝对值符号的：“>”取两边,“<”取中间

含两个绝对值符号的： 零点分段讨论法（注意取“交”，还是取“并”）

高次不等式的解法：根轴法 （重根：奇穿偶不穿） 分式不等式的解法：移项、通分、根轴法

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