自动控制原理习题2(含答案)

2-1 试建立题2-1图所示各系统的微分方程 [其中外力F(t)，位移x(t)和电压ur(t)为输入量；位移y(t)和电压uc(t)为输出量；k（弹性系数），f（阻尼系数），R（电阻），C（电容）和m（质量）均为常数]。

解

（a）以平衡状态为基点，对质块m进行受力分析（不再考虑重力影响），如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出

dyd2ym2 F(t)ky(t)fdtdt 整理得

d2y(t)fdy(t)k1y(t)F(t) 2mdtmmdt—

（b）如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有 k1(xx1)f(对B点有 f(dx1dy) （1） dtdtdx1dy)k2y （2） dtdt联立式（1）、（2）可得：

k1k2k1dxdy ydtf(k1k2)k1k2dt(c) 应用复数阻抗概念可写出

1csI(s)U(s) （3 Ur(s)c1R1csR1）

`

I(s)）

Uc(s) （4R2Uc(s)R2(1R1Cs)

Ur(s)R1R2R1R2CsducR1R2du1微分方程为: ucrur

dtCR1R2dtCR1联立式（3）、（4），可解得： (d) 由图解2-1（d）可写出

Ur(s)RIR(s)IR(s)Ic(s)1 （5） CsIc(s)）

1RIR(s)RIc(s) （6Cs 1 （7） Cs联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量IC(s)和IR(s)，可得：

Uc(s)R2C2s22RCs1 Ur(s)R2C2s23RCs1Uc(s)Ic(s)RIR(s)Ic(s)|

duc2dur23duc12dur1微分方程为 uur

cdt2CRdtC2R2dt2CRdtC2R22-2 试证明题2-2图中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。

解

(a) 取A、B两点分别进行受力分析，如图

解2-2(a)所示。对A点有

y)f1(yy1) (1) k2(xy)f2(x对B点有

y1)k1y1 f1(y(2)

对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量y1，整理后得

.

f1f22ffs(12)s1k1k2k1k2Y(s) =

f1f22f1f2f1X(s)s()s1k1k2k1k2k2(b) 由图可写出

Uc(s)

= 1R2

C2s

Ur(s)1R1C1s1R21C1sR1C1s

整理得

Uc(s)R1R2C1C2s2(R1C1R2C2)s1 = Ur(s)R1R2C1C2s2(R1C1R2C2R1C2)s1

2-3 假设某容器的液位高度h与液体流入量Qr满足方程

dh1hQr， dtSS式中S为液位容器的横截面积，为常数。若h与Qr在其工作点(Qr0,h0)附近做微量变化，试导出h关于Qr的线性化方程。

解 将h在h0处展开为泰勒级数并取一次近似

hh0）

~

dh1|h0hh0h （1dt2h0

代入原方程可得

d(h0h)11(h0h)(Qr0Qr) （2

dtSS2h0）

在平衡工作点处系统满足

dh0h0Qr0 （dt3）

式（2），（3）相减可得h的线性化方程

SdhhQr dt2h02-4 试求题2-3图所示各信号x(t)的象函数X(s)。

解

（a）  x(t)2(tt0)

^

X(s)=

21t0se ss2（b）  x(t)a(ba)(tt1)(bc)(tt2)c(tt3)

1 X(s)= [a(ba)et1s(bc)et2scet3s]

s44T4T4（c）  x(t)= 2t2(t)2(t)2(tT)

2T2TTTTs42eTs)  X(s)22(12eTs

2-5 求下列各拉氏变换式的原函数。

es (1) X(s)

s1(2) X(s)1 3s(s2)(s3) (3) X(s)]

s1

s(s22s2)

t1解

(1) x(t)e(2) 原式 ＝

11311 2(s2)34(s2)28(s2)24s3(s3)t22tt2t32t13t1eeeex（t）＝ 4483241s111s11122(3) 原式 ＝ 2ss2s22s2(s1)212(s1)2111x(t)＝ et(sintcost)

222-6 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 c(t)12e的传递函数和脉冲响应。

2tet，试求系统

1，依题意 s1213s21 C(s)ss2s1(s1)(s2)sC(s)3s2  G(s) R(s)(s1)(s2)解 单位阶跃输入时，有R(s)]

4e k(t)LG(s)Ls1s211142tet

C(s)2(0)0，2，且初始条件为c(0)1，cR(s)s3s2试求系统在输入r(t)1(t)作用下的输出c(t)。

2-7 已知系统传递函数 解 系统的微分方程为

d2c(t)dc(t)32c(t)2r(t) （1 2dtdt）

考虑初始条件，对式（1）进行拉氏变换，得 sC(s)s3sC(s)32C(s)22 （2s）

s23s2142 C(s) 2s(s3s2)ss1s2 c(t)14et2e2t

U(s)2-8 求题2-8图所示各有源网络的传递函数c。

Ur(s)

解

(a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出

'

Uc(s)R2

Ur(s)R11(b) Uc(s)C2s(1R1C1s)(1R2C2s)

1Ur(s)R1C1C2s2R1C1s1R1C1s1R2Cs1R2U(s)R2Cs(c) c Ur(s)R1R1(1R2Cs)R2

2-9 某位置随动系统原理框图如题2-9图所示，已知电位器最大工作角度Qm＝3300，功率放大器放大系数为k3。

（1） 分别求出电位器的传递函数k0，第一级和第二级放大器的放大系数k1，k2； （2） 画出系统的结构图； （3） 求系统的闭环传递函数Qc(s)《

Qr(s)。

解

(1) 电位器的传递函数

E K0Qm30330018001800 11 根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为

30103201033， K22 K13310101010 (2) 可画出系统结构如图解2-9所示：

K0K1K2K3KmQc(s)s(Tms1) (3)

KKKKKKKKKQr(s)123mt0123mTms1s(Tms1)1 

Tm1KKKK23mts2s1K0K1K2K3KmK0K1K2K3Km\"

2-10 飞机俯仰角控制系统结构图如题2-10图所示，试求闭环传递函数Qc(s)Qr(s)。

解 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数

Qc(s)0.7(s0.6)3 Qr(s)s(0.90.7K)s2(1.180.42K)s0.682-11 已知系统方程组如下，试绘制系统结构图，并求闭环传递函数

C(s)。 R(s)X1(s)G1(s)R(s)G1(s)[G7(s)G8(s)]C(s)X(s)G(s)[X(s)G(s)X(s)]22163 X(s)[X(s)C(s)G(s)]G(s)2533C(s)G4(s)X3(s)解 系统结构图如图解2-11所示。

利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为

G1G2G3G4C(s) R(s)1G2G3G6G3G4G5G1G2G3G4G7G1G2G3G4G8|

2-12 试用结构图等效化简求题2-12图所示各系统的传递函数

C(s)。 R(s)

解 （a）

所以：

*

G1G2G3G4C(s) R(s)1G1G2G3G4G2G3G1G2G3G4 （b）

所以：

（c） 所以： （d）

C(s)G1G2R(s)1G 2H C(s)G1G2G3R(s)1GG 12G2G3G1G2G3

；

所以：

G1G2G3G1G4C(s)R(s)1G1G2H1G2G3H2G1G2G3G1G4G4H2

（e）

所以：

G1G2G3C(s) G4R(s)1G1G2H1G2H1G2G3H2

2-13 已知控制系统结构图如题2-13图所示，求输入r(t)31(t)时系统的输出c(t)。 解 由图可得

22C(s)2s2s1 2R(s)(s1)(S3)12(s1)s2s1。

又有 R(s)则 C(s)3 s23231

(s1)(S3)sss1s3123e即 c(t)Lss1s3

2-14 试绘制题2－14图所示系统的信号流图。

231te3t

解

2-15 试绘制题2-15图所示信号流图对应的系统结构图。

》

解

2-16 试用梅逊增益公式求2-12题中各结构图对应的闭环传递函数。 解 （a）图中有1条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路

，L1G1G2， P 1G1G2G3G4，11L2G3G4，L3G2G3，1(L1L2L3)L1L2，

G1G2G3G4C(s)P11 R(s)1G1G2G3G4G2G3G1G2G3G4（b）图中有2条前向通路，1个回路

-

P1G1，11，P2G2，21，L1G2H，

1L1

C(s)P11P22G1G2 R(s)1G2H（c）图中有1条前向通路，3个回路

，L1G1G2， P 1G1G2G3，11L2G2G3，L3G1G2G3，1(L1L2L3)，

G1G2G3C(s)P11 R(s)1G1G2G2G3G1G2G3（d）图中有2条前向通路，5个回路

P1G1G2G3，11，P2G1G4，21，

L1G1G2H1，L2G2G3H2，L3G1G2G3，L4G1G4，

《

L5G4H2，1(L1L2L3L4L5)，

G1G2G3G1G4C(s)P11P22 R(s)1G1G2H1G2G3H2G1G2G3G1G4G4H2（e）图中有2条前向通路，3个回路

，P2G4，2， P 1G1G2G3，11L1G1G2H1，L2G2H1，L3G2G3H2，1(L1L2L3)，G1G2G3PC(s)P11P2 P211G4R(s)1G1G2H1G2H1G2G3H22-17 试用梅逊增益公式求题2-17图中各系统的闭环传递函数。

解 （a）图中有1条前向通路，4个回路 $

P1G1G2G3G4，11

L1G2G3H1L2G1G2G3H3，L3G1G2G3G4H4，L4G3G4H2，1(L1L2L3L4)

G1G2G3G4C(s)P11则有 R(s)1G2G3H1G1G2G3H3G1G2G3G4H4G3G4H2（b）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路

P1G1G2G3，11，P2G3G4，21L11G1H1，

L1G1H1，L2G3H3，L3G1G2G3H1H2H3，

1(L1L2L3)L1L2，

则有

G1G2G3G3G4(1G1H1)C(s)P11P22 R(s)1G1H1G3H3G1G2G3H1H2H3G1H1G3H3（c）图中有4条前向通路，5个回路

P1G1，P2G1G2，P3G2，P4G2G1，

.

L1G1，L2G1G2，L3G2，L4G2G1，L5G1G2， 12341，1(L1L2L3L4)，

则有

C(s)P11P22P33P44 R(s)G1G1G2G2G2G12G1G2G1G2

1G1G1G2G2G2G1G1G21G1G23G1G2（d）图中有2条前向通路，5个回路

P1G1G2，11，P2G3，21，

L1G2H1，L2G1G2H2，L3G1G2，L4G3，L5G3H1G2H2， 则有

1(L1L2L3L4L5)，

C(s)P11P22 R(s)G1G2G3

1G2H1G1G2H2G1G2G3G3H1G2H2（e）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路 @

P1G1G2G3，11，P2G4G3，21L1， L1G1G2H1，L2G3H2，L3G2H3， 1(L1L2L3)L1L2，

则有

G1G2G3G4G3(1G1G2H1)C(s)P11P22 R(s)1G1G2H1G3H2G2H3G1G2G3H1H22-18 已知系统的结构图如题2-18图所示，图中R(s)为输入信号，N(s)为干扰信号，试求传递函数

C(s)C(s)，。 R(s)N(s)

解（a）令N(s)0，求

C(s)。图中有2条前向通路,3个回路，有1对互不接触回路。 R(s)P1G1G2，11，P2G1G3，21L11G2H， L1G2H，L2G1G2，L3G1G3， 1(L1L2L3)L1L3，

则有

G1G2G1G3(1G2H)C(s)P11P22 R(s)1G2HG1G2G1G3G1G2G3H令R(s)0，求

C(s)。有3条前向通路，回路不变。 N(s)P11，11L1，P2G4G1G2，21， P3G4G1G3，31L1，

1(L1L2L3)L1L3，

则有

C(s)P11P22P331G2HG4G1G2G4G1G3(1G2H) N(s)1G2HG1G2G1G3G1G2G3H（b）令N1(s)0，N2(s)0，求

C(s)。图中有1条前向通路，1个回路。 R(s)P1Ks2K(s1)，11，L1，1L1， s2s2则有

C(s)P11Ks R(s)(2K1)s2(K1)令R(s)0，N2(s)0，求

C(s)。图中有1条前向通路，回路不变。 N1(s)P1s，11，

则有

PC(s)s(s2)11 N1(s)(2K1)s2(K1)令R(s)0，N1(s)0，求

C(s)

。图中有1条前向通路，回路不变。 N2(s)

P12Ks2，11， 则有

C(s)P112KN1)s2(K1)

2(s)(2K（c）令N(s)0，求

C(s)R(s)。图中有3条前向通路，2个回路。 P1G2G4，11，P2G3G4，21，P3G1G2G4，L1G2G4，L2G3G4，1(L1L2)，

则有

C(s)P11P22P33G2G4G3G4G1G2R(s)G41G 2G4G3G4令R(s)0，求

C(s)N(s)。有1条前向通路，回路不变。 P1G4，11，

则有

C(s)N(s)P11G41G 2G4G3G431，