第２９卷第３期２０１１年０５月佳木斯大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉａｍｕｓｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｖ０１．２９ＭａｙＮｏ．３２０１１文章编号：１００８—１４０２（２０１１１０３－０４５０—０４Ｂａｎａｃｈ空间中泛函列的一致收敛性的判定①韩妮（延安大学计算机学院．陕西延安７１６０００）摘要；在Ｂａｎａｃｈ空间中给出了实泛函列一致收敛的概念．从泛函列表示成两个泛函的商出发，给出了一个用于判定泛函列一致收敛的定理．又由一致收敛的泛函列构造出一系列新的一致收敛的泛函列，如：一致收敛泛函列的前／７，项和与ｒ／，的商组成的泛函列、一致收敛泛函列的前ｎ项之积开，１次方所组成的泛函列、一致收敛泛函列各项的范数组成的泛函列及一致收敛且有界的泛函列｛丘（名）Ｉ，｛＆（石）Ｉ组成的泛函列仁ｄ生墨墨生二二二±金鱼巡ｌ等．ｎ关键词：泛函列；一致收敛；一致有界；有界泛函中图分类号：０１７７文献标识码：Ａ０引言（２）０似０＝Ｉ理１（复）数；（３）Ｉｌｘ＋Ｙ０石８，其中口为任意实数学分析中，函数列的一致收敛同函数项级数０≤０髫０＋０Ｙ０，ｘ，ｙ∈兄的一致收敛密切相关，一个函数项级数的一致收敛实际上完全等同于其前ｒｇ项和函数列的一致收敛．而函数项级数的一致收敛是其极限函数具有连续性、一致连续性、可积性和可微性等的重要条件．则称０膏０为向量石的范数，称ｘ按范数忆０成为赋范线性空间．完备的赋范线性空间称为Ｂａｎａｃｈ（巴拿赫）空间．定义２设｛五（石）｝是Ｂａｎａｃｈ空间ｚ上的一如：函数列｛石“｝的各项在（一ｌ，１］上都是连续的但列实泛函以菇）为定义在ｘ上的实泛函，对每一固定的茗∈Ｘ，对于任意的正数占，恒存在正数Ⅳ０，使其极限函数八石）：ｆｏ，一１．＜茗＜１在茹：１时不Ｌ１．菇＝１连续，从而推得｛石“｝在（一ｌ，１］上不一致收敛．对于泛函分析，关于泛函列的一致收敛性研究较少．本文将数学分析中函数列的一致收敛性进行推广，在泛函分析中，从泛函列表示成两个泛函商得当儿≥Ｎｏ时，总有０五（石）一以菇）８＜占成立，则称｛五（菇）｝在ｘ上收敛于以菇）．定义３设｛五（茗）｝是Ｂａｎａｃｈ空间Ｘ上的一列实泛函以菇）为定义在ｘ上的实泛函，若对于任意的占＞０，存在正数Ⅳ０，当ｎ≥Ｎｏ时，总有ＩＩ厶（石）一以菇）８＜占成立，则称五（茗）在ｘ上一致收敛于以菇）．引理１［ｔｌ出发，在Ｂａｎａｃｈ空间中讨论了泛函列的一致收敛性．从给出的泛函列的收敛与一致收敛的定义中，知一致收敛的泛函列必为收敛的泛函列，反之则不然．同时类似于数学分析中一致收敛的意义，可见，泛函列一致收敛的讨论是至关重要的．１设｛五（髫）｝是Ｂａｎａｃｈ空间ｘ上的一列泛函，如果｛五（菇）｝在ｘ的每点茹处有界，那么帆（石）｝一致有界．预备知识定义１２２．１设Ｘ是实（或复）的线性空间，如果主要内容泛函列一致收敛的判定定理定理１．１每个向量茗∈Ｘ，有一个确定的实数，记为忪０与之对应，并且满足ｉ（１）Ｉｌ戈０≥０，且ＩＩ茗０＝０等价于菇＝Ｏ；①设｛五（石）｝是Ｂａｎａｃｈ空间Ｘ上的收稿日期：２０１ｌ一０３—２４作者简介：韩妮（１９８３一），女，陕西佳县人．延安大学计算机学院基础数学硕士研究生．万方数据第３期韩妮：Ｂａｎａｃｈ空间中泛函列的一致收敛性的判定４５１一列实泛函，其中正（茹）＝薏等（％（茗）在每一石∈Ｘ都不为０）满足条件（１）对每一，ｌ，‰（并），％（石）在Ｘ上有界；（２）对每——髫ＥＸ，移ｌ（菇）＜ｔ，２（菇）＜…＜％（戈）＜，…，且丽ｌ＝生爿善掣，茗∈ｘ，｛既（石）｝在ｘ上一致收在ｘ上一致收敛于ｏ，令ｇ（菇）一口训（茗）一ｔ，。（菇）一Ｅ“’１乩ｐ川１工“上取忧敛于有界泛函ｇ（石），则｛工（菇）｝在ｘ上一致收敛于ｇ（ｘ）．证明（ｉ）设ｔ，。（石）＞Ｏ（菇ＥＸ），由ｇ。（石）在ｘ上一致收敛于ｇ（ｘ）有：Ｖ占＞０，了虬，当，ｌ≥Ⅳｏ时，｝Ｉ骺（茗）一ｇ（ｘ）０＜占，戈Ｅｘ成立，分别取ｎ＝Ⅳｏ，Ⅳｏ＋ｌ，…，Ⅳｏ＋Ｐ可得：（ｇ（菇）一８）（‰＋－（石）一‰（石））＜“帕＋１（茹）一ｌＩⅣｏ（名）＜（ｇ（ｘ）＋占）（‰＋Ｉ（茗）一ｖＭ．（ｘ））（ｇ（菇）一占）（‰＋：（髫）一‰＋－（茗））＜ＵｌＶｏ＋２（茄）一‰＋ｌ（石）＜（ｇ（菇）＋占）（ｔ，Ｎ０＋２（石）一秒％＋１（茗））（ｇ（菇）一占）（‰＋Ｐ（茗）一移＂Ｐ－ｌ（茹））＜“帕＋ｐ（ｘ）一Ⅱ帕＋Ｐ—ｌ（茗）＜（ｇ（ｘ）＋占）（移Ｎｏ＋Ｐ（石）一‰＋Ｐ－１（菇））将上述不等式左右两边相加，得（ｇ（菇）一占）（‰＋，（石）一‰（石））＜ｕ帕＋Ｐ（茗）一Ｈ％（茗）坐生娑岸一占＜知㈤＜（ｇ（石）＋占）（‰＋Ｐ（石）一‰（菇））即有：一ｇｃ菇）＜‰＋｜Ｐ（戈）兰竺生！兰三二二｛专。。“ｏ＋”。；｝ｉ掣＋占（·）考虑不等式（１）右边：由于｛瓦｛两）一致收敛于｛坠墨堕二鲁兰；掣）一致收敛于ｏ．Ｌ‰＋Ｐ（石）Ｊ因而ｊＰ１，Ｐ≥Ｐ１时，／ｋ＋Ｐ（茗）一ｇ（石）＜占＋占＝２占（２）对式（１）左边不等式类似讨论有：ｊ尸２，Ｐ≥一２占＝一ｇ一８＜Ｚ％＋＿Ｐ（茹）一ｇ（茗）（３）万方数据令尸ｏ＝ｍａｘ｛Ｐｌ，Ｐ２｝，Ｐ≥Ｐｏ时，根据（２）和（３），有ＩＪＺ‰＋尸（菇）一ｇ（菇）０＜２８成立，所以｛五（膏）｝在ｘ上一致收敛于ｇ（茗）．（ｉｉ）同理，当ｑ（茗）＜Ｏ（名∈Ｘ）ｉ＝ｌ，２，…时，｛五（菇）｝在ｘ上也一致收敛于ｇ（菇）．定理１．２设｛工（菇）｝是Ｂａｎａｅｈ空间ｘ上的一列实泛函，其ｏｅＬ（石）＝生！导（口≠ｏ）满足：（１）对每一，Ｉ，扯。（茗）是Ｘ上的有界泛函；（２）数列｛‰｝严格单调且发散于＋∞，令既（菇）＝生号掣，｛瓯（石）｝在ｘ上一致收敛于有界泛函ｇ（茗）．则｛工（菇）｝在ｘ上一致收敛于ｇ（茗）．证明令ｔ，。（茗）＝口。，茗Ｅｘ，依定理１．１立即可得，｛工（戈）｝在ｘ上一致收敛于ｇ（茗）．为了说明这个判定方法判定泛函列一致收敛是方便的，下面给出一泛函列的例子，用定理１．２判定其一致收敛性很简单．例：判断泛函列｛五（戈）｝（茗ＥＸ）的一致收敛性，其中（１＋茗）＋（２＋茗）２＋…＋（ｎ一１＋髫）“－ｌ１＋２２＋…＋（，ｌ—１）“－１髫∈（口，６）解：令工（茗）＝坠导，茗Ｅ（口，６）其中，Ⅱ。（戈）＝（１＋茗）＋（２＋菇）２＋…４－（，ｌ—ｌ＋茄）４～，口。＝１＋２２＋…＋（ｎ—１）“一１则对“。（石），当ｎ固定时是Ｂａｎａｃｈ空问上的有界泛既‘菇，２—瓦■ｉ一２了函，口。严格单调且发散于＋∞，且，ｒ芏、＝兰！三！！兰２二兰苎！兰２一ｆ苎±１２：＝ｆｌ＋羔１从而，｛反（名）｝在菇Ｅ（口，ｂ）上一致收敛于某泛函矿．因而利用定理１．２可得，泛函列｛五（菇）｝（茹∈（口，６））一致收敛于ｅ‘．２．２一致收敛泛函列的几个定理定理２．１设泛函列｛厶（茹）｝在Ｂａｎａｃｈ空间Ｘ上一致收敛于八石），其中五（茗）（ｎ＝ｌ，２，…）在Ｘ上有界，则泛函列ｇｄ生二互垒立＝型ｌ在ｘｎ五（菇）＝０，又ｕ帕（石），‰（菇）及ｇ（茗）在Ｘ上有界，所以Ｐ２时，有４５２佳木斯大学学报（自然科学版）２０１１年上一致收敛于只戈）．证明因｛五（戈）｝在ｘ上一致收敛于八茹），即Ｖ占＞０，ｊＮｏ，当ｎ≥Ｎｏ时，ＩＩｆ．（茗）－ｆ（茗）０＜ｌ。菇ＥＩＹ，（石）ｇ。（戈）＋五（茗）ｇ。一。（戈）＋…＋工（髫）ｇ。（菇）１死在Ｘ上一致收敛０．证明Ｘ，特别地＾（戈）一１＜以茗）＜ｆ．ｏ（髫）＋ｌ成ｕ。（石）＝工（菇）＋厶（戈）＋…＋五（髫），ａ。＝ｎ由推论知，｛ｌＩＬ（ｘ）０｝在ｘ上一致收立，所以八石）在ｘ上有界．令由定理１．２得所证成立．推论敛于０，由定理２．１知，』』厶盟！ｌ±嵫盟』±：：：±！！坠堕ＵＬＪｎ设泛函列｛正（石）｝在Ｂａｎａｃｈ空间Ｘ上在Ｘ上一致收敛于Ｏ，因｛既（名）｝在ｘ上一致有界，可设ＩＩ既（菇）Ｉｌ＜胍（Ｍ是大于Ｏ的常数），所以０≤一致收敛于以菇），且对于每一，ｌ工（菇）一以茗）在上Ｘ有界，则泛函列在Ｘ上一致收敛于Ｏ，即扎１．—————————ｉ一一一。Ｊ严尘丛掣型一八茁）１ｆ∽＠）一只戈））＋倪（戈）一只菇））＋…＋饭０）一ｍ））１ｏ趔坐出继半坐型必巡卜肘！！五！兰２１±！！厶！兰！』±：：：±０厶！兰２Ｉ土在Ｌ∞皇尘±厶鱼Ｌ二．二型ｌ在Ｘ上一致收敛于ＸＯ．，ＩＪ上一致收敛于所以｛ｌＩ趔型丛监譬竺删ＩＩ）由文献［３］，得一致收敛于０．再由推论知所证成立．定理２．４八茗）．定理２．２给定Ｂａｎａｃｈ空间Ｘ上的泛函列，则泛函列｛工（菇）｝在ｘ上一致收敛于Ｏ的充要条件是｛五（石）｝在ｘ上一致收敛于Ｏ．证明定理２．３只要注意到泛函列一致收敛的定义即定义３即可证明．设泛函列｛五（茗）｝，｛既（菇）Ｉ在Ｘ上分别一致收敛于，（菇），ｇ（茗），且五（髫），既（菇）都在Ｘ上有界，则泛函列设泛函列｛五（菇）｝在ｘ上一致收敛１—————————■——————一』ｆＹ，（戈）ｇ。（石）＋五（戈）ｇ。一，（石）＋…＋五（戈）ｇ。（菇））１在ｘ上一致收敛于八石）ｇ（石）．证明由于于ＯＺ（髫）（ｎ＝ｌ，２，…）在Ｘ上有界，泛函列｝ｇ。（石）｝在Ｘ上一致有界，则＾（茗）ｇ。（菇）＋五（茗）ｇ。一。（菇）＋…＋五（菇）ｇ。（石）＋八石）吐生丛譬型ｔ儿Ｊ（＾（菇）一八戈））ｇ。（髫）＋（疋（菇）一八石））ｇ。一。（石）＋…＋（五（菇）一厂（省））ｇｔ（菇）ｎ因｛既（菇）｝一致收敛于ｇ（戈），由定理２．１的证法ｇ（ｘ）可证有界，又氍（茗）（１１，＝Ｉ，２，…）在Ｘ上有界，由引理１，得｛ｇ＾（菇）｝在ｘ上一致有界；又｛ｆａｘ）－ｆ（茹）｝在ｘ上一致收敛于Ｏ；由定理２．２知ｆ笾！兰２二丛兰２２坠！兰２±垡！兰２二丛兰２２坠：！！兰２±：：：±竖！兰２：丛兰２２曼！！生ｌｆ鱼尘上±鱼垒上±二二盟．｝在ｘ上一致收敛于ｇ（菇），在Ｘ上收敛于０；由定理２．１知泛函列定理２．５设泛函列｛五（石）｝在Ｘ上一致收敛于以名），且了ａ，ｐ满足０＜ａ≤工（菇）≤卢＜＋∞，认名）鱼鱼上±鱼垒专±型）在ｘ上一致由文献茗∈Ｘ，则泛函列｛力孓习万再Ｆ了又万｝，在ｘ上一致收敛苁髫）．证明令Ｘ［３］，知收敛于厂（石）ｇ（茗）．证毕．ｇ。（菇）＝０伉（石）正（菇）一·正（石），茹Ｅ两边分别取对数，得万方数据第３期韩妮：Ｂａｎａｃｈ空问中泛函列的一致收敛性的判定４５３赋泛线性空间上还可进一步讨论．参考文献：［１］程其襄，张奠宙．实变函数与泛函分析基础（第二版）［Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００３．［２】华东师范大学数学系编．数学分析（第三版下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．［３１吕同庆．一致连续与一致收敛［Ｍ】．北京：人民教育出版社。１９８１．ｌｎｇ。（菇）＝ｌｒ沉（菇）＋…＋ｌ见，：ｌ（戈）．石ＥｎＡ由于ｌｎｙ在［ａ，卢］上连续，则ｌｎｙ在［ａ，卢］上一致连续，又｛工（石）｝在ｘ上一致收敛于八戈），则｛ｌ蜕（茗）｝在ｘ上一致收敛于ｌｌ以茗）．因为ｌｎａ≤Ｉｎｆ．（石）≤ｌ叩（／７，＝ｌ，２，…），由定理２．１知，ｆ堕丛兰ＬＬ二±生丛堕ｌ在ｘ上一致收几敛于Ｉ叭戈）．因为ｌｎａ≤堕盟三２１型≤ｌ邶（，Ｉ：［３］，ｎ［４］汪文珑．数学分析中“一致收敛”概念的推广及其应用［Ｊ］．绍兴文理学院学报，２００４（７）．［５］赵玉环．函数列一致收敛的一个判定方法及其性质［Ｊ］．中国民航学院学报。１９９９，（２）：３７—４０．［６】脖文凯．收敛与一致收敛［Ｊ］．承德民族师专学报，２００５。（２）：３２—３５．［７］关冬月．关于一致收敛性的几个问题［Ｊ］．内蒙古农业大学学报，２００３，（３）：５０—５３．ｌ，２，…），且矿在［Ｉｎａ，ｌ邮］上是一致连续的．由文献知泛函列｛ｅｘｐ｛堕丛羔Ｌ生｝±堕丛生））一致收敛于泛函ｅｘｐｌｌｎｆ（ｘ）｝，此即｛沥Ｒ习万再Ｆ了了万｝在ｘ上小结［８］杨曼英．关于函数列收敛与一致收敛的一点思考［Ｊ］．娄底师专学报，２００４，（２）：９６—９８．一致收敛于八戈）．证毕．３［９】李岚．函数项级数一致收敛定义的推广及其应用［Ｊ】．陕西教育学院学报．２００３，（２）：８６—８７．【１０】王波．函数列局部一致收敛性及其性质［Ｊ】．南昌航空工业本文在Ｂａｎａｃｈ空间上定义了泛函列一致收敛的概念．从泛函列表示成两个泛函的商出发，得到了一类泛函列一致收敛的判定定理．此类泛函列在ＡＤｅｃｉｓｉｏｎ学院学报，１９９６。（２）：８４—８５．ＭｅｔｈｏｄｏｆｔｈｅＵｎｉｆｏｒｍｌｙＣｏｎｖｅｒｇｅｎｔＦｕｎｃｔｉｏｎａｌＲｏｗｉｎＢａｎａｃｈＳｐａｃｅＨＡＮＮｉ（ＤｅｐａｒｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ，ＹａｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙａｎａｎ７１６０００。Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ｎｉｓａｒｔｉｃｌｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｔｈｅｕｎｉｆｏｒｍｌｙｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔｃｏｎｃｅｐｔｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｒｏｗｉｎｔｈｅＢａｎａｃｈｓｐａｃｅ．ｃａｒｌＴｏｅｘｐｒｅｓｓｆｒｏｍｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｒｏｗｔｗｏｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｂｕｓｉｎｅｓｓｅｍｂａｒｋｅｄ．ｗｈｉｃｈｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔｂｅｕｓｅｄｔｏｃｏｎｓｔｒｕｃｔｕｎｉｆｏｒｍｌｙｃａｎｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｒｏｗ．Ａｌｓｏａｓｅｒｉｅｓｏｆｎｅｗｕｎｉｆｏｒｍｌｙｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｂｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｂｙｔｈｅｔｍｉ－ｎｆｏｒｍｌｙｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｒｏｗ。ｆｏｒｅｘａｍｐｌｅ：ｔｈｅｑｕｏｔｉｅｎｔｂｅｔｗｅｅｎｓｕｍｏｆａｎｔｅｃｅｄｅｎｔｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔｅｎｔｎｉｔｅｍｓｏｆａｕｎｉｆｏｒｍｌｙｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｒｏｗａｎｄｎ，ｔｈｅｎｏｒｎｌｎｔｉｍｅｓｒｏｏｔｏｆｔｈｅｐｒｏｄｕｃｔｏｆｕｎｉｆｏｒｍｌｙｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｒｏｗｉｔｅｒｎｏｆａａｎｔｅｃｅｄ·ａｎｄｔｈｅｉｔｅｍｓ。ｔｈｅｏｆｅａｃｈｕｎｉｆｏｒｍｌｙｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｒｏＷ）ｆｕｎｃ‰ａｌｍｗ舶ｍＭ。ｕｎｉｆｏｒｍｌｙｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ洲ＩＬ（石），ｋ（菇）｝｝衄ｄ∞Ｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｒｏｗ；ｕｎｉｆｏｒｍｌｙｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ；ｉｄｅｎｔｉｃａｌｌｙｂｏｕｎｄｎｅｓｓ；ｂｏｕｎｄｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ万方数据Banach空间中泛函列的一致收敛性的判定
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
韩妮， HAN Ni
延安大学计算机学院,陕西延安,716000
佳木斯大学学报（自然科学版）
JOURNAL OF JIAMUSI UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)2011,29(3)
1.赵玉环 函数列一致收敛的一个判定方法及其性质 1999(02)2.汪文珑 数学分析中\"一致收敛\"概念的推广及其应用 2004(07)3.程其襄;张奠宙 实变函数与泛函分析基础 20034.王波 函数列局部一致收敛性及其性质 1996(02)5.李岚 函数项级数一致收敛定义的推广及其应用 2003(02)6.杨曼英 关于函数列收敛与一致收敛的一点思考 2004(02)7.吕同庆 一致连续与一致收敛 19818.华东师范大学数学系 数学分析 20019.关冬月 关于一致收敛性的几个问题 2003(03)10.脖文凯 收敛与一致收敛 2005(02)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_jmsdxxb201103037.aspx
