灵石县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ A．36种B．38种C．108种

D．114种

）

2． 正方体的内切球与外接球的半径之比为（ A．

B．

C．

D．

上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，I是△AF1F2的内心．若，则该椭圆的离心率为（

A．　

4． 已知函数f(x)2sin(x)(0小距离为A．

B．

C．

D．

）

）

3． 点A是椭圆

2)与y轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最

）1111]

2，则使f(xt)f(xt)0成立的t的最小值为（

B．

6

3 C．

2 D．

235． 如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（

）

A．B．C．D．

）

6． “m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的（ A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

7． 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（

）

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A．B．C．D．

8． 已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误 的是（　　）

A．若m∥β，则m∥lB．若m∥l，则m∥βC．若m⊥β，则m⊥lD．若m⊥l，则m⊥β9． 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F 分别为BC,BB1的中点，则下列直线中与直线 EF相交

的是（

）

B．直线A1B1

）

C. 直线A1D1

D．直线B1C1 A．直线AA1

10．下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ A．y=x+1

B．y=﹣x2C．

D．y=﹣x|x|

11．底面为矩形的四棱锥P­ABCD的顶点都在球O的表面上，且O在底面ABCD内，PO⊥平面ABCD，当四棱锥P­ABCD的体积的最大值为18时，球O的表面积为（ A．36π C．60π A．y=3x﹣4

B．48πD．72π

）

D．y=4x﹣5

B．y=﹣3x+2

C．y=﹣4x+3

）

12．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（

二、填空题

13．若双曲线的方程为4x2﹣9y2=36，则其实轴长为　　　　　　．14．0）P，Q是单位圆上的两动点且满足+已知A（1，，，则的最大值为　　　　　　．1015．已知ab1，若logablogba，abba，则ab= ▲ ．316．设O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两点，直线AO与l相交于D，若|AF|＞|BF|，则

=　　　　　　．　

17．如果定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2（fx1），则称函数为“H函数”，给出下列函数①f（x）=3x+1 ③f（x）=x2+1

②f（x）=（）x+1④f（x）=

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其中是“H函数”的有　　（填序号）　

18．已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则

的值为　　．三、解答题

19．某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；

（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？

20．解关于x的不等式12x2﹣ax＞a2（a∈R）．

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21．已知函数y=x+有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，函数．

]上是减函数，在[，+∞）上是增

（1）已知函数f（x）=x+，x∈[1，3]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域；（2）已知函数g（x）=

（x2）=g（x1）成立，求实数a的值．　

和函数h（x）=﹣x﹣2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得h

22．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0（Ⅰ）求实数a，b的值（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

23．（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件

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（2）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件

+=1．

24．已知函数f(x)3x，x2,5．x1（1）判断f(x)的单调性并且证明；

（2）求f(x)在区间2,5上的最大值和最小值．

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灵石县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参）一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．

②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，故选A．

【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．　

2． 【答案】C

【解析】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：故选C　

3． 【答案】B

【解析】解：设△AF1F2的内切圆半径为r，则S△IAF1=|AF1|r，S△IAF2=|AF2|r，S△IF1F2=|F1F2|r，∵

∴|AF1|r=2

×|F1F2|r﹣|AF2|r，

|F1F2|．∴a=2=

．

，，

a，半径为：

a，

整理，得|AF1|+|AF2|=2∴椭圆的离心率e==故选：B．　

4． 【答案】A【解析】

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考

点：三角函数的图象性质．5． 【答案】C

【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为故选C．

【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．　

6． 【答案】B

【解析】解：当m=0时，两条直线方程分别化为：﹣2x﹣1=0，2x﹣2y+3=0，此时两条直线不垂直，舍去；当m=2时，两条直线方程分别化为：﹣6y﹣1=0，4x+3=0，此时两条直线相互垂直；当m≠0，2时，两条直线相互垂直，则

×

=﹣1，解得m=1．

，外接球的体积为

，

综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：m=1，2．

∴“m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的充分不必要条件．故选：B．

【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件、充要条件的判定，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．　

7． 【答案】A

【解析】解：由已知中几何体的直观图，

我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确故A选项正确．故选：A．

【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键．　

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8． 【答案】D

【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可

【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；

B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；

D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；综上D选项中的命题是错误的故选D9． 【答案】D【解析】

试题分析：根据已满治安的概念可得直线AA1,A1B1,A1D1都和直线EF为异面直线，B1C1和EF在同一个平面内，且这两条直线不平行；所以直线B1C1和EF相交，故选D.考点：异面直线的概念与判断.10．【答案】D

【解析】解：y=x+1不是奇函数；y=﹣x2不是奇函数；

是奇函数，但不是减函数；y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数，故选：D．

【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，难度不大，属于基础题．　

11．【答案】

【解析】选A.设球O的半径为R，矩形ABCD的长，宽分别为a，b，则有a2＋b2＝4R2≥2ab，∴ab≤2R2，又V四棱锥P－ABCD＝1S矩形ABCD·PO

3

2

＝1abR≤R3.

33

2

∴R3＝18，则R＝3，3

∴球O的表面积为S＝4πR2＝36π，选A.12．【答案】B

【解析】解：∵点（1，﹣1）在曲线上，y′=3x2﹣6x，∴y′|x=1=﹣3，即切线斜率为﹣3．

∴利用点斜式，切线方程为y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2．

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故选B．

【点评】考查导数的几何意义，该题比较容易．　

二、填空题

13．【答案】　6　．

【解析】解：双曲线的方程为4x2﹣9y2=36，即为：﹣

=1，

可得a=3，

则双曲线的实轴长为2a=6．故答案为：6．

【点评】本题考查双曲线的实轴长，注意将双曲线方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．　

14．【答案】　

【解析】解：设∴

+

．

=

故答案为：

　．

=

，则=1×

×

=

≤

=

，

的方向任意．

．

，因此最大值为

【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．　

15．【答案】43【解析】

试题分析：因为ab1，所以logba1，又logablogba3101101logbalogba3或（舍），3logba33因此ab3，因为abba，所以b3bbb3bb3,b1b3,a33，ab43考点：指对数式运算16．【答案】　　．

【解析】解：∵O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为

的直线与抛物线C相交于A，B两点，

直线AO与l相交于D，∴直线AB的方程为y=

（x﹣），l的方程为x=﹣，

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联立，解得A（﹣

，

， P），B（，﹣）

∴直线OA的方程为：y=

联立，解得D（﹣，﹣）

∴|BD|==，

∵|OF|=，∴ ==．

故答案为：．

【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质．　

17．【答案】　①④　

【解析】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的不减函数（即无递减区间）；①f（x）在R递增，符合题意；②f（x）在R递减，不合题意；

③f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，不合题意；④f（x）在R递增，符合题意；故答案为：①④．　

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18．【答案】　　．

【解析】解：已知数列1，a1，a2，9是等差数列，∴a1+a2 =1+9=10．数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，∴∴b2=3，则故答案为

．

=1×9，再由题意可得b2=1×q2＞0 （q为等比数列的公比），

=，

【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x，由频率分布直方图得，（0.0015+0.019）×20+（x﹣140）×0.025=0.5，解得：x=143.6．

∴测试成绩中位数为143.6．

进入第二阶段的学生人数为200×（0.003+0.0015）×20=18人．（Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η，则ξ～B（3，），∴E（ξ）=

．

]×20=30，

∴最后抢答阶段甲队得分的期望为[∵P（η=0）=P（η=1）=P（η=2）=P（η=3）=∴Eη=

∴最后抢答阶段乙队得分的期望为[∴120+30＞120+24，∴支持票投给甲队．

，

．，

，，

]×20=24．

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【点评】本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，属中档题．　

20．【答案】

【解析】解：由12x2﹣ax﹣a2＞0⇔（4x+a）（3x﹣a）＞0⇔（x+）（x﹣）＞0，①a＞0时，﹣＜，解集为{x|x＜﹣或x＞}；②a=0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；③a＜0时，﹣＞，解集为{x|x＜或x＞﹣}．综上，当a＞0时，﹣＜，解集为{x|x＜﹣或x＞}；当a=0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＜0时，﹣＞，解集为{x|x＜或x＞﹣}．　

21．【答案】

【解析】解：（1）由已知可以知道，函数f（x）在x∈[1，2]上单调递减，在x∈[2，3]上单调递增，f（x）min=f（2）=2+2=4，又f（1）=1+4=5，f（3）=3+=f（1）＞f（3）所以f（x）max=f（1）=5所以f（x）在x∈[1，3]的值域为[4，5]．（2）y=g（x）=

=2x+1+

﹣8﹣8，

；

设μ=2x+1，x∈[0，1]，1≤μ≤3，则y=由已知性质得，

当1≤u≤2，即0≤x≤时，g（x）单调递减，所以递减区间为[0，]；当2≤u≤3，即≤x≤1时，g（x）单调递增，所以递增区间为[，1]；由g（0）=﹣3，g（）=﹣4，g（1）=﹣

，得g（x）的值域为[﹣4，﹣3]．

因为h（x）=﹣x﹣2a为减函数，故h（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]，x∈[0，1]．根据题意，g（x）的值域为h（x）的值域的子集，从而有　

22．【答案】

，所以a=．

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【解析】解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b从而f′（x）=6

从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3

又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2

当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．

从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．　

23．【答案】

【解析】解：（1）由题意作出可行域如下，

y=f′（x）关于直线x=﹣对称，

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，

结合图象可知，当过点A（2，﹣1）时有最大值，故Zmax=2×2﹣1=3；（2）由题意作图象如下，

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，

根据距离公式，原点O到直线2x+y﹣z=0的距离d=，

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故当d有最大值时，|z|有最大值，即z有最值；结合图象可知，当直线2x+y﹣z=0与椭圆

+

=1相切时最大，

联立方程

116x2﹣100zx+25z2﹣400=0，

化简可得，

故△=10000z2﹣4×116×（25z2﹣400）=0，故z2=116，

故z=2x+y的最大值为

．

【点评】本题考查了线性规划的应用及圆锥曲线与直线的位置关系的应用．　

24．【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）最小值为，最大值为2.5.【解析】

3(x1x2)0，所以f(x)在2,5(x11)(x21)5上是增函数；（2）由（1）知，最小值为f(2)2，最大值为f(5).

2试题分析：（1）在2,5上任取两个数x1x2，则有f(x1)f(x2)试题解析：

在2,5上任取两个数x1x2，则有

f(x1)f(x2)所以f(x)在2,5上是增函数．

3x13x23(x1x2)0，x11x21(x11)(x21)所以当x2时，f(x)minf(2)2，当x5时，f(x)maxf(5)考点：函数的单调性证明．

【方法点晴】本题主要考查利用定义法求证函数的单调性并求出单调区间，考查化归与转化的数学思想方法.先在定义域内任取两个数x1x2，然后作差f(x1)f(x2)，利用十字相乘法、提公因式法等方法化简式子成几个因式的乘积，判断最后的结果是大于零韩式小于零，如果小于零，则函数为增函数，如果大于零，则函数为减函数.1

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