高三复数复习专题

高三复数专题复习：

一、复数的概念及运算：

1、复数的概念：（1）虚数单位i；

（2）实部：Rez，虚部：Imz；

有理数实数(b0)无理数a,bR纯虚数(a0)虚数(b0)非纯虚数(a0)（3）复数的分类(zabi)；

（4）相等的复数：

2、复数的加、减、乘、除法则：

（1）加减法具有交换律和结合律；

（2）乘法具有交换律、结合律、分配律；

abiacbdbcad22i(cdi0)22cdicdcd（3）除法：。

3、复数的共轭与模：

（1）zRzz；z是纯虚数zz，反之不成立；

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（2）复数zabi与点Za,b是一一对应关系，另：z与z关于x轴对称，表示z对

z应点与原点的距离。

z1z1z1z2z1z2,z1z2z1z2,zz22； 4、复数共轭运算性质：

5、复数模的运算性质：

z1z2z1zz,zz1n1(z20),znzz2z2。

6、复数的模与共轭的练习：

zzz2。

7、 重要结论

（1） 对复数z 、z1、z2和自然数m、n，有

nnmnmnnzm•znzmn，(z)z，(z1•z2)z1•z2

1234(2) ii，i1，ii，i1；

4n14n21，i4n3i，i4n1. i1，i1i1iii(1i)2i(3) ，1i，1i.

2(4)设

13i23n3n22nn1n22，，，10，，0

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8.一些几何结论的复数形式

zz(1)复平面上Z1，Z,2，Z,3三点共线的充要条件是21(R).z3zz(2)复平面上Z1Z2Z3为正三角形的充要条件是（有三种形式，它们是等价的）1.z1z2z2z3z3z1;222.z12z2z3z1z2z2z3z1z3;3.2z1z2z30cosisin.331Imz2z1z2z1.2zzzz(4)复平面上z1,z2,z3,z4四点共圆的充要条件是：3132R,0.z4z1z4z2 (3)复平面上Z1Z2Z3的面积为S表示为S二、复数的三角形式：

1、复数的三角形式概念：

任何1个复数zabi,都可以改写成复数的形式：zr(cosisin),其中：ra2b2,cosab,sin;rr

2、复数的三角形式的乘法公式：

设复数z1r1(cosisin),z2r2(cosisin)则，z1z2r1(cosisin)r2(cosisin)r1r2cosisin

即：两个复数相乘，积的模等于两个复数的模之积，积的辐角等于两个复数的辐角之和。

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上述结论，可以推广到有限个复数相乘的情况；r1r2r3rncos123nisin123nz1z2z3znr1(cos1isin1)r2(cos2isin2)r3(cos3isin3)rn(cosnisinn)

3、复数的三角形式的乘方公式（棣莫佛定理）

r(cosisin)nrn(cosnisinn)

即：复数的n（n∈N）次幂的模等于模的n次幂，辐角等于这个复数的辐角的n倍，这个定理称为棣莫佛定理。

4、复数的三角形式的除法公式

设z1r1cosisin,z2r2cosisin;zrcosisinr1则：11cosisin.z2r2cosisinr2

即：两个复数像除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角。

三、复数中的方程问题：

1、实系数一元二次方程的根的情况：

22对方程axbxc0（其中a,b,cR且a0），令b4ac，

当0时，方程有两个不相等的实数根。

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当=0时，方程有两个相等的实根；

当0时，方程有两个共轭虚根：

x1bibi,x222。

2、复系数一元二次方程根的情况：

对方程

ax2bxc0,xb的平方根2a；

3、一元二次方程的根与系数的关系：

bxx12acx1x22a； 若方程axbxc0（其中a,b,cR且a0）的两个根为x1、x2，则四、例题精选

例1：已知

z23iz23i4022，求；

z3134i222iz10例2：已知

23i4，求；

z例3：设z为虚数，

z1z为实数，且12。

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（1）求的值及z的实部的取值范围；

1z1z为纯虚数；

z（2）证明：

u2tt23tt例4：已知关于的方程2ta0(aR)有两个根t1、t2，且满足12。

（1）求方程的两个根以及实数a的值；

22logaxak2mk2k对于任意的a0xR（2）当时，若对于任意，不等式

1k2,2恒成立，求实数m的取值范围。 例5：已知复数z1满足(1i)z115i,z2a2i，其中i为虚数单位，aR，若

z1z2z1，求a的取值范围。

例6：设虚数z满足

2z5z10。

（1）求的值；

zm（2）若mz为实数，求实数m的值；

z（3）若12iz在复平面上对应的点在第一、第三象限角平方线上，求复数z。

2x例7：已知方程xp0有两个根x1和x2，pR。

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（1）若x1x23，求实数p；

（2）若x1x23，求实数p；

zabi(a,bR)是方程x24x50的根，复数u3i(uR)满足例8：已知复数

z25，求u的取值范围。

2xx例9：关于的方程(2abi)xabi0有实根，求一个根的模是2，求实数a,b的值。

z1a402zaz1z2z20z,z412例10：设两复数满足（其中a0且a1，xR），求z2是虚

21x数。

（1）求证：

z1z2是定值，求出此定值；

z1xN（2）当时，求满足条件的虚数z2的实部的所有项的和。

z222100zzkz1z2kR，并且z1是虚数，当kN时，求所z、z1212例11：设两个复数满足z2以满足条件的虚数z1的实部之和。

2cosisin3cosisin1266 例12：计算：（1）12精锐教育网站：www.1smart.org

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3cosisin55 （2）512cosisin6cosisin3366 （3）例13：给定复数z，在z，___________。

z,zz,z,z,z,z,z222这八个值中，不同值的个数至多是

例14：已知下列命题

（1）zzzR；（2）zzz为纯虚数；（3）z1z20z1z2；

2zzzz（4）z1z20z10或z20；（5）zz0z1z20；（6）.

2122222其中正确的命题是____________；

106z；②z的实部、虚部为整数。若

例15：是否存在复数z同时满足条件：①存在，求出复数z，若不存在，说明理由。

1z例16：设z1是已知复数，z为任意复数且( )

z1,zzz1，则复数对应的点的轨迹是

A、以z1的对应点为圆心、1为半径的圆；

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B、以z1的对应点为圆心，1为半径的圆；

11z1C、以2的对应点为圆心、2为半径的圆；

11z1D、以2的对应点为圆心，2为半径的圆；

例17：满足方程zRez1的复数z对应的点的轨迹是 ( )。

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

例18：复平面内，满足z(1i)z(1i)2的复数z所对应的点的轨迹是 ( )

A、椭圆 B、双曲线 C、一条线段 D、不存在

例19：满足方程

z15z1602的复数z对应的点的轨迹是 ( )

A、四个点 B、四条直线 C、一个圆 D、两个圆

xxz(2a)(2a)i,x、aR，当x在,内变化时，求z的最小值例20：设复数

ga。

例21：若复数z1和z2满足：z2az1i(a0)，且

z2z1z1z2842。z1和z2在复平

面中对应的点为Z1和Z2，坐标原点为O，且OZ1OZ2，求OZ1Z2面积的最大值，并指出此时a的值。

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例22：已知复数z01mim0,zxyi,abix,y,a,bR，i为虚数单位，且对于任意复数z，有z0z,2z。

（1）试求m的值，并分别写出a和b用x、y表示的关系式；

（2）将x,y作为点P的坐标，a,b作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线yx1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；

（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。

例23：已知复数z1mni,z222i和zxyi，其中m,n,x,y均为实数，且zz1iz2。

1(x3)212上运动，求复数z所对应的点

（1）若复数z1所对应的点M(m,n)在曲线

P(x,y)的轨迹方程；

y3a(,1)2方向平移，得到新的轨迹C，求C（2）将（1）中点P的轨迹上每一点沿向量

的方程。

（3）轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线l,l交y轴于点B。问：以AB为直径的圆是否恒过x轴上一定点？若存在，求出此定点坐标；若不存在，则说明理由。

例题答案：

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1Rez171、；2、1； 3、（1）2；（2）略；5、a1,7；6、（1）z5；（2）m5；

（3）

z103101031051i或zi0pp或p222224时，方程2；7、（1）；（2）①当

无解；②当p0时，p2；③当

a1a1,当b0时，b3b3。

p1944pa或au2,6；4时，4；53；8、9、当b0时，

a20a21a1a19axa40a2xi210、（1）2，定值2；（2）a1时，1a；0a1时，1a；

11、95；12、略；13、4； 14、（1）（4）；15、存在、z13i或z3i；

16、D；17、D；18、C；19、C；

a22,a2220、2a4a2,a2；21、8，此时a1，提示：由条件得

z18421a1a2,Sa1a2z1z2z1222842a221a1a222(842)112aa1aa2(842)218222，

当且仅当a1时等号成立。

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x'x3y3m3,'yxy3xyy23x232322、（1）；（2）；（3）存在直线，

y3x；

提示：设存在直线满足条件，由条件该直线不能平行与坐标轴，设方程为ykxb，

3x'y'x'3y'kb44则变换后的直线为，即

3kx'(13k)y'4b0。它与ykxb重

合，当b0时，方程无解。当b0时，

k3,k33；

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