高中对数函数公式

1、指数函数：

定义：函数yaxa0且a1叫指数函数。 定义域为R，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数yax中的a必须a0且a1。

x因为若a0时，y4，当x

1

时，函数4

值不存在。

a0，y0x，当x0，函数值不存在。

x a1时，y1对一切x虽有意义，函数值恒

x为1，但y1的反函数不存在， 因为要求函数yax中的a0且a1。

11、对三个指数函数y2，y，y10x2xx的图象的认识。

图象特征 （1）图象都位于x轴上方； （2）图象都经过点（0，1）； （3）y2，y10在第一象限内的纵坐xx

图象特征与函数性质： 函数性质 （1）x取任何实数值时，都有ax0； （2）无论a取任何正数，x0时，y1； xx0，则a1（3）当a1时， x标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，x0，则a1xx1x0，则a1y的图象正好相反； 当0a1时， 2xx0，则a1 x（4）y2，y10的图象自左到右逐渐（4）当a1时，ya是增函数， xx1上升，y的图象逐渐下降。 2

x当0a1时，ya是减函数。 x对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：

①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y2和y10相交于(0，1)，

xxxx22当x0时，y10的图象在y2的图象的上方，当x0，刚好相反，故有102及10

222。

x1x②y2与y的图象关于y轴对称。

21x③通过y2，y10，y三个函数图象，可以画出任意一个函数ya2xxxxxx（a0且a1）的示意图，如y3的图象，一定位于y2和y10两个图象的中

1

11间，且过点(0，1)，从而y也由关于y轴的对称性，可得y的示意图，即

33通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

2、对数：

定义：如果aN(a0且a1)，那么数b就叫做以a为底的对数，记作blogaN由于Nab0故logaN中N必须大于0。 当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。

由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： 求log0.32bxx（a是底数，N 是真数，logaN是对数式。）

52 452x再4

分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log0.3252改写为指数式就比较好办。解：设log0.32x

4则0.32xx52412

88即2525∴x12521即log0.3224

x评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，（2）对数恒等式： 由aNb因此必须因题而异。如求35中的x，化为对数式xlog35即成。

(1)blogaN(2)

logaN将（2）代入（1）得aN

运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和

对数的底数相同。

计算：

3log123

3解：原式31log12213log1322。

（3）对数的性质：

2

①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则：

M，NR

M②loglogMlogNM，NR

N③logNnlogNNR

1④logNlogNNR

n①logaMNlogaMlogaNaaanaanaa3、对数函数：

定义：指数函数ya(a0且a1)的反函1、对三个对数函数ylog2x，ylog1x，

2x数ylogaxx(0,)叫做对数函数。

ylgx的图象的认识。

图象特征与函数性质：

图象特征 （1）图象都位于 y轴右侧； （2）图象都过点（1，0）； + 函数性质 （1）定义域：R，值或：R； （2）x1时，y0。即loga10； （3）ylog2x，ylgx当x1时，图象（3）当a1时，若x1，则y0，若在x轴上方，当0x0时，图象在x轴下0x1，则y0； 方，ylog1x与上述情况刚好相反； 当0a1时，若x0，则y0，若0x1时，则y0； （4）ylog2x，ylgx从左向右图象是上（4）a1时，ylogax是增函数； 升，而ylog1x从左向右图象是下降。 0a1时，ylogax是减函数。 22对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：

（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是ylog2x与ylgx在点（1,0）曲线是交叉的，即当x0时，ylog2x的图象在ylgx的图象上方；而0x1时，

ylog2x的图象在ylgx的图象的下方，故有：log215.lg15.；log201.lg01.。 （2）ylog2x的图象与ylog1x的图象关于x 轴对称。

2

（3）通过ylog2x，ylgx，ylog1x三个函数图象，可以作出任意一个对数

2函数的示意图，如作ylog3x的图象，它一定位于ylog2x和ylgx两个图象的中间，且过点（1,0），x0时，在ylgx的上方，而位于ylog2x的下方，0x1时，刚好相反，则对称性，可知ylog1x的示意图。

3 因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

3

4、对数换底公式：

logbN

logaNlogabLnNlogeN(其中e2.71828…)称为N的自然对数 LgNlog10N称为常数对数

由换底公式可得：

LnNlgNlgN2.303lgN lge0.4343由换底公式推出一些常用的结论：

1或logab·logba1

logbamm（2）loganblogab

n（3）loganbnlogab

（1）logab（4）loganamm n5、指数方程与对数方程*

定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。

在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。

由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而

属于超越方程。

指数方程的题型与解法： 名称 基本型 同底数型 不同底数型 需代换型 题型 解法 取以a为底的对数fxlogab 取以a为底的对数fxx 取同底的对数化为fx·lgax·lgb 换元令ta转化为t的代数方程 xafxb af(x)a(x) afxbx Fax0 对数方程的题型与解法： 名称 基本题 同底数型 需代换型 题型 解法 b对数式转化为指数式fxa logafxb logafxlogax F(logax)0 转化为fxx（必须验根） 换元令tlogax转化为代数方程

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