宾阳县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

宾阳县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． （m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．

D．

）=（ ）

2． 设函数f（x）满足f（x+π）=f（x）+cosx，当0≤x≤π时，f（x）=0，则f（A．

3． 若a=ln2，b=5

，c=

xdx，则a，b，c的大小关系（ ）

B．

C．0

D．﹣

A．a＜b＜cB B．b＜a＜cC C．b＜c＜a D．c＜b＜a

4． 是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（ ） A．1+i B．﹣1﹣i

C．﹣1+i

D．1﹣i

5． 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A．y=x﹣1 6． 图

B．y=（）x C．y=x+

D．y=ln（x+1）

1是由哪个平面图形旋转得到的（ ）

A． B． C． D． 7． 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，解析式为（ ）

）的部分图象如图所示，则函数y=f（x）对应的

A． B． C． D．

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8． 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面ABCD上的动点．若三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则E点位于（ ）

A．点A处 B．线段AD的中点处

C．线段AB的中点处 D．点D处

9． 已知在平面直角坐标系xOy中，点A(0,n)，B(0,n)（n0）.命题p：若存在点P在圆

(x3)2(y1)21上，使得APB2，则1n3；命题：函数f(x)4log3x在区间 x(3,4)内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）

A．p(q) B．pq C．(p)q D．(p)q 10．若动点A(x1,y1)、B(x2,y2)分别在直线： xy110和l2：xy10上移动，则AB中点M所在直线方程为（ ）

A．xy60 B．xy60 C．xy60 D．xy60 11．已知函数f(x)cos(x的图象（ ）

3)，则要得到其导函数yf'(x)的图象，只需将函数yf(x)

个单位 B．向左平移个单位 2222C. 向右平移个单位 D．左平移个单位

33A．向右平移12．已知等差数列A．

的公差B．

且

成等比数列，则C．

D．

（ ）

二、填空题

13．若复数z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z12i，则复数（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 14．1785与840的最大约数为 ． 15．设实数x，y满足为 ．

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z1在复平面内对应的点在

|z1|2z2，向量=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，则实数m的最大值

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16．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：

甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”

结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的 两人说对了．

17．已知直线l的参数方程是

（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ=8cosθ+6sinθ，则曲线C上到

直线l的距离为4的点个数有 个．

18．等比数列{an}的公比q=﹣，a6=1，则S6= ．

三、解答题

19．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点A南偏西45方向10海里的B处有一艘海

o难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75，正以每小时9海里的速度向

o一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.

（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间； （2）若最短时间内两船在C处相遇，如图，在ABC中，求角B的正弦值.

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20．在直角坐标系xOy中，过点P（2，﹣1）的直线l的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B． （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）求|PA|•|PB|．

21．已知等差数列{an}满足a1+a2=3，a4﹣a3=1．设等比数列{bn}且b2=a4，b3=a8 （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=an+bn，求数列{cn}前n项的和Sn．

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为方程为r=2 ìïx=2+tcosa（[0,]），直线l的参数方程为í（t为参数）．

ïîy=2+tsina（I）点D在曲线C上，且曲线C在点D处的切线与直线x+y+2=0垂直，求点D的直角坐标和曲线C

的参数方程；

（II）设直线l与曲线C有两个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．

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23．如图，在四棱锥中点，为的中点，且

中，等边

所在的平面与正方形

所在的平面互相垂直,

为

的

（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在线段上是否存在点，使线段求出的长,若不存在，请说明理由．

24．已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．

与所在平面成角．若存在，

（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值； （x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数

（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g

+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）

是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．

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宾阳县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】C

．

【解析】解：不等式（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立， 即（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立 若m+1=0，显然不成立 若m+1≠0，则 解得a故选C．

．

【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需

2． 【答案】D

【解析】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+cosx， 当0≤x＜π时，f（x）=1， ∴f（（

）=f（）+cos

）=f（+cos

=f（

）+cos）+cos

=f（+cos

）+cos+cos

+cos=0+cos

=f（﹣cos

）+cos+cos

+cos=﹣．

=f

故选：D．

【点评】本题考查抽象函数以及函数值的求法，诱导公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

3． 【答案】C 【解析】解：∵b=5c=

=xdx=

a=ln2＜lne即， ，

，

∴a，b，c的大小关系为：b＜c＜a． 故选：C．

【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．

4． 【答案】D

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【解析】解：由于，（z﹣又z+

=2 ②

由①②解得z=1﹣i 故选D．

5． 【答案】 D

）i=2，可得z﹣=﹣2i ①

【解析】解：①y=x﹣1在区间（0，+∞）上为减函数，

②y=（

）x是减函数，

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③y=x+，在（0，1）是减函数，（1，+∞）上为，增函数，

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④y=lnx在区间（0，+∞）上为增函数，

∴A，B，C不正确，D正确， 故选：D

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【点评】本题考查了基本的函数的单调区间，属于基本题目，关键掌握好常见的函数的单调区间．

6． 【答案】A 【解析】

试题分析：由题意得，根据旋转体的概念，可知该几何体是由A选项的平面图形旋转一周得到的几何体故选A.

考点：旋转体的概念. 7． 【答案】A

【解析】解：由函数的图象可得A=1，解得ω=2， 再把点（结合故有

故选：A．

8． 【答案】A

【解析】解：如图，

E为底面ABCD上的动点，连接BE，CE，D1E， 对三棱锥B﹣D1EC，无论E在底面ABCD上的何位置， 面BCD1 的面积为定值，

要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1 的面积和最大， 而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，

∴E点位于点A处时，三棱锥B﹣D1EC的表面积最大． 故选：A．

，1）代入函数的解析式可得 sin（2×

，可得φ=

，

，

+φ）=1，

=•

=

﹣

，

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【点评】本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．

9． 【答案】A 【解析】

试题分析：命题p：APB2,则以AB为直径的圆必与圆x3y11有公共点,所以

22n12n1,解得1n3,因此,命题p是真命题.命题：函数fx4f41log30,f34x，log3x4log330,且fx在3,4上是连续不断的曲线,所以函数fx在区间3,43内有零点，因此,命题是假命题.因此只有p(q)为真命题．故选A．

考点：复合命题的真假．

【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点P满足APB2,因此在以AB为直径的圆上,又点P在圆

(x3)2(y1)21上，因此P为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数

4f(x)log3x是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.

x10．【答案】D

【解析】

考

点：直线方程

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11．【答案】B 【解析】

试题分析：函数fxcosx5,f'xsinxcosx，所以函数 336fxcosx，所以将函数函数yf(x)的图象上所有的点向左平移个单位长度得到

325ycosxcosx，故选B.

326考点：函数yAsinx的图象变换.

12．【答案】A

【解析】 由已知所以

答案：A

，

，

成等比数列，所以

，即，故选A

二、填空题

13．【答案】D 【

解

析

】

14．【答案】 105 ．

【解析】解：1785=840×2+105，840=105×8+0． ∴840与1785的最大公约数是105．

故答案为105

15．【答案】 6 ．

【解析】解：∵ =（2x﹣y，m），=（﹣1，1）． 若∥，

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∴2x﹣y+m=0， 即y=2x+m，

作出不等式组对应的平面区域如图： 平移直线y=2x+m，

由图象可知当直线y=2x+m经过点C时，y=2x+m的截距最大，此时z最大． 由解得

，

，代入2x﹣y+m=0得m=6．

即m的最大值为6． 故答案为：6

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m的几何意义结合数形结合，即可求出m的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．

16．【答案】乙 ，丙

【解析】【解析】

甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确。故答案为：乙，丙。 17．【答案】 2

【解析】解：由

，消去t得：2x﹣y+5=0，

由ρ=8cosθ+6sinθ，得ρ2=8ρcosθ+6ρsinθ，即x2+y2=8x+6y，

化为标准式得（x﹣4）2+（y﹣3）2=25，即C是以（4，3）为圆心，5为半径的圆．

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又圆心到直线l的距离是

故曲线C上到直线l的距离为4的点有2个， 故答案为：2．

，

【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．

18．【答案】 ﹣21 ．

【解析】解：∵等比数列{an}的公比q=﹣，a6=1， ∴a1（﹣）5=1，解得a1=﹣32，

∴S6=

故答案为：﹣21

=﹣21

三、解答题

19．【答案】（1）【解析】

332小时；（2）．

143试

题解析：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为小时，两船在C处相遇. 在ABC中，BAC4575120，AB10，AC9t，BC21t.

ooocosBAC， 由余弦定理得：BCABAC2ABgACg所以(21t)10(9t)2109t()，

2222221225或t（舍去）. 3122所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为小时.

322（2）由AC96，BC2114.

33化简得36t9t100，解得t2第 15 页，共 19 页

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在ABC中，由正弦定理得sinB所以角B的正弦值为ACgsinBAC6gsin120BC14o63233. 141433. 14考点：三角形的实际应用．

【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，可先根据题意，画出图形，由搜救艇和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示AC,BC，再根据正弦定理和余弦定理，即可求解此类问题，其中正确画出图形是解答的关键． 20．【答案】

【解析】（1）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，… ∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，

∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x …

（2）∵直线l过点P（2，﹣1），且倾斜角为45°．∴l的参数方程为代入 y2=4x 得t2﹣6∴t1t2=﹣14… ∴|PA|•|PB|=14．…

21．【答案】

【解析】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则由解得：

，

，可得

，…

t﹣14=0…

（t为参数）．…

设点A，B对应的参数分别t1，t2

∴由等差数列通项公式可知：an=a1+（n﹣1）d=n， ∴数列{an}的通项公式an=n， ∴a4=4，a8=8

设等比数列{bn}的公比为q，则

，

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解得∴（2）∵∴==

，

；

…

，

， ，

．

∴数列{cn}前n项的和Sn=

22．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．

（Ⅱ）设直线l：yk(x2)2与半圆xy2(y0)相切时

22|2k2|1k22

k24k10，k23，k23（舍去）

设点B(2,0)，kAB2022， 22故直线l的斜率的取值范围为(23,22]. 23．【答案】

【解析】【知识点】空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直 【试题解析】（Ⅰ）平面

平面

（Ⅱ）取

的中点平面

． ，

底面

是正方形，

，

两两垂直．

是等边三角形，，

是交线，

为平面

的中点，

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分别以则

，

的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，

，

，

设平面的法向量为，，

，

平面

的法向量即为平面

，

的法向量

．

由图形可知所求二面角为锐角，(Ⅲ)设在线段使线段平面

与

上存在点所在平面成

，

，解得

上存在点

24．【答案】

【解析】解：（1）当在线段

，当线段

，角，

， ，适合 时，与，

的法向量为

所在平面成角．

时，，

；

对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数， ∴

，

．

（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x） 令

且h（x）=f1（x）﹣f（x）=∵1）若

，令p′（x）=0，得极值点x1=1，

，

＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，

＜0对x∈（1，+∞）恒成立，

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当x2＞x1=1，即

时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，

此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；

当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意； 2）若

，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，

，

=

＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，

从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数； 要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足所以

≤a≤．

又因为h′（x）=﹣x+2a﹣

h（x）＜h（1）=综合可知a的范围是[

+2a≤0，所以a≤

，]．

【点评】本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，利用最值解决恒成立问题，二对于新定义题型关键是弄清新概念与旧知识点之间的联系即可，结合着我们已学的知识解决问题，这是高考考查的热点之一．

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