2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二年级下册学期期末数学试题【含答案】

一、单选题1．已知集合A．

Myy2x1,xRB．

，集合NxxC．

25x60，则MN（ ）

D．

2,30,66,1,6【答案】D

【解析】分别求出集合M,N，再进行交集运算即可求解.

Myy2x1,xRyy1【详解】由题意知: ，

Nxx25x60xx25x60xx6x10x1x6所以

MNx1x6．

故选：D

2．复数z12i（其中i为虚数单位），则z3i（ ）A．2【答案】A

B．2

C．10D．5

za2b2z3i1i【分析】，根据复数的模代入计算．

z3i1i12122z3i1i【详解】∵，则

故选：A．

3．已知三角形ABC，那么“A．充分而不必要条件C．充分必要条件【答案】B【分析】在不等式

ABACABACABACABAC”是“三角形ABC为锐角三角形”的

B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

两边平方并化简得ABAC0，判断出角A的属性，再结

合充分条件、必要条件的定义判断即可.

ABACABACABCABAC0，可得A为锐角，此时三角形【详解】三角形中，“”

ABC不一定为锐角三角形.

三角形ABC为锐角三角形A为锐角.

三角形ABC，那么“

故选：B.

ABACABAC”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.

【点睛】本题考查必要而不充分条件的判断，同时也考查了平面向量数量积的应用，考查推理能力，属于中等题.

x2y221(a0,b0)2F4．已知双曲线ab，直线AB过左焦点1交双曲线于A，B两点，以AB为直径的

圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 A．2【答案】C

B．3C．2

D．5b2AF1acxaAB【分析】本题首先可以考虑“垂直轴”这种情况，通过计算得出离心率，然后

考虑“直线AB斜率存在”这种情况，可先设出直线AB的方程，然后利用PAPB计算求出离心率，最后通过以上两种情况即可得出结果．

b2b2AF1ac22xaaAB【详解】①当垂直轴时，，即，从而有cac2a0e2e20，故e2；

②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为：xmyc，交双曲线于顶点为

Ax1,y1，

Bx2,y2，右

Pa,0PAPB0PAPB，由条件知，即

xmyc222222b2m2a2y22mcb2yb40bxayab 由，

b42mcb2y1y222y1y222bma2，bma2，

PAPBx1a，，y1x2ay20，

m即

21y1y2mcay1y2ca02，

2b42cacac2b2m2b4a2ca2042baca0，即

从而

b2aac2，ee20，故e2，

综上所述，故选C．

【点睛】本题考查双曲线的相关性质，主要考查过双曲线的焦点的线段的相关性质以及圆的相关性质，可利用圆的半径相等以及圆的直径所对应的圆周角是直角列出方程求解，考查方程思想，考查计算能力，是难题．5．随机变量

X~N9,2，PX60.2，则P9X12（ ）

A．0.3【答案】A

B．0.4C．0.4987D．0.9974【分析】根据正态分布的对称性计算即可求解【详解】因为随机变量

XN9,2所以正态曲线关于直线x9对称所以因为所以所以

Px90.5Px60.2P6x9Px9Px60.3P9X12P6X90.3 ，

故选：A.

x2y221(a0,b0)2ab6．已知双曲线与函数yx(x0)的图象交于点P，若函数yx的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F(4,0)，则双曲线的离心率是（ ）

1744A．【答案】D

173B．41724C．171D．4【解析】设P的坐标为(m,m)，函数的导数

f(x)12x，根据条件可得

kf(m)1m2mm4，可解得m4，即P(4,2)，再根据双曲线的定义可求出其a，从而得到离心率.

【详解】设P的坐标为(m,m)，由左焦点F(4,0)，所以

f(x)12x，kPFm0m4函数的导数

kf(m)则在P处的切线斜率

1m2mm4，即m42m，得m4，则P(4,2)，

设右焦点为A(4,0)，则2a|PF||PA|4042(171)，即a171，

c4，∴双曲线的离心率

ec171a4.故选：D

7．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互，设X为该群体

PX4PX6的10位成员中使用移动支付的人数，DX2.4，，则pA．0.7【答案】B

【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式

B．0.6

C．0.4

D．0.3

DXnp1p进行计算即可．

DXnp1pp0.4或p0.6PX4C10p41pPX6C10p61p，

1pp22,可知p0.5故答案选B.

点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．

8．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝lgx，h（x）＝log3x，直线y＝a（a＜0）与这三个函数的交点的横坐标分别是x1、x2、x3，则x1、x2、x3的大小关系是（　　）A．x2＜x3＜x1【答案】A

【分析】利用取特殊值法解决，取a＝﹣1，计算出直线y＝a（a＜0）与这三个函数f（x）＝lnx，g（x）＝lgx，h（x）＝log3x，的交点的横坐标，从而解决问题．【详解】取a＝﹣1，则直线y＝a（a＜0）与这三个函数

f（x）＝lnx，g（x）＝lgx，h（x）＝log3x，的交点的横坐标分别是：

B．x1＜x3＜x2

C．x1＜x2＜x3

D．x3＜x2＜x1

111e，10，3，故有：x2＜x3＜x1．故选A．

【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，其中根据对数的运算性质特殊值法代入，计算出对应的x值，是解答本题的关键．

329．已知函数f(x)x2ax3bxc的两个极值点分别在（-1，0）与（0，1）内，则2a-b的取值

范围是

3(,1)A．2【答案】B

33(,)B．2213(,)C．223(1,)D．2【分析】求出导函数f′（x）＝3x2+4ax+3b，由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，列出约束条件，利用线性规划求解2a﹣b的取值范围．【详解】由函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c，求导f′（x）＝3x2+4ax+3b，f（x）的两个极值点分别在区间（﹣1，0）与（0，1）内，由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，

即

f'0＜0f'1＞0f'1＞0，令z＝2a﹣b，

∴转化为在约束条件为

3b＜034a3b＞034a3b＞0时，求z＝2a﹣b的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），

333目标函数转化为z＝2a﹣b，由图可知，z在A（4，0）处取得最大值2，在（4，0）处取得最小

3值2，

33因为可行域不包含边界，∴z＝2a﹣b的取值范围（2，2）．

故选B．

【点睛】本题考查导数求导法则，导数极值的综合应用，考查平面线性规划的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

10．如图，正四棱锥PABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果

VP-ABCD=163 ，则求O的表面积为（ ）

A．4【答案】D

B．8C．12D．16【分析】根据正四棱锥PABCD的体积公式，列出方程，求得R2，再利用球的表面积公式，即可求解.

【详解】由题意，设外接球O的半径为R，则OPOAR,AB2R，

1116VSh(2R)2R333，解得R2，则正四棱锥PABCD的体积为

22所以球O的表面积为S4R4216．

【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及锥体的体积、球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，结合锥体的体积公式和球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力。

11．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来

2xlnx2fxx41的大致图象为（ ）分析函数图象的特征，函数

A．B．

C．【答案】A

D．

【分析】根据函数的奇偶性和值域逐项判断可得答案.

2xlnx2fxx41的定义域为,00,，【详解】函数

lnxlnx2lnx2fxxxfxfxxxxxfx222222且，，所以函数为偶函数，lnx22lnxfxx0xxxlnx00x12222排除BC选项；当时，，则，排除D选项.故选：A.

2x2y221ab02ab12．如图所示，已知椭圆方程为，A为椭圆的左顶点，B、C在椭圆上，若四

边形OABC为平行四边形，且OAB45，则椭圆的离心率为

2A．26C．33B．322D．3【答案】C

【分析】由题意结合几何关系得到关于a,b,c的齐次方程，然后求解椭圆的离心率即可.

【详解】设椭圆的右端点为D，根据对称性可知CODCDOOAB45，那么OCD90，

又根据椭圆的对称性可知，点B,C关于y轴对称，

2BCa，

a23a2y1yb22C2ab2设点的横坐标是，代入椭圆方程得，解得，aa3a33OC,bC22CD2,2b2,2b，即 ，

22a3b222220a3ba3ac，即2a23c2，4因为OCCD，所以OCCD0，即4，可得

即

ec6a3，故选C.

【点睛】本题考查了椭圆性质的综合，其中求圆锥曲线的离心率是重点考查内容，一般可利用几何性质转化为关于a,c的齐次方程，再利用

eca化简求解，本题的关键是利用椭圆的对称性，可知点

B,C关于y轴对称，以及点A,D关于y轴对称，这样得到点的坐标，以及OCD90这样的关键条件.

二、填空题

13．设O是坐标原点，已知OA=(k，12)，OB=(10，k)，OC=(4，5)，若A，B，C三点共线，则

实数k的值为________.【答案】11或-2

【分析】先求出AB和BC的坐标，利用向量和共线的性质x1y2﹣x2y1=0，解方程求出k的值．

【详解】由题意得CA=OA-OC=(k-4，7)，

CB=OB-OC=(6，k-5)，

所以(k-4)(k-5)=6×7，k-4=7或k-4=-6，即k=11或k=-2.故答案为11或-2.

【点睛】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算．属于基础题．

A,B,AB22mC:x2y25l:2xym014．直线与圆相交于两点则___________.【答案】1或5##5或1【分析】由圆的弦长公式，结合点到直线的距离可得答案.

2ABdr25232【详解】设圆心C到直线l的距离为d，则

C0,2，直线l:2xym0，

，解得m1或m52d2m213，

又圆即

d2m3故答案为：1或52xx的二项展开式中,若常数项为60,则n等于____.15．在【答案】6

【分析】利用二项展开式的通项公式列出通项，化简后令未知数x的指数等于0，从而确定通项公式中r与n的等式，再根据常数项等于60，得到另一个r与n的等式，解方程组即可得.

Tr+1=Crnn【详解】

xn-r2rr2Cnxxrn-3r2 n，r∈N*

n-3r=0rr2Cn=60得 ，解得n=6

【点睛】本题实际考查了二项展开式的通项公式的应用，求展开式中特定项，以及零指数幂和组合数的相关运算知识的掌握.

agxlnxxfxsinx1xR都存在x21,e使fx1gx2成立,则216．已知函数,,若对任意1实数a的取值范围是______.【答案】

2e,fxmax【解析】根据题意，得到

alnxx0x1,egxmax2，从而转化为存在，使，判断出

ylnxx在x1,e的范围，再得到关于a的不等式，解得a的

a0，从而分离出a，利用导数得到

范围.

【详解】对任意所以得到而

x1R都存在x21,e使fx1gx2成立，

，

，

fxmaxgxmaxfxsinx1，所以

fxmax0alnxx0x1,e2即存在，使，此时lnx0，x0，

所以a0，因此将问题转化为

2lnxx1,eax成立，存在，使

设

hx2lnxhxmaxx，则a，

hx1lnxx2，

当

x1,e，

hx0，

hx单调递增，

所以21

即ae，所以a2e，所以实数a的取值范围是故答案为：

hxhe1e，

2e,.

2e,.

【点睛】本题考查根据不等式的恒成立和存在性问题，利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题.

三、解答题

17．在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1=1，b4=8，{an}的前10项和S10=55.（1）求an和bn；

（2）Sn、Tn是an、bn前n项和，求

S20和T10.

n1b2S210，T101023annn【答案】（1），；（2）20【分析】（1）利用已知及等差数列前n项和公式可得公差，进一步可得数列{an}的通项，利用等比数列的通项公式结合已知得到公比即可得到通项；（2）直接利用等差、等比数列的前n项和公式计算即可.【详解】（1）设数列{an}的公差为d，由题意，

S1010a1109d552，即1045d55，

aa1(n1)d1n1n，

解得d1，所以n33n-1n-1{b}qbbqq8b=bq=2q=241nn1设数列的公比为，则，解得，所以.

（2）

S2020(a1a20)20(120)21022，

T10b11q101q112210101211023【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式以及前n项和的计算问题，考查学生的数算能力，是一道容易题.

18．2021年2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，总庄严宣告：我国脱贫攻坚战取得全面胜利．目前，河南省53个贫困县已经全部脱贫摘帽，退出贫困县序列．2016年起，我省某贫困地区创新开展产业扶贫，响应第三产业的扶贫攻坚，经济收入逐年增加．该地的经济收入变化及构成比例如图所示：年份年份代号x经济收入y52016年

2017年

22018年32019年2020年

1459（单位：百万元）

141720（1）根据以上图表，试分析：与2016年相比，2020年第三产业与种植业收入变化情况；（2）求经济收入y关于x的线性回归方程，并预测2025年该地区的经济收入．参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据

niˆa(xi,yi)(i1,2,3,,n)，其回归直线yˆbxˆ的斜率

niiiˆb和截距的最小二乘估计分别为：

xxyyxynxyi1xxii1n2i1nxi12inx2ˆˆybx，a．

ˆ3.8x1.6；2025年该地区的经济收入预测为39.6百万元．【答案】（1）答案见解析；（2）y【分析】（1）根据第三产业占比、数量、增长情况进行判断即可；（2）根据题中所给的公式进行求解，并做出预测即可.

【详解】解：（1）①与2016年相比，2020年第三产业的收入占比大幅度增加；

②2016年第三产业的收入为0.3百万元，2020年第三产业的收入为6百万元，收入大幅度增加；③与2016年相比，种植业收入占比减少，但种植业收入依然保持增长；

（2）由表格中的数据可知，

x5914172012345133y55，，

xi152i1234555，

nniiiii122222xyi15i1152931441752023，

ˆb则

xxyyxynxyxixi1n2i1nxi12inx223353133.855532，

ˆ1.6ˆybx所以a，

ˆ3.8x1.6，故经济收入y关于x的线性回归方程为yˆ39.6，则2025年该地区的经济收入预测为39.6百万元．当x10时，y1fx3sinxsin(x)cos2x2219．已知函数

(1)求函数

fx的的最小正周期与单调递增区间；

1fA,b42(2)若锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且，求ABC面积S的取值范围.

【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为(2)(23,83).

[k,k](kZ)36；

fxfxsin(2x6)【分析】(1)利用诱导公式、二倍角公式、辅助角公式化函数为即可列式求解.

(2)利用(1)中函数性质计算作答.

fx求出角A，再利用正弦定理及面积公式求出面积的函数关系，借助三角函数

131fx3sinxcosx(2cos2x1)sin2xcos2xsin(2x)2226，【详解】（1）依题意，函数于是得函数令2kfx的的最小正周期为

T22，

22x62k2,kZ[k，解得：

k3xk6,kZ所以

fx的单调递增区间为

fA,k](kZ)36.

（2）由(1)及

11A0,sin2A62，而ABC是锐角三角形，即2，2得：2A7,666，

0C2225CBC0C2AA32，解得632，66，解得3，于是有则，4c4sinCc22bcsin(C)sinCsin(C)b433sinBsinC而，由正弦定理得：，即，

14sinC383sinC83tanC83SbcsinA2223cosCsinC3tanC3sin(C)213tanC所以，由6C2得：

tanC33311403tanCtanC3，即，有，于是得23S83，所以ABC面积S的取值范围是(23,83).

20．如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA底面ABCD，PCD90，

PAABAC2(1)证明：AC⊥CD；

(2)若E是棱PC的中点，求直线AD与平面PCD所成的角【答案】(1)证明见解析

(2)6【分析】（1）由线面垂直得到PACD，再由PCD90得到PCCD，即可证明CD平面

PAC，从而得到ACCD；

（2）由CD平面PAC，即可得到CDAE，再由等腰三角形三线合一得到AEPC，即可得到AE平面PCD，则∠EDA即为直线AD与平面PCD所成的角，再根据锐角三角函数计算可得；

【详解】（1）证明：因为PA底面ABCD，CD底面ABCD，所以PACD，因为PCD90，所以PCCD，PAPCP，PA,PC平面PAC，所以CD平面PAC，因为AC平面PAC，

所以CDAC．

（2）解：由（1）CD平面PAC，AC,AE平面PAC，所以CDAE，CDAC，

因为PAAC2，E为PC的中点，所以AEPC，因为PCCDC，PC,CD平面PCD，所以AE平面PCD，所以∠EDA即为直线AD与平面PCD所成的角，因为PAABAC2，所以

ADAC2CD222，PCAP2AC222，所以sinEDAAE1PC22，所以

AE21EDA0,EDAAD222，因为2，所以6，即直线AD与平面PCD所成的

角为6；21．已知抛物线

x22pyp0，焦点到准线的距离为4.

（1）求抛物线的方程；

（2）若抛物线上存在两点关于直线y2xm对称，且两点的横坐标之积为2，求m的值.19【答案】（1）x8y；（2）42【分析】(1)根据题干得到p4，进而得到方程；（2）设存在两点分别为1根据对称性得到直线AB的斜率为2，代入AB的中点坐标得到12x1x22x1x22x1x22m8，再由两根的和与积得到参数值.

Ax1,y1，

Bx2,y2，则

【详解】（1）由题意可得抛物线的焦点到准线的距离为p，p4.

2抛物线方程是x8y.

Ax1,y1Bx2,y2（2）设存在两点分别为，，则直线AB的斜率

又A,B两点在抛物线上，

y1y2122x1x28，

ky1y21x1x22，

x1x24.

x1x2y1y2,22在直线y2xm上，AB又的中点y1y2xx2•12m2即2，

y1y22x1x22m.

122x1x22x1x22m8，12x1x22x1x22x1x22m即8.

xx4，x1•x22，又12m194.

【点睛】当题目中已知直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，可以设出直线和双曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程中，运用点差法，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．（2）“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题．

x22．已知函数f(x)aelnx．

（Ⅰ）设xe是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；（Ⅱ）当

a1e时，求证：f(x)1．

【答案】（Ⅰ）f(x)的单调递减区间为(0,e)，单调递增区间为(e,) ；（Ⅱ）证明见解析.

1f(e)aee0e【分析】（Ⅰ）由极值点的概念可得，再求不等式f(x)0、f(x)0的解集，即可得解；

x1x1g(x)elnx，根据导数确定函数的单调性，求f(x)elnx1（Ⅱ）问题转化为证明，记

出g(x)的最小值，即可得证．

【详解】（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,)，

1f(e)aee0e1e所以，解得ae，所以

f(x)exe1f(x)aex1x，

1x，在(0,)上单调递增，且fe0，

所以当x(0,e)时，f(x)0；当x(e,)时，f(x)0；所以f(x)的单调递减区间为(0,e)，单调递增区间为(e,)；

a1x1xx1e可得aee，所以f(x)elnx，

（Ⅱ）证明：由记g(x)ex1lnx，

则

g(x)ex11x，在(0,)上单调递增，

令当当

g(x)ex110x可得x1，

x0,1时，g(x)0，g(x)单调递减；时，g(x)0，g(x)单调递增；

，

x1,所以

g(x)g11故f(x)g(x)1【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．