高中数学一轮复习学案解析几何初步

一、高考《考试大纲》的要求：

①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. ②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. ③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.

④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）， 了解斜截式与一次函数的关系.

⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.

⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

二、基础知识填空：

1.直线的倾斜角：在直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴（正方向）按_______方向绕着交点旋转到___________所成的角，叫做直线l的倾斜角。当直线l和x轴平行时，它的倾斜

O

角为0.倾斜角通常用α表示，倾斜角α的范围是__________________.

2.直线的斜率：倾斜角的________值叫做直线的斜率。通常用字母k来表示，即k=_______________.

oooo

当倾斜角0≤α<90时，斜率k是______的，倾斜角越大，直线的斜率就_____。当倾斜角90<α<180

o

时，斜率k是_____的，倾斜角越大，直线的斜率就______。当倾斜角α=90时，直线的斜率________. 3.直线的斜率公式：在l上任取两个不同的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2).则直线l的斜率为k=_____________. 4.直线方程的五种表达形式： （1）点斜式：已知直线l上的两点P(xo,yo)及斜率k，则l的方程是____________________________. （2）斜截式：已知直线l在y轴上的截距b及斜率k，则l的方程是____________________________. （3）两点式：已知直线l上的一点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则l的方程是____________________________. （4） 截距式：已知直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b，则l的方程是_______________________. （5）一般式：任何一条直线的方程都可以表示为如下形式________________________________. 5．两条直线的位置关系：

（1）设直线l1:yk1xb1,直线l2:yk2xb2，

则l1∥l2_________________； l1⊥l2__________________.

（2）设直线l1:A1xB1yC10,直线l2:A2xB2yC20，

则l1∥l2______________________； l1⊥l2____________________.

6.三个重要公式：

（1）两点间的距离公式：已知两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则|AB|=____________________________. （2）点到直线的距离公式：点P(xo,yo)到直线l：Ax+By+C=0的距离为d=_____________________. （3）两条平行直线间的距离公式:两平行直线l1:AxByC10与l2:AxByC20之间

的距离为d=___________________________.

三、例题选讲：

例1．（2004全国卷Ⅳ理）过点（－1，3）且垂直于直线x2y30的直线方程为（ ） A．2xy10 B．2xy50 C．x2y50 D．x2y70

例2．(2005全国卷III文、理)已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行,

则m的值为( )

（A）0 （B）-8 （C）2 （D）10

例3.（2006北京理）若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共线，则

11的值等于________. ab例4.(2001江西、山西、天津文、理)设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|=|PB|．

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若直线PA的方程为 xy10，则直线PB的方程是（ ）

（A）xy50 （B）2xy10 （C）2yx40 （D）2xy70

四、基础训练：

1．（2005浙江文、理）点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是() (A)

32213(B)(C)(D) 2222

2.(2001上海文、理) a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的（ ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

3.(2000春招北京、安徽文)直线(－)x＋y＝3和直线x＋(－)y＝2的位置关系是（ ）

A．相交不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合 4．（2004湖南文）设直线 ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足（ ） A．ab1 B．ab1 C．ab0D．ab0

5.（2006上海文）已知两条直线l1:ax3y30,l2:4x6y10.若l1//l2，则a____.

236．(2008浙江理)已知a>0，若平面内三点A(1，-a)，B(2，a)，C(3，a)共线，则a=.

五、巩固练习：

1．（2003全国文）已知点(a,2)(a0)到直线l:x-y30的距离为1，则a（ ） （A）2 （B）22（C）21 （D）21

2.(2005北京文、理)”m=

1”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的( ) 2(A)充分必要条件(B)充分而不必要条件

(C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

3.(2008四川文、理)直线y3x绕原点逆时针旋转900,再向右平移１个单位,所得到的直线为( ) （Ａ）y

4．（2002北京文）若直线l:ykx3与直线2x3y60的交点位于第一象限，

则直线l的倾斜角的取值范围（ ）

5．（2005上海文）直线yA．[1111x （Ｂ）yx1 （Ｃ）y3x3 （Ｄ）yx1 3333,)B．(,)C．(,)D．[,] 636232621x关于直线x1对称的直线方程是__________. 2

6．（2003上海文）已知定点A（0，1），点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，

点B的坐标是.

第02讲 圆与圆的方程

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一、高考《考试大纲》的要求：

① 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的规范方程与一般方程.

②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系. ③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ④ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

二、基础知识填空：

1.圆的规范方程：圆心为C（a,b）,半径为r的圆的规范方程是__________________________. 2.圆的一般方程：__________________________,其圆心坐标为_________,半径为______________. 3.利用心线距判定直线与圆的位置关系:设圆C:(xa)(yb)r的圆心C（a,b）到直线 ｌ:Ax+By+C=0的距离为d.则当__________时，直线与圆相离；当_________时，直线与圆相切； 当___________时，直线与圆相交。 4．若圆C的半径为R，AB是长度为L的弦，弦心距为d，则________________________. 5.圆与圆的位置关系：设圆C1：(xx1)(yy1)r1和圆C2：(xx2)(yy2)r2的圆心距为d=|C1C2|.则当___________时，两圆相离；当___________时，两圆外切；当___________时，两圆相交；当___________时，两圆内切；当___________时，两圆内含。

222222222三、例题选讲：

例1．（2005重庆文、理）圆(x2)y5关于原点（0，0）对称的圆的方程为（） A．(x2)y5B．x(y2)5 C．(x2)(y2)5D．x(y2)5

22例2．（2004全国卷Ⅲ文、理）圆xy4x0在点P(1,3)处的切线方程为（ ）

2222222222A.x3y20 B.x3y40

2222例3．（2004湖北文）两个圆C1:xy2x2y20与C2:xy4x2y10的公

切线有且仅有（ ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

例4.(2008重庆理)直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），

则直线l的方程为.

C.x3y40 D.x3y20

四、基础训练：

1.(2006重庆文)以点(2，－1)为圆心且与直线3x4y50相切的圆的方程为( ) （A）(x2)(y1)3 （B）(x2)(y1)3

（C）(x2)(y1)9 （D）(x2)(y1)9

2.(2005北京文)从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0作两条切线, 则这两条切线的夹角的大小为( ) （A）

222222222（B）（C）（D） 63233 / 11

3.(2007安徽文)若圆xy2x4y0的圆心到直线xya0的距离为

(A)-2或2 (B)

222,则a的值为( ) 213或(C)2或0 (D)-2或0 22

224．(2008重庆文)已知圆C：xy2xay30（a为实数）上任意一点关于直线l：x-y+2=0的对称点都在圆C上，则a=.

225．（2005湖南文）设直线2x3y10和圆xy2x30相交于点A、B，则弦AB的垂

直平分线方程是.

五、巩固练习：

1.(2006湖南文)圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是( )

A．36 B.18 C.62D.52

2. (2004全国卷Ⅱ文、理)已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为( )

（A）(x＋1)2＋y2＝1 （B）x2＋y2＝1 （C）x2＋(y＋1)2＝1 （D）x2＋(y－1)2＝1 3．（2001江西、山西、天津文、理，全国文、理）过点A（1，－1）、B（－1，1）且圆心 在直线x+y-2=0上的圆的方程是（ ） （A）(x3)(y1)4 （B）(x3)(y1)4 （C）(x1)(y1)4（D）(x1)(y1)4

224.(2002北京文)圆xy2x2y10的动点Q到直线3x4y80距离的最小值为.

5.（2006天津理）设直线axy30与圆(x1)(y2)4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a__________．

226.（2002上海文、理）已知圆x(y1)1和圆外一点P(2,0)，过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是。

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2222222222第03讲 直线与圆的综合问题

【知识整理】：

1.考点分析：此部分解答题以直线与圆相交(或相切)为主要表现形式，多数涉及求圆或直线

的方程，求参数的取值范围等等。 2.解答直线与圆相交(或相切)的问题，一般用心线距与半径的大小关系，还经常要以一元二次方程根的判别式和根与系数的关系定理为工具，考察由直线方程与圆的方程组成的联立方程组解的情况. 其一般步骤为：设线、设点，联立、消元，韦达、代入、化简。 第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b（或斜率不为零时，设x=my+a）； 第二步：设直线与圆的两个交点为A(x1,y1)B(x2,y2)。 第三步：联立方程组ykxbxyDxEyF022，消去y 得关于x的一元二次方程；

二次项系数不为零x1x2第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件，

x1x20第五步：把所要解决的问题转化为关于x1+x2和x1x2表达式，然后代入、化简。

【典型例题分析】

例1．(2008辽宁文、理) 圆xy1与直线ykx2没有公共点的充要条件是（ ） ．．A．k(2，2) C．k(3，3)

例2.(2007广州高二水平测试)已知圆C经过坐标原点,且与直线xy20相切,切点为A2,4. (1)求圆C的方程。 (2)若斜率为1的直线l与圆C相交于不同的两点M、N,求AMAN的取值范围.

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222)B．k(∞，3)D．k(∞，(2，∞) (3，∞)

【基础训练】

一、选择题：

1.(2002春招北京理)圆2x2+2y2=1与直线xsin+y–1=0 (R, /2+k, kZ)的位置关系是( ) （A）相交 （B）相切 （C）相离 （D）不能确定

2.(2007湖北文)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)3+y2=1引切线，则切线长的最小值为（ ） A.1 B.22C.7 D.3

3. (2008山东文)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴相切，

则该圆的规范方程是（ ）

722A．(x3)y1B．(x2)(y1)1

3223C．(x1)(y3)1D．x(y1)21

22224．(2008山东理)已知圆的方程为X2+Y2-6X-8Y＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC

和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）

（A）106（B）206 （C）306 （D）406

二、填空题： 5．（2006湖北文）若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是.

226．（2007山东文、理）与直线xy20和曲线xy12x12y540都相切的半径最小的圆的规范方程是________． 7．(2008天津文)已知圆C的圆心与点P(2，直线3x4y110与圆C1)关于直线yx1对称．相交于A，B两点，且AB6，则圆C的方程为．

8．（2005重庆文）若xy4,则xy的最大值是.

三、解答题： 9．（2007北京文、理) 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程

22，在AD边所在直线上． 为x3y60点T(11)（I）求AD边所在直线的方程；（II）求矩形ABCD外接圆的方程；

22yTDNOACMBx10．已知圆C的方程为xy2x2y10，直线l过定点P(2，1)。

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（1）当l与C相切时，求出直线l的方程；

（2）若直线l与圆C相交于不同的两点M、N, 当△MCN的面积最大时，求直线l的方程

11．(2007惠州二模文)已知圆C：xy2x4y40,是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由。

212．(2008江苏)设平面直角坐标系xoy中，设二次函数fxx2xbxR的图象与两坐标

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22轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：（Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．

13．（据2002全国文科试卷改编）已知点P到两定点M(1,0)、N(1,0)距离的比为2. (1)求点P的轨迹C的方程，并指出该轨迹是什么曲线；

(2)当点N到直线PM的距离为1时，求直线PM的方程及直线PM被曲线C截得的线段的长。

“解读几何初步”参

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第01讲 直线与直线的方程

三、例题选讲：

例1．A．例2．B. 例3.

12.例4. A. 四、基础训练：

1．D. 2. C. 3. B． 4．D. 5._ 2 __.6．12.

五、巩固练习：

1．C. 2. B. 3.Ａ. 4．B．5． x+2y-2=0.6．12,12.

第02讲 圆与圆的方程

三、例题选讲：

例1．A．例2. D. 例3．B．例4.x-y+1=0

.

四、基础训练：

1.C. 2.B. 3.C. 4. -2 .5．3x-2y-3=0.

五、巩固练习：

1. C.2. C. 3．C. 4.2 .5.__ 0 __．6.43.

第03讲 直线与圆的综合问题

【典型例题分析】例1．C． 例2.解：（1）设圆心C的坐标为a,b.

依题意得b4a211,，解得a7,a2b2a22b42.b1.

圆心C的坐标为7,1.圆C的半径为rOC721252. 圆C的方程为x72y1250.

（2）设直线l的方程为yxm,Mx1,y1,Nx2,y2 由yxm,y150.消去y，整理得x7222x22m16xm22m0. m8,xm2x2m1x21x22.

AMAN(x12)(x22)(y14)(y24)(x12)(x22)(x1m4)(x2m4)2x1x2m2x1x2m424m22mm2m8m424m212m36m62.

因为直线l与圆C相交于不同两点,所以

71m252.即4m16.

AMAN的取值范围是0,100.

【基础训练】

一、选择题：

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

1.C. 2.C.3.B．4. B 二、填空题：

5．(0,) 。 6．(x2)(y2)2 。 7．x(y1)18 。8．22.

三、解答题： 9．解：（I）因为AB边所在直线的方程为x3y60，

且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3．

又因为点T(11)，在直线AD上，

所以AD边所在直线的方程为y13(x1)．即3xy20．

432222x3y60，（II）由解得点A的坐标为(0，2)，

3xy2=0因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2，0)． 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．

又AM(20)(02)22．

从而矩形ABCD外接圆的方程为(x2)y8．

22yTDNOACMB22x

222210．解：（1）圆C：xy2x2y10的方程可变形为(x1)(y1)1； 圆心为C1,1，半径为r=1.

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，

则直线l的方程为y1k(x2)， 整理，得kx-y-2k+1=0，

当直线l与C相切时，C到l的距离为dk12k1k211，解得k3， 4所以，直线l的方程为3x-4y-2=0.

当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，显然它也是圆C的切线。 综上，得直线l的方程为3x-4y-2=0和x=2 .

（2）由（1）知，当直线l与圆C相交于不同的两点M，N时，直线l的斜率一定存在，

故可设直线l的方程为y1k(x2)，

当△MC N的面积最大时，∠MC N=900，△MC N为等腰直角三角形，

此时C到l的距离为dk12k1k212整理，得k8k70，解得k1或k7，

所以，直线l的方程为xy10或7xy130。

11．解：(解法一)圆C化成规范方程为：(x1)(y2)9

假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a,b）

222， 2b211,ab10,得b=-a-1① a1直线l的方程为ybxa,即x-y+b-a=0

ba3CM,以AB为直径的圆M过原点，MA＝MB＝OM

22ba3ba3222MB＝CBCM＝9OMa2b2， 即：9a2b2②

223由①②得：a或a1

2由于CMl,kCMkl1,kCM10 / 11

当a35时，b,此时直线l的方程为x-y-4=0 22时，b0，此时直线l的方程为x-y+1=0 当a11122故这样的直线l 是存在的，方程为x-y-4=0或x-y+1=0.

(解法二)设直线l的方程为y=x+b，并设直线l与圆C相交于点A(x,y)，B(x,y)， 联立方程组yxb22，消去y，整理得2x2(b1)xb4b40 22xy2x4y4012∴xxb1，xx(b4b4)，①

121222yy(xb)(xb)xxb(xx)b②

12121212若以弦AB为直径的圆过原点，则OAOB0，即xxyy0③

1212①、②代入③，整理得b3b40，解得b=-4或b=1， 经检验知，此时，4(b6b9)0都成立

故这样的直线l 是存在的，且有两条，方程为y=x-4或y=x+1. 12．【解读】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． （Ⅰ）令x＝0，得抛物线与y轴交点是（0，b）； 令fxx2xb0，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

22（Ⅱ）设所求圆的一般方程为xyDxEyF0

222令y＝0 得xDxF0这与x2xb＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝b． 令x＝0 得yEy＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1． 所以圆C 的方程为xy2x(b1)yb0. （Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．

证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0， 所以圆C 必过定点（0，1）．

同理可证圆C 必过定点（－2，1）．

13．解：（1）设P的坐标为(x,y)，由题意有

即(x1)y222222222|PM|2，

|PN|2(x1)2y2，

22222整理，得xy6x10，即(x3)y(22)。

所以，轨迹C是以C（3，0）为圆心，以22为半径的圆。

（2）因为点N到PM的距离为1，|MN|2

33(x1)， ，直线PM的方程为y33所以，直线PM的方程为x3y10或x3y10，且这两直线关于x轴对称。

所以PMN30，直线PM的斜率为圆心C（3，0）到直线PM的距离为d2， 2所以，直线PM被曲线C截得的线段的长为2844。

30111 / 11