单调性与奇偶性

复习1：观察下列各个函数的图象.

探讨下列变化规律：

① 随x的增大，y的值有什么变化？ ② 能否看出函数的最大、最小值？ ③ 函数图象是否具有某种对称性？

复习2：画出函数f(x)x2、f(x)x2的图象.

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务：单调性相关概念 思考：根据f(x)x2、f(x)x2(x0)的图象进行讨论：随x的增大，函数值怎样变化？当x1>x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系怎样？

问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？ 新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1反思：

① 图象如何表示单调增、单调减？

② 所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？

③ 函数f(x)x2的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .

试试：如图，定义在[-5,5]上的f(x)，根据图象说出单调区间及单调性.

※ 典型例题

例1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明.

1（1）f(x)3x2； （2）f(x).

xk变式：指出ykxb、y(k0)的单调性.

x小结：

① 比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号； ② 证明函数单调性的步骤：

第一步：设x1、x2∈给定区间，且x1第二步：计算f(x1)－f(x2)至最简； 第三步：判断差的符号； 第四步：下结论.

※ 知识拓展 函数f(x)xa(a0)的增区间有[a,)、(,a]，减区间有(0,a]、[a,0) . x 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 函数f(x)x22x的单调增区间是（ ） A. (,1] B. [1,) C. R D.不存在

2. 如果函数f(x)kxb在R上单调递减，则（ ） A. k0 B. k0 C. b0 D. b0 3. 在区间(,0)上为增函数的是（ ）

2A．y2x B．y

xC．y|x| D．yx2

4. 函数yx31的单调性是 . 5. 函数f(x)|x2|的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .

1练1.求证f(x)x的(0,1)上是减函数，在[1,)是增函数.

x

练2. 指出下列函数的单调区间及单调性. （1）f(x)|x|； （2）f(x)x3.

奇偶性（讲课稿）

复习1：指出下列函数的单调区间及单调性.

1（1）f(x)x21； （2）f(x)

x复习2：对于f(x)＝x、f(x)＝x2、f(x)＝x3、f(x)＝x4，分别比较f(x)与f(－x). 二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务：奇函数、偶函数的概念

思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：

1（1）f(x)x、f(x)、f(x)x3；

x（2）f(x)x2、f(x)|x|.

观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？

新知：一般地，对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)叫偶函数反思：

① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？

② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称.

1试试：已知函数f(x)2在y轴左边的图象如图所示，画出它右边的

x图象.

※ 典型例题

例1 判别下列函数的奇偶性：

（1）f(x)3x4； （2）f(x)4x3；

1（3）f(x)3x45x2； （4）f(x)3x3.

x小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算f(x)，并与f(x)进行比较.

试试：判别下列函数的奇偶性：

1（1）f(x)＝|x＋1|+|x－1|； （2）f(x)＝x＋；

xx2（3）f(x)＝； （4）f(x)＝x, x∈[-2,3]. 21x例2 已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.

变式：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证明.

小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论.

※ 动手试试

练习：若f(x)ax3bx5，且f(7)17，求f(7).

学习评价 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 对于定义域是R的任意奇函数f(x)有（ ）.

A．f(x)f(x)0 B．f(x)f(x)0 C．f(x)f(x)0 D．f(0)0

2. 已知f(x)是定义(,)上的奇函数，且f(x)在0,上是减函数. 下列关系式中正确的是（ ）

A. f(5)f(5) B.f(4)f(3) C. f(2)f(2) D.f(8)f(8) 3. 下列说法错误的是（ ）.

1 A. f(x)x是奇函数

x B. f(x)|x2|是偶函数

C. f(x)0,x[6,6]既是奇函数，又是偶函数

x3x2D.f(x)既不是奇函数，又不是偶函数

x14. 函数f(x)|x2||x2|的奇偶性是 .

5. 已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是 函数，且最 值为 . 课后作业 1. 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)g(x)1，求f(x)、g(x). x1

2. 设f(x)在R上是奇函数，当x>0时，f(x)x(1x)， 试问：当x<0时，f(x)的表达式是什么？

3.若f(x)ax3bx5，且f(7)17，求f(7).

2.1.3《函数的单调性》

一、选择题：

1、函数f(x)2x在x[1,2]上的单调性为 （ ） A.减函数 B.增函数. C.先增后减. D.先减后增 2、函数yx2的单调增区间为 （ ） A.(,0] B.[0,) C.(,) D.(1,)

3、若函数ymxb在(,)上是增函数，那么 （ ） A.b>0 B. b<0 C.m>0 D.m<0

4、函数f(x)2x2mx3，当x[2,)时是增函数，当x(,2]时是减函数，则f(1)等于 （ ） A.-3 B.13 C.7 D.由m而定的常数

kx在(,0)上是减函数，则k的取值范围是 （ ） xA.k0 B.k0 C.k0 D.k0

5、若函数f(x)6．定义域为(b,a)(a,b)的函数f(x)在区间(a,b)上是减函数，在区间(b,a)上是增函数，且函数值在其定义域内恒为正，则

（1）函数yf(x)的单调递减区是 ；单调递增区间是 ；

（2）y1的单调递减区是 ；单调递增区间是 ； f(x)（3）函数y（4）y—f(x)的单调递减区是 ；单调递增区间是 ； 1的单调递减区是 ；单调递增区间是 ； f(x)7．给出如下四个命题：

（1）若函数f(x)在其定义域[2,3]上单调递减，则其最大值为f(2)； （2）若函数f(x)在其定义域[2,3)上单调递减，则其值域为(f(3),f(2)]； （3）若函数f(x)在其定义域(2,3)上单调递增，则其值域为(f(2),f(3))； （4）若函数f(x)值域为(f(3),f(2)]；则其定义域为[2,3)；

其中真命题分别为 （填写题号）。

8.函数f(x)，g(x)，h(x)的定义域、值域都是R且f(x)为增函数，g(x)、h(x)为减函数，则在R上f［g(x)］是__________函数，g［h(x)］是__________函数，h［f(x)］是__________函数(填增减性).

二、填空题：

9、函数f(x)|x|的减区间是____________________.

10、若函数f(x)(2m1)xn在(,)上是减函数，则m的取值范围是______. 11、如果函数f(x)x2(a1)x5在区间(,1)上是增函数，那么f(2)的取值范围是__________________. 三、解答题： 12、求证：函数f(x)121x在区间(1,0)上单调递减 x13、已知函数f(x)x2ax3在区间(,1]上是增函数，求a的取值范围 14、定义在［1，3］上的函数f(x)为减函数，求满足不等式 f(1－a)－f(3－a2)＞0的解集。

2.1.4《函数的奇偶性》测试

一、 选择题： 1、函数f(x)1,x(0,1)的奇偶性是 （ ） x A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

2、 若函数f(x)ax2bxc(a0)是偶函数，则g(x)ax3bx2cx是（ ） A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

3、若函数yf(x),xR是奇函数，且f(1)f(2)，则必有 （ ） A．f(1)f(2) B. f(1)f(2) C.f(1)f(2) D.不确定 4、函数f(x)是R上的偶函数，且在[0,)上单调递增，则下列各式成立的是

（ ）

A．f(2)f(0)f(1) B. f(2)f(1)f(0) C.f(1)f(0)f(2) D.f(1)f(2)f(0)

5、已知函数yf(x)是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)0的所有实数根的和为 （ ） A．4 B.2 C.1 D.0

二、填空题：

6、函数f(x)a,a0是_______函数.

7、若函数g(x)为R上的奇函数，那么g(a)g(a)______________.

8、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在区间[-7,-3]上的最______________值为____________. 三、解答题：

9、设函数f(x),g(x)为定义域相同的奇函数，试问F(x)f(x)g(x)是奇函数还是偶函数，为什么？

10、已知函数f(x)是奇函数，它在(0,)上是增函数，且f(x)0，试问F(x)1在f(x)(,0)上是增函数还是减函数，为什么？