三角函数真题专题

一、选择题 1.在△ABC中，cosC5，BC1，AC5，则AB 25A．42 B．30 C．29 D．25

2.若f(x)cosxsinx在[a,a]是减函数，则a的最大值是

π 4π 23π 4A． B． C．

D．π

3.若sin8A．

91，则cos2 3 B．

7 9

7C．

9 D．8 9a2b2c2C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4． △ABC的内角A，B，，则

4C

A．

π 2 B．

π 3 C．

π 4 D．

π 65.在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线xmy20的距离，当θ，m变化时，d的最大值为

A. 1

B. 2 C. 3

D.4

6.将函数ysin(2x)的图象向右平移

5个单位长度，所得图象对应的函数 103,]上单调递减 43,2]上单调递减 2A在区间[35,]上单调递增 4453,]上单调递增 42

B在区间[C在区间[

D在区间[1

7．函数y=2|x|sin2x的图象可能是

A． B．

C． D．

二、填空题

1.已知函数fx2sinxsin2x，则fx的最小值是_________． 2．已知sinαcosβ1，cosαsinβ0，则sin(αβ)__________．

π3.函数fxcos3x在0，π的零点个数为________．

6ππ4.设函数f（x）=cos(x)(0)，若f(x)f()对任意的实数x都成立，则ω的最小

值为__________． 5．已知函数ysin(2x)()的图象关于直线x对称，则的值是 ． 2236．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，ABC120，ABC的平分线交AC于

点D，且BD1，则4ac的最小值为 ．

7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=7，b=2，A=60°，则sin

2

B=___________，c=___________．

三．解答题

1.在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.

（1）求cosADB；

（2）若DC22，求BC.

2.在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC边上的高．

1． 73.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinAacos(B).

6（I）求角B的大小；

（II）设a=2，c=3，求b和sin(2AB)的值.

4.已知,为锐角，tan（1）求cos2的值； （2）求tan()的值．

3

54，cos()．

535.某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．

（1）用分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sin的取值范围；

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

346.已知角α的顶点与原点O重合， 始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（，-）．

55（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

5，求cosβ的值． 13（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=

asin2x2cos2x 7.设常数aR，函数（fx）（1）若（为偶函数，求a的值； fx）31，求方程（fx）12在区间（2）若〔上的解. ［，］f〕4

4

参

一、选择题

1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D 二、填空题

1. 121332π；3 2. 3. 3 4. 5. 6. 9 7.

36272三．解答题

1.解：（1）在△ABD中，由正弦定理得

BDAB. sinAsinADB由题设知，

252，所以sinADB. 5sin45sinADB由题设知，ADB90，所以cosADB1223. 2552. 5（2）由题设及（1）知，cosBDCsinADB在△BCD中，由余弦定理得

BC2BD2DC22BDDCcosBDC2582522225. 5所以BC5.

2.解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=–

1π43，∴B∈（，π），∴sinB=1cos2B． 7275

8ab73=43，∴sinA=由正弦定理得． sinAsinBsinA27∵B∈（

πππ，π），∴A∈（0，），∴∠A=． 223（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=33． 1431143=()2727如图所示，在△ABC中，∵sinC=

33． 2h3333，∴h=BCsinC=7， BC142∴AC边上的高为

3.解：在△ABC中，由正弦定理

ab，可得bsinAasinB， sinAsinBππ又由bsinAacos(B)，得asinBacos(B)，

66π即sinBcos(B)，可得tanB3．

6又因为B(0，π)，可得B=

π． 3（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=

π， 3有b2a2c22accosB7，故b=7．

3π由bsinAacos(B)，可得sinA．

676

因为a525，所以sin()1cos2()， 55又因为cos()因此tan()2． 因为tan42tan24， ，所以tan2231tan7tan2tan()2．

1+tan2tan()11因此，tan()tan[2()]5.解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．

过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ， 故OE=40cosθ，EC=40sinθ，

则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP的面积为

1×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）． 2过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10． 令∠GOK=θ0，则sinθ0=

1π，θ0∈（0，）． 467

当θ∈[θ0，

π）时，才能作出满足条件的矩形ABCD， 2所以sinθ的取值范围是[

1，1）． 4答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[

1，1）． 4（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0）， 则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，

π）． 2设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，

π）， 2()cos2sin2sin(2sin2sin1)(2sin1)(sin1)． 则f′π， 6令f′()=0，得θ=

当θ∈（θ0，

π）时，f′()>0，所以f（θ）为增函数； 6当θ∈（

ππ，）时，f′()<0，所以f（θ）为减函数， 62因此，当θ=

π时，f（θ）取到最大值． 6答：当θ=

π时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．6

6.（Ⅰ）由角的终边过点P(,)得sin35454， 5所以sin(π)sin4. 58

（Ⅱ）由角的终边过点P(,)得cos35453， 5由sin()512. 得cos()1313由()得coscos()cossin()sin，

所以cos5616. 或cos656527. 解：（1）f(x)asin2x2cosx11=asin2xcos2x1，

f(x)asin(2x)cos(2x)1asin2xcos2x1

当f(x)为偶函数时：f(x)f(x)，则aa，解得a0。

（2）f()asin242cos24，

由题意f()a131，a3，

4f(x)3sin2x2cos2x3sin2xcos2x12sin(2x6)1，

当x[,]时，即2x6[1113,]， 66令f(x)12,则2sin2x112， 6解得：x

1151319,,或x 242424249