高中对数函数公式

xa0且a1叫指数函数。x定义域为R，底数是常数，指数是自变量。为什么要求函数ya

中的a必须a0且a1。x因为若a0时，y4，当x值不存在。1

时，函数4a0，y0x，当x0，函数值不存在。a1时，y1x对一切x虽有意义，函数值恒为1，但y1的反函数不存在，因为要求函数xyax中的a0且a1。1x1、对三个指数函数y2，y，y10

2

xx的图象的认识。图象特征与函数性质：图象特征（1）图象都位于x轴上方；（2）图象都经过点（0，1）；（3）y2，y10在第一象限内的纵坐xx函数性质（1）x取任何实数值时，都有a0；（2）无论a取任何正数，x0时，y1；xxx0，则a1

（3）当a1时，x标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，x0，则a1

xx1x0，则a1y的图象正好相反；当0a1时，2xx0，则a1

（4）y2，y10的图象自左到右逐渐（4）当a1时，ya是增函数，xxx1

上升，y的图象逐渐下降。2

x当0a1时，ya是减函数。x对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y2和y10相交于(0，1)，第1页共5页xx当x0时，y10的图象在y2的图象的上方，当x0，刚好相反，故有102及xx2210222。x1

②y2与y的图象关于y轴对称。2

1xxx③通过y2，y10，y三个函数图象，可以画出任意一个函数ya

2

（a0且a1）的示意图，如y3的图象，一定位于y2和y10两个图象的中xxxxx11

间，且过点(0，1)，从而y也由关于y轴的对称性，可得y的示意图，即33

通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。2、对数：定义：如果aN(a0且a1)，那么数b就叫做以a为底的对数，记作blogaN（a是底数，N是真数，logaN是对数式。）由于Na0故logaN中N必须大于0。当N为零的负数时对数不存在。（1）对数式与指数式的互化。由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：bbxx52

求log0.324

分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log0.32再改写为指数式就比较好办。52

x，4

52

解：设log0.32x

4

则0.32x

x524

1288即2525∴x

1

2

521

即log0.32

24

评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。如求35中的x，化为对数式xlog35即成。（2）对数恒等式：由aN

bx(1)blogaN

logaN(2)

将（2）代入（1）得aN

第2页共5页运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。计算：3log123解：原式3

1log122313

log1322。（3）对数的性质：①负数和零没有对数；②1的对数是零；③底数的对数等于1。（4）对数的运算法则：①logaMNlogaMlogaN②loga③loga④logaaaM，NRM

logMlogNM，NRNNnlogNNR1

NlogNNRnnanax3、对数函数：定义：指数函数ya(a0且a1)的反函数ylogaxx(0,)叫做对数函数。1、对三个对数函数ylog2x，ylog1x，

2ylgx的图象的认识。图象特征与函数性质：图象特征（1）图象都位于y轴右侧；（2）图象都过点（1，0）；+

函数性质（1）定义域：R，值或：R；（2）x1时，y0。即loga10；（3）ylog2x，ylgx当x1时，图象（3）当a1时，若x1，则y0，若在x轴上方，当0x0时，图象在x轴下0x1，则y0；方，ylog1x与上述情况刚好相反；当0a1时，若x0，则y0，若20x1时，则y0；0a1时，ylogax是减函数。（4）ylog2x，ylgx从左向右图象是上（4）a1时，ylogax是增函数；升，而ylog1x从左向右图象是下降。2对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是ylog2x与ylgx在点（1,0）曲线是交叉的，即当x0时，ylog2x的图象在ylgx的图象上方；而0x1时，ylog2x的图象在ylgx的图象的下方，故有：log215.lg15.；log201.lg01.。第3页共5页（2）ylog2x的图象与ylog1x的图象关于x轴对称。2（3）通过ylog2x，ylgx，ylog1x三个函数图象，可以作出任意一个对数2函数的示意图，如作ylog3x的图象，它一定位于ylog2x和ylgx两个图象的中间，且过点（1,0），x0时，在ylgx的上方，而位于ylog2x的下方，0x1时，刚好相反，则对称性，可知ylog1x的示意图。3因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。4、对数换底公式：logbN

logaN

logabLnNlogeN(其中e2.71828…)称为N的自然对数LgNlog10N称为常数对数

由换底公式可得：LnN

lgNlgN

2.303lgNlge0.4343

由换底公式推出一些常用的结论：1

或logab·logba1logbamm（2）loganblogab

nn（3）loganblogab

（1）logab（4）logana

m

mn5、指数方程与对数方程*定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。指数方程的题型与解法：名称基本型同底数型题型解法取以a为底的对数fxlogab取以a为底的对数fxxafxbaf(x)a(x)第4页共5页不同底数型需代换型对数方程的题型与解法：名称基本题同底数型需代换型afxbxFax0

取同底的对数化为fx·lgax·lgb

换元令ta转化为t的代数方程x题型logafxblogafxlogaxF(logax)0

转化为fxx（必须验根）换元令tlogax转化为代数方程对数式转化为指数式fxa

解法b第5页共5页