2018年高考数学全国卷m文科20题探究
四川内江师范学院数学与信息科学学院（1112)胡生兵赵思林
—、试题再现
2018年全国卷m文科第20题：已知斜率为A的 直线z与椭圆+ f = 1交于两点.线段 的
中
点
为
> 〇).
重对数学能力的考查，展示数学的科学价值和人文 价值[1].本题以数学核心素养立意，意在考查解析 几何的基本思想方法（即解析法）和向量的基本思 想方法（即向量法）.下面从考查基础知识、数学思 想方法、数学能力等方面分析试题的立意.
以知识立意:本题考查了直线的斜率、椭圆方程与性质、直线与椭圆的位置关系、平面向量的运算、 三角形重心性质等数学基础知识.
以考查数学思想方法立意：本题考查了转化与 化归、数形结合等思想，并考查直线与椭圆的交点、 线段长度的求法，用中点坐标表示斜率、判断等差数 列等基本方法.
以数学核心素养立意:该题考查了直观想象、逻辑推理、数算等数学核心素养.比如，从条件碎+冗+
3认识、发现和演绎出点f的几何特
(1)证明4 <-如
(2)设f为C的右焦点，户为（：上一点，且碎
冗+巧=5•证明：2 I碎I = I冗1+1^1.
题干中的线段实质上是考生非常熟悉的中 点弦，第（2)小题以向量的形式呈现.此题以数学核 心素养立意.内涵深刻，含有教材背景，解题思路宽， 具有较高思维训练价值，值得探究.下面对这个优秀 的题目，从试题的立意、试题背景、试题解法和解题
启示等方面作一些探究.
二、试题的立意
立意是试题考查的目的.高考数学命题,在考查 基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注 *
征，即点f是三角形的重心，这需要考生具有直
*项目来源:教育部“本科教学工程”四川省地方属高校本科专业综合改革试点项目——内江师范学院数学与应用数学 “专业综合改革试点”项目（ZG04);四川省“西部卓越中学数学教师协同培养计划”项目（ZY16001);内江师范学院2016年 度校级学科建设特色培育项目（T160009,T160010,T160011);内江师范学院精品资源共享课《初等代数研究》（内师院发 〔2013〕53号）.赵思林系本文通讯作者.胡生兵同时为四川师范大学数学与软件科学学院培养的硕士生.
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中学数学研究
2019年第1期
观想象、逻辑推理、数算等素养.又如，认识和理解“点M(l，m)在椭圆内”等价于+ f < 1”，既需要良好的直观想象素养，又需要一定的逻辑推理 素养.考生具备良好数学核心素养的标志是他们具 有优良的数学思维品质.本题还考查了思维的广阔 性、灵活性、深刻性、创新性等思维品质.三、 试题的教材背景
教材是试题的主要来源，是高考命题的出发点和重要依据.在历年的高考数学试题中，有大量题目源于教材并高于教材.本题也是一道源于教材、高于教材的好题.此题的第一问含有下面这道题目的背
2
2
景：经过点M(2，l)作直线Z，交椭圆^ ^ = 1于
两点.如果点M恰好为线段的中点，求直线Z 的方程.此题来自人教4版《普通高中课程标准实验
教科书》选修4^的第二讲第三节例2.
像这样立足于教材的试题，既可以保证试题背 景的公平性，同时可以抑制题海，还对中学数学教学 有很好的引导和导向作用.因此，应该大力提倡立足 于教材的高考试题.
四、 思路分析与解法探究波利亚曾指出：“掌握数学就意味着善于解一 些要求思考，思路合理、见解独到和发明创造的 题.”对试题的分析和解法探究可以从多角度、多层 次思维着手，意在培养学生对不同知识的融会贯通, 培养学生数学解题思维的发散性、系统性、优化性、 创新性.
(一）第（1)小题的思路分析与解法探究
第（1)小题主要有运用韦达定理、参数法、运用 椭圆（或双曲线）的垂径定理、点差法、点差法的优 化等方法.
思路分析1:(运用韦达定理）设直线/的方程为 y = k(x - I) + m.ry = k(x - 1) + m,由 i %2 y2 i 消去 y 得，（3 + 4A：2) %2 +
- fc)% + 4(m - fc2) - 12 = 0.设点 ，力），
su2，y2),根据韦达定理得^ + %2 = _
又因为点M(l，m)(m >0)为线段的中点，所以 Xi +x2 = _ %(了4&；f) = 2,化简得- 令％ =1，代入椭圆方程f= 1，解得y =±|■•因为点 M(l，m)在椭圆内，所
以
< m < |■，又m >0,
所以 0点评：韦达定理是解答解析几何问题的常用方 法•该方法的思维难度不高，但是对考生的运算素养 要求高•在运用韦达定理时，如果直线方程设立不恰 当，将会增加计算难度.思路分析2:(运用参数法）设过点M(l，m)的直线Z的参数方程为^ = 1Vy = m + t + tsina~Sa’,（f为参数）.将
此方程代入椭圆方程，整理得（sin2a + 3)f2 + (6cosa + 87nsino;)t + 4m2 - 9 = 0•由 i 的几何意义 知I M4I =ltll，l MBI =U2I.因为点M在椭圆内，这个方程必有两个解，所以^ +t2 =
6e<)Sa + sin2 a + 8mSma_.因为点M为线段的中点，所以+ t2
2
=0,即 6cosa + 8msina = 0.从而 = tana
4m
，即m =-&.又因为点M(l，m)在椭圆内，
所以*+ 丁m < 1.由 m >0知，& <0.又由（-3 2
< 9
可解得& < - y.
点评:通过构造直线的参数方程，将斜率转为倾
斜角的正切值，这样更好地揭示了问题的本质.
思路分析3:运用椭圆（或双曲线）的垂径定理：
2
2
2 2
若点是椭圆勹 丁&2 - ■或双曲线-1的弦的
中点，其中不平行于对称轴且不过曲线中心〇,则有 公式bs •
= # - 1.由椭圆垂径定理，可知•
(士 )2
4
，所以*
“ •因为
点Af(l，m)(m >0)在椭圆内，当％ = 1时，椭圆上 点的纵坐标y = ±|，所以肌e (0，|)，所以A：=-£ E (-〇〇, - 士)，即 A <-士.
点评：通过题目知道，第（1)问就是考查椭圆的 中点弦的相关性质，因此很容易想到运用椭圆（或 双曲线）的垂径定理.运用此结论可以降低运算难 度，规避繁琐运算•
思路分析4:(点差法）设点
72)
，贝
44 = 1
，誓
+
誓
=1.
将这两式相减，得_
^12 -^2 .2 Jl - 2 72
2
〇.又因为
线段的中点为M( 1，/71) (771 >0)，所以
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中学数学研究
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且 ^ + x2 = 2,；^ + y2 = 2m，从而^~xx - ^x2
xy1 + y2
4/n. 4 m
.令％ = i，代入椭圆方程
2
2
〇
t + | = 1，解得y =±|.又因为点M(l，m)在椭 圆内，且m >0,所以0 点评：点差法体现了整体代换的思想•解答问题 (1)的关键就在于运用点P的纵坐标表示斜率•根据斜率的定义、又知道中点坐标，所以运用点差法可 以减少运算量，使问题轻松获解.
思路分析5:(点差法的优化）在运用点差法时， 总共设了四个未知数A，x2，7l，y2，运用中点坐标减 少未知数个数.
设点，yi)，因为中点M( 1，m)，所以点B(2-&，2m -yi)•将点代入椭圆方程，得
2
2
i，①
(2_^)2 + (2肌：71)2 =1.②
43
将两式相减，得^ - 1 +4m,- m) = 0,整理
得jl =
w，所以直线^z的方程为y
4^X+4^+ m,从而ft
4m
•又因为点M(l，m)
在椭圆内，所以| + f < 1•由肌>〇可解得，〇 <肌< ~|■•再由（-吾)2 < ■可解得，A： < -点评:运用中点坐标表示点 '等价于将点4和
椭圆进行平移.方程②表示平移后的椭圆，并且椭 圆①和②关于点M对称.而直线Z表示两个椭圆的 公共弦.此方法很好的揭示了问题的几何意义.
(二）第（2)小题的思路分析与解法探究
思路分析1:(运用椭圆第二定义）因为F为右 焦点，所以点F坐标为（1，〇)•设点P(%，ya)，所以碎=(x。-l，y。）.因为点M为线段的中点，所以
+苑=2F^，Fl^ = (0，m).又因为FP + +苑=技，所以（％ -l，y。）+ (0,2m) = (0,0).因此%〇 = 1，y。= -
> 〇)•将％。= 1代入椭圆计算
得7。=_|■，所以肌=|，进而碎=(1，-|)•根
据⑴知々=-4士，所
以
直
线
方
程
=〇.
x + y - = °>由
X
2
Y2
1
消去y得28V -56x + 1 = 0•根
4
3
「^ + = 2,
据韦达定理可知| x1x2_：[ 所以I丙i + irai
\"~ 28'2a -—a
(xx + x2)
4 - 1 = 3•又 I 碎 I =
2
5，所以2 I碎I =1冗I +
I FBI.
点评：这里用了椭圆的焦半径公式I HI = a - a
思路分析2:(运用点差法）根据已知条件知 F(i ,〇),设点 P(*〇，y。）
,7i)，B〇2，：T2)•因为
⑶=0,即(a - 1,3^ ) + (%2 - 1 ,y2) +
(%〇 - l，y。）= (〇,〇)•所以％。= 3 - (^ +%2) = 1，
-（yi + y2) = 一 2肌
> 〇)，因此，点尸U，
~2m).又因为点尸在椭圆上，所
以
(-^m)2 =
1，解得:于是P(l, _备)，I菇I
2，
I 或1=7(^-1)2 + (1-舍）=2-音％.同理
可得I苑I = 2 -
•所以2 I碎I = I或I +
I FB\\.思路分析3 :(运用三角形重心坐标公式）设点
=5，所以碎=-(冗+巧）=-2^，从而尸、^\\M三点共线.又因为点M和F的横坐标相同，所以x。1，代入椭圆方程可得T。
y,SWI FP\\ =f.因为碎+或+:^ =0,所以点F是三角形ABC的重心.根据三角形重心坐标，有％ + ^ +& = 1，所以 A+
a
=2.又因为 I fA I +1
I = 2a - e(& +
h) = 4- + x2 =3■所以 21 碎 I =1 冗1 +
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五、教学启示
\\
FB\\.
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点评：这里也用了椭圆的焦半径公式丨冗丨=a
-exx.从高考命题的角度看，此题源于教材、高于教 材，所以在平常教学和高三复习中都要重视教材、回 归教材、认真钻研教材.此题以数学核心素养立意的 意图是明显的，也是成功的.因此，数学教学应精选 能体现数学核心素养的好问题，让学生进行深度思 考，多角度开展数学探究，不断提高问题分析和问题 解决的能力•
解析几何是高考的重点、热点和难点.解析几何 之难往往难在其运算素养要求高上，也就是说，运算 素养位于解析几何的制高点，运算素养有时决定着 解析几何学习和考试的成败.在解析几何中如何降 低（减少）运算量或回避繁琐的运算，是解析几何教 学应该思考和研究的问题.以本题为例，熟练运用韦 达定理，善于借助几何直观，灵活运用直线或椭圆的 参数方程、弦长公式以及向量工具等，就可以降低或 减少运算量.
数学核心素养与数学思想方法具有密切关系. 在解题教学中应重视数学思想方法的运用，如数形 结合、转化与化归、分类与整合、方程或不等式等思 想的运用，熟练解析法、向量法、定义法、参数法、点 差法等数学基本方法的运用，对学生学好数学、用好 数学和考好数学都是有益的.
思路分析4:(利用等差数列的定义）因为碎+
H +碎=巧，所以FP = -2元&，而另H = (0，m)，所 以点尸的横坐标为1，从而尸(1，-|)，进而I巧1=|.设点 4(%1，71)、5(^，72)，所以1丙1=2-
Cl，I 碎 I = 2 -I
從2，则 I 碎 I -I K I = %
，
2，
I -1 fA I = 士 - «c2进而 e；*^ - 士-士 + «c2 =+x2)-l = 士 X2-1 =0•故21 碎I =1 Hi
+ 1 FBI.点评：第（2)问运用等差数列的定义，把问题等
-->■ --► --► --►
价转化为证明：丨FP丨-丨丨=丨丨-I W3丨
.
思路分析5:(利用椭圆的参数方程）该椭圆参数方程为 I 广’则 Apcosc^
l-y = y3 sina.
->■
-►
，
•^\"sinc^ )
，
5(2c〇Sa2,WSina2).通过计算可得 I K I = 2 -cosai，I rai =2-cosa2，所以 I 以1 +1 /^l =4-(cosc^ + cosa2)•因为 Af( 1，/7i)为中点，所以 cosc^+ cosa2 = 1•从而I以1 +1 fBI = 3,又因为I尸尸I=^■，故2 I 仲 I =1 FA\\ +\\ FB\\.—
►
—
—
>-
-►
参考文献
[1 ]教育部.2018年普通高等学校招生全国统一理科数学考 试大纲[M].北京师范大学出版社,2018.
一道解析几何问题的解法及启示
江苏省常州市北郊高级中学（213031) 耿晓华
解析几何是一门用代数的方法去研究几何问 题的数学分支，因此对运算的要求比较高.学生对这
部分内容的学习普遍感到难度较大，原因大致有:对 运算策略不够清晰，对算法设计不够明确，对复杂计 算畏难畏繁情绪重，运算的意志力不坚定等等.而教 师对解析几何的教学难度也是较大的，尤其是解析 几何的习题教学.本文以一道解析几何题为例，给出 了 2种运算策略，4种算法设计（具体体现在4种不 同的解法，而思路全部由学生提供），并结合这道题
的教学实践给出了几点启示，以期与同行分享.
yf%题目如图1，椭圆b2
l(a > 6 > 0)的右顶点
和上顶点分别为为线 段的中点，且成.品=-图1
尹.
