《管理运筹学》第四版课后习题

《管理运筹学》第四版课后习题答案

第2章 线性规划的图解法

1．解：

（1）可行域为OABC。

（2）等值线为图中虚线部分。

（3）由图2-1可知，最优解为B点，最优解x1=

121569，x2；最优目标函数值。 777

图2-1

2．解：

x10.2（1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解，函数值为3.6。

x0.62

图2-2

（2）无可行解。 （3）无界解。 （4）无可行解。 （5）无穷多解。

20x1923（6）有唯一解 ，函数值为。

3x823

3．解：

（1）标准形式

maxf3x12x20s10s20s3

9x12x2s1303x12x2s2132x12x2s39x1,x2,s1,s2,s3≥0

（2）标准形式

minf4x16x20s10s2

3x1x2s16x12x2s2107x16x24x1,x2,s1,s2≥0

（3）标准形式

2x22x20s10s2 minfx15x2s1703x15x25x25x2502x12x22x2s2303x1,x2,x2,s1,s2≥0x1

4．解： 标准形式

maxz10x15x20s10s2

3x14x2s195x12x2s28 x1,x2,s1,s2≥0松弛变量（0，0） 最优解为 x1=1，x2=3/2。

5．解：

标准形式

minf11x18x20s10s20s3

10x12x2s1203x13x2s2184x19x2s336x1,x2,s1,s2,s3≥0

剩余变量（0, 0, 13） 最优解为 x1=1，x2=5。

6．解：

（1）最优解为 x1=3，x2=7。 （2）1c13。 （3）2c26。 （4）

x16。 x24。（5）最优解为 x1=8，x2=0。 （6）不变化。因为当斜率1≤

c11≤，最优解不变，变化后斜率为1，所以最优解不变。 c237.解：

设x，y分别为甲、乙两种柜的日产量，

目标函数z=200x＋240y， 线性约束条件：

6x12y1208x4y x0y0x2y202xy16x0y0即

作出可行

域．

x2y20解 得Q(4,8) 2xy16z最大200424082720

答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为

4台和8台，可获最大利润2720

元．

8．解：

设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积zm2． 目标函数z=x＋2y， 线性约束条件： xy122xy15x3y27 x0y0x3y27作出可行域，并做一组一组平行直线x＋2y=t．解得E(9/2,15/2)

xy12

．

但E不是可行域内的整点，在可行域的整点中，点(4,8)使z取得最小值。 答：应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢板的面积最小．

9．解：

设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，所用原料的总面积是zm2，目标函

x2y22xy3数z=3x＋2y，线性约束条件 作出可行域．作一组平等直线3x＋

x0y0x2y22y=t． 解得C(4/3,1/3)

2xy3

C不是整点，C不是最优解．在可行域内的整点中，点B(1，1)使z取得最小值． z最小=3×1＋2×1=5，

答：用甲种规格的原料1张，乙种原料的原料1张，可使所用原料的总面积最小为5m2．

10．解：

设租用大卡车x辆，农用车y辆，最低运费为z元．目标函数为z=960x＋360y．

0x10 线性约束条件是0y20 作出可行域，并作直线960x＋360y=0． 即

8x2.5y1008x＋3y=0，向上平移

由x10得最佳点为8,10

8x2.5y100 作直线

960x＋360y=0． 即8x＋3y=0，向上平移至过点B(10，8)时，z=960x＋360y取到最小值．

z最小=960×10＋360×8=12480

答：大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元．

11．解：

设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则z=6x＋10y．

0.18x0.09y722xy8000.08x0.28y562x7y1400 即 作出可行域．平移6x＋10y=0 ，如图

x0x0y0y0

2xy800x350 得即C(350，100)．当直线6x＋10y=0即3x＋5y=0平2x7y1400y100移到经过点C(350，100)时，z=6x＋10y最大

12．解：

模型maxz500x1400x2 2x1≤3003x2≤5402x12x1≤4401.2x11.5x2≤300x1,x2≥0

（1）x1150，x270，即目标函数最优值是103 000。 （2）2，4有剩余，分别是330，15，均为松弛变量。 （3）50，0，200，0。

（4）在0,500变化，最优解不变；在400到正无穷变化，最优解不变。 （5）因为 13．解：

（1）模型minf8xA3xB 50xA100xB≤12000005xA4xB≥60000100xB≥300000xA,xB≥0c1450≤1，所以原来的最优产品组合不变。 c2430

基金A，B分别为4 000元，10 000元，回报额为62000元。

（2）模型变为maxz5xA4xB

50xA100xB≤1200000 100xB≥300000xA,xB≥0

推导出x118000，x23000，故基金A投资90万元，基金B投资30万元。

第3章 线性规划问题的计算机求解

1．解：

⑴甲、乙两种柜的日产量是分别是4和8，这时最大利润是2720 ⑵每多生产一件乙柜，可以使总利润提高13.333元 ⑶常数项的上下限是指常数项在指定的范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不变。比如油漆时间变为100，因为100在40和160之间，所以其对偶价格不变仍为13.333 ⑷不变，因为还在120和480之间。

2．解：

⑴不是，因为上面得到的最优解不为整数解，而本题需要的是整数解 ⑵最优解为 (4，8)

3 ．解：

⑴农用车有12辆剩余 ⑵大于300

⑶每增加一辆大卡车，总运费降低192元

4．解：

计算机得出的解不为整数解，平移取点得整数最优解为(10，8)

5．解： 圆桌和衣柜的生产件数分别是350和100件，这时最大利润是3100元 相差值为0代表，不需要对相应的目标系数进行改进就可以生产该产品。

最优解不变，因为C1允许增加量20-6=14；C2允许减少量为10-3=7，所有允许增加百分比和允许减少百分比之和（7.5-6）/14+（10-9）/7〈100%，所以最优解不变。 6．解：

（1）x1150，x270；目标函数最优值103 000。

（2）1、3车间的加工工时数已使用完；2、4车间的加工工时数没用完；没用完的加工工时数为2车间330小时，4车间15小时。 （3）50，0，200，0。

含义：1车间每增加1工时，总利润增加50元；3车间每增加1工时，总利润增加200元；2车间与4车间每增加一个工时，总利润不增加。 （4）3车间，因为增加的利润最大。

（5）在400到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变。 （6）不变，因为在0,500的范围内。

（7）所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条件1的右边值在200,440变化，对偶价格仍为50（同理解释其他约束条件）。 （8）总利润增加了100×50=5 000，最优产品组合不变。 （9）不能，因为对偶价格发生变化。

（10）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和（11）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和

2550≤100% 1001005060≤100%，其140140最大利润为103 000+50×50−60×200=93 500元。

7．解：

（1）4 000，10 000，62 000。

（2）约束条件1：总投资额增加1个单位，风险系数则降低0.057； 约束条件2：年回报额增加1个单位，风险系数升高2.167； 约束条件3：基金B的投资额增加1个单位，风险系数不变。

（3）约束条件1的松弛变量是0，表示投资额正好为1 200 000；约束条件2的剩余变量是0，表示投资回报额正好是60 000；约束条件3的松弛变量为700 000，表示投资B基金的投资额为370 000。

（4）当c2不变时，c1在3.75到正无穷的范围内变化，最优解不变； 当c1不变时，c2在负无穷到6.4的范围内变化，最优解不变。

（5）约束条件1的右边值在780000,1500000变化，对偶价格仍为0.057（其他同理）。 （6）不能，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和分之一百法则。

8．解：

（1）18 000，3 000，102 000，153 000。

（2）总投资额的松弛变量为0，表示投资额正好为1 200 000；基金B的投资额的剩余变量为0，表示投资B基金的投资额正好为300 000； （3）总投资额每增加1个单位，回报额增加0.1；

基金B的投资额每增加1个单位，回报额下降0.06。

（4）c1不变时，c2在负无穷到10的范围内变化，其最优解不变； c2不变时，c1在2到正无穷的范围内变化，其最优解不变。

（5）约束条件1的右边值在300 000到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为0.1； 约束条件2的右边值在0到1 200 000的范围内变化，对偶价格仍为-0.06。

600000300000100%故对偶价格不变。 （6）

900000900000

9．解：

（1）x18.5，x21.5，x30，x40，最优目标函数18.5。

（2）约束条件2和3，对偶价格为2和3.5，约束条件2和3的常数项增加一个单位目标函数分别提高2和3.5。

42100%，理由见百4.253.6

（3）第3个，此时最优目标函数值为22。

（4）在负无穷到5.5的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。 （5）在0到正无穷的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。

10．解：

（1）约束条件2的右边值增加1个单位，目标函数值将增加3.622。 （2）x2目标函数系数提高到0.703，最优解中x2的取值可以大于零。

（3）根据百分之一百法则判定，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和12≤100%，所以最优解不变。 14.583∞（4）因为

1565100%，根据百分之一百法则，我们不能判定其对偶价格

309.1111.2515是否有变化。

第4章 线性规划在工商管理中的应用

1．解：

为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。

设14种方案下料时得到的原材料根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14，如表4-1所示。 表4-1 各种下料方式 下料方式 2 0 mm 1 770 mm 1 650 mm 1 440 mm 1 2 0 0 0 2 1 1 0 0 3 1 0 1 0 4 1 0 0 1 5 0 3 0 0 6 0 2 1 0 7 0 2 0 1 8 0 1 2 0 9 0 1 1 1 10 0 1 0 2 11 0 0 3 0 12 0 0 2 1 13 0 0 1 2 14 0 0 0 3 min f=x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14 s.t. 2x1＋x2＋x3＋x4≥80

x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10≥350 x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋2x12＋x13≥420 x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14≥10

x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥0 通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解为：

x1=40，x2=0，x3=0，x4=0，x5=116.667，x6=0，x7=0，x8=0，x9=0，x10=0，x11=140，x12=0，x13=0，x14=3.333

最优值为300。

2．解：

（1）将上午11时至下午10时分成11个班次，设xi表示第i班次新上岗的临时工人数，建立如下模型。

min f=16(x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11) s.t． x1＋1≥9 x1＋x2＋1≥9 x1＋x2＋x3＋2≥9 x1＋x2＋x3＋x4＋2≥3 x2＋x3＋x4＋x5＋1≥3 x3＋x4＋x5＋x6＋2≥3 x4＋x5＋x6＋x7＋1≥6 x5＋x6＋x7＋x8＋2≥12 x6＋x7＋x8＋x9＋2≥12 x7＋x8＋x9＋x10＋1≥7 x8＋x9＋x10＋x11＋1≥7

x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥0 通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解如下：

x1=8，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，x6=4，x7=0，x8=6，x9=0，x10=0，x11=0， 最优值为320。 在满足对职工需求的条件下，在11时安排8个临时工，13时新安排1个临时工，14时新安排1个临时工，16时新安排4个临时工，18时新安排6个临时工可使临时工的总成本

最小。

（2）这时付给临时工的工资总额为320，一共需要安排20个临时工的班次。 约束 松弛/剩余变量 对偶价格 ------ ------------ ------------ 1 0 −4 2 0 0 3 2 0 4 9 0 5 0 −4 6 5 0 7 0 0 8 0 0

9 0 −4 10 0 0 11 0 0

根据剩余变量的数字分析可知，可以让11时安排的8个人工做3小时，13时安排的1个人工作3小时，可使得总成本更小。

（3）设xi表示第i班上班4小时临时工人数，yj表示第j班上班3小时临时工人数。 min f=16(x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8)＋12(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6＋y7＋y8＋y9) s.t． x1＋y1＋1≥9

x1＋x2＋y1＋y2＋1≥9

x1＋x2＋x3＋y1＋y2＋y3＋2≥9 x1＋x2＋x3＋x4＋y2＋y3＋y4＋2≥3 x2＋x3＋x4＋x5＋y3＋y4＋y5＋1≥3 x3＋x4＋x5＋x6＋y4＋y5＋y6＋2≥3 x4＋x5＋x6＋x7＋y5＋y6＋y7＋1≥6 x5＋x6＋x7＋x8＋y6＋y7＋y8＋2≥12 x6＋x7＋x8＋y7＋y8＋y9＋2≥12 x7＋x8＋y8＋y9＋1≥7 x8＋y9＋1≥7

x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9≥0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下： x1=0，x2=0，x3=0，x4=0，x5=0，x6=0，x7=0，x8=6，

y1=8，y2=0，y3=1，y4=0，y5=1，y6=0，y7=4，y8=0，y9=0。 最优值为2。 具体安排如下。 在11：00－12：00安排8个3小时的班，在13：00－14：00安排1个3小时的班，在 15：00－16：00安排1个3小时的班，在17：00－18：00安排4个3小时的班，在18：00－19：00安排6个4小时的班。

总成本最小为2元，能比第一问节省320−2=56元。

3．解：

设xij，xij’分别为该工厂第i种产品的第j个月在正常时间和加班时间内的生产量；yij为i种产品在第j月的销售量，wij为第i种产品第j月末的库存量，根据题意，可以建立如下模

型：

maxz[SiyijCixijCx]Hiwij

'i'iji1j1i1j156565axr(j1,,6)iijji15''axr(j1,,6)jiiji1s.t. yd(i1,,5;j1,,6) ijij'wijwi,j1xijxijyij(i1,,5;j1,,6,其中，wi0=0，wi6ki)'xij0,xij0,yij0(i1,,5;j1,,6)w0(i1,,5;j1,,6)ij

4. 解：

（1）设生产A、B、C三种产品的数量分别为x1，x2，x3，则可建立下面的数学模型。 max z＝10 x1＋12x2＋14x3 s.t. x1＋1.5x2＋4x3≤2 000 2x1＋1.2x2＋x3≤1 000 x1≤200 x2≤250 x3 ≤100

x1，x2，x3≥0

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：x1=200，x2=250，x3=100，最优值为6 400。即在资源数量及市场容量允许的条件下，生产A 200件，B 250件，C 100件，可使生产获利最多。

（2）A、B、C的市场容量的对偶价格分别为10元，12元，14元。材料、台时的对偶价格均为0。说明A的市场容量增加一件就可使总利润增加10元，B的市场容量增加一件就可使总利润增加12元，C的市场容量增加一件就可使总利润增加14元。但增加一千克的材料或增加一个台时数都不能使总利润增加。如果要开拓市场应当首先开拓C产品的市场，如果要增加资源，则应在0价位上增加材料数量和机器台时数。

5．解：

（1）设白天调查的有孩子的家庭的户数为x11，白天调查的无孩子的家庭的户数为x12，晚上调查的有孩子的家庭的户数为x21，晚上调查的无孩子的家庭的户数为x22，则可建立下面的数学模型。

min f =25x11＋20x12＋30x21＋24x22 s.t． x11＋x12＋x21＋x22≥2 000 x11＋x12 =x21＋x22 x11＋x21≥700 x12＋x22≥450 x11, x12, x21, x22≥0

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。

x11＝700，x12＝300，x21＝0，x22＝1 000， 最优值为47 500。 白天调查的有孩子的家庭的户数为700户，白天调查的无孩子的家庭的户数为300户，晚上调查的有孩子的家庭的户数为0，晚上调查的无孩子的家庭的户数为1 000户，可使总调查费用最小。

（2）白天调查的有孩子的家庭的费用在20～26元之间，总调查方案不会变化；白天调查的无孩子的家庭的费用在19～25元之间，总调查方案不会变化；晚上调查的有孩子的家庭的费用在29到正无穷之间，总调查方案不会变化；晚上调查的无孩子的家庭的费用在-20～25元之间，总调查方案不会变化。

（3）发调查的总户数在1 400到正无穷之间，对偶价格不会变化；有孩子家庭的最少调查数在0到1 000之间，对偶价格不会变化；无孩子家庭的最少调查数在负无穷到1 300之间，对偶价格不会变化。

管理运筹学软件求解结果如下：

6．解：

设空调机、洗衣机的月供应量分别是x,y台，总利润是P，则P=6x+8y，可建立约束条件如下：

30x+20y≤300; 5x+10y≤110; x≥0 y≥0

x,y均为整数。

使用管理运筹学软件可求得，x=4,y=9,最大利润值为9600；

7. 解：

1、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：

0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3

决策的条件：

8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床条件 4x1+ 3x2 ≤350 车床条件 3x1 + x3≤150 磨床条件 即总绩效测试（目标函数）为：

max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 2、本问题的线性规划数学模型

max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3

S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500 4x1+ 3x2 ≤350 3x1 + x3≤150 x1≥0、x2≥0、x3≥0 最优解（50，25，0），最优值：30元。

3、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是： max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3

S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500 4x1+ 3x2 ≤350 3x1 + x3≤150 x3≥18

x1≥0、x2≥0、x3≥0

这是一个混合型的线性规划问题。 代入求解模板得结果如下： 最优解（44，10，18），最优值：28.5元。

8．解：

设第i个月签订的合同打算租用j个月的面积为xij，则需要建立下面的数学模型：

min f=2 800x11＋4 500x12＋6 000x13＋7 300x14＋2 800x21＋4 500x22＋6 000x23＋2 800x31＋4 500x32＋2 800x41 s.t． x11≥15

x12＋x21≥10

x13＋x22＋x31≥20

x14＋x23＋x32＋x41≥12 xij≥0，i，j=1，2，3，4

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。

x11=15，x12=0，x13=0，x14=0，x21=10，x22=0，x23=0，x31=20，x32=0，x41=12，

最优值为159 600，即在一月份租用1 500平方米一个月，在二月份租用1 000平方米一个月，在三月份租用2 000平方米一个月，四月份租用1 200平方米一个月，可使所付的租借费最小。

9. 解：

设xi为每月买进的种子担数，yi为每月卖出的种子担数，则线性规划模型为； Max Z=3.1y1+3.25y2+2.95y3-2.85x1-3.05x2-2.9x3 s.t. y1≤1000

y2≤1000- y1+ x1

y3≤1000- y1+ x1- y2+ x2 1000- y1+ x1≤5000

1000- y1+ x1- y2+ x2≤5000 x1≤（20000+3.1 y1）/ 2.85

x2≤（20000+3.1 y1-2.85x1+3.25y2）/ 3.05

x3≤（20000+3.1 y1-2.85x1+3.25y2-3.05x2+2.95y3）/ 2.9 1000-y1+x1-y2+ x2-y3 +x3=2000 xi≥0 yi≥0 (i=1,2,3)

10．解：

设xij表示第i种类型的鸡饲料需要第j种原料的量，可建立下面的数学模型。

max z=9(x11＋x12＋x13)＋7(x21＋x22＋x23)+8(x31＋x32＋x33)−5.5(x11＋x21＋x31)−4(x12＋x22＋ x32)−5(x13＋x23＋x33)

s.t． x11≥0.5(x11＋x12＋x13) x12≤0.2(x11＋x12＋x13) x21≥0.3(x21＋x22＋x23) x23≤0.3(x21＋x22＋x23) x33≥0.5(x31＋x32＋x33)

x11＋x21＋x31+ x12＋x22＋x32+ x13＋x23＋x33≤30 x11＋x12＋x13≤5 x21＋x22＋x23≤18 x31＋x32＋x33≤10

xij≥0，i，j=1，2，3

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。

x11=2.5，x12=1，x13=1.5，x21=4.5，x22=10.5，x23=0，x31=0，x32=5，x33=5，最优值为93..

11. 解：

设Xi为第i个月生产的产品Ⅰ数量，Yi为第i个月生产的产品Ⅱ数量，Zi，Wi分别为第i个月末产品Ⅰ、Ⅱ库存数，S1i，S2i分别为用于第（i+1）个月库存的自有及租借的仓库容积（立方米），则可以建立如下模型。

min z =(5xi8yi)(4.5xi7yi)(S1iS2i)

i1i6i151212 s.t X1−10 000=Z1 X2+Z1−10 000=Z2 X3+Z2−10 000=Z3 X4+Z3−10 000=Z4 X5+Z4−30 000=Z5 X6+Z5−30 000=Z6 X7+Z6−30 000=Z7 X8+Z7−30 000=Z8 X9+Z8−30 000=Z9 X10+Z9−100 000=Z10

X11+Z10−100 000=Z11 X12+Z11−100 000=Z12 Y1−50 000=W1 Y2+W1−50 000=W2 Y3+W2−15 000=W3 Y4+W3−15 000=W4 Y5+W4−15 000=W5 Y6+W5−15 000=W6 Y7+W6−15 000=W7 Y8+W7−15 000=W8 Y9+W8−15 000=W9 Y10+W9−50 000=W10 Y11+W10−50 000=W11 Y12+W11−50 000=W12 S1i≤15 000 1≤i≤12 Xi+Yi≤120 000 1≤i≤12

0.2Zi+0.4WiS1iS2i 1≤i≤12

Xi≥0,Yi≥0,Zi≥0,Wi≥0,S1i≥0,S2i≥0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。

最优值为4 910 500。

X1=10 000, X2=10 000, X3=10 000, X4=10 000, X5=30 000, X6=30 000, X7=30 000, X8=45 000, X9=105 000, X10=70 000, X11=70 000, X12=70 000; Y1=50 000, Y2=50 000, Y3=15 000, Y4=15 000, Y5=15 000

Y6=15 000, Y7=15 000, Y8=15 000, Y9=15 000, Y10=50 000, Y11=50 000, Y12=50 000; Z8=15 000, Z9=90 000, Z10=60 000, Z11=30 000;

S18=3 000, S19=15 000, S110=12 000, S111=6 000, S29=3 000; 其余变量都等于0。

12.解：

为了以最低的成本生产足以满足市场需求的两种汽油，将这个问题写成线性规划问题进行求解，令，

x1=生产标准汽油所需的X100原油的桶数 x2=生产经济汽油所需的X100原油的桶数 x3=生产标准汽油所需的X220原油的桶数 x4=生产经济汽油所需的X220原油的桶数 则，min Z=30 x1+30 x2+34.8 x3+34.8 x4 s.t. x1+ x3≥25000 x2+ x4≥32000

0.35 x1+ 0.6x3≥0.45（x1+ x3） 0.55 x2+ 0.25x4≤0.5（x2+ x4）

通过管理运筹学软件，可得x1=15000，x2=26666.67，x3=10000，x4=5333.33

总成本为1783600美元。

13．解：

（1）设第i个车间生产第j种型号产品的数量为xij, 可以建立如下数学模型。 max z=25(x11+xxmax25(21 x21x31x41x51)20(x12x32x42x52)17(x13x23x43x53)(x14x24x44)

s.t x11x21x31x41x51≤1400 x12x32x42x52≥300 x12x32x42x52≤800 x13x23x43x53≤8000 x14x24x44≥700

5x117x126x135x14≤18000 6x213x233x24≤15000 4x313x32≤14000

3x412x424x432x44≤12000 2x514x525x53≤10000 xij≥0,i1,2,3,4,5 j=1,2,3,4

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。

**********************最优解如下************************* 目标函数最优值为：279 400

变量 最优解 相差值 ------- --------- ---------- x11 0 11 x21 0 26.4 x31 1 400 0 x41 0 16.5 x51 0 5.28 x12 0 15.4 x32 800 0 x42 0 11 x52 0 10.56 x13 1 000 0

+11

x23 5 000 0 x43 0 8.8 x53 2 000 0 x14 2 400 0 x24 0 2.2 x44 6 000 0

即x31=1400，x32=800，x13=1000，x23=5000，x53=2000，x14=2400， x44=6000，其余均为0，得到最优值为279 400。

(2) 对四种产品利润和5个车间的可用生产时间做灵敏度分析; 约束 松弛/剩余变量 对偶价格 ------- ----------- ---------- 1 0 25 2 500 0 3 0 20 4 0 3.8 5 7 700 0 6 0 2.2 7 0 4.4 8 6 000 0 9 0 5.5 10 0 2.

目标函数系数范围 :

变量 下限 当前值 ------- ------- ------- x11 无下限 25 x21 无下限 25 x31 19.72 25 x41 无下限 25 x51 无下限 25 x12 无下限 20 x32 9.44 20 x42 无下限 20 x52 无下限 20 x13 13.2 17 x23 14.8 17 x43 无下限 17 x53 3.8 17 x14 9.167 11 x24 无下限 11 x44 6.6 11 常数项数范围：

上限 ------- 36 51.4 无上限 41.5 30.28 35.4 无上限 31 30.56 19.2 无上限 25.8 无上限 14.167 13.2 无上限

约束 下限 当前值 上限 ------- ------- ------- ------- 1 0 1 400 2 900 2 无下限 300 800 3 300 800 2 800 4 7 000 8 000 10 000 5 无下限 700 8 400 6 6 000 18 000 无上限 7 9 000 15 000 18 000 8 8 000 14 000 无上限 9 0 12 000 无上限 10 0 10 000 15 000 可以按照以上管理运筹学软件的计算结果自行进行。

14．解：设第一个月正常生产x1，加班生产x2，库存x3；第二个月正常生产x4，加班生产x5，库存x6；第三个月正常生产x7，加班生产x8，库存x9；第四个月正常生产x10，加班生产x11，可以建立下面的数学模型。

min f=200(x1+ x4+ x7+ x10)+300(x2+ x5+ x8+ x11)+60(x3+ x6+ x9) s.t x1≤4 000 x4≤4 000 x7≤4 000 x10≤4 000 x3≤1000 x6≤1 000 x9≤1 000 x2≤1 000 x5≤1 000 x8≤1 000 x11≤1 000

x1x2x34500 x3x4x5x63000 x6x7x8x95500 x9x10x114500

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11≥0

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。 最优值为f =3 710 000元。

x1=4 000吨，x2 =500吨，x3=0吨，x4=4 000吨，x5=0吨，

x6=1 000吨，x7=4 000吨，x8=500吨，x9=0吨，x10=3500吨，x11=1000吨。

管理运筹学软件求解结果如下：

第5章 单纯形法

1．解：

表中a、c、e、f是可行解，f是基本解，f是基本可行解。

2．解：

（1）该线性规划的标准型如下。 max 5x1＋9x2＋0s1+0s2+0s3 s.t. 0.5x1＋x2＋s1＝8 x1＋x2－s2＝10

0.25x1＋0.5x2－s3＝6 x1，x2，s1，s2，s3≥0

（2）至少有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个非基变量，非基变量取零。

T （3）（4，6，0，0，-2）T （4）（0，10，-2，0，-1）

（5）不是。因为基本可行解要求基变量的值全部非负。 （6）略

3.解：

x3，fz改为求maxf；将约束条件中的第一个方程左右两边令x3x3同时乘以-1，并在第二和第三个方程中分别引入松弛变量x5和剩余变量x6，将原线性规划问题化为如下标准型：

max f4x13x22x37x43x3x41约束条件： 4x1x23x3x36x4x518 x13x2x34x3x62 3x12x24x3,x3,x4,x5,x60 x1,x2,x3xj、xj不可能在基变量中同时出现，因为单纯性表里面xj、xj相应的列向量是相同的，只有符号想法而已，这时候选取基向量的时候，同时包含两列会使

选取的基矩阵各列线性相关，不满足条件。

4．解： （1） 表5-1 迭代次数 基变量 s1 0 s2 s3

CB x1 x2 x3 s1 s2 s3 6 3 0 2 30 1 2 [1] 25 0 1 −1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 b 40 50 20 0 0 0

zj cjzj 0 6 0 30 0 25 0 0 0 0 0 0 0

（2）线性规划模型如下。 max 6x1＋30x2＋25x3 s.t. 3x1＋x2＋s1=40 2x2＋x3＋s2=50 2x1＋x 2-x3＋s3＝20

x1，x2，x3，s1，s2，s3 ≥0

T，初始解为（0，0，0，40，50，20）T，对应的目标函数（3）初始解的基为（s1，s2，s3）

值为0。

（4）第一次迭代时，入基变量时x2，出基变量为s3。

5. 解： 迭代基变次数 量 cB 0 0 0 x1 0 10 4 2 0  x2 6 8 3 7 6  x3 6 10 9 6 6  x4 0 1 0 0 0  x5 0 0 1 0 0  x6 0 0 0 -1 0  x7 0 0 0 1 0  b 10 4 2 -  x4 n x5 x7 cjzj   x4 0 0 6 17/3 0 -17/6 7/6 -7  8 4 1 0  1 0 0 0  0 1 0 0  1/3 5/6 -1/3 28/3 -5/6 7/3 1/3 -  ni x5 x2 0 1 0  -1/6 1/6 1  cjzj   6. 解：

-1  （1）当现行解为可行解，并且对应的非基变量检验数均小于0时，该线性规划问题才有唯一最优解，即k10，k30，k50；

（2）当某个非基变量的检验数为0时，该线性规划问题有多重最优解。所以若满足现行解为最优解，并且有多重最优解即满足：或者k10，k30，k50；

k0或者k10，k30，k50；；或者k10，k30，5

（3）k10可以保证该线性规划问题有可行解。若此时该线性规划问题目标函数无界，也就是说一定存在某个检验数为正时，对应的列的系数向量元素全部非正，即k50且k40；

（4）由表中变量均为非人工变量，则k10且k20，由于变量的非负性条件，第一个约束方程变为矛盾方程，从而该问题无可行解；

7. 解：

（1）a7,b0,c1,d0,e0,f0,g1,h7； （2）表中给出的解是最优解。

8．解：

T，最优值为9。 最优解为（2.25，0）

图5-1

单纯形法如表5-2所示。 表5-2 迭代次数 基变量 s1 CB x1 x2 s1 s2 4 1 [4] 0 4 1 3 2 0 1 2.5 0.5 2 −1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 −0.25 0.25 1 −1 b 7 9 4.75 2.25 0 0 0 s2 zj cjzj s1 0 4 0 1 4 0 1 x1 zj cjzj

9．解：

T，最优值为84。 （1）最优解为（2，5，4）

T，最优值为−4。 （2）最优解为（0，0，4）

10．解：

有无界解。

11．解：

（1）无可行解。

T，最优值为28。 （2）最优解为（4，4）

（3）有无界解。

T，最优值为8。 （4）最优解为（4，0，0）

12. 解：

该线性规划问题的最优解为(5,0,1),最优值为-12。

T

第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶

1．解： （1）c1≤24 （2）c2≥6 （3）cs2≤8

2．解：

（1）c1≥−0.5 （2）−2≤c3≤0 （3）cs2≤0.5

3．解：

（1）b1≥250 （2）0≤b2≤50 （3）0≤b3≤150

4．解： （1）b1≥−4 （2）0≤b2≤10 （3）b3≥4

5. 解：

最优基矩阵和其逆矩阵分别为：B最优解变为x110101，B41； 41x20，x313，最小值变为-78； 0，x214，x32，最小值变为-96；

最优解没有变化； 最优解变为x1

6．解：

（1）利润变动范围c1≤3，故当c1=2时最优解不变。 （2）根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。 （3）0≤b2≤45。

（4）最优解不变，故不需要修改生产计划。

（5）此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为−3小于零，对原生产计划没有影响。

7. 解：

(1)设x1,x2,x3为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为

max z2.5x12x23x3约束条件： 8x116x210x3350 10x15x25x3450 2x113x25x3400 x1,x2,x30

解得三种食品产量分别为x143.75,x2x30，这时厂家获利最大为109.375万元。

(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。

（3）B食品的加工工序改良之后，仍不投产B，最大利润不变；

若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其中

x114.167,x20，x311，x431.667；

（4）若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163.1万元，其中

x111,x20，x37.2，x438；

所以建议生产乙产品。

8．解：

均为唯一最优解，根据从计算机输出的结果看出，如果松弛或剩余变量为零且对应的对偶价格也为零，或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时，可知此线性规划有无穷多组解。

9．解：

（1）min f = 10y1+20y2. s.t. y1+y2≥2 y1+5y2≥1 y1+y2≥1 y1,y2≥0

（2）max z= 100y1+200y2. s.t. 1/2y1+4y2≤4 2y1+6y2≤4 2y1+3y2≤2 y1,y2≥0

10．解：

（1）min f=−10y1+50y2+20y3. s.t. −2y1+3y2+y3≥1 −3y1+y2 ≥2 −y1+y2+y3 =5

y1，y2≥0，y3没有非负。 （2）max z= 6y1−3y2+2y3. s.t. y1−y2−y3≤1

2y1+y2+y3 =3

−3y1+2y2−y3≤−2

y1，y2≥0，y3没有非负

11. 解：

max z6y17y28y39y410y5约束条件： y1y51 y1y21 y2y31 y3y41 y4y51 y1,y2,y3,y4,y50

原问题求解结果显示： 对偶问题结果显示：

用对偶问题求解极大值更简单，因为利用单纯形法计算时省去了人工变量。

12. 解:

（1）该问题的对偶问题为 max f4y112y2约束条件： 3y1y22 2y13y23 y1y25 y1,y20

求解得max f=12，如下所示：

（2）该问题的对偶问题为 min z2y13y25y3 约束条件： 2y13y2y33 3y1y2 4y3 8 5y17y2 6y3 10 y1,y2,y30

求得求解得min z=24，如下所示：

思考： 在求解

min fCX约束条件： AXb X0

其中：C为非负行向量，列向量b中元素的符号没有要求 max zCX约束条件： AXb X0

其中：C为非正行向量，列向量b中元素的符号没有要求以上两种线性规划时一般可以选取对偶单纯形法。

13.解：

（1）错误。原问题存在可行解，则其对偶问题可能存在可行解，也可能无可行解；

（2）正确；

（3）错误。对偶问题无可行解，则原问题解的情况无法判定，可能无可行解，可能有可行解，甚至为无界解； （4）正确；

14．解：

maxzx12x23x34x1x2x3s1x1x22x3s28x2x3s32xi≥0,i1,,3;sj≥0,j1, ,3用对偶单纯形法解如表6-1所示。 表6-1 迭代次数 基变量 s1 s2 CB x1 x2 x3 s1 s2 s3 −1 [−1] 1 0 0 −1 −2 1 1 −1 0 −2 −1 2 [−1] 1 −3 −3 −1 2 1 0 −3 1 1 1 −1 −2 0 1 0 0 0 0 −1 1 0 1 −1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 b −4 8 −2 4 4 −2 0 0 0 0 s3 zj cjzj x1 s2 −1 0 0 1 0 0 −1 0 1 s3 zj cjzj 续表

迭代次数

基变量 CB x1 x2 x3 s1 s2 s3 b

−1 x1 −2 0 0 1 −2 0 −3 0 3 −1 2 −5 0 −1 1 0 1 −1 0 0 1 0 0 0 0 −1 2 −1 3 −3 6 0 2 −1 0 −2 1 0 0 −1 0 s2 2 x2 zj cjzj 最优解为x1=6，x2=2，x3=0，目标函数最优值为10。

15. 解：原问题约束条件可以表示为：AXbta，其中a和b为常数列向量。 令t0，将问题化为标准型之后求解，过程如下：

其中最优基矩阵的逆矩阵为

1001B111，

001则

100551B*b111102

00133100t1tB1*ta111tt33t

001t1t

5t（bta）23t 则B1*3t从而， 1)当0t迭代 次数 基变量 3时，最优单纯形表为 2cB 1 0 2 x1 1 1 0 0 0 x2 2 0 0 1 0 x3 0 1 -1 0 -1 x4 0 0 1 0 0 x5 0 0 -1 1 -2 b 5t 23t 3t x1 2 x4 x2 cjzj 此时5t0，线性规划问题的最优解为(x1,x2)(5t,3t)，3t0，23t0，目标函数最大值为113t；

372）当t时，由23t0可知，(x1,x2)(5t,3t)并非最优解，利用对偶

22单纯形法继续迭代求解，过程如下所示， 迭代 次数 基变量 cB 1 0 2 x1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 x2 2 0 0 1 0 0 0 1 0 x3 0 1 （-1） 0 -1 0 1 0 0 x4 0 0 1 0 0 1 -1 0 -1 x5 0 0 -1 1 -2 -1 1 1 -1 b 5t 23t x1 2 x4 x2 3t cjzj x1 3 1 0 2 72t x3 x2 23t 3t cjzj 此时72t0，23t0，3t0，从而线性规划问题的最优解为

(x1,x2)(72t,3t)，目标函数的最大值为13； 3）当

7，由72t0可知，(x1,x2)(72t,3t)并非最优解，利用t10时，

2

对偶单纯形法继续迭代求解，过程如下所示， 迭代 次数 基变量 cB 1 0 2 x1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 -1 x2 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 x3 0 1 （-1） 0 -1 0 1 0 0 0 1 0 0 x4 0 0 1 0 0 1 -1 0 -1 -1 0 1 -2 x5 0 0 -1 1 -2 b 5t 23t 3t x1 2 x4 x2 cjzj x1 3 1 0 2 （-1） 72t 1 1 -1 1 0 0 0 x3 x2 23t 3t cjzj x5 4 0 0 2 72t 5t 10t x3 x2 cjzj 此时72t0，5t0，10t0，从而线性规划问题的最优解为

(x1,x2)(0,10t)，目标函数的最大值为202t；

16.解：先写出原问题的对偶问题

min f20y120y2约束条件： y14y22 (1) 2y13y22 (2) 3y12y21 (3) 4y1y21 (4) y1,y2013将y1,y2代入对偶问题的约束条件，得有且只有（2）、（4）式等式成立，

105也就是说，其对应的松弛变量取值均为0，（1）和（3）式对应的松弛变量不为0，

从而由互补松弛定理有x1x30；又因为y10,y20，从而原问题中的两个约束应该取等式，把x1x30代入其中，得到

2x24x4203x2 x420解方程组得到x26,x42。

经验证x10,x26,x30,x42满足原问题约束条件，从而其为原问题的最优解，对应的目标函数最大值为14；

第7章 运 输 问 题

1. 解：

表7-37可以；表7-38不可以，因为在满足产销要求的情况下，表中要求有且仅有6个数字；表7-39不可以，因为产地2到销地2无检验数。

2．解：

配送量如下所示： 分公司1 分公司2 分公司3 分公司4 供应商1 供应商2 供应商3 300 0 0 0 0 300 0 200 0 00 0 0 3.解：

由最小元素法求得初始解如下 1 1 2 3 销量 10 30 50 90 4 1 2 100 100 3 110 110 4 5 产量 110 140 50 求得检验数如下所示： 所以，初始解即为最优解。

4．解：

（1）此问题为产销平衡问题。 表7-1 1分厂 2分厂 3分厂 销量

最优解如下

******************************************** 起 至 销点

发点 1 2 3 4 -------- -------- -------- -------- -------- 1 0 250 0 50 2 400 0 0 0 3 0 0 350 150

甲 21 10 23 400 乙 17 15 21 250 丙 23 30 20 350 丁 25 19 22 200 产量 300 400 500 1 200

此运输问题的成本或收益为：19 800。 此问题的另外的解如下。 起 至 销点

发点 1 2 3 4 -------- -------- -------- -------- -------- 1 0 250 50 0 2 400 0 0 0 3 0 0 300 200

此运输问题的成本或收益为：19 800。

（2）如果2分厂产量提高到600，则为产销不平衡问题。 最优解如下

******************************************** 起 至 销点

发点 1 2 3 4 -------- -------- -------- -------- -------- 1 0 250 0 0 2 400 0 0 200 3 0 0 350 0 此运输问题的成本或收益为：19 050。 注释：总供应量多出总需求量 200； 第1产地的剩余50； 第3个产地剩余150。

（3）销地甲的需求提高后，也变为产销不平衡问题。 最优解如下

******************************************** 起 至 销点

发点 1 2 3 4 -------- ----- ----- ----- ----- 1 50 250 0 0 2 400 0 0 0 3 0 0 350 150 此运输问题的成本或收益为：19 600。 注释：总需求量多出总供应量 150； 第1个销地未被满足，缺少 100； 第4个销地未被满足，缺少 50；

5.解：

仓库1存入40万，空10万。总运费为1140万元。 最有运输方案如下： 仓库1 仓库2 加工点1 加工点2 加工点3 加工点4

10 20 10 0 0 0 30 60 仓库3 40 0 0 0

6．解：

总运费最少为1586万元。 最优调运方案如下所示 甲 A B 7．解：

首先，计算本题的利润模型，如表7-2所示。 表7-2 甲 乙 丙 丁 Ⅰ 0.3 0.3 0.05 −0.2 Ⅰ′ 0.3 0.3 0.05 −0.2 Ⅱ 0.4 0.1 0.05 0.3 Ⅱ′ 0.4 0.1 10 22 乙 30 丙 0 28 Ⅲ 0.3 −0.4 0.15 0.1 Ⅳ 0.4 0.2 0.05 −0.1 Ⅴ 0.1 −0.2 −0.05 −0.1 Ⅵ 0.9 0.6 0.55 0.1 0.05 0.3

由于目标函数是“max”，将目标函数变为“min”则以上利润模型变为以下模型。 表7-3 甲 乙 丙 丁 Ⅰ −0.3 −0.3 −0.05 0.2 Ⅰ′ −0.3 −0.3 −0.05 0.2 Ⅱ −0.4 −0.1 −0.05 −0.3 Ⅱ′ −0.4 −0.1 −0.05 −0.3 Ⅲ −0.3 0.4 −0.15 −0.1 Ⅳ −0.4 −0.2 −0.05 0.1 Ⅴ −0.1 0.2 0.05 0.1 Ⅵ −0.9 −0.6 −0.55 −0.1 由于管理运筹学软件中要求所输入的数值必须为非负，则将上表中的所有数值均加上1，因此表7-3就变为以下模型。 表7-4 甲 乙 丙 丁 加入产销量变为运输模型如下。 表7-5 甲 乙 丙 丁 销量

Ⅰ 0.7 0.7 0.95 1.2 Ⅰ′ 0.7 0.7 0.95 1.2 Ⅱ 0.6 0.9 0.95 0.7 Ⅱ′ 0.6 0.9 0.95 0.7 Ⅲ 0.7 1.4 0.85 0.9 Ⅳ 0.6 0.8 0.95 1.1 Ⅴ 0.9 1.2 1.05 1.1 Ⅵ 0.1 0.4 0.45 0.9 Ⅰ 0.7 0.7 0.95 1.2 150 Ⅰ′ 0.7 0.7 0.95 1.2 150 Ⅱ 0.6 0.9 0.95 0.7 150 Ⅱ′ 0.6 0.9 0.95 0.7 100 Ⅲ 0.7 1.4 0.85 0.9 350 Ⅳ 0.6 0.8 0.95 1.1 200 Ⅴ 0.9 1.2 1.05 1.1 250 Ⅵ 0.1 0.4 0.45 0.9 150 产量 300 500 400 100

由于以上模型销量大于产量所以加入一个虚拟产地戊，产量为200，模型如表7-6所示。 表7-6 甲 乙 丙 丁 戊 销量 用管理运筹学软件计算得出结果如图7-1所示。

Ⅰ 0.7 0.7 0.95 1.2 M 150 Ⅰ′ 0.7 0.7 0.95 1.2 0 150 Ⅱ 0.6 0.9 0.95 0.7 M 150 Ⅱ′ 0.6 0.9 0.95 0.7 0 100 Ⅲ 0.7 1.4 0.85 0.9 0 350 Ⅳ 0.6 0.8 0.95 1.1 0 200 Ⅴ 0.9 1.2 1.05 1.1 M 250 Ⅵ 0.1 0.4 0.45 0.9 0 150 产量 300 500 400 100 200 1 500

图7-1

由于计算过程中将表中的所有数值均加上 1，因此应将这部分加上的值去掉，所以

又因为最初将目标函数变为了“min”，因此此利润问题的结果为365。 93513001365，8．解：

建立的运输模型如表7-7。 表7-7 0 1 1′ 2 2′ 3 3′ 1 60 600 600+600×10% M M M M 5 2 120 600+60 600+600×10%+60 700 700+700×10% M M 5 3 180 600+60×2 600+600×10%+60×2 700+60 700+700×10%+60 650 650+650×10% 6 2 3 3 4 2 2 3

最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 -------- ----- ----- -----

1 1 0 1 2 3 0 0 3 1 1 0 4 0 4 0 5 0 0 0 6 0 0 2 7 0 0 3 此运输问题的成本或收益为：9 665

注释：总供应量多出总需求量 3 第3个产地剩余 1 第5个产地剩余 2

此问题的另外的解如下。

起 至 销点

发点 1 2 -------- ----- ----- 1 2 0 2 3 0 3 0 2 4 0 3 5 0 0 6 0 0 7 0 0 此运输问题的成本或收益为： 9 665

注释：总供应量多出总需求量 3 第3个产地剩余 1 第5个产地剩余 2

此问题的另外的解如下。

起 至 销点

发点 1 2 -------- ----- ----- 1 2 0 2 3 0 3 0 1 4 0 4 5 0 0 6 0 0 7 0 0 此运输问题的成本或收益为: 9 665

3 ----- 0 0 0 1 0 2 3 3 ----- 0 0 1 0 0 2 3

注释：总供应量多出总需求量 3 第3个产地剩余 1 第5个产地剩余 2 9．解： 表7-8 甲 乙 A B C D 甲 0 80 150 200 180 240 1 100 乙 100 0 80 210 60 170 1 100 A 150 80 0 70 110 90 1 400 B 200 210 60 0 130 50 1 300 C 180 60 110 140 0 85 1 600 D 240 170 80 50 90 0 1 200 1 600 1 700 1 100 1 100 1 100 1 100 最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 4 5 6 -------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- 1 1 100 0 300 200 0 0 2 0 1 100 0 0 600 0 3 0 0 1 100 0 0 0 4 0 0 0 1 100 0 0 5 0 0 0 0 1 000 100 6 0 0 0 0 0 1 100 此运输问题的成本或收益为130 000。 10．解：

建立的运输模型如下。

min f = 54x11+49x12+52x13+x14+57x21+73x22+69x23+65x24 s.t. x11+x12+x13+x14≤1 100, x21+x22+x23+x24≤1 000,

x11,x12,x13,x14, x21,x22,x23,x24≥0. A B 1 54 57 500 2 49 73 300 3 52 69 550 4 61 650 1 100 1 000

最优解如下

******************************************** 起 至 销点

发点 1 2 3 4

-------- ----- ----- ----- ----- 1 250 300 550 0 2 250 0 0 650 此运输问题的成本或收益为：110 700 注释：总供应量多出总需求量 100 第2个产地剩余 100 11．解：

（1）最小元素法的初始解如表7-9所示。 表7-9 甲 乙 丙 20 10 0 1 8 3 10 10 2 10 0 7 5 10 3 20 5 0 15 产量 4 9 0 5 15 0 25 15 5 0 10 0 0 0 销量 （2） 最优解如下

******************************************** 起 至 销点

发点 1 2 3 -------- ----- ----- ----- 1 0 0 15 2 20 5 0 此运输问题的成本或收益为: 145

注释：总需求量多出总供应量 10 第2个销地未被满足，缺少 5 第3个销地未被满足，缺少 5

（3）该运输问题只有一个最优解，因为其检验数均不为零。 （4）

最优解如下

********************************************

起 至 销点

发点 1 2 3 -------- ----- ----- ----- 1 0 0 15 2 25 0 0

此运输问题的成本或收益为: 135

注释：总需求量多出总供应量 20 第1个销地未被满足，缺少 5 第2个销地未被满足，缺少 10 第3个销地未被满足，缺少 5

第8章 整 数 规 划

1．解：

① max z=5x1+8x2 s.t.

x1+x2≤6， 5x1+9x2≤45，

x1, x2≥0，且为整数

**0,x25,z*40。 目标函数最优解为x1② max z=3x1+2x2

s.t.

2x1+3x2≤14， 2x1+x2≤9，

x1, x2≥0，且x1为整数

**3,x22.6667,z*14.3334。 目标函数最优解为x1③ max z=7x1+9x2+3x3

s.t.

–x1+3x2+x3≤7， 7x1+x2+3x3≤38，

x1, x2, x3≥0，且x1为整数，x3为0–1变量。

***5,x23,x30,z*62。 目标函数最优解为x12．解：

设xi为装到船上的第i种货物的件数，i=1, 2, 3, 4, 5。则该船装载的货物取得最大价值目标函数的数学模型可写为

max z=5x1+10x2+15x3+18x4+25x5 s.t.

20x1+5x2+10x3+12x4+25x5≤400 000， x1+2x2+3x3+4x4+5x5≤50 000， x1+4x4≤10 000

0.1x1+0.2x2+0.4x3+0.1x4+0.2x5≤750, xi≥0，且为整数，i=1, 2, 3, 4, 5。

*****0,x20,x30,x42500,x52500,z*107500。 目标函数最优解为x1

3．解：

设xi为第i项工程，i=1, 2, 3, 4, 5，且xi为0–1变量，并规定，

1,当第i项工程被选定时， xi

0,当第i项工程没被选定时，

根据给定条件，使三年后总收入最大的目标函数的数学模型为

max z=20x1+40x2+20x3+15x4+30x5 s.t.

5x1+4x2+3x3+7x4+8x5≤25， x1+7x2+9x3+4x4+6x5≤25， 8x1+10x2+2x3+x4+10x5≤25， xi为0–1变量，i=1, 2, 3, 4, 5。

*****1,x21,x31,x41,x50,z*95。目标函数最优解为x1

4．解：

这是一个混合整数规划问题。

设x1、x2、x3分别为利用A、B、C设备生产的产品的件数，生产准备费只有在利用该设备时才投入，为了说明固定费用的性质，设

1,yi

0,故其目标函数为

min z=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3

为了避免没有投入生产准备费就使用该设备生产，必须加以下的约束条件，M为充分大的数。

x1≤y1M， x2≤y2M， x3≤y3M，

设M=1 000 000

① 该目标函数的数学模型为

min z=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3 s.t.

x1+x2+x3=2 000，

0.5x1+1.8x2+1.0x3≤2 000， x1≤800， x2≤1 200， x3≤1 400， x1≤y1M， x2≤y2M， x3≤y3M，

x1, x2, x3≥0，且为整数，y1, y2, y3为0–1变量。

**目标函数最优解为x1*=370, x2=231, x3 =1 399, y1=1, y2=1, y3=1, z*=10 7。

② 该目标函数的数学模型为

min z=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3 s.t.

x1+x2+x3=2 000，

0.5x1+1.8x2+1.0x3≤2 500，

x1≤800， x2≤1 200， x3≤1 400， x1≤y1M， x2≤y2M， x3≤y3M，

x1, x2, x3≥0，且为整数，y1, y2, y3为0–1变量。

**目标函数最优解为x1*=0, x2=625, x3=1 375, y1=0, y2=1, y3=1, z*=8 625。

③ 该目标函数的数学模型为

min z=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3 s.t.

x1+x2+x3=2 000，

0.5x1+1.8x2+1.0x3≤2 800， x1≤800， x2≤1 200， x3≤1 400， x1≤y1M， x2≤y2M， x3≤y3M，

x1, x2, x3≥0，且为整数，y1, y2, y3为0–1变量。

**目标函数最优解为x1*=0, x2=1 000, x3=1 000, y1=0, y2=1, y3=1, z*=7 500。

④ 该目标函数的数学模型为

min z=100y1+300y2+200y3+7x1+2x2+5x3 s.t.

x1+x2+x3=2 000， x1≤800， x2≤1 200， x3≤1 400， x1≤y1M， x2≤y2M， x3≤y3M，

x1, x2, x3≥0，且为整数，y1, y2, y3为0–1变量。

**目标函数最优解为x1*=0, x2=1 200, x3=800, y1=0, y2=1, y3=1, z*=6 900。

5．解：

设xij为从Di地运往Ri地的运输量，i=1, 2, 3, 4，j=1, 2, 3分别代表从北京、上海、广州、武汉运往华北、华中、华南的货物件数，并规定，

1,当i地被选设库房， yi

0,当i地没被选设库房。

该目标函数的数学模型为

min z=45 000y1+50 000y2+70 000y3+40 000y4+200x11+400x12+500x13+300x21+250x22+400x23

+

600x31+350x32+300x33+350x41+150x42+350x43

s.t.

x11+x21+x31+x41=500, x12+x22+x32+x42=800, x13+x23+x33+x43=700, x11+x12+x13≤1 000y1, x21+x22+x23≤1 000y2, x31+x32+x33≤1 000y3, x41+x42+x43≤1 000y4, y2≤y4,

y1+y2+y3+y4≤2, y3+y4≤1,

xij≥0，且为整数，yi为0−1变量，i=1,2,3,4。 目标函数最优解为

*********x11=500, x12=0, x13=500, x21=0, x22=0, x23=0, x31=0, x32=0, x33=0,x=0, x=800, x=200, y1=1, y2=0, y3=0, y4=1, z=625 000。*41*42*43*

也就是说在北京和武汉建库房，北京向华北和华南各发货500件，武汉向华中发货800件，向华南发货200件就能满足要求，即这就是最优解。

6．解：

引入0−1变量xij，并令xij=

1，当指派第i人去完成第j项工作时， 0，当不指派第i人去完成第j项工作时。 ① 为使总消耗时间最少的目标函数的数学模型为

min

z=20x11+19x12+20x13+28x14+18x21+24x22+27x23+20x24+26x31+16x32+15x33+18x34+17x41+20x42

+24x43+19x44 s.t.

x11+x12+x13+x14=1, x21+x22+x23+x24=1, x31+x32+x33+x34=1, x41+x42+x43+x44=1, x11+x21+x31+x41=1, x12+x22+x32+x42=1, x13+x23+x33+x43=1, x14+x24+x34+x44=1,

xij为0−1变量，i=1,2,3,4, j=1,2,3,4 目标函数最优解为

**************x11=0, x12=1, x13=0, x14=0, x21=1, x22=0, x23=0, x24=0, x31=0, x32=0, x33=1, x34=0,x41=0, x42=0,

**x43=0, x44=1, z*=71。

或

**************x11=0, x12=1, x13=0, x14=0, x21=0, x22=0, x23=0, x24=1, x31=0, x32=0, x33=1, x34=0,x41=1, x42=0,

**x43=0, x44=0, z*=71。

即安排甲做B项工作，乙做A项工作，丙做C项工作，丁做D项工作，或者是安排甲做B项工作，乙做D项工作，丙做C项工作，丁做A项工作，最少时间为71分钟。也可用管理运筹学软件的整数规划中的指派问题子程序直接求得。

② 为使总收益最大的目标函数的数学模型是 将①中的目标函数改为求最大值即可。 目标函数最优解为

**************x11=0, x12=0, x13=0, x14=1, x21=0, x22=1, x23=0, x24=0, x31=1, x32=0, x33=0, x34=0,x41=0, x42=0,

**x43=1, x44=0, z*=102。

即安排甲做D项工作，乙做C项工作，丙做A项工作，丁做B项工作，最大收益为102。 ③ 由于工作多人少，我们假设有一个工人戊，他做各项工作所需的时间均为0，该问题就变为安排5个人去做5项不同的工作的问题了，其目标函数的数学模型为

min z=20x11+19x12+20x13+28x14+17x15+18x21+24x22+27x23+20x24+20x25+26x31+16x32+15x33

+18x34+15x35+17x41+20x42+24x43+19x44+16x45 s.t.

x11+x12+x13+x14+x15=1, x21+x22+x23+x24+x25=1, x31+x32+x33+x34+x35=1, x41+x42+x43+x44+x45=1, x51+x52+x53+x54+x55=1, x11+x21+x31+x41+x51=1, x12+x22+x32+x42+x52=1, x13+x23+x33+x43+x53=1, x14+x24+x34+x44+x54=1, x15+x25+x35+x45+x55=1,

xij为0−1变量，i=1,2,3,4,5, j=1,2,3,4,5。 目标函数最优解为

**************x11=0, x12=1, x13=0, x14=0, x15=0, x21=1, x22=0, x23=0, x24=0, x25=0， x31=0, x32=0, x33=1, x34=0,

******x35=0, x41=0, x42=0, x43=0, x44=0, x45=1, z*=68。

即安排甲做B项工作，乙做A项工作，丙做C项工作，丁做E项工作，最少时间为68分钟。 ④ 该问题为人多任务少的问题，其目标函数的数学模型为

min z=20x11+19x12+20x13+28x14+18x21+24x22+27x23+20x24+26x31+16x32+15x33+18x34+17x41

+20x42+24x43+19x44+16x51+17x52+20x53+21x54 s.t.

x11+x12+x13+x14≤1, x21+x22+x23+x24≤1, x31+x32+x33+x34≤1, x41+x42+x43+x44≤1, x51+x52+x53+x54≤1, x11+x21+x31+x41+x51=1, x12+x22+x32+x42+x52=1, x13+x23+x33+x43+x53=1, x14+x24+x34+x44+x54=1,

xij为0−1变量，i=1,2,3,4, j=1,2,3,4,5。 目标函数最优解为

**************x11=0, x12=0, x13=0, x14=0, x21=0, x22=0, x23=0, x24=1, x31=0, x32=0, x33=1, x34=0,x41=1, x42=0,

******x43=0, x44=0, x51=0, x52=1, x53=0, x54=0, z*=69。

或

**************x11=0, x12=0, x13=0, x14=0, x21=1, x22=0, x23=0, x24=0, x31=0, x32=0, x33=1, x34=0,x41=0, x42=0,

******x43=0, x44=1, x51=0, x52=1, x53=0, x54=0, z*=69。

或

**************x11=0, x12=1, x13=0, x14=0, x21=0, x22=0, x23=0, x24=0, x31=0, x32=0, x33=1, x34=0,x41=0, x42=0,

******x43=0, x44=1, x51=1, x52=0, x53=0, x54=0, z*=69。

即安排乙做D项工作，丙做C项工作，丁做A项工作，戊做B项工作；或安排乙做A项工作，丙做C项工作，丁做D项工作，戊做B项工作；或安排甲做B项工作，丙做C项工作，丁做D项工作，戊做A项工作，最少时间为69分钟。

7．解：

设飞机停留一小时的损失为a元，则停留两小时损失为4a元，停留3小时损失为9a元，依次类推，对A、B、C三个城市建立的指派问题的效率矩阵分别如表8-1至表8-10所示。

城市A

表8-1

起飞 到达 106 107 108 109 110 101 4a 361a 225a 484a 196a 102 9a 400a 256a 529a 225a 103 a 625a 441a 16a 400a 104 169a 36a 4a 81a 625a 105 225a a 16a 121a 9a 解得最优解如表8-2所示。

表8-2

起飞 到达 106 107 108 109 110 101 0 0 0 0 1 102 1 0 0 0 0 103 0 0 0 1 0 104 0 1 0 0 0 105 0 0 1 0 0

城市B

表8-3

起飞 到达 101 102 103 113 114 101 256a 225a 100a a 256a 102 529a 484a 2a 225a 529a 103 9a 4a 441a 361a 9a 104 625a 576a 361a 2a 625a 105 36a 25a 576a 484a 36a 解得最优解如表8-4所示。

表8-4

起飞 到达 106 107 108 109 110 101 0 1 0 0 0 102 0 0 1 0 0 103 1 0 0 0 0 104 0 0 0 1 0 105 0 0 0 0 1 或如表8-5所示。

表8-5

起飞 到达 106 107 108 109 110 101 0 1 0 0 0 102 0 0 1 0 0 103 0 0 0 0 1 104 0 0 0 1 0 105 1 0 0 0 0 城市C

表8-6

起飞 到达 104 105 111 112 109 49a 25a 169a a 110 225a 169a 441a 256a 113 225a 169a 441a 256a 114 49a 25a 169a a 解得最优解如表8-7所示。

表8-7

起飞 到达 104 105 111 112 109 0 0 1 0 110 1 0 0 0 113 0 1 0 0 114 0 0 0 1 或如表8-8所示。

表8-8

起飞 到达 109 110 113 114

104 105 111 112 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 或如表8-9所示。

表8-9

起飞 到达 104 105 111 112 109 0 0 0 1 110 1 0 0 0 113 0 1 0 0 114 0 0 1 0 或如表8-10所示。

表8-10

起飞 到达 104 105 111 112 109 0 0 0 1 110 0 1 0 0 113 1 0 0 0 114 0 0 1 0

第9章 目 标 规 划

1、解：

设工厂生产A产品x1件，生产B产品x2件。按照生产要求，建立如下目标规划模型。 mins.tP1(d1)P2(d2)4x13x2≤452x15x2≤305x15x2d1d1508x16x2d2d2100

x1,x2,di,di≥0,i1,2由管理运筹学软件求解得

x111.25,x20,d10,d210,d16.25,d20

由图解法或进一步计算可知，本题在求解结果未要求整数解的情况下，满意解有无穷多个，为线段(135/14,15/7)(1)(45/4,0),[0,1]上的任一点。

2、解：

设该公司生产A型混凝土x1吨，生产B型混凝土x2吨，按照要求建立如下的目标规划模型。

minp1(d1d1)p2d2p3(d3d4)p4d5s.tx1x2d1d1200x1x2d2d2275x1d3d3120x2d4d4100150x1100x2d5d5300000.40x10.50x21550.60x10.50x2145x10,x20,di,di0(i1,2,,5)由

管

理

运

筹

学

软

件

求

解

得

x1120,x2120,d10,d140,d235,d20,d30,d30,d40,d420,d50,d50.

3、解：

设x1,x2分别表示购买两种基金的数量，按要求建立如下的目标规划模型。

minp1d1p2d2s.t25x145x2100000.7x10.4x2d1d1350

4x15x2d2d21250x1,x20,di,di0用管理运筹学软件求解得，

x1113.636,x2159.091,d1206.818,d10,d20,d20

所以，该人可以投资A基金113.636份，投资B基金159.091份。 4、解：

设食品厂商在电视上发布广告x1次，在报纸上发布广告x2次，在广播中发布广告x3次。目标规划模型为 mins.tP1(d1)P2(d2)P3(d3)P4(d4)x1≤10x2≤20x3≤1520x110x25x3d1d14000.7x10.3x20.3x3d2d200.2x10.2x20.8x3d3d302.5x10.5x20.3x3d4d420

x1,x2,x3,di,di≥0,i1,2,3,4用管理运筹学软件先求下述问题。 mind1s.tx1≤10x2≤20x3≤1520x110x25x3d1d14000.7x10.3x20.3x3d2d20

0.2x10.2x20.8x3d3d302.5x10.5x20.3x3d4d420x1,x2,x3,di,di≥0,i1,2,3,4得d10，将其作为约束条件求解下述问题。

mind2s.tx1≤10x2≤20x3≤1520x110x25x3d1d14000.7x10.3x20.3x3d2d20

0.2x10.2x20.8x3d3d302.5x10.5x20.3x3d4d420d10x1,x2,x3,di,di≥0,i1,2,3,40，将其作为约束条件计算下述问题。 得最优值d2mind3s.tx1≤10x2≤20x3≤1520x110x25x3d1d14000.7x10.3x20.3x3d2d20

0.2x10.2x20.8x3d3d302.5x10.5x20.3x3d4d420d10d20x1,x2,x3,di,di≥0,i1,2,3,4得最优值d30，将其作为约束条件计算下述问题。 mind4s.tx1≤10x2≤20x3≤1520x110x25x3d1d14000.7x10.3x20.3x3d2d200.2x10.2x20.8x3dd02.5x10.5x20.3x3d4d42033

d10d20d30x1,x2,x3,di,di≥0,i1,2,3,4得

x19.474,x220,x32.105,d10,d10,d20,d20,d30,d34.211,d414.316,d40。

所以，食品厂商为了依次达到4个活动目标，需在电视上发布广告9.474次，报纸上发布广告20次，广播中发布广告2.105次。（使用管理运筹学软件可一次求解上述问题）

5、解：

（1）设该化工厂生产x1升粘合剂A和x2升粘合剂B。则根据工厂要求，建立以下目标规划模型。 mins.tP1(d1d2)P2(d3d4)P3(d5)15x1x2d1d18031215x1x2d2d2100312x1d3d3100x2d4d4120

x1x2d5d5300x1,x2,x3,di,di≥0,i1,2,3,4,5（2）

图解法求解如图9-1所示，目标1，2可以达到，目标3达不到，所以有满意解为A点（150，120）。

6、解：

假设甲乙两种产品量为x1,x2,建立数学规划模型如下。

minp1d1p2(d2d2)p3(d3d3)s.t2x14x2303x12x240x13x22520x125x2d1d1250

x10.75x2d2d203x12x2d3d345x1,x20,di,di0用管理运筹学软件求解得：

x18.333,x23.333,d10,d10,d20,d25.833,d313.333,d30

所以，甲乙两种产品量分别为8.333吨，3.333吨，该计划内的总利润为250元。

7、解：

设该汽车装配厂为达到目标要求生产产品Ax1件，生产产品Bx2件。 （1）目标规划模型如下。 mins.tP1(d1d2)P2(d3)11x1x2d1d1606615x1x2d2d2180 3x13x2d3d31300x1,x2,x3,di,di≥0,i1,2,3用图解法求解如图9-2所示。

图9-2

如图9-2所示，解为区域ABCD，有无穷多解。

（2）由图9-2可知，如果不考虑目标1和目标2，仅仅把它们加工时间的最大限度分别为60和180小时作为约束条件，而以利润最大化为目标，那么最优解为C点（360，0），即生产产品A360件，最大利润为1 420元。结果与（1）是不相同的，原因是追求利润最大化而不仅仅是要求利润不少于1 300元。

（3）如果设目标3的优先权为P1，目标1和目标2的优先权为P2，则由图9-2可知，满意解的区域依然是ABCD，有无穷多解，与（1）的解是相同的，原因是（1）和（3）所设定的目标只是优先级别不同，但都能够依次达到。

8、解：

设该纸张制造厂需要生产一般类型纸张x1吨，生产特种纸张x2吨。 （1）目标规划模型如下。 mins.tP1(d1)P2(d2)300x1500x2d1d115000030x140x2d2d210000

x1,x2,di,di≥0,i1,20,d10,d22000。 图解法略，求解得x10,x2300,d10,d2

（2）目标规划模型如下。 mins.tP1(d2)P2(d1)300x1500x2d1d115000030x140x2d2d210000

x1,x2,di,di≥0,i1,20,d10,d20。 图解法略，求解得x10,x2250,d125000,d2由此可见，所得结果与（1）中的解是不相同的。

（3）加权目标规划模型如下， mins.tP1(5d22d1)300x1500x2d1d115000030x140x2d2d210000

x1,x2,di,di≥0,i1,20,d10,d22000。 求解得x10,x2300,d10,d29、解：

假设甲乙两种洗衣机的装配量分别是x1,x2,建立数学规划模型如下。

minp1d1p2d2p3(d31.5d4)s.t1.5x11.5x2d1d1451.5x11.5x2d2d253x1d3d330x2d4d425

x1,x20,di,di0用管理运筹学软件解得：

x110.33,x225,d10,d18,d20,d20,d319.67,d30,d40,d40.

所以，甲种洗衣机的装配量为10台，乙种洗衣机的装配量为25台，在此情况下其可获得的利润为3175元。

10、解：

假设生产甲乙两种产品分别为x1,x2件，建立数学规划模型如下。

minZp1d1p2(5d26d3)p3(d4d4)s.t.100x1120x2d1d130000x1d2d2200x2d3d31208x14x2d4d42800

5x13x214004x18x21800x1,x20,dj,dj0(j1.2.3.4)由管理运筹学软件求得：

x1200,x2125,d10,d15000,d20,d20,d30,d35,d4700,d40所以，可生产甲产品200件，乙产品125件，利润为35000元。

第10章 动 态 规 划

1．解：

最优解为A―B2―C1―D1―E或A―B3―C1―D1―E或A―B3―C2―D2―E。 最优值为13。

2.解：

最短路线为A--B2--C1--D4--E，距离为13

3.解：

最优装入方案为（2,1,0），最大利润130元。

4．解：

最优解是项目A为300万元，项目B为0万元、项目C为100万元。 最优值z=71+49+70=190万元。

5．解：

设每个月的产量是xi百台（i=1, 2, 3, 4），

最优解：x1=4，x2＝0，x3＝4，x4＝3。即第一个月生产4百台，第二个月生产0台，第三个月生产4百台，第四个月生产3百台。 最优值z=252 000元。

6.解:

（5,0,6,0）20500元

7．解：

最优解为运送第一种产品5件。 最优值z=500元。

8．解：

最大利润2 790万元。最优安排如表10-1所示。 表10-1 年 度 1 2 3 4 5 年初完好设备 125 100 80 32 高负荷工作设备数 0 0 0 32 低负荷工作设备数 125 100 80 0 0

9.解：

前两年生产乙，后三年生产甲，最大获利2372000元。

10．解：

最优解（0，200，300，100）或（200，100，200，100）或者（100，100，300，100）或（200，200，0，200）。总利润最大增长额为134万。

11．解：

在一区建3个分店，在二区建2个分店，不在三区建立分店。最大总利润为32。

12．解：

最优解为第一年继续使用，第二年继续使用，第三年更新，第四年继续使用，第五年继续使用，总成本=450 000元。

13.解：

最优采购策略为若第一、二、三周原料价格为500元，则立即采购设备，否则在以后的几周内再采购；若第四周原料价格为500元或550元，则立即采购设备，否则等第五周再采购；而第五周时无论当时价格为多少都必须采购。期望的采购价格为517元。

14．解：

第一周为16元时，立即采购；第二周为16或18元，立即采购；否则，第三周必须采购

15．解：

最优解为第一批投产3台，如果无合格品，第二批再投产3台，如果仍全部不合格，第三批投产4台。总研制费用最小为796元。 16．解： 表10-2 月 份 1 2 3 4 采 购 量 900 900 900 0 待销数量 200 900 900 900 最大利润为13 500。

17．解：

最优策略为（1,2,3）或者（2,1,3），即该厂应订购6套设备，可分别分给三个厂1,2,3套或者2,1,3套。每年利润最大为18万元。

第11章 图与网络模型

1、解：

破圈法的主要思想就是在图中找圈，同时去除圈中权值最大的边。因此有以下结果： 圈v1,v2,v3去除边v1,v3；圈v1,v4,v7去除边v4,v7；圈v2,v5,v8去除边v2,v8；圈v6,v7,v8去除边v7,v8；得到图(a1)。

圈v2,v5,v3去除边v2,v5；圈v3,v6,v4去除边v3,v6；圈v5,v6,v8去除边v5,v6；得到图(a2)。

圈v1,v2,v3,v4去除边v1,v2；圈v3,v4,v6,v8,v5去除边v4,v6；得到图(a3)。 圈v1,v4,v3,v5,v8,v7去除边v3,v4；得到图(a4)。即为最小生成树，权值之和为23。

v28236v52458v2235354v52v13v3538v654v8v1v3v5v8v4(a1)v7v4(a2)v7

v223v52v223v52v13v35v54v8v13v3v54v8v4(a3)v7v4(a4)v7

同样按照上题的步骤得出最小生成树如图(b)所示，权值之和为18。

233343(b) 2．解：

这是一个最短路问题，要求我们求出从v1到v7配送的最短距离。用Dijkstra算法求解可得到该问题的解为27。我们也可以用管理运筹学软件进行计算而得出最终结果，计算而得出最终结果如下。

从节点1到节点7的最短路 ************************* 起点 终点 距离 ---- ---- ---- 1 2 4 2 3 12 3 5 6 5 7 5

解为27，即配送路线为v1→v2→v3→v5→v7。

3.解：

求解v1v7有向最短路线。

从v1出发，给v1标号v1(1,0)，v{v1}。

从v1出发，有弧(v1,v2)，(v1,v3)，因d12d13，则给v2标号，v2(1,0.2)，v{v1,v2}。 与v1,v2相邻的弧有(v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，min{L11d13?;L22d23;L22d24}=

min{00.9;0.20.6;0.20.8}=L22d23。

给v3标号v32,0.8，同理v4标号v4(3,0.9),v5(3,1.1),v6(4,1.25),v7(5,1.35)。得到最短路线为v1v2v3v5v7,最短时间为1.35小时。

4．解：

以v1为起始点，v1标号为0,s；

Iv1，Jv2,v3,v4,v5,v6,v7,v8,v9

边集为vi,vjvi,vj一点属于I,另一点属于J=v1,v2,v1,v4 且有S12=l1c12044S14=l1c14055

min(S12,S14)S124

所以，v2标号（4,1）。

则Iv1,v2，Jv3,v4,v5,v6,v7,v8,v9 边集为v1,v4,v2,v3,v2,v5,v2,v6

且有S145S23=l2c23448S25=l2c25437

S26=l2c26448 min(S14,S23,S25,S26)S145

所以，v4标号（5,1）。

则Iv1,v2,v4，Jv3,v5,v6,v7,v8,v9 边集为v2,v3,v2,v5,v2,v6，v4,v7

且有S23=l2c23448S25=l2c25437

S26=l2c26448S47=l4c47549 min(S23,S25,S26,S47)S257

所以，v5标号（7,2）。

则Iv1,v2,v4,v5，Jv3,v6,v7,v8,v9 边集为v2,v3,v2,v6，v4,v7,v5,v6

且有S23=l2c23448S56=l5c567411

S26=l2c26448S47=l4c47549 min(S23,S26,S47,S56)S23S268

所以，v3、v6标号（8,2）。

则Iv1,v2,v4,v5,v3,v6，Jv7,v8,v9 边集为v4,v7,v6,v7，v6,v9,v3,v9,

且有S67=l6c678210S69=l6c6983.511.5

S39=l3c398614S47=l4c47549 min(S67,S69,S39,S47)S479

所以，v7标号（9,4）。

则Iv1,v2,v4,v5,v3,v6,v7，Jv8,v9 边集为v7,v8,v7,v9，v6,v9,v3,v9,

且有S78=l7c789312S69=l6c6983.511.5

S39=l3c398614S79=l7c799312 min(S78,S69,S39,S79)S6911.5

所以，v9标号（11.5,6）。

则Iv1,v2,v4,v5,v3,v6,v7,v9，Jv8 边集为v7,v8

且有S78=l7c789312

min(S78)S7812

所以，v9标号（12,7）。

Iv1,v2,v4,v5,v3,v6,v7,v9,v8，J为空集。

所以，最短路径为v1v2v6v9

v3v2444356v1v63.54233v54v95v45．解：

v7v8

（1）从v1出发，令v={v1}，其余点为v，给v1标号(v1,0)。vv的所有边为

{(v1,v2),(v1,v4)}，

累计距离最小为L1rmin{L11f12,L11f14}min{02,08}2L11f12，给v2标号为(v2,2)，令v{v2}v,v/{v2}v。

（2）vv的所有边为{(v2,v5),(v2,v4),(v1,v4)}，累计距离最小为

L1pmin{L12f25,L12f24,L11f14}min{21,26,08}3L12f25，令v{v5}v,v/{v5}v。

（3）按照标号规则，依次给未标号点标号，直到素有点均已标号，或者vv不存在有向边为止。标号顺序为

v5v2,3,v9(v5,4),v4(v1,8),v6(v9,10),v8(v9,11),v7(v6,14),v3(v4,15),v10(v7,15),v11(v10,19)。

则v1到各点的最短路线按照标号进行逆向追索。例如vv11最短路为v1v2v5v9v6v7v10v11，权值和为19。

6．解：

（1）从v1出发，令v={v1}，其余点为v，给v1标号（v1，0）。 （2）v与v相邻边有{（v1，v2），（v1，v3）}

累计距离L1r=min{L11d12,L11d13}=min{0+9，0+8}=L11d13=L13，给v3标号v3（v1，8），令v{v3}v。

（3）按照以上规则，依次标号，直至所有的点均标号为止，v1到某点的最短距离为沿该点

标号逆向追溯。

标号顺序为v3v1,8,v2(v1,9),v4(v2,10),v7(v4,13),v5(v2,11),v6(v5,14)。v1到各点的最短路线按照标号进行逆向追索。

7．解：

这是一个最短路的问题，用Dijkstra算法求解可得到这问题的解为4.8，即在4年内购买、更换及运行维修最小的总费用为4.8万元。

最优更新策略为第一年末不更新，第二年末更新，第三年末不更新，第四年末处理机器。我们也可以用管理运筹学软件进行求解，结果也可以得出此问题的解为4.8。

8．解：

此题是一个求解最小生成树的问题，根据题意可知它要求出连接v1到v8的最小生成树，结果如下。

最小生成树

************************* 起点 终点 距离 ---- ---- ---- 1 2 4 1 3 2 2 5 2 3 4 2 5 7 3 6 7 3 7 8 2 解为18。 9．解：

此题是一个求解最大流的问题，根据题意可知它要求出连接v1到v6的最大流量。使用管理运筹学软件，结果如下。

v1从节点1到节点6的最大流 ************************* 起点 终点 距离 ---- ---- ---- 1 2 6 1 4 6 1 3 10 2 5 6 2 4 0 3 4 5 3 6 5 4 5 5

4 6 6 5 6 11 解为22，即从v1到v6的最大流量为22。 10. 解：

此题是一个求解最小费用最大流的问题，根据题意可知它要求出连接v1到v6的最小费用最大流量。使用管理运筹学软件，结果如下。 从节点1到节点6的最大流 *************************

起点 终点 流量 ---- ---- ---- 1 2 1 1 3 4 2 4 2 3 2 1 3 5 3 4 3 0 4 5 0 4 6 2 5 6 3 此问题的最大流为5。

此问题的最小费用为39。

费用 ---- 3 1 4 1 3 2 2 4 2

第12章 排序与统筹方法

1.正确 解：

各零件的平均停留时间为

6p15p24p33p42p5p6。

6由此公式可知，要让停留的平均时间最短，应该让加工时间越少的零件排在越前面，加工时间越多的零件排在后面。所以，此题的加工顺序为3，7，6，4，1，2，5。

2.正确 解：

此题为两台机器，n个零件模型，这种模型加工思路为钻床上加工时间越短的零件越早加工，同时把在磨床上加工时间越短的零件越晚加工。

根据以上思路，则加工顺序为2，3，7，5，1，6，4。

图12-1

钻床的停工时间是0，磨床的停工时间是7.8。

3．解：

（1）正确。工序j在绘制上有错，应该加一个虚拟工序来避免v3和v4有两个直接相连的工序。

（2）正确。工序中出现了缺口，应在v6和v7之间加一个虚拟工序避免缺口，使得发点经任何路线都能到达收点。

（3）正确。工序v1、v2、v3和v4之间构成了闭合回路。

4．解：正确。

图12-2

5．解：

正确，和软件计算结果相符。

由管理运筹学软件可得出如下结果。 工 序 安 排

工序 最早开始时最迟开始时最早完成时最迟完成时间 时差 是否关键工序

间 间 间

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A 0 2 2 4 2 — B 0 0 4 4 0 YES C 4 5 9 10 1 — D 4 4 8 8 0 YES E 4 5 7 8 1 — F 9 10 11 12 1 — G 8 8 12 12 0 YES

本问题关键路径是B—D—G。 本工程完成时间是12。

6．解：有点小错误。

由管理运筹学软件可得出如下结果。

工序 期望时间 方差 ---- -------- ----- A 2.08 0.070.06 B 4.17 0.260.25 C 4.92 0.180.17 D 4.08 0.180.17 E 3.08 0.070.06 F 2.17 0.260.25 G 3.83 0.260.25

工 序 安 排

工序 最早开始时最迟开始时最早完成时最迟完成时时差 是否关键工

间 间 间 间 序

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A 0 2.09 2.08 4.17 2.09 — B 0 0 4.17 4.17 0 YES C 4.17 5 9.08 9.92 0.83 — D 4.17 4.17 8.25 8.25 0 YES E 4.17 5.17 7.25 8.25 1 — F 9.08 9.92 11.25 12.08 0.83 — G 8.25 8.25 12.08 12.08 0 YES

本问题关键路径是B—D—G。 本工程完成时间是12.08。

这个正态分布的均值E(T)=12.08。

其方差为2=b2+d2+g2=０.70 0.67 则=０.840.81。当以98%的概率来保证工作如期完

成时，即(u)0.98，所以u=2.05。此时提前开始工作的时间Ｔ满足

T12.08>=2.05，所以

0.84Ｔ>=13.813,7≈14

7．解：错。正确答案如下：

首先根据管理运筹学软件求得各工序的最早开始时间、最迟开始时间、最早完成时间、最迟完成时间、时差和关键工序，如图。

工序 最早开始时最迟开始时最早完成时最迟完成时时差 是否关键工

间 间 间 间 序

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A 0 0 1 1 1 — B 0 2 3 5 2 — C 0 7 3 10 7 — D 0 0 4 4 0 YES E 1 2 3 4 1 — F 3 5 7 9 2 — G 3 6 6 9 3 H 4 4 9 9 0 YES I 3 10 8 15 7 — J 7 9 13 15 2 — K 9 9 15 15 0 YES 根据以上结果，可以得到如下表格： 工序 A B C D E F G H I J K 根据计算，不同时期的人力数如表格所示： 时间段 [0，1] [1，3] [3，4] [4，6] 所需人数 16 15 14 12 时间段 [6，7] [7，9] [9，13] [13，15] 所需人数 8 12 13 9 所需工人数 7 4 5 5 6 5 4 3 5 4 4 最早开始时间 0 0 7 0 1 3 3 4 10 7 9 所需时间 1 3 3 4 2 4 3 5 5 6 6 时差 1 2 7 0 1 2 3 0 7 2 0 上图可知，只有[0，1]时间段的人力数超过了15,个，所以，可以将C工序的开始时间调整到6开始，其他工序时间不变，这样就拉平了人力数需求的起点高峰，且最短工期为15。

8．解：正确。

此题的网络图如图12-3所示。

图12-3

设第i发生的时间为xi，工序（i, j）提前完工的时间为yij， 目标函数minf4.5(x4x1)4y12y244y232y34 s.t. x2x1≥3y12x3x2≥4y23x4x2≥7y24x4x3≥5y34x10y12≤2y23≤2y24≤4y34≤3xi≥0,yij≥0

以上i=1，2，3，4； j=1，2，3，4。

用管理运筹学软件中的线性规划部分求解，得到如下结果。 f *=46.5, x1=0, x2=1, x3=5, x4=7, y12=2, y23=0, y24=1, y34=3。

9．解：

按照各零件在A流水线中加工时间越短越靠前，在B流水线中加工时间越短越靠后的原则，总时间最短的加工顺序为：3-4-2-6-5-1。 10．解：

11. 解：

根据管理运筹学软件可得到如下结果：

工序 最早开始时间 最迟开始时间 最早完成时间 最迟完成时间 时差 是否关键工序----------------------------------------------------------------------------------

A 0 0 62 62 0 YES

B 0 27 38 65 27 ---

C 62 62 76 76 0 YES

D 38 65 61 88 27 ---

E 76 76 124 124 0 YES

F 61 88 83 110 27 ---

G 83 110 113 140 27 ---

H 124 124 140 140 0 YES

I 140 140 169 169 0 YES

本问题关键路径是：A--C--E--H--I 本工程完成时间是：169。

12. 解：工序 期望时间 方差 ---- -------- ----- a 60 11.1 b 35.8 6.3 c 15 2.8 d 25.8 6.3 e 41.7 11.1 f 20.8 6.3 g 24.2 6.3 h 20 2.8 i 26.7 11.1 由管理运筹学软件可得到如下结果：

工序 最早开始时间 最迟开始时间 最早完成时间 最迟完成时间 时差 是否关键工序

----------------------------------------------------------------------------------

A 0 0 60 60 0 YES B 0 30.1 35.8 65.9 30.1 --- C 60 60 75 75 0 YES D 35.8 65.9 61.6 91.7 30.1 --- E 75 75 116.7 116.7 0 YES F 61.6 91.7 82.4 112.5 30.1 --- G 82.4 112.5 106.6 136.7 30.1 --- H 116.7 116.7 136.7 136.7 0 YES

I 136.7 136.7 163.4 163.4 0 YES

本问题关键路径是：A--C--E--H--I 本工程完成时间是：163.4

关键路径工序的方差为2=38.9。若要保证至少有95%的把握如期完成任务，Ｔ必须满足T163.4>=1.96，所以Ｔ>=175.6，远大于给定的提前期90天，所以目前的情况无法达到要6.24求。

13. 解：

根据习题7的解答，不难发现，工序A和D的必须开始时间和最迟开始时间均为0时刻开始，所以无法进行调整；对于工序B而言，符合可以调整的要求，但工序B的最迟开始时间为2，所以要实现工期最短，那么此时B必须在[0，2]开始，而[0，1]区间人数为16，超过15人的，从[1，2]中的某个时间开始，则[3，4]区间的人数多于15，不符合条件。 所以，综上来看，调整工序A、B、D都不具有可行性。

第13章 存 储 论

1、解：

运用经济定购批量存储模型，可以得到如下结果。 ① 经济订货批量Q*2Dc324800350579.66（件）。 c14025%② 由于需要提前5天订货，因此仓库中需要留有5天的余量，故再订货点为③ 订货次数为

48005（件）。 96

2504800250，故两次订货的间隔时间为。 8.28（次）30.19（工作日）

579.78.281D④ 每年订货与存储的总费用TCQ*c1*c35796.55（元）。

2Q（使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。）

2、解：

运用经济定购批量存储模型，可以得到如下结果。 ① 经济订货批量Q*2Dc32144001800379.47（吨） c1150024%② 由于需要提前7天订货，因此仓库中需要留有7天的余量，故再订货点为144007276.16（吨） 36514400365，故两次订货的间隔时间为37.95（次）9.62（天）

379.4737.951D④ 每年订货与存储的总费用TCQ*c1*c3136610.4（元）

2Q③ 订货次数为

（使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。）

3、解：

运用经济定购批量存储模型，可得如下结果。 ① 经济订货批量Q*2Dc38000222%， p2Dc3当存储成本率为27%时，Q'c'1*2Dc3c12Dc38000，其中p为产品单价，变换可得

p22%2Dc38000222%7221（箱）。

p27%27%2Dc32Dc3， c1pi② 存储成本率为i时，经济订货批量Q*

其中p为产品单价，变换可得

2Dc3Q*2i，当存储成本率变为i'时， p2Dc32Dc3Q*2iQ'。

c'pi'i'1*

4、解：

运用经济生产批量模型，可得如下结果。 ① 最优经济生产批量Q*2Dc321800016002309.4（套）。

d180001c1115018%p30000② 每年生产次数为

18000。 7.79（次）

2309.4250。 32.08（工作日）

7.792502309.4④ 每次生产所需时间为。 19.25（工作日）

30000③ 两次生产间隔时间为

d⑤ 最大存储水平为1Q*923.76（套）。

p1dD⑥ 生产和存储的全年总成本为TC(1)Q*c1*c324941.53（元）。

2pQ⑦ 由于生产准备需要10天，因此仓库中需要留有10天的余量，故再订货点为1800010。 720（套）

250（使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。）

5、解：运用经济生产批量模型，可得如下结果： ①最优经济生产批量Q*2Dc3230000350 2828.43(件)。d30000(1)c1(1)0.315%p6000030000 10.6(次)。2828.43250③两次生产间隔时间为 23.58(工作日)。10.62502828.43④每次生产所需时间为 11.79(工作日)。60000②每年生产次数为⑤最大存储水平位(1d*)Q1414.21(件)。 p⑥生产和存储的全年总成本为TC1dD(1)Q*c1*c331819.8(元)。 2pQ

⑦再订货点为

300008 960(件)。250

6、解：

运用经济生产批量模型，可得如下结果。 ① 最优经济生产批量Q*2Dc323000010002344.04（件）。

d300001c1113021%p50000② 每年生产次数为

30000。 12.8（次）

2344.04250。 19.53（工作日）

12.82502344.04④ 每次生产所需时间为。 11.72（工作日）

50000③ 两次生产间隔时间为

d⑤ 最大存储水平为1Q*937.62（件）。

p1dD⑥ 生产和存储的全年总成本为TC1Q*c1*c325596.88（元）。

2pQ⑦ 由于生产准备需要5天，因此仓库中需要留有5天的余量，故再订货点为（件）。

（使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。）

7、解：

运用允许缺货的经济定购批量模型，可以得到如下结果。 ① 最优订货批量Q*300005 6002502Dc3(c1c2)24800350(1025)685.86（件）。

c1c21025② 最大缺货量S*2Dc3c12480035010195.96（件），

c2(c1c2)25(1025)另外由于需要提前5天订货，因此仓库中需要留有5天的余量，即在习题1中所求出的96

件，故再订货点为−195.96+96=−99.96（件）

4800250，故两次订货的间隔时间为。 7.0（次）35.7（工作日）

685.867(Q*S*)2DS*2④ 每年订货、存储与缺货的总费用TC。 c1*c3*c248.98（元）

2Q*Q2Q③ 订货次数为

⑤ 显然，在允许缺货的情况下，总花费最小。因为在允许缺货时，企业可以利用这个宽松

条件，支付一些缺货费，少付一些存储费和订货费，从而可以在总费用上有所节省。 （使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。） 8、解：

运用允许缺货的经济订货批量模型，可以得到如下结果。 ①Q*2Dc3(c1c2)280006000(90250)1204.44(件)。

c1c290250*②最大缺货量S2Dc3c128000600090318.82(件)。

c2(c1c2)250(90250)由于需要提前10天订货，因此仓库中需要留有10天的余量，再订货点为

800010 99.(件)。3658000365③生产次数为故两次订货的间隔时间为 6.(次)，54.97(工作日)。1204.446.318.82(Q*S*)2DS*④每年需要的总费用TC c1*c3*c279705.34(元)。*2QQ2Q

9、解：

运用允许缺货的经济生产批量模型，可得如下结果。 ① 最优经济生产批量Q*2Dc3(c1c2)2300001000(27.330)3239.52（件）。

d300001c1c2127.330p50000230000d23000027.3100012Dc3c1150000p② 最大缺货量S*， 617.37（件）

c2(c1c2)30(27.330)另外由于需要5天来准备生产，因此要留有5天的余量，即在习题5中所求出的600件，故

再生产点为−617.37+600=−17.37（件）

30000250③ 生产次数为，故两次订货的间隔时间为。 9.26（次）27（工作日）

3239.529.26d2Dc1c2c31p18521.25（元）④ 每年生产准备、存储与缺货的总费用TC。

(c1c2)⑤ 显然，在允许缺货的情况下，总花费最小。因为在允许缺货时，企业可以利用这个宽松条件，支付一些缺货费，少付一些存储费和生产准备费，从而可以在总费用上有所节省。 （使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。）

10、解：

运用经济订货批量折扣模型，已知根据定购数量不同，有四种不同的价格。我们可以求得这四种情况的最优订货量如下。 当订货量Q为0～99双时，有 Q1*

2Dc322000300129（个）； c'36020%1

当订货量Q为100～199双时，有

*Q22Dc322000300137（个）； c\"32020%1当订货量Q为200～299双时，有

*Q32Dc322000300141（个）； c\"'30020%1当订货量Q大于300双时，有

*Q42Dc322000300146（个）。 c\"\"28020%1可以注意到，在第一种情况下，我们用订货量在0～99时的价格360元/双，计算出的最优订货批量Q1*却大于99个，为129个。为了得到360元/双的价格，又使得实际订货批量最接近计算所得的最优订货批量Q1*，我们调整其最优订货批量Q1*的值，得Q1*99双。

****同样我们调整第三种和第四种情况得最优订货批量Q3和Q4的值，得Q3=200双，Q4= 300

双。

可以求得当Q1*=99双，Q2*=137双，Q3*=200双，Q4*=300双时的每年的总费用如表13-1所示。 表13-1

每年费用 折扣等级 1 2 3 4 旅游鞋单价 360 320 300 280 最优订货 批量Q* 99 137 200 300 存储费 1*Qc1 2订货费 Dc3 Q*购货费 DC 720 000 0 000 600 000 560 000 总费用 729 624.6 8 763.6 609 000 570 400 3 5 4 384 6 000 8 400 6 060.606 4 379.562 3 000 2 000 由表13-1可知，最小成本的订货批量为Q*=300双，

D1此时花费的总成本TC=Q*c1+*c3+D·c=570 400（元），

Q2D1若每次的订货量为500双，则此时的总成本TC=Qc1+c3+D·c=575 200（元），

Q2这时要比采取最小成本订货时多花费4 800元。

（使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。）

11、解：

运用经济订货批量折扣模型，已知根据订购数量不同，有四种不同的价格。我们可以求得这四种情况的最优订货批量如下。 当定量Q为0~999本时，有

Q*12Dc324000330 792.82(个)；'3512%c12Dc324000330 829.16(本)；''3212%c12Dc324000330 938.08(本)；''2512%c12Dc324000330 1000(本)。''''2212%c1当定量Q为1000~1999本时，有

Q*2当定量Q为2000~2999本时，有

Q*3当定量Q大于3000本时，有

Q*4在第一种情况下，订货量在0~999时，最优订货量为792.82本；第二种情况下，订货量在

1000~1999时，计算得到最优订货量为829.16小于1000本，调整为1000本；同样第三、四种情况，调整最优订货批量分别为2000本，3000本。

所以，可以求得当Q1*=792.82本，Q2*=1000本，Q3*=2000本，Q4*=3000本时每年的总费用如表所示。 折扣等级 单价 最优订货批量Q* 每年费用 存储费 订货费 Dc3 *Q1 2 3 4 35 32 25 22 792.82 1000 2000 3000 1*Qc1 216.92 1920 3000 3960 购货费 DC 140000 128000 100000 88000 总费用TC 16.94 1320 660 440 143329.86 131240 103660 92400 由表可知，最小成本的订货批量为Q*=3000本，此时每年花费的最小成本费为92400元。

12、解：

① 在不允许缺货时，运用经济订货批量模型，可知此时的最小成本

1D； TCQ*c1*c3848.53（元）

2Q(Q*S*)2在允许缺货时，运用允许缺货的经济订货批量模型，可知此时的最小成本为TC=c12Q*DS*2

+*c3+*c2≈791.26（元）。

2QQ所以，在允许缺货时，可以节约费用57.27元。

（使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。） ②

ca．S*1Q*

c1c2

33303303 32023S*313%≤15% Q*23b．补上的时间不得超过3周。 S*39.539.5365t218天≤21天

800d800365故现采用的允许缺货的满足补上的数量不超过总量的15%，补上的时间不超过3周的条件，故仍该采用允许缺货的。

由于每年的平均需求量为800件，可知每年平均订货

8002.83次。

282.84根据服务水平的要求，P(一个月的需求量≤r)=1–=1–0.15=0.85，其中r为再订货点。 r由于需求量服从正态分布N（46，10），上式即为0.85。

查标准正态分布表，即得

r1.036，故r=1.036 + =1.036×10+46≈56.36件。

进而可以求得此时的总成本（存储成本和订货成本）为879.元，大于不允许缺货时的总成本848.53元。

故公司不应采取允许缺货的。

13、解：

运用需求为随机的单一周期的存储模型，已知k=16，h=22，有Q=11时，有p(d)p(8)p(9)p(10)0.33，

d01110k160.4211， kh1622

10p(d)p(8)p(9)p(10)p(11)0.53。

d011k此时满足p(d)≤p(d)。

khd0d0故应定购11 000瓶，此时赚钱的期望值最大。

14、解：

运用需求为随机的单一周期的存储模型，已知k=150，h=30，有

k1500.8333 kh15030Q属于3000~3900时，前三段区间的概率和为0.7， 前四段区间的概率和为0.88 此时满足0.7<0.8333<0.88.

故生产量在3000~3900时，赚钱的期望最大。

15、解：

① 运用需求为随机的单一周期的存储模型，已知k=1 400，h=1 300，有 k1400k0.52，故有P(d≤Q*)=0.52， kh14001300kh

Q*由于需求量服从正态分布N（250，80），上式即为0.52。

查标准正态分布表，即得

Q*。 0.05，故Q*=0.05 +=0.05×80+250=254（台）

② 商店卖出所有空调的概率是P(d >Q*)=1–0.52=0.48。

（使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。）

16、解：

① 运用需求为随机的单一周期的存储模型，

k1.7k0.49，故有P(d≤Q*)=0.49， kh1.71.8khQ*600由于需求量服从区间（600，1 000）上的均匀分布，则可得0.49，故Q*=796只。

1000600已知k=1.7，h=1.8，有

② 商场缺货的概率是P(d＞Q*)=1–0.49=0.51。 （使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。）

17、解：

运用需求为随机变量的定货批量、再订货点模型。

首先按照经济订货批量模型来求出最优订货批量Q*，已知每年的平均需求量D450×12=5 400（立方米），c1=175元/立方米·年，c3=1 800元，得Q*2Dc3333.3（立方米）。 c1由于每年的平均需求量为5 400立方米，可知每年平均订货

5400。 16.2（次）

333.3根据服务水平的要求，P(一个月的需求量≤r)=1−=1−0.05=0.95，其中r为再订货点。 r由于需求量服从正态分布N（450，70），上式即为0.95。

查标准正态分布表，即得

r。 1.5，故r=1.5 +=1.5×70+450≈565（立方米）

综上所述，公司应采取的策略是当仓库里剩下565立方米木材时，就应订货，每次的订货量

为333.3立方米。

（使用管理运筹学软件，可以得到同样的结果。） 18、解：

运用需求为随机变量的订货批量、在订货点模型。

首先按照经济订货批量模型来求出最优订货批量Q*，已知每年的平均需求量D=45×12=540（件），c1=250×12%=20，c3=3000,求得Q*=328.件。 由于每年的平均需求量为540件，可知每年的平均订货为

540 1.(次)。328.根据服务水平的要求，p(一个月的需求量《r)=1-α=1-0.1=0.9,其中r为再订货点。 由于需求量服从正态分布N（45，10），上式即为(查标准正态分布表，即得

ru)0.9.

r0.884,故r=0.884σ+μ=0.884×10+45=53.84(件)。

所以，当仓库里剩下53件的时候，就应该订货。

19、解：

运用需求为随机变量的定期检查存储量模型。

设该种笔记本的存储补充水平为M，由统计学的知识可得如下结果。

P(笔记本的需求量d≤M)=1−=1−0.1=0.9，由于在17天内的笔记本需求量服从正态分布 NM（280，40），上式即为0.9。

查标准正态分布表，得

M。 1.28，故M=1.28 +=1.28×40+280≈331.2（立方米）

第14章 排 队 论

1．解：

M/M/1系统，=50人/小时，=80人/小时。 ① 顾客来借书不必等待的概率P0=0.375； ② 柜台前的平均顾客数Ls=1.666 7；

③ 顾客在柜台前平均逗留时间Ws=0.033 3小时； ④ 顾客在柜台前平均等候时间Wq=0.020 8小时。

2．解：

M/M/1系统，=2人/小时，1=3人/小时，2=4人/小时。 ① P0=0.333 3，Lq=1.333 3，Ls=2，Wq=0.667小时，Ws=1小时； ② P0＝0.5，Lq=0.5，Ls=1，Wq=0.25小时，Ws=0.5小时； ③ 因为Z1=74元/小时，Z2=50元/小时，故应选择理发师乙。

3．解：

① M/M/1系统，=30人/小时，=40人/小时，P0=0.25，Lq=2.25，Ls=3，Wq=0.075小时，Ws=0.1小时； ②

a．M/M/1系统，=30人/小时，=60人/小时，P0=0.5，Lq=0.5，Ls=1，Wq=0.016 7小时，Ws=0.033 3小时； b．M/M/2系统，=30人/小时，=40人/小时，P0=0.454 6，Lq=0.122 7，Ls=0.872 7，Wq=0.004 1小时，Ws=0.029 1小时。 系统二明显优于系统一。

4．解：

M/G/1系统，=5辆/小时，=12辆/小时，P0=0.583 3，Lq=0.172 6，Ls=0.5 2，Wq=0.034 5小时，Ws=0.117 9小时。

5.解：

M/G/1：0.667

6．解：

M/M/1系统，=10人/小时，=20人/小时，可以得出顾客排队时间为Wq=3分钟，因为还有一个人在等候，其通话时间也为3分钟，故有Wq+3分钟<4分钟+3分钟，故不应该去另一电话亭。

7．解：

M/D/1系统，=5辆/小时，=12辆/小时，P0=0.583 3，Lq=0.148 8，Ls=0.565 5，Wq=0.029 8小时，Ws=0.113 1小时，Pw=0.416 7。

8.解：

M/D/1：0.4498

9．解：

M/G/C/C/∞系统，要使接通率为95%，就是使损失率降到5%以下，由=(2×0.3+0.7)×300+120=510次/小时，=30次/小时；要求外线电话接通率为95%以上，即Pw＜0.05。 当n=15时，Pw=0.244； 当n=16时，Pw=0.205 9； 当n=17时，Pw=0.170 7； 当n=18时，Pw=0.138 8； 当n=19时，Pw=0.110 5； 当n=20时，Pw=0.085 9； 当n=21时，Pw=0.065； 当n=22时，Pw=0.047 8；

故系统应设22条外线才能满足外线电话接通率为95%以上。

10.解：

M/G/c/c/∞：2.3257

11．解：

M/M/n/∞/M，=1台/小时，=4台/小时。

至少需要2名修理工才能保证及时维修机器故障。

① 假设雇佣1名修理工，则系统为M/M/1/∞/10模型，

Ls=6.021 2，Wq=1.263 3小时，Ws=1.513 3小时，Z=451.274元； 假设雇佣2名修理工，则系统为M/M/2/∞/10模型，

Ls=3.165 9，Wq=0.213 2小时，Ws=0.463 2小时，Z=369.952元； 假设雇佣3名修理工，则系统为M/M/3/∞/10模型，

Ls=2.259 3，Wq=0.041 9小时，Ws=0.291 9小时，Z=405.555元。 故雇佣2名修理工时总费用最小，为369.952元。 ② 等待修理时间不超过0.5小时，即要求Wq<0.5。 当雇佣2名修理工时，Wq=0.213 2小时<0.5小时。

可得当雇佣人数大于或等于2名修理工时可以满足等待修理时间不超过0.5小时。

12.解：

M/M/C/N/∞：0.42

13．解：

① M/M/1/2系统，=3人/小时，=5人/小时。

e=2.45人/小时，Lq=0.183 7，Ls=0.673 5，Wq=0.075，Ws=0.275。 ② M/M/1/3系统，=3人/小时，=5人/小时。

e=2.702人/小时，Lq=0.3，Ls=0.904 4，Wq=0.134 7，Ws=0.334 7。

14.解：

M/M/1/∞/m：（1）修理工无加工机器可修理的概率。 .0073（2）五台加工机器都无法运转的概率。0.287（3）无法运转的机器的平均台数。3.7591（4）加工机器等待修理的平均台数。 2.76（5）加工机平均等待修理的时间。22.2941

第15章 对 策 论

1．解：

因为maxminaijminmaxaij0，所以最优纯策略为2,2，对策值为0。

ijji

2.解：

用（x1，x2）表示一个策略，其中x1表示每人自己所出的手指数，x2表示对方所出的手指数，可见，局中人甲和乙都各自有4个策略：（1,1），（1,2），（2,1），（2,2）；甲的策略集为{1，

2，3，4}，乙的策略集为{ 1，2，3，4 }

甲的赢得矩阵如下表所示， 乙

1

甲的赢得 甲 （1,1）

0

1=（1,1）

2

（1,2） 2 0 -3 -3

3

（2,1） -3 3 0 3

4

（2,2） 0 3 -3 0

2=（1,2） 3=（2,1）

-2 3 0

4=（2,2）

赢得矩阵为：

0 2 −3 0−2 0 3 3 A=[]

3 −3 0 −3 0 −3 3 0

由A可知，没有一行优超于另一行，没有一列优超于另一列，故局中人不存在某种出法比其他出法更有利。

3.解：

根据题意建立对策矩阵，如下： 乙策略

1

甲收益 甲策略 （1.2）

2

（2.1） 0.5 1 0.5

3

（0.3） 1 0 1

4

（3.0） 1 1 0

1（1,1） 2（0,2） 3（2,0）

0.5 0.5 1

甲的赢得矩阵为：

0.5 0.5 1 1A=[0.5 1 0 1 ]

1 0.5 1 0

建立如下模型：min Z=X1+X2+X3 0.5 X1+0.5 X2+ X3≥1 0.5 X1+ X2+ 0.5X3≥1

X1 + X3≥1 X1+X2≥1 X1≥0;X2≥0;X3≥0;

用管理运筹学软件求解得到，此线性规划问题的解为： X1=0.5 X2=0.5 X3=0.5

V=1/( X1+X2+X3)=2/3; 所以X*=（1/3，1/3，1/3） 同样根据建立对偶问题的模型得到， Y1=1 Y2=0 Y3=0.5 所以Y*=（2/3，0，0，1/3），对策值为2/3.

4.解：

′

易知此对策无纯策略意义下的解。把A的每一个元素加上12，得到A

22615 A'20177

02220

建立线性规划模型如下：

Min x1+x2+x3 Max y1+y2+y3

S.T. 22x1+20x2≥1 22y1+6y2+15y3 ≤1 6x1+17x2+22x3 ≥1 20y1+17y2+7y3 ≤1 15x1+7x2+20x3 ≥1 22y2+20y3 ≤1 x1,x2,x3≥0 y1,y2,y3≥0 得到：

x1=0.027, x2=0.020, x3=0.023；

y1=0.0225, y2=0.0225, y3=0.025; V=14.29. ′′′′′′

x1=0.3858, x2=0.2858, x3=0.3286；y1=0.3215,y2=0.3215,y3=0.3572。 即此对策的解为 X* =(0.3858,0.2858,0.3286)T ,Y* =(0.3215,0.3215,0.3572)T。

′

VG=VG-k=2.29。 5．解：

① A、B两家公司各有8个策略，分别表示为1或1—不做广告；2或2—做电视广告；3或3—做电视和报纸广告；4或4—做电视和广播广告；5或5—做电视、报纸和广播广告；6或6—做报纸广告；7或7—做报纸、广播广告；8或8—做广播广告。

局中人A的损益矩阵如下。

123456780.10.150.30.25 0.40.050.150100.25200.2530.40.1540.350.1A0.5E8850.50.2560.150.170.25080.10.15ij0.40.350.150.100.050.0500.10.150.250.20.150.10.30.250.50.150.250.250.100.10.250.150.150.20.100.350.250.3500.10.250.100.40.050.05② 由损益矩阵可得，maxminaijminmaxaij0。

ji故甲应该采取第5策略，乙应该采取第5策略，对策值为0。

6．解：

求超市A的最优策略的线性规划模型如下。 mins.tx1x2x3x43x14x35x4≥16x22x3x4≥14x1x23x38x4≥12x13x25x37x4≥1x1,x2,x3,x4≥0

用管理运筹学软件求得x10.002,x20.275,x30.304,x40.044。 1由x1x2x3x4得v1.6。 v0.0032,x20.44,x30.48,x40.0704。 由xivxi可得x1所以超市A的最优策略是以0.003 2的概率采取策略1，以0.44的概率采取策略2，以0.486 4的概率采取策略3，以0.070 4的概率采取策略4，平均市场份额增加的百分数为1.6。

求超市B的最优策略的线性规划模型如下。 maxs.t y1y2y3y43y14y32y4≤16y2y33y4≤14y12y23y35y4≤15y1y28x37y4≤1y1,y2,y3,y4≥0

用管理运筹学软件求得y10.142,y20.233,y30.18,y40.072。

1由y1y2y3y4得v1.6。 v0.2272,y20.3728,y30.2880,y40.1152。 由yivyi可得y1所以超市B的最优策略是以0.227 2的概率采取策略1，以0.372 8的概率采取策略2，以0.288 0的概率采取策略3，以0.115 2的概率采取策略4，平均市场份额增加的百分数为1.6。 使用管理运筹学软件可从损益矩阵直接求得上述答案如图15-1所示，结果差异是由计算误

差所致。

图15-1

7．解：

23种，分别为 甲、乙两队让自己的运动健将参加三项比赛中的两项的策略各有c31，1—参加100米蝶泳和100米仰泳；

2，2—参加100米蝶泳和100米蛙泳； 3，3—参加100米仰泳和100米蛙泳；

则甲队的损益矩阵为

1231131212A 212121331213140.51.51.51111.51.50.5，其中E33111 1.50.50.5111A13.5E33采用优超原则简化后得矩阵

12 10.51.5B31.50.51.50.5B2E22

0.51.5

求得

x(0.5,0.5)T,y(0.5,0.5)T, V1, V121。

即甲以0.5的概率出1策略，以0.5的概率出3策略，平均得分为13.5−1=12.5； 乙以0.5的概率出1策略，以0.5的概率出2策略，平均得分为13.5+1=14.5。

8．解：

列出两人的策略集为S1={1,5,10} S2={1,5,10} ，那么A的赢得矩阵为

-1110A5-510

15-10用优超法化简得，-1 101 -10 

解得x*1=1/2, x*3=1/2, y*1=10/11, y*3=1/11, v=0

所以X*=（1/2, 0, 1/2）, Y*=（10/11,0,1/11） v=0 因此，该项游戏对双方公平合理。

9. 解：

1、2、3加工三种不同的产品1、2、3， 双方可选择的策略集分别是

SA={1、2} ， 1：轰炸机Ⅰ装，Ⅱ护航 2：轰炸机Ⅱ装，Ⅰ护航 SB={1、2} ， 1：阻击轰炸机Ⅰ 2：阻击轰炸机Ⅱ

赢得矩阵R=(aij)2×2 aij 为A方采取策略i而B方采取策略j时，轰炸机轰炸B方指挥部的概率，由题意可计算出： a 11= 0.7+0.3(1-0.6)=0.82 a 12=1, a 21=1

a 22=0.3+0.7(1-0.6)=0.58

即赢得矩阵 R 1 0.580.82 1 易求得矩阵R不存在鞍点，应当求最佳混合策略

设A以概率X1取策略1，以概率X2取策略2 ；B以概率y1取策略1，以概率y2取策略2.

从B方考虑，采用1时，A方轰炸机攻击指挥部的概率期望值为E(1)=0.82 X1+ X2 ；采用2时，A方轰炸机攻击指挥部的概率期望值为E(2)= X1+0.58 X2 ；若E(1)≠E(2)，不妨设E(1)< E(2)，则B方必采用1以减少指挥部被轰炸的概率，故对A方选取的最佳概率X1 和X2，必满足：

0.82 X1+ X2=X1+ 0.58X2 X1+ X2=1

可得X1=0.7，X2=0.3

得到B方指挥部被轰炸的概率的期望值VG=0.874. 同样可从A方考虑问题。

10.解：

此问题可看成是一个矩阵对策问题并易知没有鞍点。设采用设备1、2、3 的概率分别为(x1, x2, x3)T，产品1、2、3接受加工的概率分为( y1, y2, y3 )T。

32赢得矩阵为 A142214320042 6204 y14y22y3v'v'3y12y2 '4y3vyyy1123为简化求解计算，赢得矩阵化简为：

A'A(2)33x13x2v'v'4x12x2求解方程：4x3 v'2x1xxx1123x11x21x31y11y21/2y31/2*y12/5*y23/5*y30得到解为

*x10*最终求得x20*x31v'0

x*(0,0,1)T*T因而原矩阵对策的解为：y(2/5,3/5,0)

'Vv22G

11．解：

设齐王和田忌赛马的策略分别有

1，1—以上中下的次序出马；

2，2—以上下中的次序出马；

3，3—以中上下的次序出马；

4，4—以中下上的次序出马； 5，5—以下上中的次序出马； 6，6—以下中上的次序出马。

齐王的损益矩阵为

123456024262404 24612422624302440265000260040建立相互对偶的线性规划模型，得

mins.t x1x2x3x4x5x66x12x24x4≥14x16x22x3≥12x12x26x32x44x6≥14x14x24x36x42x5≥12x24x32x46x52x6≥14x14x32x44x56x6≥1xi≥0,i1,2,,6齐王：

由管理运筹学软件求解，得

x10.13,x20.109,x30.087,x40,x50.072,x60。

1由x1x2x3x4x5x6得v2.5126。 v0.2186,x40,x50.1809,x60。 0.2739,x3由xivxi可得x10.3266,x2所以齐王的最优对策是以0.326 6的概率出1，以0.273 9的概率出2，以0.218 6的概率出

3，以0.180 9的概率出5。

mins.t max

y1y2y3y4y5y66y14y22y34y44y6≤12y16y22y34y42y5≤12y26y34y44y54y6≤14y12y36y42y52y6≤12y46y54y6≤14y32y56y6≤1yi≥0,i1,2,,6

田忌：

由管理运筹学软件求解，得

y10.109,y20.051,y30.072,y40,y50.167,y60。

1由y1y2y3y4y5y6得v2.5063（与上面2.512 6不同，是由计算误差导致）。由vyivyi可得

0.1805,y40,y50.4185,y60。 0.2732,y20.1278,y3y1所以，田忌的最优对策是以0.273 2的概率出1，以0.127 8的概率出2，以0.180 5的概率出3，以0.418 5的概率出5。

使用管理运筹学软件可从损益矩阵直接求得上述问题答案，如图15-2所示，结果差异是由

计算误差所致。

图15-2

第16章 决 策 分 析

1．解：

公司收益表如表16-1所示。 表16-1 自然状态 方案 S1 S2 S3 ① S2方案最优。 ② S1方案最优。 ③ S2方案最优。 ④ S2方案最优。

⑤ 后悔矩阵如表16-2所示。 表16-2 公 状态司 收 N1 N2 N3 N4 15 8 0 −6 4 14 8 3 1 4 10 12 方案 S1 S2 S3 益 N1 值 N2 6 0 10 N3 10 2 0 N4 18 9 0 1≤j≤4 maxaij0 11 14 18 11（min） 14 故S2方案最优。

2．解：

① 面包进货问题的收益矩阵为

N1=S5=360, N2=S4=300, N3=S3=240, N4=S2=180, N5=S1=120。 表16-3 公 需求量 司 收 益 值 订货量 S1 S2 S3 S4 S5 N1 84 126 168 210 252 N2 84 126 168 210 186 N3 84 126 168 144 120 N4 84 126 102 78 54 N5 84 60 36 12 −12 ② 用最大最小准则得最优方案为S1。 用最大最大准则得最优方案为S5。

用后悔值法，后悔矩阵如表16-4所示。 表16-4

公 需求量 司 收 益 N1 值 N2 126 84 42 0 24 N3 84 42 0 24 48 N4 42 0 24 48 72 N5 0 24 48 72 96 1≤j≤5 maxaij订货量 S1 S2 S3 S4 S5 168 126 84 42 0 168 126 84 72（min） 96 得最优方案为S4，用乐观系数法得最优方案为S5。

3.解：

设生产量为X，则各个方案的总收益如下： 方案1 (10 – 5)X – 100000 = 5X – 100000; 方案2 (10 – 4)X – 160000 = 6X – 160000; 方案3 (10 – 3)X – 250000 = 7X – 250000; 收益矩阵如下： 30000 120000

方案1

50000 500000 方案2

20000 560000 方案3

–40000 590000

最大最小准则： 30000 120000

方案1

50000 500000 方案2

20000 560000 方案3

–40000 590000 因此方案1为最优方案。

最大最大准则： 30000 120000

方案1

50000 500000 方案2

20000 560000 方案3

–40000 590000 因此方案3为最优方案。

等可能准则：

30000 120000

P1 = 1/3 P2 = 1/3 方案1

50000 500000 方案2

20000 560000 方案3

–40000 590000 因此方案3为最优方案。

200000 900000 1040000 1150000

200000 900000 1040000 1150000 200000 P3 = 1/3 900000 1040000 1150000

200000 900000 1040000 1150000

Min

50000（max） 20000 –40000

Max 900000 1040000

1150000（max）期望收益 483333 540000 566667（max）

后悔值准则： 30000 120000 200000 最大后悔值Min

0 90000 250000 250000 方案1

30000 30000 110000 110000 方案2

90000 0 0 方案3 90000（min）

因此方案3为最优方案。

4．解：

由第2题中需求量的分布概率已知，E(S1)=84，E(S2)=119.4，E(S3)=135，E(S4)=130.8，E(S5)=113.4。 故用期望值法得最优方案为S3。

5．解：

N1表示不合格品的概率为0.05，N2表示不合格品的概率为0.25，由题可得 P(N1)=0.8， P(N2)=0.2，

① 用S1表示检验，S2表示不检验，则该问题的收益矩阵如表16-5所示。 表16-5 自然状态 公司费用 方案 S1 S2

② E(S1)=1 500×0.8+1 500×0.2=1 500（元）， E(S2)=750×0.8+3 750×0.2=1 350（元）， S2为最优检验方案。 ③ E(S1)=1 500，

E(S2)=750P+3 750(1−P)=3 750−3 000P， 当E(S1)=E(S2)时，P=0.75，

可见，当P＞0.75时，S1为最优方案，当P＜0.75时，S2为最优方案。

6．解：

由前面的数据做出决策树图如图16-1所示。

N1 1 500 750 N2 1 500 3 750

图16-1

由图可知选定方案S2，即不检验。

7.解：

收益矩阵如下：

30000 P1 = 0.15 50000 20000 –40000

120000 P2 = 0.75 500000 560000 590000

200000 P3 = 0.10 900000 1040000 1150000

期望收益

472500 方案1

527000 方案2

方案3 551500（max） 因此根据期望值准则，方案3为最优方案。

在完备信息条件下，企业可以获取一切信息，并根据所得信息进行方案的选择。 当需求量为30000时，企业选择方案1，收益为50000； 当需求量为120000时，企业选择方案3，收益为590000； 当需求量为200000时，企业选择方案3，收益为1150000。

完备信息收益EPPI = 50000×0.15 + 590000×0.75 + 1150000×0.10=565000

由上问，完全信息收益EPPI = 565000，无信息条件下最大期望收益EMV = 551500，则完备信息的价值为EVPI = 565000 – 551500 = 13500。所以，该企业最多愿意付的调查费为13500元。

8．解：

规定S1表示投资开发事业，S2表示存放银行。 ① E(S1)=50 000×0.2×0.96−50 000×0.04=7 600， E(S2)=50 000×0.06×1=3 000，

比较可知道S1更优，即选投资开发事业更优，即当我们不掌握全情报用期望值准则来决策时，S1是最优行动方案，故EVwoPI=7 600元。

② EVWPI=50 000×0.2×0.96+50 000×0.06×0.04=9 720（元）， EVPI=EVWPI−EVWOPI=9 720−7 600=2 120（元）。 ③ 用I1表示咨询公司结论为开发，I2表示咨询公司结论为不开发，N1表示开发，N2表示不开发。P(I1)、P(I2 )、PN1I1、PN2I1、PN1I2、PN2I2的值均需要经过计算，由题可知 PI1N10.9， PI2N10.1， PI1N20.4， PI2N20.6， P(N1)=0.96， P(N2)=0.04，

P(I1)P(N1)PI1N1P(N2)PI1N20.960.90.040.40.88， P(I2)P(N2)PI2N2P(N1)PI2N10.040.60.960.10.12，

由贝叶斯公式，我们可求得 PN1I1

P(N1)PI1N10.960.90.9818P(I1)0.88，

PN2I1P(N2)PI1N20.040.40.0182，

P(I1)0.88P(N1)PI2N1P(I2)P(N2)PI2N20.040.60.960.10.8， PN2I20.2。

0.12P(I2)0.12PN1I2当调查结论为开发时E(S1)=8 908元，E(S2)=3 000（元），故此步骤应选择方案S1。

当调查结论为不开发时E(S1)=−2 000元，E(S2)=3 000（元），故此步骤应选择方案S2。

因为当咨询公司调查结论为开发时的概率P(I1)=0.88，不开发的概率P(I2)=0.12，故E(调)＝8 199.04（元）。

当公司委托咨询公司进行市场调查即具有样本情报时，公司的期望收益可达8 199.04元，比不进行市场调查公司收益7 600元高，故其EVSI=8 199.04−7 600=599.04（元），样本情报效率=EVSI×100%=28.26%，

EVPI因为599.04＜800，所以该咨询服务费用800元是不值得的。

9.解：

由已知，得出收益矩阵如下：

1

0.5 40 70 110

2

0.3 20 30 10

3

0.2 10 0 -50

期望收益 28 44 48（max）

d1 d2 d3

因此根据期望值准则，最优方案为d3。 决策树如下：

由决策树可知，最优方案为d3。

在完备信息条件下，企业可以获取一切信息，并根据所得信息进行方案的选择。 当1时，企业选择d3，收益为110； 当2时，企业选择d2，收益为30； 当3时，企业选择d1，收益为10。

完备信息收益EPPI = 110×0.5 + 30×0.3 + 10×0.2 = 66 无信息条件下最大期望收益EMV = 48 所以，完全信息价值EVPI = 66 – 48 = 18。

10．解：

① 先求各效用值

U(80)=PU(100)+(1−P)U(−10)=0.9(10)+0.1(0)=9， U(60)=PU(100)+(1−P)U(−10)=0.8(10)+0.2(0)=8，

U(10)=PU(100) + (1−P)U(−10)=0.25(10) +0.75(0)=2.5， 故其效用矩阵如表16-6所示。 表16-6 自然状态 概率 方案 S1（现在扩大） S2（明年扩大）

N1 P(N1)=0.2 10 9 N2 P(N2)=0.5 9 8 N3 P(N3)=0.3 0 2.5

② E(S1)=0.2×100+0.5×80+0.3×(−10)=57， E(S2)=80×0.2+60×0.5+10×0.3=49，

故按实际盈利期望值法确定的最优方案为S1。 EU(S1)0.2100.590.306.5， EU(S2)0.290.580.32.56.55， 因为EU(S1)＜EU(S2)，

所以按效用期望值法确定的最优方案为S2。

11.解：

保证三年后至少2000万元的最优决策为：第一年和第二年都投资方案2。第二年末如果手里仍只有2000万元，则第三年投资方案1。否则投资方案2。 三年后至少有2000万元的概率为0.676。 决策树如下图所示： 0.62P=0.6方案10.6761方案20.67方案20.8P=0.1P=0.1113第一年第二年和第三年都投资方案2第二年第三年>2000112投资方案2P=0.90.50.6方案1P=0.990.1方案211方案113P=0.40第二年和第三年都投资方案20.66P=0.41P=0.67投资方案20.610P=0.4P=0.6P=0.9P=0.1>20000>20000200010002000>2000

12.解： 标准

单排列权重 0.4744 0.2626

汽车A 0.0683 0.5949

汽车B 0.2746 0.2746

汽车C 0.6571 0.1285

B1 B2

B3

0.0545 0.0985 0.1103

0.4286 0.6327 0.1667

0.4286 0.1924 0.1667

0.1428 0.1749 0.6666

B4 B5

0.2925 0.2635 0.4440 组合权重

组合权重计算结果如上表所示，各矩阵的一致性检查均符合要求。从最终组合权数来看，汽车C的数值最高，所以应该选汽车C。

第17章 预 测

1．解：

① n=3时，第13个月的销售量为n＝4时，第13个月的销售量为② 结果如表17-1所示。 表17-1 月 份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 下一年1月 2．解：

124① n=3，比例为1 : 2 : 4时，第11周的股票价格为9.79.69.4=9.5；

777135② n=3，比例为1 : 3 : 5时，第11周的股票价格为9.79.69.4=9.5。

999③ 由①②的结果可以看出，两个结果相同。

3.解：

8510010596.7；

310085100105=97.5。

4销售量 105 135 115 100 95 120 140 135 100 85 100 105 =0.3时的预测值 ＝0.5时的预测值 105 114 114.3 110.01 105.507 109.854 9 118.8 4 123.728 9 116.610 2 107.127 2 104.9 104.992 3 105 120 117.5 108.75 101.875 110.937 5 125.468 8 130.234 4 115.117 2 100.058 6 100.029 3 102.514 6 134（1） n=3，比例为1 : 3 : 4时，第9周的商品价格为6.25.55.8=5.74；

888126（2） n=3，比例为1 : 2 : 6时，第9周的商品价格为6.25.55.8=5.78。

999

4.解： 如表所示:

天数 时间序列值 n=3时移动平均法预测值 预测偏差 预测偏差平方 1 17 2 21

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 合计 19 23 18 16 20 18 22 20 15 22 19 21 20 19 18 18 20 20 19 19 4 -3 -4 1 0 -4 0 -5 3 0 16 9 16 1 0 16 0 25 9 92

因此，n=3时，第13天的加油量预测为19升，预测偏差的估计为如表所示：

天数 时间序列值 1 17 2 21 3 19 4 23 5 18 6 16 7 20 8 18 9 22 10 20 11 15 12 22 13 合计

92=3.197。 9预测偏差平方

16.00 1.44 24.60 1.06 8.01 3.03 0.37 12.32 0.66 18.92 12.39

98.80

α=0.2时指数平滑法预测值 17 17.8 18.04 19.03 18.83 18.26 18.61 18.49 19.19 19.35 18.48 19.18 预测偏差 4 1.2 4.96 -1.03 -2.83 1.74 -0.61 3.51 0.81 -4.35 3.52

因此，α=0.2时，第13天的加油量预测为19.18升，预测偏差的估计为有表如下：

98.8=2.997。 11t

1 2 3 4 5 6 7

Yt

17 21 19 23 18 16 20

tYt

17 42 57 92 90 96 140

t2

1 4 9 16 25 36 49

8 9 10 11 12 18 22 20 15 22 144 198 200 165 2

t 81 100 121 144

tt=78

Y=231

Y = tY=1505

23119.25 12t2=650

t = t786.5n12tYnt

b1tYtYtt2n2tn7823115051501.5120.024 7878143650121505

b0=Yb1t=19.250.0246.519.094 Ttb0b1t19.0940.024t所以，

T1319.0940.0241319.406

即第13天的加油量预测值为19.406。

5．解：

① 销售情况如图17-1所示。

图17-1

由图17-1可以看出，该时间序列有一定的线性趋势。 ② 设线性方程为Ttb0b1t，进行如下计算。 表17-2

t 1 2 Yt tYt t2 20 24.5 20 49 1 4

合计 b13 4 5 6 7 8 9 10 55 28.2 27.5 26.6 30 31 36 35.2 37.4 296.4 84.6 110 133 180 217 288 316.8 374 1 772.4 9 16 25 36 49 81 100 385 tY(tY)/n＝1772.4(55296.4)/10＝1.72，

38555/10t(t)/ntt222b0Yb1t＝20.18，

故所求直线方程为Tt20.181.72t。

t=11时，Tt20.181.7211=39.1，即第11年的销售量为39.1万台。 6.解：

（1） 天数 销售量 1 100 2 150 3 142 4 151 5 145 6 160 7 180 8 172 9 170 10 182 11（预测值） n=3 131 148 146 152 162 171 174 175 预测偏差 20 -3 14 28 10 -1 8 预测偏差的平方值 400 9 196 784 100 1 合计：1554 n=3时第11天的预测值为175，预测偏差的估计为155414.90 7预测偏差的平方值 81 天数 1 2 3 4 5

销售量 100 150 142 151 145 n=4 136 预测偏差 9

6 160 7 180 8 172 9 170 10 182 11（预测值） 147 150 159 1 171 176 13 30 13 6 11 169 900 169 36 121 1476 n=4时第11天的预测值为176，预测偏差的估计为147615.68 6比较结果：n=4时第11天的预测值以及预测误差均略大于n=3时。

（2） 天数 销售量 1 100 2 150 3 142 4 151 5 145 6 160 7 180 8 172 9 170 10 182 11（预测值） α=0.2 100 110 116 123 128 134 143 149 153 159 预测偏差 50 32 35 22 32 46 29 21 29 预测偏差的平方值 2500 1024 1225 484 1024 2116 841 441 841 合计：10496 α=0.2时第11天的预测值为159，预测偏差的估计为1049634.15 9预测偏差的平方值 2500 2 2 9 256 784 36 1 169 合计：4333 天数 销售量 1 100 2 150 3 142 4 151 5 145 6 160 7 180 8 172 9 170 10 182 11（预测值） α=0.5 100 125 134 142 144 152 166 169 169 176 预测偏差 50 17 17 3 16 28 6 1 13 α=0.5时第11天的预测值为176，预测偏差的估计为433321.94 9比较结果：α=0.5时第11天的预测值略大于α=0.2，同时预测误差的估计比α=0.2小。

7.解：

入住人数3025201510501234入住人数567线性(入住人数) 根据已知画出年份与入住人数的图像，可知两者之间基本呈线性关系。因此，有

X451825 Y20.22 999789520.2268.11.135

28592560XYnXYbXnX22aYbX20.221.135514.545

Y1114.5451.1351127.03

即第11年预计入住人数为2703人。

8.解： 302520151050212325冷面（Y）262829线性(冷面（Y）)

35302520151050212325262829热汤面（Y）线性(热汤面（Y）) 气温（t） 21 23 25 26 28 29 热汤面（Yt） 30 28 23 24 14 12 tYt 630 4 575 624 392 348 t2 441 529 625 676 784 841 tt=152 气温（t） 21 23 25 26 28 29 Y=131 ttY=3213 tYt 21 46 400 390 784 667 tt2 2=36 冷面（Yt） 1 2 16 15 28 23 441 529 625 676 784 841 tt=152 Y180.8822.331x1

冷面：

Y=85 ttY=2308 t2=36 由上图可见热汤面和冷面的销量与气温基本都呈线性关系，线性回归模型如下， 热汤面：

Y272.2653.412x2

（2）27度时，热汤面和冷面的可能销售量分别为18碗和20碗。

9．解：

① 根据销售数据，可以做出图17-2。

图17-2

由图17-2可看出，销量有较为明显的上升趋势和受季节影响。 ② 根据销售数据，可以做出表17-3。 表17-3 季度 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 去掉指标值中的不规则因素，第三季度的季节指数为

1.34638+1.4587331.40，同理可求得

2销售量 1 650 900 2 580 2 460 1 800 840 2 850 2 300 1 850 1 040 2 880 2 560 四个季度移动平均值 1 7.5 1 935 1 920 1 987.5 1 947.5 1 960 2 010 2 017.5 2 082.5 中心移动平均值 1 916.25 1 927.5 1 953.75 1 967.5 1 953.75 1 985 2 013.75 2 050 季节与不规则因素的指标值 1.346 38 1.276 265 0.921 305 0.426 938 1.458 733 1.158 69 0.918 684 0.507 317 第一、二、四季度的季节指数分别为0.92，0.47和1.22。进行调整后，四个季度的季节指数依次为0.92，0.47，1.39和1.22。

③ 在时间序列中去掉季节因素，可得表17-4。 表17-4 季 度 1 2 3 4 1 2 3 销售量 1 650 900 2 580 2 460 1 800 840 2 850 季节指数 0.92 0.47 1.39 1.22 0.92 0.47 1.39 消除季节因素的销量 1 793 1 915 1 856 2 016 1 957 1 787 2 050

4 1 2 3 4 2 300 1 850 1 040 2 880 2 560 1.22 0.92 0.47 1.39 1.22 1 885 2 011 2 213 2 072 2 098 使用消除季节因素后的时间序列确定时间序列的趋势，可以得到直线方程为 Tt180525.5t。

在第四年第一个季度，t=13，故Tt180525.513=2 136.5。 第一季度的季节指数是0.92，故预测值为2 136.50.92=1965.58。 同理可得：第二、三、四季度预测值为1016.14、3040.63、2699.86

10．解：

① 根据销售数据，可以做出图17-3。

图17-3

由图17-3可以看出，销量有明显的上升趋势和季节影响。 ② 根据销售数据，可以做出表17-5。 表17-5 季度 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 销售量 6 15 10 4 10 18 15 7 14 26 23 12 19 28 四个季度移动平均值 8.75 9.75 10.5 11.75 12.5 13.5 15.5 17.5 18.75 20 20.5 21 中心移动平均值 9.25 10.125 11.125 12.125 13 14.5 16.5 18.125 19.375 20.25 20.75 21.75 季节与不规则因素的指标值 1.081 08 0.395 06 0.8 88 1.484 54 1.153 85 0.482 76 0.848 48 1.434 48 1.187 1 0.592 59 0.915 66 1.287 36

3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 25 18 22 34 28 21 24 36 30 20 28 40 35 27 22.5 23.25 24.75 25.5 26.25 26.75 27.25 27.75 27.5 28.5 29.5 30.75 32.5 22.875 24 25.125 25.875 26.5 27 27.5 27.625 28 29 30.125 31.625 1.092 9 0.75 0.875 62 1.314 01 1.056 6 0.777 78 0.872 73 1.303 17 1.071 43 0.6 66 0.929 46 1.2 82

去掉指标值中的不规则因素，并进行调整后，四个季度的季节指数依次为0.90，1.36，1.12和0.62。

③ 在时间序列中去掉季节因素，可得表17-6。 表17-6 季 度 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3

销售量 6 15 10 4 10 18 15 7 14 26 23 12 19 28 25 18 22 34 28 21 24 36 30 季节指数 0.90 1.36 1.12 0.62 0.90 1.36 1.12 0.62 0.90 1.36 1.12 0.62 0.90 1.36 1.12 0.62 0.90 1.36 1.12 0.62 0.90 1.36 1.12 消除季节因素的销量 6.7 11.0 8.9 6.5 11.1 13.2 13.4 11.3 15.6 19.1 20.5 19.4 21.1 20.6 22.3 29.0 24.4 25.0 25.0 33.9 26.7 26.5 26.8

4 1 2 3 4 20 28 40 35 27 0.62 0.90 1.36 1.12 0.62 32.3 31.1 29.4 31.3 43.5 使用消除季节因素后的时间序列确定时间序列的趋势，可以得到直线方程为 Tt6.261.06t

在第八年第一个季度，t=29，故Tt6.261.062937。

第一季度的季节指数是0.90，故预测值为370.933.3。

同理可得：第八年第二、三、四的销量分别为51.76、43.81、24.91。