几何画板探求椭圆轨迹的几种作法

作者：刘文发

来源：《新课程学习·中》2012年第05期

几何图形的绘制，我们通常是用直尺和圆规，它们的配合几乎可以画出所有的欧氏几何图形。从某种意义上讲几何画板绘图是欧氏几何“尺规作图”的一种现代延伸。因为这种把所有绘图建立在基本元素点、线、圆上的做法和数学作图思维中公理化思想是一脉相承的。用几何画板探求椭圆的轨迹，可进一步理解椭圆的定义以及以动画形式展示动点轨迹如何形成椭圆。让学生在数学的实验过程中体验数学之美及培养学生的创新能力。

几何画板绘图中，构造轨迹的前提条件是：选定两点，一点是在一条路径上的自由点和能够跟随此点运动的点即被动点。其中路径可以是任何线（线段、直线、射线）轨迹、函数图象。

一、椭圆的定义

椭圆的定义：到两个定点F1，F2的距离和等于常数2a（2a＞F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点。

根据椭圆的定义，在几何画板绘图中，我们要确保动点到两个定点的距离为常数且大于两定点间距离。以下探求椭圆轨迹的实验环境为几何画板5.0环境下进行实验操作。 方法一：

（1）在画板上作线段F1F2。

（2）在画板上作另一条线段AB，使AB＞F1F2。

（3）在线段AB上任取一点C，“构造”线段AC；“构造”线段BC。 （4）以点F1为圆心、线段AC为半径，“构造”圆F1。 （5）以点F2为圆心、线段BC半径，“构造”圆F2。 （6）圆F1与圆F2交于点M、P，并选择“跟踪”点M、P。

（7）选中点C，在编辑菜单下操作类按钮设置为动画，标记为“动点M、P形成轨迹”。 （8）当鼠标点击“动点M、P形成轨迹”按钮时，点M、P运动，运点的轨迹是椭圆。

方法二：

（1）在画板上作圆A，在圆内和圆上分别取点B、C，“构造”直线AC，“构造”线段BC。 （2）“构造”线段BC的中点作垂直平分线交直线AC于P。 （3）选定C点和P点，单击菜单命令：【构造】→【轨迹（U）】 二、由限定条件作椭圆的轨迹

根据椭圆的标准方程：■+■=1（a＞b＞0）或■+■=1（a＞b＞0）可得其参数方程为■=cosα■=sinα或■=cosα■=sinα。由椭圆的参数方程可作部分限定条件的椭圆。 方法三：

（1）在画板上作圆O，作圆O的直径AB。

（2）在圆O上任取点,，过点M作AB的垂线MN交AB于点N。

（3）“构造”线段MN，取MN中点P，设置点M为动画，“跟踪”点P。点P的轨迹是椭圆。 方法四：

（1）在画板上作两同心圆O，作大圆的直径AB。

（2）在大圆上任取点C，过点C作AB的垂线交AB于点D，“构造”线段CD，“构造”线段OC交小圆于点M。

（3）过点M作CD的垂线MP交CD于点P。设置点C为动点，“跟踪”点P。点P的轨迹是椭圆。 方法五：

（1）在画板上作圆O，作圆O的直径AB。 （2）分别过点A、点B作AB的垂线m、n。

（3）在圆上任取点C，“构造”线段OC，过点C作OC的垂线（即圆O的切线）交直线m于点E，交直线n于点F。

（4）“构造”线段BE、线段AF相交于点P，设置点C为动画， “跟踪”点P。点P的轨迹是椭圆。

用几何画板探求椭圆的轨迹，可以使学生更好地参与到教学过程中来，进行数学实验。本文由两个方面出发探求椭圆的轨迹，根据问题的内容，展示作图的思想，进行数学学习、数学探索，概括了作椭圆图形的几种方法，体验到数学的本质，探究知识之间的联系，发现数学规律，寻找解决问题的方法。